2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷.doc

2017 年内蒙古赤峰市中考数学试卷年内蒙古赤峰市中考数学试卷一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑每小题号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑每小题 3 分，共计分，共计 36 分）分）1 （3 分）|（3）5|等于（ ）A8B2C2D82 （3 分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）ABCD3 （3 分）风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为 90021平方公里90021 用科学记数法表示为（ ）A9.0021×105B9.0021×104C90.021×103D900.21×1024 （3 分）下列运算正确的是（ ）A3x+2y=5（x+y） Bx+x3=x4Cx2x3=x6D （x2）3=x65 （3 分）直线 ab，RtABC 的直角顶点 C 在直线 a 上，若1=35°，则2等于（ ）A65° B50° C55° D60°6 （3 分）能使式子+成立的 x 的取值范围是（ ）Ax1Bx2C1x2 Dx27 （3 分）小明向如图所示的正方形 ABCD 区域内投掷飞镖，点 E 是以 AB 为直径的半圆与对角线 AC 的交点如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）ABCD8 （3 分）下面几何体的主视图为（ ）ABCD9 （3 分）点 A（1，y1） 、B（3，y2）是反比例函数 y=图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（ ）Ay1y2By1=y2Cy1y2D不能确定10 （3 分）如图，将边长为 4 的菱形 ABCD 纸片折叠，使点 A 恰好落在对角线的交点 O 处，若折痕 EF=2，则A=（ ）A120°B100°C60° D30°11 （3 分）将一次函数 y=2x3 的图象沿 y 轴向上平移 8 个单位长度，所得直线的解析式为（ ）Ay=2x5By=2x+5Cy=2x+8Dy=2x812 （3 分）正整数 x、y 满足（2x5） （2y5）=25，则 x+y 等于（ ）A18 或 10B18C10D26二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题 3 分，共分，共 12 分）分）13 （3 分）分解因式：xy2+8xy+16x= 14 （3 分）如果关于 x 的方程 x24x+2m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 15 （3 分）数据 5，6，5，4，10 的众数、中位数、平均数的和是 16 （3 分）在平面直角坐标系中，点 P（x，y）经过某种变换后得到点P'（y+1，x+2） ，我们把点 P'（y+1，x+2）叫做点 P（x，y）的终结点已知点P1的终结点为 P2，点 P2的终结点为 P3，点 P3的终结点为 P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、Pn、，若点 P1的坐标为（2，0） ，则点 P2017的坐标为 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共说明、证明过程或演算步骤，共 10 题，满分题，满分 102 分）分）17 （6 分） （）÷，其中 a=2017°+（）1+tan30°18 （6 分）已知平行四边形 ABCD（1）尺规作图：作BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交 DC 延长线于点 F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ；（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF19 （10 分）为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A 喜欢吃苹果的学生；B 喜欢吃桔子的学生；C喜欢吃梨的学生；D喜欢吃香蕉的学生；E 喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图 1 和图 2 的统计图（不完整） 请根据图中提供的数据解答下列问题：（1）求此次抽查的学生人数；（2）将图 2 补充完整，并求图 1 中的 x；（3）现有 5 名学生，其中 A 类型 3 名，B 类型 2 名，从中任选 2 名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）20 （10 分）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图 1 所示已知 AC=20cm，BC=18cm，ACB=50°，王浩的手机长度为 17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽 AB 内？