第十一章：微积分.pdf

第十一章：微积分第十一章：微积分第一节第一节 微积分的准备工作微积分的准备工作众所周知，微积分是牛顿(INewton， 16431727)和莱布尼茨(GWLeibniz， 16461716)创立的但如果把人类文明史上这一伟大成果仅仅归功于他们二人，就有失公允了正如牛顿所说： “我所以有这样的成就， 是因为我站在巨人们的肩上 ” 仅就发明微积分而言， 属于他所谓 “巨人” 之列的， 至少可以举出斯蒂文(S Stevin， 15481620)、 开普勒(J Kepler， 15711630)、 伽利略(G Galilei， 15641642)、 卡瓦列里(B Cavalieri，15981647)、费马(Pde Fermat，16011665)、帕斯卡(BPascal，16231662)、沃利斯(JWallis，16161703)、巴罗(IBarrow，16301677)等光辉的名字如果追根溯源，作为微积分基础的极限思想，甚至与古希腊的阿基米德(Archimedes)及中国三国时代的刘徽相联系，他们各自在自己的国土上，提出了计算圆周率的科学方法割圆术，从而跨入极限领域当然，微积分的直接准备工作还是从16世纪开始的，体现在微分和求积两个方面一、求积理论的发展一、求积理论的发展在16世纪，积分思想是围绕求积问题发展的，而计算物体重心是与求积有关的一个重要问题微积分的先驱之一斯蒂文，首先在这方面有了突破他在1586年出版的平衡的原理(DeBeghinselenderweeghconst)一书中，用极限思想证明了三角形的重心落在中线上如图111，AD是ABC的一条中线斯蒂文在ABC内作一系列平行四边形，根据阿基米德证明过的对称原理，内接图形的重心应在中线上当平行四边形的个数无限增加时，内接图形便无限接近ABC，假定ABD与ACD的“重量” 不等，其差必为一常数当平行四边形的个数增加到某一数值时，必使内接图形与ABC的差小于任意给定常数，从而使ABD与ACD之差小于所给常数这就证明了ABD与ACD“重量”相等，即ABC的重心落在中线上 显然， 斯蒂文把三角形看成平行四边形和的极限，其中蕴含着积分思想的萌芽开普勒进一步发展了求积中的极限方法， 他把球看成是由无穷多个棱锥组成的，每个棱锥的顶点都在球心，底面在球的表面上，高等于球半径r把这些棱锥的体积加起来，由棱锥体积公式立即得到开普勒的这一杰出思想，还体现在1615年发表的测定酒桶体积的新方法(Nova Stereometria doliorum vinariorum)一书中据说他对求积问题的兴趣，起源于对啤酒商的酒桶体积的怀疑他在该书中讨论了许多旋转体的体积，其基本思想是化曲为直，即把曲线形看作边数无限多的直线形例如，他把圆看作边数为无限的多边形，因此圆面积等于无穷多个等腰三角形面积之和，这些三角形的顶点在圆心，底在圆上，而高为半径r显然，圆面积等于圆周长与半径的乘积之半 他对球体积公式的推导就是在此基础上发展而来的， 著名的开普勒行星三定律中的第二定律由太阳到行星的向径扫过的面积与经过的时间成正比，其推导过程也应用了这种求积方法用无穷多个同维的无限小元素之和来确定曲边形面积和体积， 这是开普勒求积术的核心，是他对积分学的最大贡献他的许多后继者都吸取了这一精华在两种新科学(全名是关于两种新科学的论述与数学证明，Discourses and Mathematical Demonstrations Concerning Two New Sciences，1634)一书中，伽利略的求积方法与开普勒一脉相承在处理匀加速运动问题时，他证明了在时间一速度曲线下的面积就是距离如图112，假定物体以变速v=32t运动，则在时间OA内通过的距离就是面积OAB伽利略所以得到这个结论，是因为他不仅把AB当作某个时刻的速度，而且把AB当作无穷小距离(即把AB看作速度与无穷短时间之积)他认为由动直线AB组成的面积OAB必定是总的距离因为AB是32t，OA是t，所以OAB的面积为16t2，即在时间t内走过的距离为16t2结论显然是正确的，但推理不够严格系统运用无限小元素来计算面积和体积， 是通过伽利略的学生卡瓦列里实现的 从1635年发表的 不可分连续量的几何学 (Geometria IndivisibilibusContinuorum Nova Quadam Ratione Promota)一书可以看出，他不仅继承了开普勒与伽利略的思想，而且有明显的变革第一，他不再把几何图形看作同维无穷小元素所组成，而是看作由维数较低的无穷小元素所组成，并把这些无穷小元素称为 “不可分量” 例如， 体积的不可分量是无数个平行的平面 第二，他建立起两个给定几何图形的不可分量之间的一一对应关系，若每对量的比都等于同一个常数，则他断定两个图形的面积或体积也具有同样比例所谓卡瓦列里原理便是在此基础上提出的，下面，我们以他对球体积的推导为例，说明他是怎样通过不可分量的比较来求积的如图113，设DHC是以O为圆心的半圆，ABCD是它的外切矩形以OH为旋转轴，则正方形OHBC画出圆柱，三角形OHB画出圆锥，而弧HC画出半球面用平行于底面的任意平面去截这些图形，则产生以G为圆心的半径分别为RG、FG和EG的圆，它们分别为圆柱、圆锥和半球的不可分量，这些不可分量存在如下关系：OE2=GO2EG2即 RG2FG2+EG2所以 RG2 FG2 EG2由于截面的任意性，所以圆柱体积等于半球与圆锥体积之和，设球半径为 r，则大约在1636年，费马提出一种新的求积方法他吸收了开普勒的同维无限小元素思想，又保留了卡瓦列里不可分量法在求积问题上的有效坐标为a， a，2a的点(比例常数 1)，然后在这些点上作纵坐标，于是整个图形被分割成无数个小矩形(图114)，这些矩形的底边分别为(1- )a， (1- )a，2(1- )a于是，各矩形面积构成一个几何级数：其和为为使矩形和充分接近抛物线所围面积，须将矩形的宽无限缩小，即令1为此，费马先令 =q，则若 1，则 1，上式分子为q个1之和而分母为pq个1之和，显然，在费马辛勤耕耘的数学园地里，已经看得见定积分的曙光了费马的思想与定积分的差距仅仅在于： 第一， 尚未抽象出定积分的概念； 第二，还未建立一般的积分公式与费马相比，帕斯卡的求积方法更为有效，因为他采取了略去无穷序列之和的高次项的方法(1654年)，这种思想对莱布尼茨和牛顿有很大影响例如，帕斯卡在计算以曲线y=x2为一边的曲边三角形面积时，把由曲线yx2，x轴和直线xa围成图形的底分成n等分，于是得到n个矩形(图115)，他称这些矩形为“无穷小矩形”，用它们取dd2+d(2d)2+d(3d)2 d(nd)2法证明了由一般曲线yxn，x轴和直线xa所围成的曲边梯形面积在牛顿和莱布尼茨之前， 为发明微积分作准备工作最多的是英国的沃利斯他的无限算术(Arithmetica Infinitorium，1655)一书，把不可分量法译成了数的语言，从而把几何方法算术化他把几何中的极限方法转移到数的世界，首次引入变量极限的概念，他说： “变量的极限这是变量所能如此逼近的一个常数，使得它们之间的差能够小于任何给定的量”他使无限的概念以解析形式出现在数学中，从而把有限算术变成无限算术，为微积分的确立准备了必要的条件牛顿便曾直接得益于无穷算术我们从下面的例子可以清楚地看出沃利斯的思想特点在求曲线yxn下的面积时，沃利斯不是直接去求，而是考虑该面积与横轴及过端点的纵线为边而成的矩形OABC(图116)之比，即把横轴从0到a分为m等分，则曲线y=xn下的面积近似为：0n+1n+2n+an，而与此相比较的矩形面积为an+an+an+an它们的比为当m时，上式的极限便是曲线下的面积与矩形面积之比沃利斯分别考虑了n1，2，3，4，5，6的情况当n2时，有任意给定的量”如果项数趋于无限，则这个差将“趋于消失”，因此即显然，沃利斯已经接近现代意义的定积分了二、微分方法的形成微分方法形成于对速度、切线和极值的研究关于切线的新观点是伽利略首先提出的， 他认为作斜抛运动的物体具有两个方向的速度水平速度PQ和垂直速度PR， 它们的合速度是以PQ和PR为边的平行四边形的对角线PC(图117)，它代表了物体在P点运动的方向，即运动轨迹在P点的切线在这一认识的基础上，伽利略的学生、意大利数学家托里切利(ETorricell i，16081647)对切线作了进一步的研究托里切利的方法可用现代数学语言叙述如下：设O是抛射体M的初始位置(图118)，M具有垂直下落的速度gt(g是重力加速度)及水平速度u，于是在瞬间t有可见动点M(即抛射体)的轨迹是抛物线由于垂直速度与水平速度之比为再应用相似三角形的性质， 可知M点的切线同抛物线对称轴的交点与顶点的距离为y所以，只要由o点向上量出y，就很容易作出M点的切线了不过这种方法只局限于力学范畴，不能适用于一般的曲线切线同托里切利相比，费马的方法就普遍多了在“求最大值和最小值的方法”(Methodus ad Disquirendam Maximamet