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安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文近似计算在数学分析中的应用近似计算在数学分析中的应用作者：石结军指导老师：张玮玮摘要摘要近似计算是一个比较特殊的解决问题的方法，它是解决数学中复杂繁琐问题的重要工具，是获得结果且影响极小的有力工具.在数学分析中，这种方法的运用尤为突出，如在定积分中的应用、微分中的应用、函数幂级数的应用等，其中函数幂级数中的应用主要体现在泰勒展开式中的应用.本文主要研究在数学分析中用具体实例来说明对这种方法的运用.关键词关键词近似计算数学分析微分函数幂级数定积分1 1引言引言近似计算是一种对计算结果影响不大,但能大大简化计算的过程,被广泛用于各个领域.在数学分析中,本文从在微分中、在定积分中、在求方程的解以及函数幂级数中的应用出发,然后分别简单介绍这几方面的一些有关内容及有关概念,并且针对近似计算在这些方面的应用列举出实例来加以解释说明这种方法的实用性,并且说明其与精确结果之间产生的误差.2 2近似计算在数学分析中的应用近似计算在数学分析中的应用1.11.1在微分中的应用在微分中的应用在科学和工程问题中遇到的数值问题往往很复杂,在许多情况下都不可能求出数值解的精确值,另一方面，在许多实际问题中,并不需要解的精确值,而仅仅需要获得解在若干点上的近似值即可.微分在近似计算中有很多应用,这里介绍微分在近似计算方面的一些应用.1.2.11.2.1函数的近似计算函数的近似计算由增量与微分关系y f (x0) xo( x) dyo( x)当x很小时，有y dy，由此即得f (x0 x) fx0 f x0 x（8）或当x x0时有fx fx0 f x0 xx0.（9）注意到在点x0,fx0的切线方程即为y fx0 f x0 xx0（9）式的几何意义就是当x充分接近x0时,可用切线近似替代曲线（ “以直代曲” ）.常用这种线性近似的思想来对复杂问题进行简化处理.1安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文设fx分别是sin x，tan x，ln1 x，和ex，令x0 0，则由（9）式可得这些函数在原点附近的近似公式：sin x x；tan x x；ln1 x x；ex1 x.一般地，为求得fx的近似值,可找一邻近于x的点x0,只要fx0和f x0易于计算,由（9）式可求得fx的近似值.例例 1 1求sin33的近似值.00解解由于s i n 3 3s i n6x0,x c o s， 因此取fxsinx， 由 （9）66066 0式得到sin330 sin6cos 6 60013 0.5452260（sin33的真值为 0.544639.）.例例 2 2设摆钟的周期为 1 秒,在冬季摆长至多缩短0.01cm,试问此钟每天至少快几秒?解解设摆钟的周期 T 与摆长 L 的关系为T 2lg其中 g 式重力加速度.已知钟摆周期为 1 秒,故此摆原长为l0g(2)2当摆长最多缩短 0.01cm 时,摆长增量l 0.01,它引起单摆周期的增量dTT dll ll0g122l lgl022(0.01) 0.0002(秒）980这就是,加快约 0.0002 秒,因此每天大约加快6060240.0002=17.28 （秒）.1.2.21.2.2误差估计误差估计由于测量仪器的精度,测量的条件和测量的方法等各种因素的影响 ,测得的数据往往带有误差,而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差,我们把它叫做间接测量误差.定义定义如果某个量的精确值为A,它的近似值为a,则 a叫做a的绝对误差.2安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文而绝对误差与a的比值aa叫做a的相对误差.问题问题在实际工作中,绝对误差与相对误差如何求得？设量x是由测量得到,量y由函数y f (x)经过计算得到.在测量时,由于存在测量误差，实际测量得到的知识x的某一个近似值x0,因此由x0算得的y0 f (x0)也只是y f (x)的一个近似值.若已知测量值x0的误差限为x（它与测量工具的精度有关）,通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.即x xx0 x则当x很小时，y f (x) f (x0) f(x0)x f(x0)x10而相对误差限制为xf(x0)xy0f (x0）11例例 3 3设测得一球体的直径为42cm测量工具的精度为0.05cm.试求以此直径计算球体体积时所引起的误差.解解由直径d计算球体体积的函数式为1V d36取d0 42,d 0.05，求得1V0d03 38792.39cm3，6并由10、11两式得体积的绝对误差限和相对误差限分别为V=d02d1224220.05 138.54cm312d0V23dd3.57000V01d3d006例例 4 4设测得圆钢截面直径D 60.03mm,测量D的绝对误差限D 0.05mm.利用公式A 4D2,计算圆钢的截面面积时,试估计面积误差.解解我们把测量D时所产生的误差当做D的增量D,则利用公式A 34D2计算A时安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文所产生的误差就是函数A的对应增量A,当D很小时,可以利用dA近似的代替增量A,即A dA A D 2D D.