请说明你的理由 （提示：sin50°0.8，cos50°0.6，tan50°1.2）21 （10 分）如图，一次函数 y=x+1 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，以线段 AB 为边在第一象限作等边ABC（1）若点 C 在反比例函数 y=的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）点 P（2，m）在第一象限，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 D，当PAD与OAB 相似时，P 点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出 P 点坐标；如果不在，请加以说明22 （10 分）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵 2 元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是 3500 元和 2500 元（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买 1100 棵，且购买两种树苗的总费用不超过 6000 元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵23 （12 分）如图，点 A 是直线 AM 与O 的交点，点 B 在O 上，BDAM 垂足为 D，BD 与O 交于点 C，OC 平分AOB，B=60°（1）求证：AM 是O 的切线；（2）若 DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留 和根号） 24 （12 分）如图 1，在ABC 中，设A、B、C 的对边分别为 a，b，c，过点 A 作 ADBC，垂足为 D，会有 sinC=，则SABC=BC×AD=×BC×ACsinC=absinC，即 SABC=absinC同理 SABC=bcsinASABC=acsinB通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理余弦定理：如图 2，在ABC 中，若A、B、C 的对边分别为 a，b，c，则a2=b2+c22bccosAb2=a2+c22accosBc2=a2+b22abcosC用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图 3，在DEF 中，F=60°，D、E 的对边分别是 3 和 8求 SDEF和 DE2解：SDEF=EF×DFsinF= ；DE2=EF2+DF22EF×DFcosF= （2）如图 4，在ABC 中，已知 ACBC，C=60°，ABC'、BCA'、ACB'分别是以 AB、BC、AC 为边长的等边三角形，设ABC、ABC'、BCA'、ACB'的面积分别为 S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S425 （12 分）OPA 和OQB 分别是以 OP、OQ 为直角边的等腰直角三角形，点 C、D、E 分别是 OA、OB、AB 的中点（1）当AOB=90°时如图 1，连接 PE、QE，直接写出 EP 与 EQ 的大小关系；（2）将OQB 绕点 O 逆时针方向旋转，当AOB 是锐角时如图 2， （1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明（3）仍将OQB 绕点 O 旋转，当AOB 为钝角时，延长 PC、QD 交于点 G，使ABG 为等边三角形如图 3，求AOB 的度数26 （14 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，点 B 的坐标为（3，0） ，顶点 C 的坐标为（1，4） （1）求二次函数的解析式和直线 BD 的解析式；（2）点 P 是直线 BD 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，当点 P 在第一象限时，求线段 PM 长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于 B、D 的点 Q，使BDQ 中 BD 边上的高为2？若存在求出点 Q 的坐标；若不存在请说明理由2017 年内蒙古赤峰市中考数学试卷年内蒙古赤峰市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑每小题号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑每小题 3 分，共计分，共计 36 分）分）1 （3 分） （2017赤峰）|（3）5|等于（ ）A8B2C2D8【分析】根据分式的减法和绝对值可以解答本题【解答】解：|（3）5|=|35|=|8|=8，故选 D【点评】本题考查有理数的减法和绝对值，解答本题的关键是明确有理数减法的计算方法2 （3 分） （2017赤峰）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）ABCD【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意故选：C【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合3 （3 分） （2017赤峰）风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为 90021 平方公里90021 用科学记数法表示为（ ）A9.0021×105B9.0021×104C90.021×103D900.21×102【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：90021 用科学记数法表示为 9.0021×104故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4 （3 分） （2017赤峰）下列运算正确的是（ ）A3x+2y=5（x+y） Bx+x3=x4Cx2x3=x6D （x2）3=x6【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方的计算法则计算，对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、不是同类项不能合并，故 A 错误；B、不是同类项不能合并，故 B 错误；C、x2x3=x5，故 C 错误；D、 （x2）3=x6，故 D 正确故选：D【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键5 （3 分） （2017赤峰）直线 ab，RtABC 的直角顶点 C 在直线 a 上，若1=35°，则2 等于（ ）A65° B50° C55° D60°【分析】先根据直角为 90°，即可得到3 的度数，再根据平行线的性质，即可得出2 的度数【解答】解：RtABC 的直角顶点 C 在直线 a 