Minimam， 1637)一文中，费马求切线的方法大致如下：设PT是曲线在P点的切线(图119)，PQTQ费马称TQ为次切线，只要知其长，便可确定T点，从而作出切线TP为确定TQ，设QQ1为TQ的微小增量，其长为E(相当于今天的x)TQPPRT1，费马认为，当E很小时，RT1同RP1几乎相等，因此有若改写成现在的符号，以f(x)代替QP，则上式变为这时， 费马先用E同除分子和分母， 然后再让E0， 便得到TQ的数值 显然，他的方法已接近微分了， 只是还未提炼出E0的极限概念 数学史家伊夫斯(HEves)称费马的工作是“微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作”在同一篇论文中，费马还用类似的方法处理了如下的极值问题：分一个量为两部分，使它们的乘积最大费马令B为给定的量，以A和BA表示所求的两部分他认为在E很小时，AE与A几乎相等，所以他写成A(B-A)(A-E)B-(AE)，即 2AE-BE-E2=0除以E后得2A-B-E=0令E=0，得2AB，这便是所求的划分从本质上来说，费马的方法等价于如果我们注意一下图119，就会发现一个含微小增量的三角形PRT1，它被莱布尼茨称为“微分三角形”，沿用至今帕斯卡认真研究了这种三角形在他的戴东维尔的某些几何发现的信件(Lettres de ADettonvillecontenant quelquesunes de ses inventions de gomtrie， 1659)中正确指出，当区间(即PR)很小时，“弧可以代替切线”，因此可由微分三角形来决定切线从微积分的观点来看，微分三角形即是由自变量增量 x与函数增量 y为直角边所组成十分重要的实际上，揭示微分三角形的实质就等于掌握微分概念 不过帕斯卡却忽视了微分三角形两边的商对于决定切线的重要性， 所以没有击中微积分的要害认识微分三角形两边之商对于决定切线的重要性的是英国的巴罗在几何讲义(Lectiones geometricae， 1670)一书中，巴罗叙述的方法大致如下：如图1110，欲求给定曲线上P点的切线，令Q为曲线上点P的邻点，则PTM与PQR接近于相似巴罗认为，当小三角形变得无限小时，则令QRe，RPa，若P的坐标是x和y，则Q的坐标是xe和y-a将这些值代入曲线方程，并略去e和a的二次以上的项，即可求出比值(x-e)3(ya)3=r3，即 x33x2e3xe2e3y33y2a+3ya2-a3=r3略去e和a的二次以上的项，得x33x2e+y33y2a=r3，即 3x2e3y2a几何与微积分的关系， 如果没有解析几何中的坐标观念和以方程表示曲线的理论，是不会产生微分概念的巴罗的贡献不仅在于微分， 还在于他首次认识到作切线与求积的互逆关系， 这说明他已对微积分基本定理有了局部的认识 他的这项成果反映在 几何讲义第十讲中为方便起见，设y轴和z轴方向相反，并设f(x)为增函数如图1111，以曲线yf(x)为一边的曲边梯形面积用zA(x)表示给定x轴上的一点D(x0，0)，设T是x轴上一点，使得巴罗断言：直线TF与曲线z=A(x)只在点F(x0，A(x0)相接触，即TF是z=A(x)的切线从微积分的观点看，这相当于由z标这显然与微积分基本定理相符不过，巴罗并没有用分析的方法定义斜率，也没有从理论上总结出微分与积分的互逆关系他只用如下方法证明了他的结论设x1x0，由I(x1，A(x1)作ILx轴，交TF于KLFLKDE但LFDFPIA(x0)A(x1)DPDE(考虑到f(x)是增函数)，LKDEDPDE，LKDP=LI即K在I的右边同理可证x1x0时K亦在I的右边， 所以直线TF与曲线A(x)只有一个接触点F显然，巴罗的思想完全是以几何面貌出现的，所以还不能看作微积分的真正创始综上所述，数学家们已经作了大量属于微积分范畴的工作但如果说他们已经发明微积分，那就不合适了因为微积分的产生需要三个不可或缺的条件：一是引入变化率的概念；二是建立具有普遍意义的微分和积分方法；三是确认微分与积分的互逆关系 但上述数学家的兴趣都在于今天说来应该算是微积分应用的那些方面作切线、求面积、求体积等等尽管在具体工作中一步步接近微积分，但谁也没有抽象出变化率这个微积分的基本概念，谁也没有建立起普遍适用的方法巴罗虽然在几何问题中注意到作切线与求积的互逆关系，但并没有从理论上概括出微积分基本定理至于其他数学家，则从未考虑过这种互逆关系实际上，数学中的重大突破总是与许多人的辛勤工作分不开的在此基础上需要一位杰出人物走那最后的，也是最关键的一步，这个人要能够从大量材料中清理出前人的有价值的思想，能够洞察问题的本质，给予理论上的概括和提高在微积分方面，这个人就是牛顿第二节第二节 