2017年江苏省盐城市中考数学试卷.doc

2017 年江苏省盐城市中考数学试卷年江苏省盐城市中考数学试卷一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （3 分）2 的绝对值是（ ）A2B2CD2 （3 分）如图是某个几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ）A圆柱B球C圆锥D棱锥3 （3 分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）ABCD4 （3 分）数据 6，5，7.5，8.6，7，6 的众数是（ ）A5B6C7D85 （3 分）下列运算中，正确的是（ ）A7a+a=7a2Ba2a3=a6Ca3÷a=a2D （ab）2=ab26 （3 分）如图，将函数 y=（x2）2+1 的图象沿 y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点 A（1，m） ，B（4，n）平移后的对应点分别为点 A'、B'若曲线段 AB 扫过的面积为 9（图中的阴影部分） ，则新图象的函数表达式是（ ）ABCD二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，满分分，满分 30 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）7 （3 分）请写出一个无理数 8 （3 分）分解因式 a2ba 的结果为 9 （3 分）2016 年 12 月 30 日，盐城市区内环高架快速路网二期工程全程全线通车，至此，已通车的内环高架快速路里程达 57000 米，用科学记数法表示数57000 为 10 （3 分）若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 11 （3 分）如图，是由大小完全相同的正六边形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个正六边形分别涂上其中的一种颜色，则上方的正六边形涂红色的概率是 12 （3 分）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则1= °13 （3 分）若方程 x24x+1=0 的两根是 x1，x2，则 x1（1+x2）+x2的值为 14 （3 分）如图，将O 沿弦 AB 折叠，点 C 在上，点 D 在上，若ACB=70°，则ADB= °15 （3 分）如图，在边长为 1 的小正方形网格中，将ABC 绕某点旋转到A'B'C'的位置，则点 B 运动的最短路径长为 16 （3 分）如图，曲线 l 是由函数 y=在第一象限内的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转 45°得到的，过点 A（4，4） ，B（2，2）的直线与曲线 l 相交于点 M、N，则OMN 的面积为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 102 分分.解答应写出文字说明、证明过程或解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤演算步骤.）17 （6 分）计算：+（）12017018 （6 分）解不等式组：19 （8 分）先化简，再求值：÷（x+2） ，其中 x=3+20 （8 分）为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”（1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是 ；（2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率21 （8 分） “大美湿地，水韵盐城”某校数学兴趣小组就“最想去的盐城市旅游景点”随机调查了本校部分学生，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图：请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）求被调查的学生总人数；（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点 D”的扇形圆心角的度数；（3）若该校共有 800 名学生，请估计“最想去景点 B“的学生人数22 （10 分）如图，矩形 ABCD 中，ABD、CDB 的平分线 BE、DF 分别交边AD、BC 于点 E、F（1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形；（2）当ABE 为多少度时，四边形 BEDF 是菱形？请说明理由23 （10 分）某商店在 2014 年至 2016 年期间销售一种礼盒2014 年，该商店用 3500 元购进了这种礼盒并且全部售完；2016 年，这种礼盒的进价比 2014 年下降了 11 元/盒，该商店用 2400 元购进了与 2014 年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为 60 元/盒（1）2014 年这种礼盒的进价是多少元/盒？（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？