上，1=35°，3=90°35°=55°，又ab，2=3=55°，故选：C【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行同位角相等6 （3 分） （2017赤峰）能使式子+成立的 x 的取值范围是（ ）Ax1Bx2C1x2 Dx2【分析】根据二次根式的意义：被开方数大于等于 0，就可以求解【解答】解：根据题意得：，解得：1x2故选：C【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：二次根式的被开方数是非负数7 （3 分） （2017赤峰）小明向如图所示的正方形 ABCD 区域内投掷飞镖，点 E是以 AB 为直径的半圆与对角线 AC 的交点如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）ABCD【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积=SCEB，进而得出答案【解答】解：如图所示：连接 BE，可得，AE=BE，AEB=90°，且阴影部分面积=SCEB=SBEC=S正方形 ABCD，故小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为：故选：B【点评】此题主要考查了几何概率，正确利用正方形性质得出阴影部分面积=SCEB是解题关键8 （3 分） （2017赤峰）下面几何体的主视图为（ ）ABCD【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案【解答】解：从正面看，故选：C【点评】本题考查了简单主题的三视图，从正面看得到的图形是主视图9 （3 分） （2017赤峰）点 A（1，y1） 、B（3，y2）是反比例函数 y=图象上的两点，则 y1、y2的大小关系是（ ）Ay1y2By1=y2Cy1y2D不能确定【分析】根据反比例函数图象的增减性进行填空【解答】解：反比例函数 y=中的 90，经过第一、三象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而减小，又A（1，y1） 、B（3，y2）都位于第一象限，且 13，y1y2，故选 A【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数图象与系数的关系以及函数图象的性质是解题的关键10 （3 分） （2017赤峰）如图，将边长为 4 的菱形 ABCD 纸片折叠，使点 A 恰好落在对角线的交点 O 处，若折痕 EF=2，则A=（ ）A120°B100°C60° D30°【分析】连接 AC，根据菱形的性质得出 ACBD，根据折叠得出 EFAC，EF 平分 AO，得出 EFBD，得出 EF 为ABD 的中位线，根据三角形中位线定理求出BD 的长，进而可得到 BO 的长，由勾股定理可求出 AO 的长，则ABO 可求出，继而BAO 的度数也可求出，再由菱形的性质可得A=2BAO【解答】解：连接 AC，四边形 ABCD 是菱形，ACBD，A 沿 EF 折叠与 O 重合，EFAC，EF 平分 AO，ACBD，EFBD，E、F 分别为 AB、AD 的中点，EF 为ABD 的中位线，EF=BD，BD=2EF=4，BO=2，AO=2，AO=AB，ABO=30°，BAO=60°，BAD=120°故选 A【点评】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理的运用；熟练掌握菱形的性质和翻折变换的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键11 （3 分） （2017赤峰）将一次函数 y=2x3 的图象沿 y 轴向上平移 8 个单位长度，所得直线的解析式为（ ）Ay=2x5By=2x+5Cy=2x+8Dy=2x8【分析】根据函数图象上加下减，可得答案【解答】解：由题意，得y=2x3+8，即 y=2x+5，故选：B【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律是解题关键12 （3 分） （2017赤峰）正整数 x、y 满足（2x5） （2y5）=25，则 x+y 等于（ ）A18 或 10B18C10D26【分析】易得（2x5） 、 （2y5）均为整数，分类讨论即可求得 x、y 的值即可解题【解答】解：x、y 是正整数，且最小的正整数为 1，2x5 是整数且最小整数为3，2y5 是整数且最小的整数为325=1×25，或 25=5×5，存在两种情况：2x5=1，2y5=25，解得：x=3，y=15， ；2x5=2y5=5，解得：x=y=5；x+y=18 或 10，故选 A【点评】本题考查了整数的乘法，本题中根据 25=1×25 或 25=5×5 分类讨论是解题的关键二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题 3 分，共分，共 12 分）分）13 （3 分） （2017赤峰）分解因式：xy2+8xy+16x= x（y+4）2 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有 3 项，可采用完全平方公式继续分解【解答】解：xy2+8xy+16x=x（y2+8y+16）=x（y+4）2故答案为：x（y+4）2【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解14 （3 分） （2017赤峰）如果关于 x 的方程 x24x+2m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 m2 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=168m0，解之即可得出 m 的取值范围【解答】解：关于 x 的方程 x24x+2m=0 有两个不相等的实数根，=（4）24×2m=168m0，解得：m2故答案为：m2【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键15 （3 分） （2017赤峰）数据 5，6，5，4，10 的众数、中位数、平均数的和是 16 