牛顿的微积分牛顿的微积分一、牛顿传略一、牛顿传略1643年1月4日牛顿生于英国林肯郡的沃尔索普(Woolsthorpe)村， 父亲是一个农民，在牛顿出生前就死了虽然母亲也希望他务农，但幼年的牛顿却在做机械模型和实验上显示了他的爱好和才能例如，他做了一个玩具式的以老鼠为动力的磨和一架靠水推动的木钟14岁时，由于生活所迫，牛顿停学务农，以后在舅父的帮助下又入学读书1661年，不满19岁的牛顿考入剑桥大学的三一学院1665年初，他在毕业前夕发现了二项式定理，同年获文学学士学位， 并当了研究生 但不久便由于在伦敦流行鼠疫， 剑桥大学关闭，牛顿只好回农村居住在沃尔索普村的18个月里，牛顿发明了微积分，提出了万有引力定律，还研究了光的性质牛顿一生的重大成就大都发韧于这期间后来，他在追忆这段峥嵘的青春岁月时说： “当年我正值发明创造能力最强的年华，比以后任何时期更专心致志于数学和哲学(科学)”我们特别注意到，他于1666年10月写成的流数后人加的)是世界上第一篇微积分论文，它标志着这一学科的诞生虽然论文直到本世纪才公开发表，但当时有抄本流传，牛顿的不少朋友和同事都看到过1667年，瘟疫过去，牛顿又回到剑桥大学第二年，他制成世界上第一架反射望远镜由于他在科学上的出色成就，他的老师巴罗认为他的学识已超过自己，便于1669年10月主动把数学教授的职位让给他，于是牛顿开始了他三十年的大学教授生活他在1669年写成运用无穷多项方程的分析学(De Analysi perAequationes Numero Terminorum Infinitas，1711年发表)，又于1671年写成流数法和无穷级数(De Methodis Serierum et Fluxionum，1736年发表)这两篇论文同流数简论一起，奠定了微积分的理论基础1672年，他当选为皇家学会会员，并第一次发表论文，内容是关于白色光的组成， 引起广泛的兴趣和讨论1675年，他将关于光的粒子说的论文送交皇家学会1685年，他开始撰写自然哲学的数学原理(Philosophiae NaturalisPrincipia Mathematica)1687年，这部伟大著作刚刚写完，便由哈雷(EHalley，16561742)出资发表，立即对整个欧洲产生了巨大影响著名的牛顿力学三定律、万有引力定律及牛顿的微积分成果都载于此书它成为科学史上的一个里程碑1689年，牛顿代表剑桥大学进入议会不久，牛顿的母亲病重，他彻夜不眠地守着她， 但并没有能挽留母亲的生命 由于长简论 (The October 1666Tract on Fl uxions， 题目是期的紧张工作及母亲病逝的精神打击， 牛顿得了精神衰竭症，大约一年后才复原1693年，牛顿写成他的最后一部微积分专著曲线求积术(De Ouadratura Curvarum)1696年，牛顿被任命为造币厂督办，三年后当了厂长从1665年到1696年，牛顿纯粹是一个科学家，为科学事业做出了许多卓越贡献这以后的三十一年中，他一方面在官场服务，另一方面作为英国科学界的领袖而发挥作用1703年，牛顿开始担任皇家学会会长，1704年发表了他的名著光学(Opticks，曲线求积术作为光学的附录同时发表，获得巨大成功1705年被女皇封为爵士，得到了一生的最高荣誉但他的研究重心却逐渐由科学转移到神学，晚年写了大量关于神学的文字1727年3月31日，牛顿病逝于英国的肯辛顿纵观牛顿的一生，他在科学上的最重要成就有三个：发明微积分、建立经典力学体系、提出光的性质的理论其中任何一项成就都足以使他列入世界上的大科学家行列但牛顿并不认为自己发现了真理的海洋，他在逝世前不久给朋友写的信中说：“我不知道世人怎样看待我；但我自己觉得，我不过像在一个海滨玩耍的小孩，为时而拾到一片比寻常更为莹洁的卵石，时而拾到一片更为美丽的贝壳而雀跃欢欣，而对于我面前的真理的海洋，却茫然无知”二、流数简论流数简论表明，牛顿微积分的来源是运动学 