由于D的绝对误差限D 0.05mm.D D0.05,A dA 因此得出A的绝对误差限为2D D 2DD，AA的相对误差限约为2DD260.030.05 4.715mm2;AA2DDD24 2DD 20.05 0.1700.60.03综合所述,通过用绝对误差来刻画一个近似值的精确程度是有局限性的 ,在很多场合中它是无法显示出近似值的精确程度.如测量100m和10m两个长度,若它们的绝对误差都是1cm,显然前者测量结果比后者的精确.由此可见，决定一个量的近似值的精确度，除了要看绝对误差的大小外,还要考虑该量本身的大小,即相对误差.在微分中， 许多解决实际问题时需要用到近似计算来替代那些较为复杂繁琐的过程，以至于更好的解决问题.1.21.2定积分的近似计算定积分的近似计算利用牛顿-莱布尼茨公式虽然可以精确地计算定积分的值 ,但它仅适用于被积函数的原函数能够求得的情形.如果这点办不到或者不容易办到，这就要考虑近似计算的方法。在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式（只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值） ，这时只能采用近似方法去计算相应的定积分.其实，根据定积分的定义,每一个积分和都可看做是定积分的一个近似值,例如nnbaf (x)dx f (xi)xi(或f (xi1)xi)i1i1在几何意义上,这时用一系列小矩形面积来近似小曲边梯形面积的结果 .所以把这个近似算法称为矩形法.不过，只有当积分区间被分割的很细很细时，矩形法才有一定的精确度.如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似替代被积函数,那么可以在期望获得比矩形法效果好得多的近似计算公式.下面的梯形法和抛物线法就是这一想法的产物.1.3.11.3.1梯形法梯形法将积分区间a,b作n等分，分点依次为a x0 x1 x2 xn b,xi相应的被积函数值记为ba，ny0, y1,y2, yn(yi f (xi),i 0,1,2 n)并记曲线y f (x)上相应的点为4安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文P0,P1,P2,Pn(Pi(xi, yi),i 0,1,2 n)将曲线上每一段弧Pi1Pi用弦Pi1Pi来替代，这使得每个小区间xi1,xi,上的曲边梯形换成了真正的梯形，其面积为yi1 yixi,i 0,1,2 n2于是，各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值,即ny ybaf (x)dx i12ixi,i1亦即bynba y0f (x)dx ( y y y)12n1an22称此近似式为定积分的梯形法公式.例例 5 5用梯形法近似计算20sin xdx（将积分区间十等分）.x解解将1,2区间10等分,则yi则由公式有110.1i20dx21 111x1021.11.1111 0.693771.92例例 6 6用梯形法计算下面定积分（取n 100）,并计算相对误差I f,x 解解a 0 ,b 1,n 1 0 0dx01 x21 21xh 11000.01,xiih,yi fxidx y0 h y101 x221 yn1yn2 0.785393996730780.78539399673078相对误差：45.30510641.3.21.3.2抛物线法抛物线法将积分区间a,b作2n等分，分点依次为5安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文x0 a x1对应函数值为 xi abai 2n x2n b,x ba,2ny0, y1,曲线上相应点为, y2nyi fxi,i 0,1,P2nP,ixi, yimi 0,1,2n,2n,P0,P1,现把区间x0,x2上的曲线段y fx用通过三点P0 x0,y0,P1x1,y1,P2x2,y2的抛物线y x2x p1x来近似代替,然后求函数p1x从x0到x2的定积分x2x2323P(x)dx (xx)dx (x x )(x2 x02)(x2 x0)20 x01x032x x022(xx )(x2002x2) 2(x0 x2) 46x x2由于x10，代入上式整理后得2x2x2 x0P(x)dx (x02x0)(x22x2) 4(x1x1)x016x x0ba(y0 4y1 y2) (y0 4y1 y2)266n同样也有x4baP (x)dx (y2 4y3 y4)x26nx2nbaP (x)dx (y2n2 4y2n1 y2n)x2n2n6n将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值:nxnbab2naf (x)dx x2n2Pi(x)dx 6n(y2i24y2i1 y2i)i1i1即bbaf (x)dx y0 y2n4(y1 y3 y2n1)2(y2 y4 y2n2)a6n这就是抛物线法公式,也称为辛卜生（Simpson）公式对于例 6 用抛物线法解有dx1y0 y10 4y1 y301 x2301 y9 2y2 y4 y8 0.7856982用准确值6安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文dx arctg1 0.7853981601 x241与上述近似值比较,梯形法的结果有三位有效数字是准确的 ,抛物线法的结果则有六位有效数字是准确的,由此可见,在解决定积分中一些相对复杂的问题时可采用近似计算这种方法来求解问题,能大大简化计算过程并且误差较小.而近似计算这种方法,抛物线法明显优于梯形法.1.31.3方程的近似解方程的近似解在实际应用中，常常求方程fx0的解,而方程求解的方法主要有两种:解析法和数值法.