三角形的内角和定理的证明[1].ppt

八年级数学（下册）八年级数学（下册）第六章第六章 证明证明(一一)胜者的胜者的“钥匙钥匙”w证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:w与同伴交流你在探索思路的过程与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法中的具体做法.w(1)理解题意理解题意:分清命题的条件分清命题的条件(已知已知),结论结论(求证求证); 回顾与思考回顾与思考w(2)根据题意根据题意,画出图形画出图形;w(3)结合图形结合图形,用符号语言写出用符号语言写出“已知已知”和和“求证求证”;w(4)分析题意分析题意,探索证明思路探索证明思路;w(5)依据思路依据思路,运用数学符号和数学语言条理运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程清晰地写出证明过程;w(6)检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确,完善完善.驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸一、一、复习复习“三角形内角和定理三角形内角和定理” 我们已经知道：我们已经知道：三角形的三个内角之和等于三角形的三个内角之和等于180180。 即：在即：在ABCABC中，中， 有有A+B+C=180A+B+C=180 ACBABC二、二、论证论证“三角形内角和定理三角形内角和定理”怎样验证三角形怎样验证三角形的三个角的和等于的三个角的和等于180180呢？呢？ A B C 1 2 D E 你试过了吗？你试过了吗？. 在前面我们是采用拼接的方法来说明的。在前面我们是采用拼接的方法来说明的。 但是组成的但是组成的BCBC和和CDCD真的就是一条直真的就是一条直线吗？线吗？ A B C 1 2 D E 很明显，这是无法确定的很明显，这是无法确定的 如果如果ABCABC是画在一块不能分割的平面上，如是画在一块不能分割的平面上，如在黑板上，这时就不可能做到把在黑板上，这时就不可能做到把AA、BB撕下来再撕下来再分别放在分别放在11、22的位置上，那么又如何论证的位置上，那么又如何论证A+B+C= 180A+B+C= 180呢？呢？ A B C 1 2 D E 言必有言必有“据据” 回顾与思考回顾与思考w 我们知道三角形三个内角的和等于我们知道三角形三个内角的和等于1801800 0. .你还记得这个你还记得这个结论的探索过程吗结论的探索过程吗? ?112ABD23C(1)(1)如图如图, ,当时我们是当时我们是把把AA移到了移到了11的位的位置置,B,B移到了移到了22的位的位置置. .如果不实际移动如果不实际移动AA和和B,B,那么你还有那么你还有其它方法可以其它方法可以 达到同达到同样的效果样的效果? ?(2)(2)根据前面的公理和定理根据前面的公理和定理, ,你能用自己的语言说说这一你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗结论的证明思路吗? ?你能用比较简捷的语言写出这一证明你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗过程吗? ?与同伴交流与同伴交流. .三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801800 0. .“行家”看“门道”w已知已知:如图如图, A A、BB、CC 是是ABC的三内角的三内角. 求证求证:A+B+C=A+B+C=1800.w证明证明:作作BC的延长线的延长线CD,过点过点C作作CEAB,则则 例题例题欣赏欣赏P207w 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.w 1=A(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等),w 2= B(两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等).w 又又1+2+33=1800 (平角的定义平角的定义),w A+B+ACBACB=1800 (等量代换等量代换).w分析分析: :延长延长BCBC到到D,D,过点过点C C作作射线射线CEAB,CEAB,这样这样, ,就相当于就相当于把把AA移到了移到了11的位置的位置, ,把把BB移到了移到了22的位置的位置. .这里的这里的CD,CE称为称为辅助线辅助线,辅助辅助线通常画成线通常画成虚线虚线.ABCE213D一题 多解w在证明三角形内角和定理时在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角小明的想法是把三个角“凑凑”到到A处处,他过点他过点A作直线作直线PQBC(如图如图),他的想法可他的想法可以吗以吗?