1666年，他在坐标系中通过速度分量来研究切线，既促使了流数法的产生，又提供了它的几何应用的关键牛顿把曲线f(x，y)0看作动点的轨迹，动点的坐标x，y是时间的函数，而动点的水平速度分量和垂直速度和垂直速度为边的矩形对角线，所以曲线f(x，y)0的切线斜率所以牛顿便在后来称它们为流数，实际上就是x和y对t的导数：而它们的比就是y对x的导数布尼茨发明的，我们这里采用它们是为了叙述方便牛顿考虑的第一个问题是：给定x和y的关系f(x，y)0，求的次数令这些乘积的总和等于零这个方程就给出速度(流数)之间的关系若用子表示，则为它是牛顿用来计算流数之比(即求导)的基本法则实际上，这个式子牛顿是用“无穷小”概念和他一年前发明的二项式定理来证明(1)式的他认为，作非匀速运动的物体在无穷小时间间隔o中的运动情况同作匀速运动的物体在有限时间间隔中的情况相同，“因此，如果到某一时刻，它们已描绘的线段为x和y，那么到下一时刻所描绘的线段就是xxo和yyo” 牛顿用xxo和yyo代替f(x，y)0中的x和y，于是有按二项式展开并略去o的二次以上(含二次)的项，得除以o后便得到(1)式作为一个实例，可把yxn写成f(x，y)yxn的形式，由(1)式推出的代数式)他对这一问题的研究导致了微积分基本定理的发现，即：其中A表示曲线y=f(x)下的面积从流数简论可以看出，他是用如下方法推导这一重要定理的：设y表示曲线f(x)下的面积abc(图1113)，并把它看作垂平行移动，描绘出面积x和y，它们随时间而增加的速度是be和bc，”显然，be1而bc=f(x)因此，牛顿认为面积y随时间的变化率是这显然等价于(2)式，就是说函数曲线下的面积的变化率等于曲线的纵坐标 他把求积问题看作求变化率的逆过程， 即把y看作f(x)的积分(不定积分)牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆关系如果面积y在解决了基本的微积分问题后，牛顿又进一步提出变量代换法，它变量z1xn，其流数比为分，设zf(x)，得到这便是我们熟知的幂函数微分公式，它的现代形式为类似地，牛顿在积分中也采用了代换法，并在稍后的著作中总结出代换积分公式这个问题将在下面讨论流数简论 中， 牛顿还导出函数的积和商的微分法则 设y=u(x) v(x)，则由计算流数之比的基本法则得到至于函数和的微分，牛顿认为是显然的，没有作为公式列出由于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念，明确提出一般性的微积分算法，特别是提出微积分基本定理，所以说他“发明”了微积分不过，他当时只是观察到这一重要定理， 至于定理的证明则是在他的第二本微积分著作中才出现的三、运用无穷多项方程的分析学(下简称分析学)在这本书中，牛顿假定曲线下的面积为zaxm，其中m是有理数他把x的无穷小增量叫x的瞬，用o表示由曲线、x轴、y轴及xo处纵坐标所围成的面积用zoy表示(图11 14)， 其中oy是面积的瞬，于是有z+oya(xo)m根据二项式定理考虑到zaxm，并用o去除等式两边，得略去仍然含o的项，得xy=maxm-1这就是相应于面积z的纵坐标y的表达式，或者说是面积z在点的变化率线为y=maxm1；反之，若曲线是ymaxm1，则它下面的面积是z=axm在这里， 牛顿不仅给出了求变化率的普遍方法， 而且证明了微积分基本定理 从计算角度来说，他实际上给出了两个基本的求导和积分公式(用现代符号表出)(axm)maxm-1；在证明了面积的导数是y值，并断言逆过程是正确的以后，牛顿给出下面的法则：若y值是若干项的和，则面积是由每一项得到的面积的和，用现在的话来说，就是函数之和的积分等于各函数的积分的和：f1(x)+f2(x)+fn(x)dx=f1(x)dxf2(x)dx+fn(x)dx他对如下的积分性质也有明确认识：af(x)dx af(x)dx他利用上述知识得到各种曲线下的面积，解决了许多能表成和式的问题在此基础上，牛顿提出了利用无穷级数进行逐项积分的方法例如然后对这个无穷级数逐项积分，得他说，只要b是x的倍数，取最初几项就可以了y1-x2x4x6x8(1)yx-2x-4x-6-x-8 (2)他说，当x很小时，应该用(1)式，若x较大就必须用(2)式了可见他已意识到级数收敛和发散的区别，不过还没有提出收敛的概念同 流数简论 相比， 分析学 的另一项理论进展表现在定积分上 牛顿把曲线下的面积看作无穷多个面积为无限小的面积之和， 这种观念与现代是接近的为了求某一个区间的确定的面积即定积分，牛顿提出如下方法：先求出原函数，再将上下限分别代入原函数而取其差这就是著名的牛顿莱布尼茨公式，是他与莱布尼茨各自独立发明的若采用现代数学符号，该公式可表述为：若F(x)是f(x)在区间a，b中应用极广的定积分计算问题便转化为求原函数问题，所以它是十分重要的分析学中还有其他一些出色的成果，例如，书中给出求高次方程近似根的方法(即牛顿法)，导出正弦级数及余弦级数，等等到此为止，牛顿已经建立起比较系统的微积分理论及算法不过他在概念上仍有不清楚的地方 第一， 他的无穷小增量o是不是0？