2017年浙江省温州市中考数学试卷.doc

2017 年浙江省温州市中考数学试卷年浙江省温州市中考数学试卷一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）：分）：1 （4 分）6 的相反数是（ ）A6B1C0D62 （4 分）某校学生到校方式情况的统计图如图所示，若该校步行到校的学生有 100 人，则乘公共汽车到校的学生有（ ）A75 人B100 人C125 人D200 人3 （4 分）某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（ ）ABCD4 （4 分）下列选项中的整数，与最接近的是（ ）A3B4C5D65 （4 分）温州某企业车间有 50 名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：零件个数（个） 5678人数（人）3152210表中表示零件个数的数据中，众数是（ ）A5 个B6 个C7 个 D8 个6 （4 分）已知点（1，y1） ， （4，y2）在一次函数 y=3x2 的图象上，则y1，y2，0 的大小关系是（ ）A0y1y2By10y2Cy1y20Dy20y17 （4 分）如图，一辆小车沿倾斜角为 的斜坡向上行驶 13 米，已知cos=，则小车上升的高度是（ ）A5 米B6 米C6.5 米D12 米8 （4 分）我们知道方程 x2+2x3=0 的解是 x1=1，x2=3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）3=0，它的解是（ ）Ax1=1，x2=3Bx1=1，x2=3 Cx1=1，x2=3 Dx1=1，x2=39 （4 分）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形 ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为 S 的小正方形 EFGH已知 AM 为 RtABM 较长直角边，AM=2EF，则正方形 ABCD 的面积为（ ）A12S B10S C9SD8S10 （4 分）我们把 1，1，2，3，5，8，13，21，这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作 90°圆弧，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结 P1P2，P2P3，P3P4，得到螺旋折线（如图） ，已知点 P1（0，1） ，P2（1，0） ，P3（0，1） ，则该折线上的点 P9的坐标为（ ）A （6，24）B （6，25）C （5，24）D （5，25）二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）：分）：11 （5 分）分解因式：m2+4m= 12 （5 分）数据 1，3，5，12，a，其中整数 a 是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是 13 （5 分）已知扇形的面积为 3，圆心角为 120°，则它的半径为 14 （5 分）甲、乙工程队分别承接了 160 米、200 米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设 5 米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设 x 米，根据题意可列出方程： 15 （5 分）如图，矩形 OABC 的边 OA，OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 在第一象限，点 D 在边 BC 上，且AOD=30°，四边形 OABD 与四边形 OABD 关于直线 OD 对称（点 A和 A，B和 B 分别对应） 若 AB=1，反比例函数 y=（k0）的图象恰好经过点 A，B，则 k 的值为 16 （5 分）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图 1） ，完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点 A，出水口 B 和落水点 C 恰好在同一直线上，点A 至出水管 BD 的距离为 12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图 2 所示，现用高 10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点 D 和杯子上底面中心 E，则点 E 到洗手盆内侧的距离 EH 为 cm三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 80 分）：分）：17 （10 分） （1）计算：2×（3）+（1）2+；（2）化简：（1+a） （1a）+a（a2） 18 （8 分）如图，在五边形 ABCDE 中，BCD=EDC=90°，BC=ED，AC=AD（1）求证：ABCAED；（2）当B=140°时，求BAE 的度数19 （8 分）为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、 “魅力数独”、 “数学故事”、 “趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门） （1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图根据该统计图，请估计该校七年级 480 名学生选“数学故事”的人数（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的 A，B，C 三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在 