议一议议一议P208w请你帮小明把想法化为实际行动请你帮小明把想法化为实际行动.w小明的想法已经变为现实小明的想法已经变为现实,由此你由此你受到什么启发受到什么启发?你有新的证法吗你有新的证法吗?w证明证明:过点过点A作作PQBC,则则ABCw 1=B(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等),w 2=C(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等),w 又又1+2+33=1800 (平角的定义平角的定义),w BAC+B+CC=1800 (等量代换等量代换).所作的辅助所作的辅助线是证明的线是证明的一个重要组一个重要组成部分成部分,要在要在证明时首先证明时首先叙述出来叙述出来.PQ231ABC已知：如图，已知：如图，A B C.求证：求证：A +B +C=180开启 智慧还有其他证明方法吗？还有其他证明方法吗？“行家行家”看看“门门道道”w根据下面的图形根据下面的图形,写出相应的证明写出相应的证明. 试一试试一试P211w 你还能想出其它证法吗你还能想出其它证法吗?(1)ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRMABC证明证明：过：过A作作AEBC，EB=BAE(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等) EAB+BAC+C=180(两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补)B+C+BAC=180 (等量代换等量代换)开启 智慧ABCPQR证明证明：过：过点点P作作PQ AC交交AB于于Q点，点， 作作PR AB交交AC于于R点。点。四边形四边形AQPR是平行四边形是平行四边形 （平行四边形的定义）（平行四边形的定义） QPR= A （平行四边形的对角相等）（平行四边形的对角相等） RPC= B（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） QPB= C（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） QPB+ QPR + RPC=180 （1平角平角=180 ） A+ B+ C=180 （等量代换）（等量代换） EBC+ FCB=180 EBC+ FCB=180 （两直线平行，同旁内角互补）（两直线平行，同旁内角互补） 即即1+ ABC+ ACB+4= 180 1+ ABC+ ACB+4= 180 又又 BAC= 2+ 3BAC= 2+ 3 BAC + ABC + ACB= 180 BAC + ABC + ACB= 180 （等量代换）（等量代换）ABCEDF（123证明：证明：过过A A点作射线点作射线ADAD，过点作，过点作BE ADBE AD，过，过C C点作点作CFADCFAD（两直线平行，内错角相等（两直线平行，内错角相等).).4（则则BE CFBE CF（平行与同一条直线的两直线平行）（平行与同一条直线的两直线平行）1=21=2，3=43=4）A证明：证明：E作作BC的延长线的延长线CD，在，在ABC的外部，以的外部，以CA为一边为一边， CE为另一边作为另一边作1=A，则则CEBA (内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行).B=2 (两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等).）12又又1+2+ACB=180 (平角的定义平角的定义)A+B+ACB=180 (等量代换等量代换)BCDABCO 在在ABC内任找一点内任找一点O，连，连 接接 AO、BO 、CO，即把，即把ABC分成三个三分成三个三 角形，即角形，即AOB、 AOC、 BOC，由于每个三角形的内角和相等，由于每个三角形的内角和相等，故可得等量关系故可得等量关系AOB、 AOC 、BOC 三个的内角和三个的内角和减去减去360就是就是ABC 的内角和。的内角和。 解：设解：设ABC的内角和的内角和 为为 X ， 于是有方程于是有方程3X 360 =X解得解得 X=180 即三角形的内角和为即三角形的内角和为180 O三角形内角和定理三角形内角和定理w三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801800 0. .wABC中中,A+B+C=A+B+C=1800.wA+B+C=A+B+C=1800的几种变形的几种变形:wA=A=1800 (B+C).(B+C).wB=B=1800 (A+C).(A+C).wC=C=1800 (A+B).(A+B).wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.wA+C=A+C=1800-B.B.w这里的结论这里的结论, ,以后可以直接运用以后可以直接运用. . 三种语言三种语言ABC我是最我是最棒的棒的w1.