牛顿认为不是 既然这样，运算中为什么可以略去含o的项呢？牛顿没有给出合乎逻辑的论证第二，牛顿虽然提出变化率的概念，但没有提出一个普遍适用的定义，只是把它想象成“流动的”速度牛顿自己也认为，他的工作主要是建立有效的计算方法，而不是澄清概念，他对这些方法仅仅作了“简略的说明而不是准确的论证”牛顿的态度是实事求是的四、流数法和无穷级数四、流数法和无穷级数( (下简称流数法下简称流数法) )这是一部内容广泛的微积分专著，是牛顿在数学方面的代表作在前两部书的基础上，牛顿提出了更加完整的理论从书中可以看出，牛顿的流数概念已发展到成熟的阶段他把随时间变化的量，即以时间为自变量的函数称为流量，以字母表的后几个字母v，x，y，z来表示；把流量的变化速度，即变化率称为流数，以表保留，并且仍用o表示他在书中明确表述了他的流数法的理论依据，说： “流数法赖以建立的主要原理，乃是取自理论力学中的一个非常简单的原理，这就是：数学量，特别是外延量，都可以看成是由连续轨迹运动产生的；而且所有不管什么量，都可以认为是在同样方式下产生的”又说： “本人是靠另一个同样清楚的原理来解决这个问题的，这就是假定一个量可以无限分割，或者可以(至少在理论上说)使之连续减小，直至比任何一个指定的量都小”牛顿在这里提出的“连续”思想及使一个量小到“比任何一个指定的量都小”的思想是极其深刻的，他正是在这种思想的主导下解决了如下两类基本问题第一类：已知流量的关系求它们的流数之比，即已知yf(x)或例如书中的问题1：如果流量x和y之间的关系是x3ax2+axyy3=0，求它们的流数之比程中的x和y，得展开后利用x3ax2axyy30这一事实再把余下的项除以o，得至此牛顿说：“我们已假定o是无限微小，它可以代表流动量的瞬，所以与它相乘的诸项相对于其他诸项来说等于没有因此我把它们丢掉，而剩下从表面看，这种方法与流数简论中的方法一致所不同的是，数简论中求流数之比的基本法则也被牛顿赋予一般的意义例如，假定y=xn，牛顿首先建立然后用二项式定理展开右边，消去yxn，用o除两边，略去仍含o的项，结果得当然，在对具体函数微分时，不必采用无穷小而可直接代入公式第二类：已知一个含流数的方程，求流量，即积分(x)，则数简论中，牛顿在具体积分中已经采用了这种方法，只是到这时才明确总结出公式从简论及流数法两书来看，他推导此式的思路大致如下：由(2)，(3)得由微积分基本定理，得yf(u)du，牛顿在书中还推出分部积分公式，即uvdx=uv-vudx其中u和v都是x的函数若求uvdx有困难而求vudx 比较容易时， 就可利用分部积分公式求积分牛顿总结了他的积分研究成果，列成两个积分表，一个是“与直线图形有关的曲线一览表”，另一个是“与圆锥曲线有关的曲线一览表”这两个表为积分工作提供了许多方便至此，牛顿已建立起比较完整的微分和积分算法，他当时统称为流数法 他充分认识到这种方法的意义， 说流数法(即微积分)是一种 “普遍方法” ，它 “不仅可以用来画出任何曲线的切线而且还可以用来解决其他关于曲度、面积、曲线的长度、重心的各种深奥问题”流数法一书便充分体现了微积分的用途，下面略举几例例1，在“问题3极大值和极小值的确定”中，牛顿给出了通过解方程f(x)0来求f(x)极值的方法他写道：“当一个量取极大值或极小值时，它的流数既不增加也不减少，因为如果增加，就说明它的流数还是较小的，并且即将变大；反之，如果减少，则情况恰好相反所以求出它的流数，并且令这个流数等于0”他用这种方法解出了九个问题其中之一是求方程x3ax2axyy3=0中x的最大值他先求出x和y的流数之比，得即 3y2ax把上式代入原方程后，就很容易求得相应的x值和y值了例2，已知曲线方程为x3ax2axyy30，AB和BD分别为曲线上D点的横、纵坐标，求作过D点的切线(图1115)牛顿先求得流数之间的关系由此得出因BDy，所以牛顿说：“给定D点后，便可得出DB和AB，即y和x，BT的长度也就给定，由此可确定切线TD”例3， 在 “问题12曲线长度的确定” 中， 牛顿采用流数法计算弧长 