解析法得到结果是精确的,然而并不是所有的方程的根都能通过这种方法而求得.形如y anxnan1xn1a00an 0的代数方程，当n 5时,一般不存在求解公式.因此对于一般方程，我们需要寻求其他的解法.如牛顿切线法:设f为a,b上的二阶可导函数,满足f xf x 0, fafb0.牛顿切线法的基本思想是构造一收敛点列xn,使其极限lim 恰好是方程的解.因此n当n充分大时，xn可作为的近似值.下面分四种情形进行讨论.1设f x0, f x0.从而有fa0, fb0,并设f0.x0 a,xn xn1fxn1,n 1,2,f xn1.2因为f x0，所以f为a,b上的严格凸函数，由定理有fx fa f ax a,xa,b.3设x a,则y fx在点a的切线与x轴的交点为fafx0 x1 a x0.f af x0由3式可知fx10.以x1,b代替a,b重复上述步骤可将y fx在点x1的切线与x轴交点为7安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文x2 x1其中fx20,a x0 x1 x2b.fx1f x1如此继续上述过程可得如2式确定的点列xn,显然xn严格递增且有上界，故可设lim xn c .由于f和f 连续，对2式取极限,得nfcc c.f c因而有由f严格单调，可知方程的解唯一，从而c .最后估计以xn作为的近似值的误差,由中值定理fxn fxn f xn,xn,因而xn记m minfxn fxa,bf x,则xnfxnm.同样地有2f x0, f x0,这时又有fa0, fb0;3f x,fa0, fb0;0, f x 0这时又有4f x,fa0, fb0.0, f x 0这时又有32例例 5 5用牛顿切线法求方程x 2x 4x7 0的近似解,使误差不超过0.01.解解设fx x32x24x7求得导数f x3x24x43x2x2f x6x4.容易检验x 2为极大值点,x 2为极小值点，并且382f 0.又因为lim fx ,x3安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文xlim fx ,所以方程fx0有且只有一个根.又 因 为f3 1 0 0，f490, 因 而 方 程 的 根3 ,4由.于 在3 ,4上f x, f x0,则有x1 4f49 4 3.68. f428以x1代替的误差：f x在3,4上的最小值为m 11，而fx1f差估计公式4得1.033.68，由误x1而fx1m1.03,111.03 0.01，因此尚不符合要求.11再在点B x1, fx1作切线，求得x2 x1由于fx2 0.042，此时fx11.033.68 3.63。f x121.9x2fx2m0.0420.01,11因此取 3.63已能达到所要求的精确度.由上述例题能充分说明在解决不能直接用公式求方程根的时候，可以用求其近似值的方法来处理此类问题.1.41.4函数幂级数中近似计算的应用函数幂级数中近似计算的应用幂级数是无穷级数的一种，是函数进行数值近似计算的有力工具，由于这类级数各项都是简单的幂函数，因此，在工程技术中常用幂级数进行一些函数值的近似计算。在数学教学中如能引导学生进行这方面的探索对培养学生的研究能力和创新能力十分有利.sin x，cosx，ln x，1 x我们知道， 许多初等函数如e，xZ, 0，arcsinx，arctan x，在一定区间上都可进行幂级数展开， 进行近似计算，通过控制取幂级数项数的多少来达到我们需要的精确度.接下来，我们通过的近似计算来研究函数幂级数中进行近似计算的方法.可用arctan x的幂级数展开式取x 3近似计算， 也可用arcsinx的幂级数展开式取x 139安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文近似计算,用前者来计算有x2arctan x x312n1x2n12n1,2n111 1 3得x1,1,取x 36333 上式两边同时乘以 6 可得312n11 1 2n13 n,11 2 3133112n132n1n11括号内是一个交错级数,又由Sn 2 3133112n132n1近似代替，则11产生的误差绝对值有:Rn 2 32n3311n1.1 1易计算R10 2 3 0.000001，就是说，用S10表示的近似值，其误差小于2330.000001,经计算 3.14159,这里3 1.17320508.有些函数幂级数展开限制了自变量的取值范围,为了使其适用近似计算的范围更广，要进行一些转换.如ln x利用幂级数近似计算，由于x2x3ln1 x x231n1xnn1x 11只能算出 0 与 2 间 （不含 0） 的对数， 我们以此为基础推导一个较为适用的公式， 用x代替x，则有x2x3ln1 x x23由12得xnn1x 121 xx3x5ln 2x1x35设x2k12k 11x131 x11 x1 p1, p0，这样可以得到：ln ln ln1 pln p1 xp1 xp1等式3变换有:ln1 p ln p22p1112k 12p12k1 p04由公式4知，只要知道ln p的值或近似值就可以算出ln1 p的近似值.若用10安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文1113ln2 233311939作为ln 2的近似值，其误差小于0.0000012，经计算得到ln2 0.69315，由ln2和公式4即可计算ln3的值，以此下去则可得到ln 4,ln5的值.1.5.21.5.2复杂函数的幂级数展开方法复杂函数的幂级数展开方法在工程技术中，一些复杂函数的近似计算无法通过查表得到，把这类函数转换成幂级数展开往往使近似计算方便、精确.