24 （10 分）如图，ABC 是一块直角三角板，且C=90°，A=30°，现将圆心为点 O 的圆形纸片放置在三角板内部（1）如图，当圆形纸片与两直角边 AC、BC 都相切时，试用直尺与圆规作出射线 CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）（2）如图，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动 1 周，回到起点位置时停止，若 BC=9，圆形纸片的半径为 2，求圆心 O 运动的路径长25 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的斜边 AB 在 y 轴上，边 AC与 x 轴交于点 D，AE 平分BAC 交边 BC 于点 E，经过点 A、D、E 的圆的圆心 F恰好在 y 轴上，F 与 y 轴相交于另一点 G（1）求证：BC 是F 的切线；（2）若点 A、D 的坐标分别为 A（0，1） ，D（2，0） ，求F 的半径；（3）试探究线段 AG、AD、CD 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论26 （12 分） 【探索发现】如图，是一张直角三角形纸片，B=90°，小明想从中剪出一个以B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 DE、EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 【拓展应用】如图，在ABC 中，BC=a，BC 边上的高 AD=h，矩形 PQMN 的顶点 P、N 分别在边 AB、AC 上，顶点 Q、M 在边 BC 上，则矩形 PQMN 面积的最大值为 （用含 a，h 的代数式表示）【灵活应用】如图，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（B 为所剪出矩形的内角） ，求该矩形的面积【实际应用】如图，现有一块四边形的木板余料 ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且 tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M、N 在边 BC 上且面积最大的矩形 PQMN，求该矩形的面积27 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+2 与 x 轴交于点 A，与 y轴交于点 C，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B（1）求抛物线的函数表达式；（2）点 D 为直线 AC 上方抛物线上一动点；连接 BC、CD，设直线 BD 交线段 AC 于点 E，CDE 的面积为 S1，BCE 的面积为 S2，求的最大值；过点 D 作 DFAC，垂足为点 F，连接 CD，是否存在点 D，使得CDF 中的某个角恰好等于BAC 的 2 倍？若存在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由2017 年江苏省盐城市中考数学试卷年江苏省盐城市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （3 分） （2017随州）2 的绝对值是（ ）A2B2CD【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答【解答】解：2 的绝对值是 2，即|2|=2故选：A【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 02 （3 分） （2017盐城）如图是某个几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ）A圆柱B球C圆锥D棱锥【分析】根据三视图即可判断该几何体【解答】解：由于主视图与左视图是三角形，俯视图是圆，故该几何体是圆锥，故选（C）【点评】本题考查三视图，解题的关键是熟练掌握几种常见几何体的三视图，本题属于基础题型3 （3 分） （2017盐城）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）ABCD【分析】根据轴对称图形的概念求解【解答】解：D 的图形沿中间线折叠，直线两旁的部分可重合，故选：D【点评】本题考查了轴对称图形，掌握好轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合4 （3 分） （2017盐城）数据 6，5，7.5，8.6，7，6 的众数是（ ）A5B6C7D8【分析】直接利用众数的定义分析得出答案【解答】解：数据 6，5，7.5，8.6，7，6 中，6 出现次数最多，故 6 是这组数据的众数故选：B【点评】此题主要考查了众数的定义，正确把握定义是解题关键5 （3 分） （2017盐城）下列运算中，正确的是（ ）A7a+a=7a2Ba2a3=a6Ca3÷a=a2D （ab）2=ab2【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、除法法则、积的乘方法则一一计算即可判断【解答】解：A、错误、7a+a=8aB、错误a2a3=a5C、正确a3÷a=a2D、错误 （ab）2=a2b2故选 C【点评】本题考查合并同类项法则、同底数幂的乘法、除法法则、积的乘方法则，熟练掌握这些法则是解题的关键6 （3 分） （2017盐城）如图，将函数 y=（x2）2+1 的图象沿 y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点 A（1，m） ，B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'若曲线段 AB 扫过的面积为 9（图中的阴影部分） ，则新图象的函数表达式是（ ）ABCD【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出 A、B 两点的坐标，再过 A作 ACx 轴，交 BB 的延长线于点 C，则 C（4，1） ，AC=41=3，根据平移的性质以及曲线段 AB 扫过的面积为 9（图中的阴影部分） ，得出 AA=3，然后根据平移规律即可求解【解答】解：函数 y=（x2）2+1 的图象过点 A（1，m） ，B（4，n） ，m=（12）2+1=1，n=（42）2+1=3，A（1，1） ，B（4，3） ，过 A 作 ACx 轴，交 BB 的延长线于点 C，则 C（4，1） ，AC=41=3，曲线段 AB 扫过的面积为 9（图中的阴影部分） ，ACAA=3AA=9，AA=3，即将函数 y=（x2）2+1 