离散型随机变量的分布列、均值与方差.pdf

离散型随机变量的分布列、均值与方差1离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为XP(1)分布列的性质pi0，i1,2,3，n.pi1i1nx1p1x2p2xipixnpn(2)均值称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望， 它反映了离散型随机变量取值的平均水平(3)方差称 D(X)=(xi E(X)2)Pi为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值 E(X)的平均偏i1n离程度，其算术平方根 DX为随机变量 X 的标准差2均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b 为常数)3判断下列结论的正误(正确的打“”错误的打“”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度， 方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小()(3)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于 1.()(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的()(5)期望值就是算术平均数，与概率无关()(6)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量()(7)在篮球比赛中，罚球命中 1 次得 1 分，不中得 0 分如果某运动员罚球命中的概率为 0.7，那么他罚球 1 次的得分 X 的均值是 0.7.()(8)在一组数中，如果每个数都增加 a，则平均数也增加 a.()(9)在一组数中，如果每个数都增加 a，则方差增加 a2.()(10)如果每个数都变为原来的 a 倍，则其平均数是原来的 a 倍，方差是原来的 a2倍()考点一离散型随机变量的分布列及性质命题点例 1(1)设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为XP则 q 等于()222A1B12C12D1212q0，q20，解析：由分布列的性质知1212qq 1，2答案：C(2)设离散型随机变量 X 的分布列为XP求：2X1 的分布列；|X1|的分布列解：由分布列的性质知：020.10.10.3m1，m0.3.首先列表为X2X1|X1|从而由上表得两个分布列为01113025137249300.210.120.130.34m112012q1q21.写随机变量的分布列2.求随机变量分布列的参数2q12.2X1 的分布列为2X1P|X1|的分布列为|X1|P00.110.320.330.310.230.150.170.390.3方法引航1利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.2求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.1随机变量的分布列为：P1a0b1c1其中 a，b，c 成等差数列，若 E()3，则 D()_.解析：由 a，b，c 成等差数列及分布列性质得，abc1，2bac，1ac3，111解得 b3，a6，c2.1115111D()6(1 )23(0 )22(1 )29.3335答案：92在本例(2)条件下，求 X2的分布列解：X2的分布列为XX2P考点二离散型随机变量的均值与方差000.2110.1240.1390.34160.3命题点1.求离散型随机变量的均值与方差2.利用均值方差安排工作例 2(1)(2017湖南益阳调研)某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测检测得分低于80 的为不合格品，只能报废回收；得分不低于 80 的为合格品，可以出厂，现随机抽取这两种产品各 60 件进行检测，检测结果统计如下：得分甲种产品的件数乙种产品的件数510341160,70)70,80)80,90)90,100812319试分别估计甲，乙两种产品下生产线时为合格品的概率；生产一件甲种产品，若是合格品可盈利100 元，若是不合格品则亏损20 元；生产一件乙种产品，若是合格品可盈利 90 元，若是不合格品则亏损 15 元，在的前提下：a记 X 为生产 1 件甲种产品和 1 件乙种产品所获得的总利润，求随机变量 X 的分布列和数学期望；b求生产 5 件乙种产品所获得的利润不少于 300 元的概率453402解：甲种产品为合格品的概率约为604，乙种产品为合格品的概率约为603.a.随机变量 X 的所有取值为 190,85,70，35，321311121111且 P(X190)432，P(X85)434，P(X70)436，P(X35)4312.所以随机变量 X 的分布列为XP190857035所以 E(X)24612125.b设生产的 5 件乙种产品中合格品有 n 件，则不合格品有(5n)件，25依题意得，90n15(5n)300，解得 n7，取 n4 或 n5，设“生产 5 件乙种产品所获得的利润不少于 300 元”为事件 A，19012851470163511224125112则 P(A)C4( )243.5( )333(2)(2016高考全国乙卷)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数求 X 的分布列；若要求 P(Xn)0.5，确定 n 的最小值；以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n19 与 n20 之中选其一，应选用哪个？解：由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11的概率分别为 0.2，0.4,0.2,0.2.从而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以 X 的分布列为XP160.04170.16180.24190.24200.2210.08220.04由知 P(X18)0.44，P(X19)0.68，故 n 的最小值为 19.记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当 n19 时，E(Y) 192000.68 (19200 500)0.2 (19200 2500)0.08 (19200 3500)0.044 040.