A 班，求他和小慧被分到同一个班的概率 （要求列表或画树状图）20 （8 分）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形如图，已知整点 A（2，3） ，B（4，4） ，请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形（1）在图 1 中画一个PAB，使点 P 的横、纵坐标之和等于点 A 的横坐标；（2）在图 2 中画一个PAB，使点 P，B 横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4 倍21 （10 分）如图，在ABC 中，AC=BC，ACB=90°，O（圆心 O 在ABC 内部）经过 B、C 两点，交 AB 于点 E，过点 E 作O 的切线交 AC 于点 F延长 CO交 AB 于点 G，作 EDAC 交 CG 于点 D （1）求证：四边形 CDEF 是平行四边形；（2）若 BC=3，tanDEF=2，求 BG 的值22 （10 分）如图，过抛物线 y=x22x 上一点 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点 B，交 y 轴于点 C，已知点 A 的横坐标为2（1）求抛物线的对称轴和点 B 的坐标；（2）在 AB 上任取一点 P，连结 OP，作点 C 关于直线 OP 的对称点 D；连结 BD，求 BD 的最小值；当点 D 落在抛物线的对称轴上，且在 x 轴上方时，求直线 PD 的函数表达式23 （12 分）小黄准备给长 8m，宽 6m 的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形 ABCD 区域（阴影部分）和一个环形区域（空白部分） ，其中区域用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足 PQAD，如图所示（1）若区域的三种瓷砖均价为 300 元/m2，面积为 S（m2） ，区域的瓷砖均价为 200 元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过 12000 元，求 S 的最大值；（2）若区域满足 AB：BC=2：3，区域四周宽度相等求 AB，BC 的长；若甲、丙两瓷砖单价之和为 300 元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为 5：3，且区域的三种瓷砖总价为 4800 元，求丙瓷砖单价的取值范围24 （14 分）如图，已知线段 AB=2，MNAB 于点 M，且 AM=BM，P 是射线MN 上一动点，E，D 分别是 PA，PB 的中点，过点 A，M，D 的圆与 BP 的另一交点 C（点 C 在线段 BD 上） ，连结 AC，DE（1）当APB=28°时，求B 和的度数；（2）求证：AC=AB（3）在点 P 的运动过程中当 MP=4 时，取四边形 ACDE 一边的两端点和线段 MP 上一点 Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且 Q 为锐角顶点，求所有满足条件的 MQ 的值；记 AP 与圆的另一个交点为 F，将点 F 绕点 D 旋转 90°得到点 G，当点 G 恰好落在 MN 上时，连结 AG，CG，DG，EG，直接写出ACG 和DEG 的面积之比2017 年浙江省温州市中考数学试卷年浙江省温州市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）：分）：1 （4 分） （2017温州）6 的相反数是（ ）A6B1C0D6【分析】根据相反数的定义求解即可【解答】解：6 的相反数是 6，故选：A【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0不要把相反数的意义与倒数的意义混淆2 （4 分） （2017温州）某校学生到校方式情况的统计图如图所示，若该校步行到校的学生有 100 人，则乘公共汽车到校的学生有（ ）A75 人B100 人C125 人D200 人【分析】由扇形统计图可知，步行人数所占比例，再根据统计表中步行人数是100 人，即可求出总人数以及乘公共汽车的人数；【解答】解：所有学生人数为 100÷20%=500（人） ；所以乘公共汽车的学生人数为 500×40%=200（人） 故选 D【点评】此题主要考查了扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小3 （4 分） （2017温州）某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（ ）ABCD【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案【解答】解：从正面看，故选：C【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图4 （4 分） （2017温州）下列选项中的整数，与最接近的是（ ）A3B4C5D6【分析】依据被开放数越大对应的算术平方根越大进行解答即可【解答】解：161720.25，44.5，与最接近的是 4故选：B【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握算术平方根的性质是解题的关键5 （4 分） （2017温州）温州某企业车间有 50 名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：零件个数（个） 5678人数（人）3152210表中表示零件个数的数据中，众数是（ ）A5 个B6 个C7 个 D8 个【分析】根据众数的定义，找数据中出现最多的数即可【解答】解：数字 7 出现了 22 次，为出现次数最多的数，故众数为 7 个，故选 