的图象沿 y 轴向上平移 3 个单位长度得到一条新函数的图象，新图象的函数表达式是 y=（x2）2+4故选 D【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出 AA是解题关键二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，满分分，满分 30 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）7 （3 分） （2017盐城）请写出一个无理数 【分析】根据无理数定义，随便找出一个无理数即可【解答】解：是无理数故答案为：【点评】本题考查了无理数，牢记无理数的定义是解题的关键8 （3 分） （2017盐城）分解因式 a2ba 的结果为 a（ab1） 【分析】根据提公因式法分解即可【解答】解：a2ba=a（ab1） ，故答案为：a（ab1） 【点评】本题考查了分解因式，能正确分解因式是解此题的关键9 （3 分） （2017盐城）2016 年 12 月 30 日，盐城市区内环高架快速路网二期工程全程全线通车，至此，已通车的内环高架快速路里程达 57000 米，用科学记数法表示数 57000 为 5.7×104 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是非负数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 57000 用科学记数法表示为：5.7×104故答案为：5.7×104【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值10 （3 分） （2017盐城）若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x3 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式进行计算即可求解【解答】解：根据题意得 x30，解得 x3故答案为：x3【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数11 （3 分） （2017盐城）如图，是由大小完全相同的正六边形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个正六边形分别涂上其中的一种颜色，则上方的正六边形涂红色的概率是 【分析】共有 3 种情况，上方的正六边形涂红色的情况只有 1 种，利用概率公式可得答案【解答】解：上方的正六边形涂红色的概率是，故答案为：【点评】此题主要考查了概率，关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比12 （3 分） （2017盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则1= 120 °【分析】根据三角形的外角的性质计算即可【解答】解：由三角形的外角的性质可知，1=90°+30°=120°，故答案为：120【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键13 （3 分） （2017盐城）若方程 x24x+1=0 的两根是 x1，x2，则 x1（1+x2）+x2的值为 5 【分析】先根据根与系数的关系得到 x1+x2=4，x1x2=1，然后把 x1（1+x2）+x2展开得到 x1+x2+x1x2，然后利用整体代入的方法计算即可【解答】解：根据题意得 x1+x2=4，x1x2=1，所以 x1（1+x2）+x2=x1+x1x2+x2=x1+x2+x1x2=4+1=5故答案为 5【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=14 （3 分） （2017盐城）如图，将O 沿弦 AB 折叠，点 C 在上，点 D 在上，若ACB=70°，则ADB= 110 °【分析】根据折叠的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论【解答】解：点 C 在上，点 D 在上，若ACB=70°，ADB+ACB=180°，ADB=110°，故答案为：110【点评】本题考查了折叠的性质和圆内接四边形的性质，熟练掌握折叠的直线是解题的关键15 （3 分） （2017盐城）如图，在边长为 1 的小正方形网格中，将ABC 绕某点旋转到A'B'C'的位置，则点 B 运动的最短路径长为 【分析】如图作线段 AA、CC的垂直平分线相交于点 P，点 P 即为旋转中心，观察图象可知，旋转角为 90°（逆时针旋转）时 B 运动的路径长最短【解答】解：如图作线段 AA、CC的垂直平分线相交于点 P，点 P 即为旋转中心，观察图象可知，旋转角为 90°（逆时针旋转）时 B 运动的路径长最短，PB=，B 运动的最短路径长为=，故答案为【点评】本题考查旋转变换、轨迹弧长公式、勾股定理等知识，解题的关键是确定旋转中心和旋转角的大小，属于中考常考题型16 （3 分） （2017盐城）如图，曲线 l 是由函数 y=在第一象限内的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转 45°得到的，过点 A（4，4） ，B（2，2）的直线与曲线 l 相交于点 M、N，则OMN 的面积为 8 【分析】由题意 A（4，4） ，B（2，2） ，可知 OAOB，建立如图新的坐标系（OB 为 x轴，OA 为 y轴，利用方程组求出 M、N 的坐标，根据 SOMN=SOBMSOBN计算即可【解答】解：A（4，4） ，B（2，2） ，OAOB，建立如图新的坐标系，OB 为 x轴，OA 为 y轴在新的坐标系中，A（0，8） ，B（4，0） ，直线 AB 解析式为 y=2x+8，由，解得或，M（1，6） ，N（3，2） ，SOMN=SOBMSOBN=4642=8，故答案为 8【点评】本题考查坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题中的压轴题三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 102 分分.解答应写出文字说明、证明过程或解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤演算步骤.）17 （6 分） （2017盐城）计算：+（）120170【分析】首先计算开方，乘方、然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可【解答】解：原式=2+21=3【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用18 （6 分） （2017盐城）解不等式组：【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：解不等式 3x1x+1，得：x1，解不等式 x+44x2，得：x2，不等式组的解集为 x2【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键19 （8 分） （2017盐城）先化简，再求值：÷（x+2） ，其中 x=3+【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式=÷（）=÷=，当 x=3+时，原式=【点评】本题主要考查分式的化简求值，根据分式的混合运算顺序和法则将原式化简是解题的关键20 （8 分） （2017盐城）为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”（1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是 ；（2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率【分析】 （1）利用概率公式直接计算即可；（2）画出树状图得到所有可能的结果，再找到回答正确的数目即可求出小丽回答正确的概率【解答】解：（1）对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个正确的概率=，故答案为：；（2）画树形图得：由树状图可知共有 4 种可能结果，其中正确的有 1 种，所以小丽回答正确的概率=【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求事件 A 或 B 的概率21 （8 分） （2017盐城） “大美湿地，水韵盐城”某校数学兴趣小组就“最想去的盐城市旅游景点”随机调查了本校部分学生，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图：请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）求被调查的学生总人数；（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点 D”的扇形圆心角的度数；（3）若该校共有 800 名学生，请估计“最想去景点 B“的学生人数【分析】 （1）用最想去 A 景点的人数除以它所占的百分比即可得到被调查的学生总人数；（2）先计算出最想去 D 景点的人数，再补全条形统计图，然后用 360°乘以最想去 D 景点的人数所占的百分比即可得到扇形统计图中表示“最想去景点 D”的扇形圆心角的度数；（3）用 800 乘以样本中最想去 A 景点的人数所占的百分比即可【解答】解：（1）被调查的学生总人数为 8÷20%=40（人） ；（2）最想去 D 景点的人数为 4081446=8（人） ，补全条形统计图为：扇形统计图中表示“最想去景点 D”的扇形圆心角的度数为×360°=72°；（3）800×=280，所以估计“最想去景点 B“的学生人数为 280 人【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较也考查了扇形统计图和利用样本估计总体22 （10 分） （2017盐城）如图，矩形 ABCD 中，ABD、CDB 的平分线BE、DF 分别交边 AD、BC 于点 E、F（1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形；（2）当ABE 为多少度时，四边形 BEDF 是菱形？请说明理由【分析】 （1）由矩形可得ABD=CDB，结合 BE 平分ABD、DF 平分BDC 得EBD=FDB，即可知 BEDF，根据 ADBC 即可得证；（2）当ABE=30°时，四边形 BEDF 是菱形，由角平分线知ABD=2ABE=60°、EBD=ABE=30°，结合A=90°可得EDB=EBD=30°，即 EB=ED，即可得证【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是矩形，ABDC、ADBC，ABD=CDB，BE 平分ABD、DF 平分BDC，EBD=ABD，FDB=BDC，EBD=FDB，BEDF，又ADBC，四边形 BEDF 是平行四边形；（2）当ABE=30°时，四边形 BEDF 是菱形，BE 平分ABD，ABD=2ABE=60°，EBD=ABE=30°，四边形 ABCD 是矩形，A=90°，EDB=90°ABD=30°，EDB=EBD=30°，EB=ED，又四边形 BEDF 是平行四边形，四边形 BEDF 是菱形【点评】本题主要考查矩形的性质、平行四边形、菱形，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与菱形的判定是解题的关键23 （10 分） （2017盐城）某商店在 2014 年至 2016 年期间销售一种礼盒2014 年，该商店用 3500 元购进了这种礼盒并且全部售完；2016 年，这种礼盒的进价比 2014 年下降了 11 元/盒，该商店用 2400 元购进了与 2014 年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为 60 元/盒（1）2014 年这种礼盒的进价是多少元/盒？（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？【分析】 （1）设 2014 年这种礼盒的进价为 x 元/盒，则 2016 年这种礼盒的进价为（x11）元/盒，根据 2014 年花 3500 元与 2016 年花 2400 元购进的礼盒数量相同，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设年增长率为 a，根据数量=总价÷单价求出 2014 年的购进数量，再根据2014 年的销售利润×（1+增长率）2=2016 年的销售利润，即可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出结论【解答】解：（1）设 2014 年这种礼盒的进价为 x 元/盒，则 2016 年这种礼盒的进价为（x11）元/盒，根据题意得：=，解得：x=35，经检验，x=35 是原方程的解答：2014 年这种礼盒的进价是 35 元/盒（2）设年增长率为 a，2014 年的销售数量为 3500÷35=100（盒） 根据题意得：（6035）×100（1+a）2=（6035+11）×100，解得：a=0.2=20%或 a=2.2（不合题意，舍去） 答：年增长率为 20%【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找准等量关系，列出一元二次方程24 （10 分） （2017盐城）如图，ABC 是一块直角三角板，且C=90°，A=30°，现将圆心为点 O 的圆形纸片放置在三角板内部（1）如图，当圆形纸片与两直角边 AC、BC 都相切时，试用直尺与圆规作出射线 CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）（2）如图，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动 1 周，回到起点位置时停止，若 BC=9，圆形纸片的半径为 2，求圆心 O 运动的路径长【分析】 （1）作ACB 的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O，作射线 CO 即可；（2）添加如图所示辅助线，圆心 O 的运动路径长为，先求出ABC 的三边长度，得出其周长，证四边形 OEDO1、四边形 O1O2HG、四边形 OO2IF 均为矩形、四边形 OECF 为正方形，得出OO1O2=60°=ABC、O1OO2=90°，从而知OO1O2CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案【解答】解：（1）如图所示，射线 OC 即为所求；（2）如图，圆心 O 的运动路径长为，过点 O1作 O1DBC、O1FAC、O1GAB，垂足分别为点 D、F、G，过点 O 作 OEBC，垂足为点 E，连接 O2B，过点 O2作 O2HAB，O2IAC，垂足分别为点 H、I，在 RtABC 中，ACB=90°、A=30°，AC=9，AB=2BC=18，ABC=60°，CABC=9+9+18=27+9，O1DBC、O1GAB，D、G 为切点，BD=BG，在 RtO1BD 和 RtO1BG 中，O1BDO1BG（HL） ，O1BG=O1BD=30°，在 RtO1BD 中，O1DB=90°，O1BD=30°，BD=2，OO1=922=72，O1D=OE=2，O1DBC，OEBC，O1DOE，且 O1D=OE，四边形 OEDO1为平行四边形，OED=90°，四边形 OEDO1为矩形，同理四边形 O1O2HG、四边形 OO2IF、四边形 OECF 为矩形，又 OE=OF，四边形 OECF 为正方形，O1GH=CDO1=90°，ABC=60°，GO1D=120°，又FO1D=O2O1G=90°，OO1O2=360°90°90°=60°=ABC，同理，O1OO2=90°，OO1O2CBA，=，即=，=15+，即圆心 O 运动的路径长为 15+【点评】本题主要考查作图复杂作图、切线的判定与性质、矩形和正方形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质、矩形和正方形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键25 （10 分） （2017盐城）如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的斜边 AB 在y 轴上，边 AC 与 x 轴交于点 D，AE 平分BAC 交边 BC 于点 E，经过点A、D、E 的圆的圆心 F 恰好在 y 轴上，F 与 y 轴相交于另一点 G（1）求证：BC 是F 的切线；（2）若点 A、D 的坐标分别为 A（0，1） ，D（2，0） ，求F 的半径；（3）试探究线段 AG、AD、CD 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论【分析】 （1）连接 EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到FEA=EAC，得到 FEAC，根据平行线的性质得到FEB=C=90°，证明结论；（2）连接 FD，设F 的半径为 r，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（3）作 FRAD 于 R，得到四边形 RCEF 是矩形，得到 EF=RC=RD+CD，根据垂径定理解答即可【解答】 （1）证明：连接 EF，AE 平分BAC，FAE=CAE，FA=FE，FAE=FEA，FEA=EAC，FEAC，FEB=C=90°，即 BC 是F 的切线；（2）解：连接 FD，设F 的半径为 r，则 r2=（r1）2+22，解得，r=，即F 的半径为；（3）解：AG=AD+2CD证明：作 FRAD 于 R，则FRC=90°，又FEC=C=90°，四边形 RCEF 是矩形，EF=RC=RD+CD，FRAD，AR=RD，EF=RD+CD=AD+CD，AG=2FE=AD+2CD【点评】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键26 （12 分） （2017盐城） 【探索发现】如图，是一张直角三角形纸片，B=90°，小明想从中剪出一个以B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 DE、EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 【拓展应用】如图，在ABC 中，BC=a，BC 边上的高 AD=h，矩形 PQMN 的顶点 P、N 分别在边 AB、AC 上，顶点 Q、M 在边 BC 上，则矩形 PQMN 面积的最大值为 （用含 a，h 的代数式表示）【灵活应用】如图，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（B 为所剪出矩形的内角） ，求该矩形的面积【实际应用】如图，现有一块四边形的木板余料 ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且 tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M、N 在边 BC 上且面积最大的矩形 PQMN，求该矩形的面积【分析】 【探索发现】：由中位线知 EF=BC、ED=AB、由=可得；【拓展应用】：由APNABC 知=，可得 PN=aPQ，设 PQ=x，由 S矩形 PQMN=PQPN（x）2+，据此可得；【灵活应用】：添加如图 1 辅助线，取 BF 中点 I，FG 的中点 K，由矩形性质知AE=EH=20、CD=DH=16，分别证AEFHED、CDGHDE 得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线 IK 的两端点在线段 AB 和 DE 上，利用【探索发现】结论解答即可；【实际应用】：延长 BA、CD 交于点 E，过点 E 作 EHBC 于点 H，由 tanB=tanC知 EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得 BE=CE=90，可判断中位线 PQ 的两端点在线段 AB、CD 上，利用【拓展应用】结论解答可得【解答】解：【探索发现】EF、ED 为ABC 中位线，EDAB，EFBC，EF=BC，ED=AB，又B=90°，四边形 FEDB 是矩形，则=，故答案为：；【拓展应用】PNBC，APNABC，=，即=，PN=aPQ，设 PQ=x，则 S矩形 PQMN=PQPN=x（ax）=x2+ax=（x）2+，当 PQ=时，S矩形 PQMN最大值为，故答案为：；【灵活应用】如图 1，延长 BA、DE 交于点 F，延长 BC、ED 交于点 G，延长 AE、CD 交于点H，取 BF 中点 I，FG 的中点 K，由题意知四边形 ABCH 是矩形，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，EH=20、DH=16，AE=EH、CD=DH，在AEF 和HED 中，AEFHED（ASA） ，AF=DH=16，同理CDGHDE，CG=HE=20，BI=24，BI=2432，中位线 IK 的两端点在线段 AB 和 DE 上，过点 K 作 KLBC 于点 L，由【探索发现】知矩形的最大面积为×BGBF=×（40+20）×（32+16）=720，答：该矩形的面积为 720；【实际应用】如图 2，延长 BA、CD 交于点 E，过点 E 作 EHBC 于点 H，tanB=tanC=，B=C，EB=EC，BC=108cm，且 EHBC，BH=CH=BC=54cm，tanB=，EH=BH=×54=72cm，在 RtBHE 中，BE=90cm，AB=50cm，AE=40cm，BE 的中点 Q 在线段 AB 上，CD=60cm，ED=30cm，CE 的中点 P 在线段 CD 上，中位线 PQ 的两端点在线段 AB、CD 上，由【拓展应用】知，矩形 PQMN 的最大面积为BCEH=1944cm2，答：该矩形的面积为 1944cm2【点评】本题主要考查四边形的综合问题，熟练掌握中位线定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及类比思想的运用是解题的关键27 （14 分） （2017盐城）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B（1）求抛物线的函数表达式；（2）点 D 为直线 AC 上方抛物线上一动点；连接 BC、CD，设直线 BD 交线段 AC 于点 E，CDE 的面积为 S1，BCE 的面积为 S2，求的最大值；过点 D 作 DFAC，垂足为点 F，连接 CD，是否存在点 D，使得CDF 中的某个角恰好等于BAC 的 2 倍？若存在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）根据题意得到 A（4，0） ，C（0，2）代入 y=x2+bx+c，于是得到结论；（2）如图，令 y=0，解方程得到 x1=4，x2=1，求得 B（1，0） ，过 D 作DMx 轴于 M，过 B 作 BNx 轴交于 AC 于 N，根据相似三角形的性质即可得到结论；根据勾股定理的逆定理得到ABC 是以ACB 为直角的直角三角形，取 AB 的中点 P，求得 P（，0） ，得到 PA=PC=PB=，过 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于R，交 AC 的延线于 G，情况一：如图，DCF=2BAC=DGC+CDG，情况二，FDC=2BAC，解直角三角形即可得到结论【解答】解：（1）根据题意得 A（4，0） ，C（0，2） ，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、C 两点，y=x2x+2；（2）如图，令 y=0，x2x+2=0，x1=4，x2=1，B（1，0） ，过 D 作 DMx 轴交 AC 于点 M，过 B 作 BNx 轴交于 AC 于 N，DMBN，DMEBNE，=，设 D（a，=a2a+2） ，M（a，a+2） ，B（1.0） ，N（