当n20时， E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.可知当 n19 时所需费用的期望值小于当 n20 时所需费用的期望值，故应选 n19.方法引航1已知随机变量的分布列求它的均值、 方差和标准差， 可直接按定义公式求解；2已知随机变量 的均值、方差，求 的线性函数 ab 的均值、方差和标准差，可直接用 的均值、方差的性质求解；3由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：日销售量(件)频数01152935试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)， 设某天开始营业时有该商品 3 件， 当天营业结束后检查存货，若发现存量少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率(1)求当天商店不进货的概率；(2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列15解： (1)P(当天商店不进货)P(当天商品销售量为0件)P(当天商品销售量为1件)2020310.(2)由题意知，X 的可能取值为 2,3.51P(X2)P(当天商品销售量为 1 件)204；P(X3)P(当天商品销售量为 0 件)P(当天商品销售量为 2 件)P(当天商品销售量为 3 件)19532020204.所以 X 的分布列为XP214334考点三与二项分布有关的均值与方差命题点1.利用公式求概率2.求二项分布的均值与方差例 3(1)若 XB(n，p)，且 E(X)6，D(X)3，则 P(X1)的值为()A322B24C3210D2811111解析：E(X)np6，D(X)np(1p)3，p2，n12，则 P(X1)C132( )122210.答案：C(2)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B，系统 A 和系统 B 在任意时1刻发生故障的概率分别为10和 p.49若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为50，求 p 的值；设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ，求 的分布列及均值E()解：设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C，那么1P( C )1由题意，得P(0)(12713111)1 000，P(1)C3(1)()21 000，1010 102437291211)101 000，P(3)(1)31 000.10101491p，解得 p .105052P(2)C3(1所以，随机变量 的分布列为P故随机变量 的均值12724372927E()01 00011 00021 00031 00010.(或B(3,9279)，E()3.)101010011 0001271 00022431 00037291 000方法引航如果 Bn，p，可直接按公式 Enp，Dnp1p求解.假设某班级教室共有 4 扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被并闭，且概率均为 0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为 X.(1)求 X 的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变记每天上午第三节课上课时刻教室里敞开的窗户个数为 Y，求 Y 的数学期望解：(1)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，XB(4,0.5)，1411411430( )1( )2( )P(X0)C4216，P(X1)C424，P(X2)C428，( )P(X3)C3421414114( )4，P(X4)C4216，X 的分布列为XP011611423831441161(2)Y 的所有可能取值为 3,4，则 P(Y3)P(X3)4，31315P(Y4)1P(Y3)4，Y 的数学期望 E(Y)34444.规范答题求离散型随机变量的期望与方差典例(2017山东青岛诊断)为了分流地铁高峰的压力， 某市发改委通过听众会， 决定实施低峰优惠票价制度不超过 22 公里的地铁票价如下表：乘坐里程 x (单位：km)票价(单位：元)0 x66x1212x22345现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22 公里已知甲、乙乘车不超过6 公里的概1111率分别为4，3，甲、乙乘车超过 6 公里且不超过 12 公里的概率分别为2，3.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望11规范解答(1)由题意可知，甲、乙乘车超过 12 公里且不超过 22 公里的概率分别为4，3.2分1111111则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率 P14323433.3 分12所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率 P1P1133.4 分111(2)由题意可知，6,7,8,9,10.且 P(6)4312，111111111111P(7)43234.P(8)4343233.11111111P(9)23434.P(10)4312，10 分所以 的分布列为P61127148139141011211111则 E()61274839410128.12 分规范建议1.分清各事件间的关系：独立事件、互斥事件、对立事件2求随机变量的分布列，先把随机变量所有可能值列举出来，逐个求对应的概率3利用期望公式求期望值高考真题体验1(2016高考四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是_31解析： 同时抛掷两枚质地均匀的硬币， 至少有一枚硬币正面向上的概率为 1( )24， 且 X2333B(2, )，均值是 242.43答案：22(2015高考广东卷)已知随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)若 E(X)30，D(X)20，则 p_.1解析：因为 XB(n，p)，所以 E(X)np30，D(X)np(1p)20，解得 n90，p3.1答案：33(2016高考全国甲卷)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数保费00.85a1a21.25a31.5a41.75a52a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数概率00.3010.1520.2030.2040.1050.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值解：(1)设 A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于 1，故 P(A)0.20.20.10.050.55.(2)设 B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%”，则事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 3，故 P(B)0.10.050.15.又 P(AB)P(B)，故 P(B|A)3因此所求概率为11.(3)记续保人本年度的保费为 X 元，则 X 的分布列为XP0.85a0.30a0.151.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.05PABPB0.153.PAPA0.5511E(X)0.85a0.30a0.151.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.051.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23.4(2013高考课标全国卷)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以 X(单位：t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量， T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将 T 表示为 X 的函数；(2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X100,110)，则取X105，且X105 的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求 T 的数学期望解：(1)当 X100,130)时，T500X300(130X)800X39 000，当 X130,150时，T50013065 000.800X39 000，100X130，所以 T65 000，130X150.(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120X150.由直方图知需求量 X120,150的频率为 0.7，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000元的概率的估计值为 0.7.(3)依题意可得 T 的分布列为TP45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.4所以 E(T)45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.课时规范训练课时规范训练A 组基础演练11设随机变量 的分布列为 P(k)5(k2,4,6,8,10)，则 D()等于()A5B8C10D161解析：选 B.E()5(246810)6，1D()5(4)2(2)20222428.2已知某一随机变量 X 的分布列如下，且 E(X)6.3，则 a 的值为()XP40.5a0.19bA.5B6C7D8解析：选 C.由分布列性质知：0.50.1b1，b0.4.E(X)40.5a0.190.46.3，a7.3某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为()A100B200C300D400解析：选 B.记“不发芽的种子数为 ”，则 B(1 000,0.1)，所以 E()1 0000.1100，而 X2，故 E(X)E(2)2E()200.4 如图， 将一个各面都涂了油漆的正方体， 切割为 125 个同样大小的小正方体， 经过混合后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为 X，则 X 的均值 E(X)等于()A.12661687B.C.D.12551255解析：选 B.125 个小正方体中 8 个三面涂漆，36 个两面涂漆，54 个一面涂漆，27 个没有涂漆，543681506从中随机取一个正方体，涂漆面数 X 的均值 E(X)1251125212531255.5一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为 0.6，现有 4 颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目 X 的期望值为()A2.44B3.376C2.376D2.4解析：选 C.X 的所有可能取值为 3,2,1,0，其分布列为XP30.620.2410.09600.064E(X)30.620.2410.09600.0642.376.6已知随机变量 的分布列为 P(k)，k1,2,3，n，则 P(25)_.2k111117解析：P(25)P(3)P(4)P(5)481616.7答案：167有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，有放回地任取 3 件，若 X 表示取到次品的件数，则 D(X)_.11911解析：由题意知取到次品的概率为4，XB(3, )，D(X)34(1)16.449答案：168随机变量 的分布列如下：P1a0b1c其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|1)_，公差 d 的取值范围是_1解析：因为 a，b，c 成等差数列，所以2bac.又 abc1，所以 b .所以 P(|1)a3211121211c3.