下面通过几个实例来具体说明.2例例 1 1求lg 1 x的幂级数展开式.解解因为lg 1 x2ln1 x2ln10n1,x2ln1 x x212xnn将其中的x换成x后两边同时除以ln10得212x4x6lg1 xx ln10231n1x2nn由此可见，只要对所学的幂级数能灵活运用，就会得到想要展开的幂级数形式，进而就会算出其对应的近似值.掌握这种方法会给解决问题带来很大方便.1.5.31.5.3泰勒展开在近似计算上的应用泰勒展开在近似计算上的应用n定理定理 6.86.8 若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有f (x) Tn(x)(x x0) )，即f(x0)f(x0)2f (x) f (x0) f (x x0)(x x0) (x x0)n(x x0)n). 此 公 式2!n!称为f在点x0处的泰勒公式，Rn(x) f (x)Tn(x)称为泰勒公式得余项，形如(x x0)n)的余项称为佩亚诺型余项.例例 1 1（1）计算e的值，使其误差不超过10；（2）证明数e为无理数.解解（1）当x 1时有6111ee 11012!3!n!(n1)!e3故Rn(1)，当n 9时，便有(n1)!(n1)!R9(1)3310610!362880011安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文从而略去R9(1)而求得e的近似值为e 11111 2.7182852!3!9!111e（2）由e 1101得2!3!n!(n1)!en!e(n!n!34 nn1)n1倘若e p（p，q 为整数）则当n q时,n!e为整数，从而n!e(n! n!34 n n1)qee3为整数.因为，所以当n 2时右边为非整数,矛盾!从而数e为无理数.n1n1n1例例 1 1用泰勒多项式逼近正弦函数sin x,要求误差不超过10.试以m 1和m 2两种情形分别讨论x的取消（i）m 1时，sin x x使其误差满足3cosx3xR2(x) x 1033!603只须x 0.1817,即大约在原点10 2440范围以x近似sin x,其误差不超过10.3x3（ii）m 2时，sin x x，使其误差满足6cosx5xR4(x) x 1035!503只须x 0.6543，即大约在原点37 2938范围内，其误差不超过10.5结束语结束语近似计算是在解决复杂问题中常见且适用的一种方法 ,本文以对近似计算的简介及其与数学分析的联系为前提简要写出近似计算方法在数学分析中的应用 .然后再用具体实例来说明在数学分析中这种方法在某些方面的应用.由于这种方法的简单、易懂,且能让人更容易接受、理解,因此这种方法在数学分析乃至整个数学领域占有了一个独特的位置.12安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文参考文献参考文献 1 陈纪修，於崇华，金路，数学分析M，2 版，北京：高等教育出版社，2004;2 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法M，高等教育出版社，2006;3 欧阳光中，姚允龙，周渊，数学分析（上，下）M，复旦大学出版社，2002;4 宋国柱，数学分析教程M，南京大学出版社，2000;5 李成章, 黄玉民. 数学分析（上，下）M, 科学出版社, 2004;6 常庚哲，史济怀.数学分析教程M.北京高等教育出版社,2003.Application of approximate calculation in mathematical analysisApplication of approximate calculation in mathematical analysisAuthor:Author:Shi JiejunInstructor:Instructor:Zhang WeiweiAbstractAbstractthe approximate calculation is a special way to solve the problem,it its animportant tool to solve complicated problems in mathematics,is to get a result and theeffect of minimal.A powerful tool in mathematical analysis,the use of this method isparticularly prominent,such as the application of definite integral,differential in theapplication,function of power series the application,wherein the application function ofpower sereis.In the application of the expansion series mainly embodied in Taylor.Thispaper mainly studies with specific examples in mathmatical analysis to illustrate the use ofthis methodKeywordsKeywordsmathematicalanalysis of approximatecalculation of definiteintegraldifferential function of powerseries13