直角三角形的两锐角之和是多少度直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个等边三角形的一个内角是多少度内角是多少度?请证明你的结论请证明你的结论.w已知已知:如图在如图在ABC中，中，DEBC,DEBC,A=A=600, C=C=700.w求证：求证： ADE=ADE=500. 随堂练习随堂练习P208DCBAEABCABCw结论结论: : 直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余. .以后可以直接运用以后可以直接运用. .1、直角三角形的两锐角之和是多少度、直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角等边三角形的一个内角是多少度形的一个内角是多少度?请证明你的结论请证明你的结论. 随堂练习随堂练习ABC结论结论: : 直角三角形的两个锐角互余；等边三直角三角形的两个锐角互余；等边三角形每个内角角形每个内角6060以后可以直接运用以后可以直接运用. .ABC证明证明：在在ABC中中 A+B+C=180(三角形内角和定理）三角形内角和定理） C= 90（已知）（已知） A+B+90=180（等量代换）（等量代换） A+B=18090= 90 （等式性质）（等式性质） 即即A+B=90ABC已知：在已知：在ABC中，中，C 90 求证：求证：AB90 随堂练习随堂练习证明：证明： DE BC （已知）（已知） AED= C（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） C=700（已知）（已知） AED= 700 （等量代换）（等量代换） A+ AED+ ADE=1800（三角形的内角和定理）（三角形的内角和定理） A=600（已知）（已知） ADE=1800600700=500（等量代换）（等量代换） 即即 ADE= 500DCBAE（第（第2题）题）2、已知、已知:如图在如图在ABC中，中，DEBC,DEBC,A=A=600, C=C=700. 求证：求证： ADE=ADE=500 随堂练习随堂练习3 3、如图，直线、如图，直线ABABCD,CD,在在ABAB、CDCD外有一点外有一点P P，连结，连结 PBPB、PDPD，交，交CDCD于于E E点。点。 则则 B B、 D D、 P P 之间是否存在一定的大小关系？之间是否存在一定的大小关系？ 随堂练习随堂练习A AB BC CP PD DE E他们是怎样的，并加以证明他们是怎样的，并加以证明？用运动变化的观点用运动变化的观点理解和认识数学理解和认识数学w在在ABC中中,如果如果BC不动不动,把点把点A“压压”向向BC,那么当点那么当点A越越来越接近来越接近BC时时, AA就越来越大就越来越大( (越来越接近越来越接近181800),而而BB和和 C,C,越来越小越来越小( (越来越接近越来越接近00).由此你能想到什么由此你能想到什么?w如果如果BC不动不动,把点把点A“拉离拉离”BC,那么当那么当A越来越远离越来越远离BC时时,AA就越来越小就越来越小( (越来越接近越来越接近00),),而而BB和和CC则越来越大则越来越大, ,它们的和越来越接近它们的和越来越接近1800, 当把点当把点A A拉到无穷远时拉到无穷远时, ,便有便有ABABAC,AC,BB和和CC成为同旁内角成为同旁内角, ,它们的和等于它们的和等于181800.由此你由此你能想到什么能想到什么? 读一读读一读P207CBACBA回味无穷回味无穷w掌握几何命题证明的掌握几何命题证明的方法方法,步步骤骤,格式格式及及注意事项注意事项.w三角形三角形内角和定理内角和定理.w结论结论: : 直角三角形的两个锐直角三角形的两个锐角互余角互余. .w探索证明的思路的方法探索证明的思路的方法: 由由“因因”导导“果果”, ,执执“果果”索索“因因”.w与同伴交流与同伴交流, ,你是如何提高证你是如何提高证明命题能力的明命题能力的. .小结小结 拓展拓展 我们证明了三角形内角和定理。我们证明了三角形内角和定理。证明的基本思想是：运用辅助线将原证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角，中在一起，拼成一个平角，辅助线辅助线是是联系命题的条件和结论的桥梁。联系命题的条件和结论的桥梁。小结 拓展小结：本节课你有什么收获？小结：本节课你有什么收获？三角形内角和定理三角形内角和定理w三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801800 0. .wABC中中,A+B+C=A+B+C=1800.wA+B+C=A+B+C=1800的几种变形的几种变形:wA=A=1800 (B+C).(B+C).wB=B=1800 (A+C).(A+C).wC=C=1800 (A+B).(A+B).wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.wA+C=A+C=1800-B.B.w这里的结论这里的结论, ,以后可以直接运用以后可以直接运用. . 三种语言三种语言ABC