又 a3d， c3d， 根据分布列的性质， 得 03d3， 03d3， 所以3d3，此即公差 d 的取值范围21 1答案：3, 3 39一次考试共有 12 道选择题，每道选择题都有 4 个选项，其中有且只有一个是正确的评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得 5 分，不答或答错得零分”某考生已确定有 8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜请求出该考生：(1)得 60 分的概率；(2)所得分数 的分布列和数学期望解：(1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件 A，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件 B，“有一道题不理解题意”选对为事件 C，11111111P(A)2，P(B)3，P(C)4，得 60 分的概率为 P223448.(2) 可能的取值为 40,45,50,55,60.11231P(40)22348；111231113112117P(45)C2 ；2234223422344811231111311121111117P(50)2234C22234C22234223448；71111111211113P(55)C222342234223448；11111P(60)223448. 的分布列为P()401845174850174855748601481171771575E()40 45505560.8484848481210随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受到市民重视，为此某市建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡借车，初次办卡时卡内预先赠送 20 分，当诚信积分为0 时，借车卡将自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以 1 元购 1 个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分收费，具体扣分标准如下：租用时间不超过 1 小时，免费；租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时，扣 1 分；租用时间为 2 小时以上且不超过 3 小时，扣 2 分；租用时间超过 3 小时，按每小时扣 2 分收费(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过 3 小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是 0.5 和 0.6；租用时间为1 小时以上且不超过 2 小时的概率分别是 0.4 和 0.2.(1)求甲、乙两人所扣积分相同的概率；(2)设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望解：(1)设甲、乙所扣积分分别为 x1，x2，由题意可知，P(x10)0.5，P(x11)0.4，P(x12)10.50.40.1，P(x20)0.6，P(x21)0.2，P(x22)10.60.20.2，所以 P(x1x2)P(x1x20)P(x1x21)P(x1x22)0.50.60.40.20.10.20.4.(2)由题意得，变量 的所有取值为 0,1,2,3,4.P(0)0.50.60.3，P(1)0.50.20.60.40.34，P(2)0.50.20.60.10.40.20.24，P(3)0.40.20.20.10.1，P(4)0.10.20.02，所以 的分布列为P00.310.3420.2430.140.02E()00.310.3420.2430.140.021.2.B 组能力突破12311已知 X 的分布列则在下列式子中E(X)3；D(X)27；P(X0)3，正确的个数是()XP112013116A0B1C2D31111解析：选 C.由 E(X)(1)203163，故正确1115111由 D(X)(1 )22(0 )23(1 )269，知不正确由分布列知正确3332已知 的分布列如下表，若 22，则 D()的值为()P151020A.3B.9C.9D.91111解析：选 D.E()1203163，1120131161211211215D()(1 )2(0 )3(1 )6933320D()D(22)4D()9，故选 D.3已知随机变量 X8，若 XB(10,0.6)，则 E()和 D()分别是()A6 和 2.4B2 和 2.4C2 和 5.6 D6 和 5.6解析：选 B.由已知随机变量 X8，所以 8X.因此，E()8E(X)8100.62，D()(1)2D(X)100.60.42.4.4两封信随机投入 A，B，C 三个空邮箱，则 A 邮箱的信件数 的数学期望 E()_.解析：两封信投入 A，B，C 三个空邮箱，投法种数是 329，A 中没有信的投法种数是 2244，概率为9，4A 中仅有一封信的投法种数是 C124，概率为29，1A 中有两封信的投法种数是 1，概率为 ，94412故 A 邮箱的信件数 的数学期望是9091923.2答案：35 李先生家在 H 小区， 他在 C 科技园区工作， 从家开车到公司上班有 L1， L2两条路线(如图)，1路线 L1上有 A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为2；路线 L2上有 B1，B2两个33路口，各路口遇到红灯的概率依次为4，5.(1)若走路线 L1，求最多遇到 1 次红灯的概率；(2)若走路线 L2，求遇到红灯次数 X 的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由解：(1)设“走路线 L1最多遇到 1 次红灯”为事件 A，1212111( )( ) .则 P(A)C0C 3322221所以走路线 L1最多遇到 1 次红灯的概率为2.(2)依题意，知 X 的可能取值为 0,1,2.133P(X0)(1)(1 )10.4533933P(X1)4(1 )(1)520，54339P(X2)4520.随机变量 X 的分布列为XP19927所以 E(X)10020120220.1(3)设选择路线 L1遇到红灯的次数为 Y，随机变量 Y 服从二项分布，即 YB(3, )，所以 E(Y)201101920292013322.因为 E(X)E(Y)，所以选择路线 L2上班更好