311空间向量及其加减运算.pptx
3.1.1 3.1.1 空间空间向量及其加减运算向量及其加减运算 1. 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2. 了解空间向量的概念了解空间向量的概念.3. 掌握空间向量的加减运算掌握空间向量的加减运算. （重点）（重点）学习目标学习目标看下面建筑看下面建筑 这个建筑钢架中有这个建筑钢架中有很多向量，但它们有些很多向量，但它们有些并不在同一平面内并不在同一平面内这就是我们今天要学习这就是我们今天要学习的空间向量的空间向量.情景导入情景导入定义：定义：既有大小又有方向的量叫向量既有大小又有方向的量叫向量 几何表示法：几何表示法： 用有向线段表示用有向线段表示.字母表示法：字母表示法： 用字母用字母a,b等或者等或者用有向线段用有向线段的起点与终点字母的起点与终点字母 表示表示引入引入 复习平面向量复习平面向量复习引入复习引入AB 相等的向量：相等的向量： 长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量 ABCD（1）向量的加法）向量的加法：平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则(首尾相连首尾相连)2.平面平面向量的加减法运算向量的加减法运算aabbabab（2）向量）向量的减法的减法三角形法则三角形法则 减向量减向量终点指向终点指向被减向量被减向量终点终点abab1. 空间向量空间向量在在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量空间向量（space vector ）.向量向量的大小叫做向量的的大小叫做向量的长度长度或或模模 (modulus).探究点探究点1 概念概念课堂探究课堂探究2. 空间向量的表示空间向量的表示AB如图，向量如图，向量 的起点是的起点是A，终点是，终点是B，则向量，则向量也也可以记可以记作作 ，其其模记为模记为|a |或或 .aaaAB AB （1）我们规定，长度为）我们规定，长度为0的向量叫做的向量叫做零向量（零向量（zero vector），记），记为为0 .当有向线段的起点当有向线段的起点A与终点与终点B重合时重合时， =0 .（2）模为）模为1的向量称为单位向量（的向量称为单位向量（unit vector）.（3）两个向量不能比较大小，因为决定向量）两个向量不能比较大小，因为决定向量的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大小大小.提升总结提升总结AB 3. 相反向量相反向量与与向量向量 长度相等而方向相反的向量长度相等而方向相反的向量,称为称为 的相反的相反向量，记为向量，记为 . 4. 相等向量（相等向量（equal vector）方向方向相同且模相等的向量称为相等向量相同且模相等的向量称为相等向量.aaa（1）空间的一个平移就是一个向量）空间的一个平移就是一个向量. （2）向量一般用有向线段表示）向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段同向等长的有向线段表示同一或相等的向量表示同一或相等的向量 .（3）空间的两个向量可用同一平面内的）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示两条有向线段来表示. 提升总结提升总结结论结论：空间任意两个向量都是共面向量，空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示.bAOBaba1. 空间向量的加减运算空间向量的加减运算 由于由于任意两个空间向量都能平移到同一任意两个空间向量都能平移到同一空间，所以空间，所以空间向量的加减运算与平面向量的加减运算相同空间向量的加减运算与平面向量的加减运算相同.AoabB探究点探究点2 空间向量的加减运算空间向量的加减运算a-ba+baboABC加法加法: OB=OA+AB=a+b，减法：减法：CA=OA-OC=a-b.2. 空间向量的加法运算律空间向量的加法运算律 （1）加法交换律）加法交换律 a + b = b + a （2）加法结合律）加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c) 你能证明下你能证明下列性质吗？列性质吗？证明加法交换律证明加法交换律:aa+baboABCb因为因为 OA = CB = a， AB = OC = b，所以所以 a + b = b + a.证明加法结合律证明加法结合律:abca + b + c a + b ABCO因为因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c, OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c),所以所以 (a + b) + c = a + (b + c). (1)空间向量的运算就是平面向量运算的推广空间向量的运算就是平面向量运算的推广. (2)两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立. (3)空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加.3.对空间向量的加减法的说明对空间向量的加减法的说明4.扩展扩展（1）首尾相接的若干向量之和，等于由）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的量起始向量的起点指向末尾向量的终点的量即：即： 122334n 1n1nA AA AA AAAA A（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：则它们的和为零向量即： 122334n1A AA AA AA A0例例 已知平行六面体已知平行六面体ABCD-ABCD，化简下列向，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量量表达式，并标出化简结果的向量.ABCDABCD.(1) ABBC.(2) ABADAA例题解析例题解析BCAB AC 解解:ABCDABCD(2) ABADAA ACAACCAC AC.提升总结提升总结 始始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的体对角向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的体对角线所表示的向量线所表示的向量.1.空间向量的概念空间向量的概念. 在空间，具有大小和方向的量在空间，具有大小和方向的量.2.空间向量的加减运算空间向量的加减运算.空间空间向量的加减运算应用三角形法则和平行四边形向量的加减运算应用三角形法则和平行四边形法则法则.课堂小结课堂小结3.空间向量的加法符合交换律，结合律空间向量的加法符合交换律，结合律.4.平面向量与空间向量平面向量与空间向量. 空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们向量中有关结论仍适用于它们.