【分析】根据众数、中位数和平均数的概念分别求出这组数据的众数、中位数和平均数，再相加即可【解答】解：数据 5 出现了 2 次，次数最多，所以众数是 5；数据按从小到大排列为 4，5，5，6，10，中位数为 5；平均数=（5+6+5+4+10）÷5=6；5+5+6=16故答案为 16【点评】本题考查了平均数，中位数，众数的意义平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数） ；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个16 （3 分） （2017赤峰）在平面直角坐标系中，点 P（x，y）经过某种变换后得到点 P'（y+1，x+2） ，我们把点 P'（y+1，x+2）叫做点 P（x，y）的终结点已知点 P1的终结点为 P2，点 P2的终结点为 P3，点 P3的终结点为 P4，这样依次得到 P1、P2、P3、P4、Pn、，若点 P1的坐标为（2，0） ，则点 P2017的坐标为 （2，0） 【分析】求得点 P2、P3、P4、P5的值，即可发现其中规律，即可解题【解答】解：P1 坐标为（2，0） ，则 P2坐标为（1，4） ，P3坐标为（3，3） ，P4坐标为（2，1） ，P5坐标为（2，0） ，Pn的坐标为（2，0） ， （1，4） ， （3，3） ， （2，1）循环，2017=2016+1=4×504+1，P2017 坐标与 P1点重合，故答案为（2，0） 【点评】本题考查了学生发现点的规律的能力，本题中找到 Pn坐标得规律是解题的关键三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共说明、证明过程或演算步骤，共 10 题，满分题，满分 102 分）分）17 （6 分） （2017赤峰） （）÷，其中 a=2017°+（）1+tan30°【分析】先化简分式，然后再化简 a 的值，从而可求出原式的值【解答】解：原式=××=由于 a=2017°+（）1+tan30°，a=15+3=1原式=2【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型18 （6 分） （2017赤峰）已知平行四边形 ABCD（1）尺规作图：作BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交 DC 延长线于点 F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ；（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF【分析】 （1）作BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交 DC 延长线于点 F 即可；（2）先根据平行四边形的性质得出 ABDC，ADBC，故1=2，3=4再由 AF 平分BAD 得出1=3，故可得出2=4，据此可得出结论【解答】解：（1）如图所示，AF 即为所求；（2）四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC，ADBC，1=2，3=4AF 平分BAD，1=3，2=4，CE=CF【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键19 （10 分） （2017赤峰）为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A 喜欢吃苹果的学生；B 喜欢吃桔子的学生；C喜欢吃梨的学生；D喜欢吃香蕉的学生；E 喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图 1 和图 2 的统计图（不完整） 请根据图中提供的数据解答下列问题：（1）求此次抽查的学生人数；（2）将图 2 补充完整，并求图 1 中的 x；（3）现有 5 名学生，其中 A 类型 3 名，B 类型 2 名，从中任选 2 名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）【分析】 （1）根据百分比=计算即可；（2）求出 B、C 的人数画出条形图即可；（3）利用树状图，即可解决问题；【解答】解：（1）此次抽查的学生人数为 16÷40%=40 人（2）C 占 40×10%=4 人，B 占 20%，有 40×20%=8 人，条形图如图所示，（3）由树状图可知：两名学生为同一类型的概率为=【点评】本题考查列表法、树状图法、扇形统计图、条形统计图等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型20 （10 分） （2017赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图 1 所示已知 AC=20cm，BC=18cm，ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为 8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽 AB 内？请说明你的理由 （提示：sin50°0.8，cos50°0.6，tan50°1.2）【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得 AD 和 CD 的长，进而可以求得DB 的长，然后根据勾股定理即可得到 AB 的长，然后与 17 比较大小，即可解答本题【解答】解：王浩同学能将手机放入卡槽 AB 内理由：作 ADBC 于点 D，C=50°，AC=20cm，AD=ACsin50°=20×0.8=16cm，CD=ACcos50°=20×0.6=12cm，BC=18cm，DB=BCCD=1812=6cm，AB=，17=，王浩同学能将手机放入卡槽 AB 内【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用直角三角形的相关知识解答21 （10 分） （2017赤峰）如图，一次函数 y=x+1 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，以线段 AB 为边在第一象限作等边ABC（1）若点 C 在反比例函数 y=的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）点 P（2，m）在第一象限，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 D，当PAD与OAB 相似时，P 点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出 P 点坐标；如果不在，请加以说明【分析】 （1）由直线解析式可求得 A、B 坐标，在 RtAOB 中，利用三角函数定义可求得BAO=30°，且可求得 AB 的长，从而可求得 CAOA，则可求得 C点坐标，利用待定系数法可求得反比例函数解析式；（2）分PADABO 和PADBAO 两种情况，分别利用相似三角形的性质可求得 m 的值，可求得 P 点坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可【解答】解：（1）在 y=x+1 中，令 y=0 可解得 x=，令 x=0 可得 y=1，A（，0） ，B（0，1） ，tanBAO=，BAO=30°，ABC 是等边三角形，BAC=60°，CAO=90°，在 RtBOA 中，由勾股定理可得 AB=2，AC=2，C（，2） ，点 C 在反比例函数 y=的图象上，k=2×=2，反比例函数解析式为 y=；（2）P（2，m）在第一象限，AD=ODOA=2=，PD=m，当ADPAOB 时，则有=，即=，解得 m=1，此时 P 点坐标为（2，1） ；当PDAAOB 时，则有=，即=，解得 m=3，此时 P 点坐标为（2，3） ；把 P（2，3）代入 y=可得 3，P（2，3）不在反比例函数图象上，把 P（2，1）代入反比例函数解析式得 1=，P（2，1）在反比例函数图象上；综上可知 P 点坐标为（2，1） 【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、等边三角形的性质、三角函数、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论思想等知识在（1）中求得 C 点坐标是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质得到 m 的方程是解题的关键，注意分两种情况本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中22 （10 分） （2017赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵 2 元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是 3500 元和2500 元（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买 1100 棵，且购买两种树苗的总费用不超过 6000 元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵【分析】 （1）设梨树苗的单价为 x 元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；（2）设购买梨树苗种树苗 a 棵，苹果树苗则购买（1100a）棵，根据购买两种树苗的总费用不超过 6000 元建立不等式求出其解即可【解答】解：（1）设梨树苗的单价为 x 元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，依题意得：=，解得 x=5经检验 x=5 是原方程的解，且符合题意答：梨树苗的单价是 5 元；（2）设购买梨树苗种树苗 a 棵，苹果树苗则购买（1100a）棵，依题意得：（5+2） （1100a）+5a6000，解得 a850答：梨树苗至少购买 850 棵【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，一元一次不等式解实际问题的运用，解答时由方程求出两种树苗的单价是关键23 （12 分） （2017赤峰）如图，点 A 是直线 AM 与O 的交点，点 B 在O上，BDAM 垂足为 D，BD 与O 交于点 C，OC 平分AOB，B=60°（1）求证：AM 是O 的切线；（2）若 DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留 和根号） 【分析】 （1）由已知条件得到BOC 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到1=2=60°，由角平分线的性质得到1=3，根据平行线的性质得到OAM=90°，于是得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到OAC=60°，根据三角形的内角和得到CAD=30°，根据勾股定理得到 AD=2，于是得到结论【解答】解：（1）B=60°，BOC 是等边三角形，1=2=60°，OC 平分AOB，1=3，2=3，OABD，BDM=90°，OAM=90°，AM 是O 的切线；（2）3=60°，OA=OC，AOC 是等边三角形，OAC=60°，OAM=90°，CAD=30°，CD=2，AC=2CD=4，AD=2，S阴影=S梯形 OADCS扇形 OAC=（4+2）×2=6【点评】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键24 （12 分） （2017赤峰）如图 1，在ABC 中，设A、B、C 的对边分别为 a，b，c，过点 A 作 ADBC，垂足为 D，会有 sinC=，则SABC=BC×AD=×BC×ACsinC=absinC，即 SABC=absinC同理 SABC=bcsinASABC=acsinB通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理余弦定理：如图 2，在ABC 中，若A、B、C 的对边分别为 a，b，c，则a2=b2+c22bccosAb2=a2+c22accosBc2=a2+b22abcosC用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图 3，在DEF 中，F=60°，D、E 的对边分别是 3 和 8求 SDEF和 DE2解：SDEF=EF×DFsinF= 6 ；DE2=EF2+DF22EF×DFcosF= 49 （2）如图 4，在ABC 中，已知 ACBC，C=60°，ABC'、BCA'、ACB'分别是以 AB、BC、AC 为边长的等边三角形，设ABC、ABC'、BCA'、ACB'的面积分别为 S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4【分析】 （1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；（2）方法 1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；方法 2、先用正弦定理得出 S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论【解答】解：（1）在DEF 中，F=60°，D、E 的对边分别是 3 和 8，EF=3，DF=8，SDEF=EF×DFsinF=×3×8×sin60°=6，DE2=EF2+DF22EF×DFcosF=32+822×3×8×cos60°=49，故答案为：6，49；（2）证明：方法 1，ACB=60°，AB2=AC2+BC22ACBCcos60°=AC2+BC2ACBC，两边同时乘以sin60°得，AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°ACBCsin60°，ABC'，BCA'，ACB'是等边三角形，S1=ACBCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，S2=S4+S3S1，S1+S2=S3+S4，方法 2、令A，B，C 的对边分别为 a，b，c，S1=absinC=absin60°=abABC'，BCA'，ACB'是等边三角形，S2=ccsin60°=c2，S3=aasin60°=a2，S4=bbsin60°=b2，S1+S2=（ab+c2） ，S3+S4=（a2+b2） ，c2=a2+b22abcosC=a2+b22abcos60°，a2+b2=c2+ab，S1+S2=S3+S4【点评】此题是三角形综合题，主要考查了新定义的理解和应用，解本题的关键是理解新定义，会用新定义解决问题25 （12 分） （2017赤峰）OPA 和OQB 分别是以 OP、OQ 为直角边的等腰直角三角形，点 C、D、E 分别是 OA、OB、AB 的中点（1）当AOB=90°时如图 1，连接 PE、QE，直接写出 EP 与 EQ 的大小关系；（2）将OQB 绕点 O 逆时针方向旋转，当AOB 是锐角时如图 2， （1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明（3）仍将OQB 绕点 O 旋转，当AOB 为钝角时，延长 PC、QD 交于点 G，使ABG 为等边三角形如图 3，求AOB 的度数【分析】 （1）先判断出点 P，O，Q 在同一条直线上，再判断出APEBFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）先判断出 CE=DQ，PC=DE，进而判断出EPCQED 即可得出结论；（3）先判断出 CQ，GP 分别是 OB，OA 的垂直平分线，进而得出GBO=GOB，GOA=GAO，即可得出结论【解答】解：（1）如图 1，延长 PE，QB 交于点 F，APO 和BQO 是等腰直角三角形，APO=BQO=90°，AOP=BOQ=45°，AOB=90°，AOP+AOB+BOQ=180°，点 P，O，Q 在同一条直线上，APO=BQO=90°，APBQ，PAE=FBE，点 E 是 AB 中点，AE=BE，AEP=BEF，APEBFE，PE=EF，点 E 是 RtPQF 的斜边 PF 的中点，EP=EQ；（2）成立，证明：点 C，E 分别是 OA，AB 的中点，CEOB，CE=OB，DOC=ECA，点 D 是 RtOQB 斜边中点，DQ=OB，CE=DQ，同理：PC=DE，DOC=BDE，ECA=BDE，PCE=EDQ，EPCQED，EP=EQ；（3）如图 2 连接 GO，点 D，C 分别是 OB，OA 的中点，APO 与QBO 都是等腰直角三角形，CQ，GP 分别是 OB，OA 的垂直平分线，GB=GO=GA，GBO=GOB，GOA=GAO，设GOB=x，GOA=y，x+x+y+y+60°=360°x+y=150°，AOB=150°【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，解（1）的关键是构造全等三角形，解（2）的关键是判断出 CE=DQ，解（3）的关键是判断出 CQ，GP 分别是 OB，OA 的垂直平分线，是一道中等难度的题目26 （14 分） （2017赤峰）如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象交 x 轴于A、B 两点，交 y 轴于点 D，点 B 的坐标为（3，0） ，顶点 C 的坐标为（1，4） （1）求二次函数的解析式和直线 BD 的解析式；（2）点 P 是直线 BD 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，当点 P 在第一象限时，求线段 PM 长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于 B、D 的点 Q，使BDQ 中 BD 边上的高为2？若存在求出点 Q 的坐标；若不存在请说明理由【分析】 （1）可设抛物线解析式为顶点式，由 B 点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得 D 点坐标，利用待定系数法可求得直线 BD 解析式；（2）设出 P 点坐标，从而可表示出 PM 的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过 Q 作 QGy 轴，交 BD 于点 G，过 Q 和 QHBD 于 H，可设出 Q 点坐标，表示出 QG 的长度，由条件可证得DHG 为等腰直角三角形，则可得到关于 Q 点坐标的方程，可求得 Q 点坐标【解答】解：（1）抛物线的顶点 C