设QR是给定曲线，RNMN，牛顿分别记MNsNRt，QRv(图1116)，它们的流数分别为s，t，v，然后“想象直线NR向右移动到最接近的可能位置nr，由R向nr引垂线RS，则MN，NR和QR分别增加RS，Sr和Rr”牛顿说：“因为RS，Sr和Rr相互之比是这些线段的流数之间的若换成现在通用的坐标x，y和弧长s，则牛顿的结果为只要对t积分，就可求出弧长s了综上所述，流数法不仅在基本思想上比分析学有了发展，而且提供了更加有效的计算方法 但牛顿的基本方法仍是弃去无穷小， 因而同 分析学一样出现逻辑困难他尝试建立没有无穷小的微积分，于是有曲线求积术(下简称求积术)之作五、牛顿的极限理论牛顿的四部微积分专著中，曲线求积术是最后写成(1693)但最早出版(1704)的一部在书中，导数概念已被引出，而且把考察对象由二个变量构成的方程转向关于一个变量的函数牛顿的流数演算已相当熟练和灵活了，他算出许多复杂图形的面积阿达玛(JHadamard，18651963)称赞说，该书“论述的有理函数积分法，几乎不亚于目前的水平”值得注意的是，在求积术中，牛顿认为没有必要把无穷小量引入微积分他在序言中明确指出： “数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的直线不是一部分一部分的连接，而是由点的连续运动画出的，因而是这样生成的；面是由线的运动，体是由面的运动，角是由边的旋转，时间段落是由连续的流动生成的”在这种思想指导下，他放弃了无穷小的概念，代之以最初比和最后比的新概念为了求函数y=xn的导数，牛顿让x“由流动”而成为xo，于是xn变为的最后比等于1比nxn1所以量x的流数与量xn的流数之比等于1比nxn-1”牛顿认为这个比即增量的最初比，可见最初比与最后比的实质是一样的，都表示y关于x的导数，或者说是y对于x的变化率用现在的符号可写成y=nxn-1牛顿还对他的最后比作出下面的几何解释： 如图11 17， 假定bc移向BC，使得c和C重合，那么增量CE、Ec、Cc的最后比等于CET的各边之比，即把这些增量看作初生量的最初比”他说， “只有点C与c完全重合了，直线CK才会与切线(CH)重合，而CE、Ec、Cc的最后比才能求出”显然，他是把切线CH当作割线CK的极限位置实际上，早在自然哲学的数学原理(下简称原理)一书中，牛顿就表述了明确的极限思想他说： “消失量的最后比严格地说并不是最后量的比，而是这些量无限减小时它们的比所趋近的极限它们与这个极限之差虽然可以比任何给定的差更小， 但这些量在无限缩小之前既不能超过也不能达到它”在这部最早发表的包含微积分成果的书(当然不是最早写成的)中，牛顿已经把微积分的大厦建筑在极限的基础之上，他用极限观点解释了微积分中的许多概念例如，他认为表示定积分的曲边图形与“消失的平行四边形的终极和”相重合牛顿指出，当这些平行四边形(相当于今天讲定积分几何意义时的长条矩形)的最大宽度无限减小时，就成为“消失的平行四边形”，而曲边图形就是所有这些消失图形的终极和了牛顿在原理中阐发的极限思想，成为他撰写求积术的理论基础当然，他还没有提出如同我们现在使用的严格的极限定义第三节第三节 莱布尼茨的微积分莱布尼茨的微积分一、莱布尼茨传略一、莱布尼茨传略1646年7月1日，莱布尼茨生于德国的莱比锡(Leipzig)父亲是莱比锡大学的哲学教授，在他六岁时便去世了，留给他的是十分丰富的藏书1661年，莱布尼茨进入莱比锡大学学习法律，1663年获学士学位，同年转入耶拿(Jena)大学他在耶拿大学一边学哲学，一边在魏格尔(EWeigel )指导下系统学习了欧氏几何魏格尔使他开始确信毕达哥拉斯柏拉图宇宙观：宇宙是一个由数学和逻辑原则所统率的和谐的整体1664年，他获得哲学硕士学位，三年后又获得法学博士学位二十一岁的莱布尼茨被一位男爵推荐给美因茨(Mainz)选帝侯逊勃伦(VonSch nborn)，从此登上了政治舞台，开始在美因茨宫廷任职1672年，莱布尼茨作为外交官出使巴黎，结识了许多科学家，包括从荷兰去的惠更斯(CHuygens，16291695)在惠更斯等人的影响下，他对自然科学特别是数学产生了浓厚的兴趣， 真正开始了他的学术生涯 1673年初，他又出使伦敦，结识了胡克(RHooke，16351703)、波义耳(RBoyle，16271691)等人，3月回到巴黎，4月即被推荐为英国皇家学会的外籍会员莱布尼茨滞留巴黎的四年时间，是他在数学方面的发明创造的黄金时代在这期间，他研究了费马、帕斯卡、笛卡儿和巴罗等人的数学著作，写了大约100页的数学笔记这些笔记虽不系统，且没有公开发表，但其中却包含着莱布尼茨的微积分思想、 方法和符号， 是他发明微积分的标志，他还于1674年发明了能作四则运算的手摇计算机1676年，莱布尼茨返回德国在此后的四十年中，他一直担任汉诺威(Hanover)公爵弗里德里希(Johann Friedrich)的枢密顾问和图书馆长，汉诺威成了他的永久居住地1682年，他与门克(OMencke，？