2007725第一讲不等式和绝对值不等式(一).ppt

思考一思考一重要不等重要不等式的应用式的应用举例举例引入引入重要不等重要不等式的推广式的推广练习练习 下面我们来系统且更进一步地认识不等式，从下面我们来系统且更进一步地认识不等式，从而进一步提高分析问题、处理问题的能力。而进一步提高分析问题、处理问题的能力。 这一结论虽很简单这一结论虽很简单, ,却是我们推导或证明不等式的基础却是我们推导或证明不等式的基础. .不等式的基本性质不等式的基本性质基本不等式基本不等式 解不等式的过程就是对不等式进行一系列解不等式的过程就是对不等式进行一系列同解同解变形变形的过程，同解的过程，同解变形的依据是什么？变形的依据是什么？ 证明不等式的最基本的思考是证明不等式的最基本的思考是分析法分析法很多很多时候就是对时候就是对要证的不等式进行变形转化。要证的不等式进行变形转化。基本不等式基本不等式2222如果a，bR，那么a +b 2ab，如果a，bR，那么a +b 2ab， 当且仅当a = b时等 当且仅当a = b时等定理1：定理1：号成立。号成立。aabbb几何解释几何解释几何平均数几何平均数 (a 、b 的的)算术平均数算术平均数(a 、b 的的)（基本不等式）（基本不等式）a+ba+b 如果a，b0，那么ab， 如果a，b0，那么ab，2 2 当且仅当a = b时等 当且仅当a = b时等定理2：定理2：号成立。号成立。算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数几何解释几何解释OabDabACB 可以用来求最值可以用来求最值( (积定和小积定和小，和定积大和定积大) 例例3答案答案例例4注：一正、二定、三等。注：一正、二定、三等。例例 3求证求证:(1)在所有周长相同的矩形中在所有周长相同的矩形中,正方正方 -形的面积最大形的面积最大; (2)在所有面积相同的矩形中在所有面积相同的矩形中,正方正方 -形的周长最短形的周长最短.例例 3求证求证:(1)在所有周长相同的矩形中在所有周长相同的矩形中,正方正方 -形的面积最大形的面积最大; (2)在所有面积相同的矩形中在所有面积相同的矩形中,正方正方 -形的周长最短形的周长最短.xyS周长周长L=2x+2y设矩形周长为设矩形周长为L,面积为面积为S,一边长为一边长为x,一边长为一边长为y,例例4: 某某居民小区要建一做八边形的休闲场所居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体它的主体造型平面图是由两个相同的矩形造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和和EFGH构成的构成的面积为面积为200平方米的十字型地域平方米的十字型地域.计划在正方形计划在正方形MNPQ上上建一座花坛建一座花坛,造价为每平方米造价为每平方米4300元元,在四个相同的矩形在四个相同的矩形上上(图中阴影部分图中阴影部分)铺花岗岩地坪铺花岗岩地坪,造价没平方米造价没平方米210元元,再再在四个空角在四个空角(图中四个三角形图中四个三角形)上铺草坪上铺草坪,每平方米造价每平方米造价80元元. (1)设总造价为设总造价为S元元,AD长长 x 为米为米,试建立试建立S关于关于x的函数的函数关系式关系式; (2)当为何值时当为何值时S最小最小, 并求出这个最小值并求出这个最小值.QDBCFAEHGPMN解解: :设设AM=AM=y米米22200-42004xxyxyx因因而而 224200210 480 2Sxxyy于于是是010 2x2答案答案3答案答案四：三个正数的算术四：三个正数的算术几何平均不等式几何平均不等式类比基本不等式得类比基本不等式得例例1 求函数求函数 在在 上的最大值上的最大值.() ,211303 yxx注：一正、二定、三等。注：一正、二定、三等。问题问题 求证求证: :在表面积一定的长方体中在表面积一定的长方体中, ,以正以正方体的体积最大方体的体积最大. .xyz vxyz解：设长方体的三边长解：设长方体的三边长度分别为度分别为x、y、z, ,则长则长方体的体积为方体的体积为222Sxyxzyz而而略略例例2: 如图，把一块边长是如图，把一块边长是a 的正方形铁的正方形铁 片的各角切片的各角切 去大小相同的小正方形，去大小相同的小正方形， 再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多方底的盒子，问切去的正方形边长是多小时？才能使盒子的容积最大？小时？才能使盒子的容积最大？ax2(2 )0)2vaxxax解解：依依 意 意有有 （ （ 题题()()33232 abcababcab试证明试证明: :已知已知a、b、cR+ +, ,求证求证3, ,()27x y zRxyzxyz已已知知， 例例3：3：求证求证: