32简单的三角恒等变换.ppt
茂名市一中茂名市一中 高一数学工作室高一数学工作室3.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 和（差）三角函数公式、倍角公式是什么？和（差）三角函数公式、倍角公式是什么？sincostansincoscossincoscossinsintantan1tantan 知识回顾知识回顾: 知识回顾知识回顾:倍角公式倍角公式 2sin cossin2 2cos 22sincos 2tan 2tan1tan2 1cos22 2sin21 引申：公式变形：引申：公式变形：2)cos(sin2sin1 2cos22cos1 2sin22cos1 22cos1cos2 22cos1sin2 升幂降角公式升幂降角公式降幂升角公式降幂升角公式1cos20 cos40 cos60 cos80（ ）2sin10 sin30 sin50 sin70（ ）116答案：化简：11sin(2)cos cos2 cos4cos22sinnnn练习练习总结三角函数的积化和差三角函数的积化和差与和差化积与和差化积 sin)sin coscos sin(sin)sin coscos sin(cos)coscossinsin(cos)cos cossin sin(考察公式：考察公式：(1)(2)(3)(4)将将(1)、(2)两个式子相加减得到两个式子相加减得到1coscoscos()cos()21sinsincos()cos()2 将将(3)、(4)两个式子相加减得到两个式子相加减得到1sincossin()sin()21cossinsin()sin()2从上面四个式子又可以得到从上面四个式子又可以得到sin()sin()2sincossin()sin()2cossincos()cos()2coscoscos()cos()2sinsin 设设, xy则则,2xy2xy这样这样sin()sin()2sincos可以写成可以写成sinsin2sincos22xyxyxy同样可以得到其余三个式子同样可以得到其余三个式子sinsin2sincos22xyxyxysinsin2cossin22xyxyxycoscos2coscos22xyxyxycoscos2sinsin22xyxyxy 例例1把下列各积化成和差的形式。把下列各积化成和差的形式。（1）（2）2sin64 cos10sin84 cos132解解:(1)2sin64 cos10sin74sin54(2)sin84 cos132cos132 sin841(sin226sin48 )2例例2. 把把 下列各式化为积的形式下列各式化为积的形式.（1）（2） cos3cos解解:(1)cos3cos332coscos222cos2 cossin5sin3xxsin5sin3xx2cos4 sinxx53532cossin22xxxx(2)例例3. 已知已知A+B+C=180, 求证：求证：sinsinsinABC4coscoscos222ABC证明：因为证明：因为A+B+C=180, 所以所以C=180(A+B),9022CABsinA+sinB+sinC2sincossin()22ABABAB2sin(coscos)222ABABAB2sin2coscos222ABAB2cos2coscos222CAB4coscoscos222ABC2sincos2sincos2222ABABABAB半角公式半角公式从左到右升角降幂从左到右升角降幂从右到左降角升幂从右到左降角升幂21 cossin,2221 coscos,2221 costan.21 cos1 cossin,22 1 coscos,22 1 costan.21 cos 半角公式半角公式号决符符由由所所在在象象限限定定. .2 221 cossin,2221 coscos,2221 costan.21 cos?2tan2cos2sincos、，如何求已知1 cossin22 1 coscos22 1 cossin1 costan21 cos1 cossin 半角公式：半角公式：sin2 cos22cos2 cos22sin2tan2cos2sin1 cos 练习练习2cos12cos1, 3tan4.tantan,53)cos(,51)cos(3sin22cos12.7cos,14cos12求、已知的值求、已知、化简的式子表示试用含、若mm21m221922222tan2sin1tan21tan2cos1tan22tan2tan1tan2万万能能公公式式10,sincostan5xxxx例4：且，求0,tantan0,2222xxxtt解：，存在，设，51111251cossin222ttttxx则02532tt舍或312tt224tan13txt sin0,2cosxxyx例5：，求的最大值0,0,tan222tan0,2xxxxtt解：，则，存在令，则22223211212cos2sinttttttxxy则tt32323tt33322y则3332323大时，即，则yxxtgt2222111xxxRyxx例6：，求函数的最大值tan2 2xRx 解：，令，2222tan1tan 1tan1tany则2cos2sin42sin2454342， 2tan21428x则时，即时，max2y课堂小结课堂小结23( )|2f xa bb (1)22235 3sin cos2cos4cossin2xxxxx255 3sin cos5cos2xxx5 31 cos25sin25222xx 5sin(2)56x62x72266x1sin(2)126x5,( ) ,10.622xf x时 函数的值域为3( )5sin(2)58,sin(2)665f xxx则7, 262266xx4 cos(2),65x ()12f x5sin25.x5sin(2)566x3 372三角解题常规三角解题常规宏观思路宏观思路分析差异分析差异寻找联系寻找联系促进转化促进转化指角的、函数的、运算的差异指角的、函数的、运算的差异利用有关公式，建立差异间关系利用有关公式，建立差异间关系活用公式，差异转化，矛盾统一活用公式，差异转化，矛盾统一小结小结:1、以变角为主线，注意配凑和转化；、以变角为主线，注意配凑和转化；2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；、见切割，想化弦；个别情况弦化切；3、见和差，想化积；见乘积，化和差；、见和差，想化积；见乘积，化和差；4、见分式，想通分，使分母最简；、见分式，想通分，使分母最简；5、见平方想降幂，见、见平方想降幂，见“1cos”想升幂；想升幂；6、见、见sin2，想拆成，想拆成2sincos；7、见、见sincos或或想两边平方想两边平方8、见、见a sin+b cos，想化为，想化为22sin()ab 形式9、见、见coscoscos，先，先运用运用sin22sincos 若不行，则化和差若不行，则化和差微观直觉微观直觉10、见见cos+cos(+)+cos(+2 )， 想乘想乘 2 sin22 sin2sin+sin=pcos+cos=q( )cos(2)2sin()sin()344f xxxx( )f x( )f x,12 21.已知函数已知函数()求函数求函数的最小正周期和图象的对称轴方程的最小正周期和图象的对称轴方程在区间在区间上的值域上的值域()求函数高考题再现高考题再现2008安徽卷安徽卷 解解:(1) ( )cos(2)2sin()sin()344f xxxx13cos2sin22sin()cos()2244xxxx13cos2sin2cos222xxx13cos2sin2sin(2)222xxxsin(2)6x2T2周期2(),()6223kxkkZxkZ得()3xkkZ函数图象的对称轴方程为函数图象的对称轴方程为由由5,2,12 2636xx 31()()12222ff ，( )f x,12 23,12所以所以 函数函数 在区间在区间上的值域为上的值域为( )sin(2)6f xx,12 3在区间在区间上单调递增，上单调递增，,3 2 在区间在区间上单调递减，上单调递减，3x( )f x时，时，取最大值取最大值1 1又又12x ( )f x32时，时，取最小值取最小值当当(2)Rxxxxf),2sin(sin)()(xf)(xf43)(f2sin2.已知函数已知函数（）求）求的最小正周期；的最小正周期；的最大值和最小值；的最大值和最小值；，求，求的值的值.（）求）求（）若）若2007广东卷广东卷 ( )sinsin()2f xxx1672sin2解：解：)(xf212T（）的最小正周期为的最小正周期为)(xf22（）的最大值为的最大值为和最小值和最小值43)(f（）因为）因为，即即 3sincos4即即72sincos16 sincos2sin()4xxx（）求实数）求实数m 的值；的值；（）求函数）求函数f(x)的最小值及此时的最小值及此时x 的值的集合的值的集合.3. 设函数设函数 ,其中向量其中向量a=(m,cos2x), b=(1+sin2x,1),xR,且函数且函数y=f(x)的图象经过点的图象经过点(,2)4( )f xa b ( )(1sin2 )cos2f xa bmxx ( )(1 sin)cos2422fm1m ( )1 sin2cos2f xxx 3 |8x xkkZ，3解：解：()由已知由已知得得()由由()得得sin(2)14x ( )f x12当当时，时，的最小值为的最小值为sin(2)14x x由由，得，得值的集合为值的集合为12sin(2)4x ，22。（。（1）若）若 ，求，求absin ,1a1,cosb4.已知向量已知向量,（2）求）求的最大值。的最大值。|abtan1 ()22 4sin1,1cosab22|sin11cosab。得得，32 2sin()4sin()14所以所以，当，当时，时，|ab4取得最大值，即当取得最大值，即当时，时，|ab12 的最大值为的最大值为0cossin4解：解：(1)若若 ，则，则ab(2)由由，得，得sin ,1a1,cosb,32 sincos