1707)创办了拉丁文杂志博学学报(Acta Eruditorum)1684年，他在该杂志上首次发表了微积分论文对有理量和无理量都适用的，求极大值和极小值以及切线的新方法，一种值得注意的演算(Nova Methodus Pro Maximis et Minimis，Itemepue Tangeutibus，quae nec fractas nec irrationales quantita-tes Moratur，et singulare)(下简称新方法)，这是他在微积分方面的代表作从17世纪九十年代起，莱布尼茨就热心从事于科学院的筹划和建设1700年，他终于促成柏林科学院成立，并出任第一任院长同年被选为法国科学院的外籍院士他还建议成立彼得堡科学院和维也纳科学院，这些建设都被采纳了他的科学远见和组织才能，有力地推动了欧洲科学的发展他甚至写信给中国的康熙皇帝，建议成立科学院除了数学以外，莱布尼茨在哲学、法学、历史学、逻辑学、力学、光学等方面也都做出了卓越贡献1716年11月14日，莱布尼茨平静地离开人世，享年70岁二、数学笔记从莱布尼茨的数学笔记可以看出，他的微积分思想来源于对和、差可逆性的研究实际上，这一问题可追溯到他于1666年发表的论文论组合的艺术(De Art Combinatoria)他在这篇文章中对数列问题进行了研究，例如，他给出自然数的平方数列0，1，4，9，16，25，36，(1)又给出它的一阶差序列1，3，5，7，9，11， (2)及二阶差序列2，2，2，2，2， (3)莱布尼茨注意到如下几个事实： 自然数列的二阶差消失而平方序列的三阶差消失；如果原数列从0开始，则一阶差的和等于原数列的最后一项；数列(2)中每项是(1)中相邻两项之差而(1)中每项是(2)中左边各项之和这些事实对他后来发明微积分是有启发的1673年初，莱布尼茨已经熟悉了费马、巴罗等人的数学著作，他本人对切线问题及求积问题也有了某些研究他在惠更斯的劝告下，开始攻读帕斯卡的著作他发现在帕斯卡三角形(见下表)中，任何元素是上面一行左边各项之和，也是下面一行相邻两项之差他立即同自己在1666年的工作联系起来，洞察到这种和与差之间的互逆性，正和依赖于坐标之差的切线问题及依赖于坐标之和的求积问题的互逆性相一致所不同的只是，帕斯卡三角形和平方序列中的两元素之差是有限值，而曲线的纵坐标之差则是无穷小量当然， 要把一个数列的求和运算与求差运算的互逆关系同微积分联系起来，必须把数列看作函数的y值，而把任何两项的差看作两个y值的差莱布尼茨正是这样做的，他用x表示数列的项数而y表示这一项的值，用dx表示数列的相邻项的序数差而用dy表示相邻项的值的差这时，dx显然为1借助于数学直观， 莱布尼茨把在有限序列表现出来的和与差之间的可逆关系表示成y=dg，符号表示和例如，在莱布尼茨的平方序列中，若x4，则y(94)(4-1)(1-0)莱布尼茨进一步用dx表示一般函数的相邻自变量的差， 用dy表示相邻函数值的差， 发者说表示曲线上相邻两点的纵坐标之差 于是，dy便表示所有这些差的和这说明莱布尼茨已经把求和问题与积分联系起来了图11 18清楚地说明了y=dy的几何含义， 该图出现在莱布尼茨的1673年笔记中不过他在当时还未发明dx，dy和等符号，图中的l相当于dy，至于dx和，他当时写作a和omn(即拉丁文omnia的头三个字母)在yx的条件下，莱布尼茨得到omnl=y(即dy=y)若以omnl表示首项为0的序列的一阶差的和，则上式给出序列的最到1675年10月，莱布尼茨已经推导出分部积分公式，即xdy=xy-ydx10月29日的笔记中，他以原来的符号(即omn，l 等)记录了这一公式，但他接着便改用符号(sum的头一个字母s的变形)代替了omn他明确指出：“意味着和，d意味着差”11月11日，他开始采用dx表示两个相邻x值的差，用dy表示相邻y值的差，即曲线上相邻两点的纵坐标之差，莱布尼茨称其为“微差”从此，他一直采用符号和dx，dy来表示积分与微分(微差)由于这些符号十分简明，逐渐流行于世界，沿用至今莱布尼茨深刻认识到同d的互逆关