C【点评】本题考查了众数的概念众数是数据中出现次数最多的数众数不唯一6 （4 分） （2017温州）已知点（1，y1） ， （4，y2）在一次函数 y=3x2 的图象上，则 y1，y2，0 的大小关系是（ ）A0y1y2By10y2Cy1y20Dy20y1【分析】根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出 y1、y2的值，将其与 0 比较大小后即可得出结论【解答】解：点（1，y1） ， （4，）在一次函数 y=3x2 的图象上，y1=5，y2=10，1005，y10y2故选 B【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征求出 y1、y2的值是解题的关键7 （4 分） （2017温州）如图，一辆小车沿倾斜角为 的斜坡向上行驶 13 米，已知 cos=，则小车上升的高度是（ ）A5 米B6 米C6.5 米D12 米【分析】在 RtABC 中，先求出 AB，再利用勾股定理求出 BC 即可【解答】解：如图 AC=13，作 CBAB，cos=，AB=12，BC=132122=5，小车上升的高度是 5m故选 A【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型8 （4 分） （2017温州）我们知道方程 x2+2x3=0 的解是 x1=1，x2=3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）3=0，它的解是（ ）Ax1=1，x2=3Bx1=1，x2=3 Cx1=1，x2=3 Dx1=1，x2=3【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）3=0 看作关于 2x+3 的一元二次方程，利用题中的解得到 2x+3=1 或 2x+3=3，然后解两个一元一次方程即可【解答】解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）3=0 看作关于 2x+3 的一元二次方程，所以 2x+3=1 或 2x+3=3，所以 x1=1，x2=3故选 D【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解9 （4 分） （2017温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形 ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为 S 的小正方形 EFGH已知 AM 为RtABM 较长直角边，AM=2EF，则正方形 ABCD 的面积为（ ）A12S B10S C9SD8S【分析】设 AM=2aBM=b则正方形 ABCD 的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2ab）2（ab）=2ab2a+2b=b，由此即可解决问题【解答】解：设 AM=2aBM=b则正方形 ABCD 的面积=4a2+b2由题意可知 EF=（2ab）2（ab）=2ab2a+2b=b，AM=2EF，2a=2b，a=b，正方形 EFGH 的面积为 S，b2=S，正方形 ABCD 的面积=4a2+b2=9b2=9S，故选 C【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题10 （4 分） （2017温州）我们把 1，1，2，3，5，8，13，21，这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作 90°圆弧，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结 P1P2，P2P3，P3P4，得到螺旋折线（如图） ，已知点 P1（0，1） ，P2（1，0） ，P3（0，1） ，则该折线上的点 P9的坐标为（ ）A （6，24）B （6，25）C （5，24）D （5，25）【分析】观察图象，推出 P9的位置，即可解决问题【解答】解：由题意，P5在 P2的正上方，推出 P9在 P6的正上方，且到 P6的距离=21+5=26，所以 P9的坐标为（6，25） ，故选 B【点评】本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定 P9的位置二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）：分）：11 （5 分） （2017温州）分解因式：m2+4m= m（m+4） 【分析】直接提提取公因式 m，进而分解因式得出答案【解答】解：m2+4m=m（m+4） 故答案为：m（m+4） 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键12 （5 分） （2017温州）数据 1，3，5，12，a，其中整数 a 是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是 4.8 或 5 或 5.2 【分析】根据中位数的定义确定整数 a 的值，由平均数的定义即可得出答案【解答】解：数据 1，3，5，12，a 的中位数是整数 a，a=3 或 a=4 或 a=5，当 a=3 时，这组数据的平均数为=4.8，当 a=4 时，这组数据的平均数为=5，当 a=5 时，这组数据的平均数为=5.2，故答案为：4.8 或 5 或 5.2【点评】本题主要考查了中位数和平均数，解题的关键是根据中位数的定义确定 a 的值13 （5 分） （2017温州）已知扇形的面积为 3，圆心角为 120°，则它的半径为 3 【分析】根据扇形的面积公式，可得答案【解答】解：设半径为 r，由题意，得r2×=3，解得 r=3，故答案为：3【点评】本题考查了扇形面积公式，利用扇形面积公式是解题关键14 （5 分） （2017温州）甲、乙工程队分别承接了 160 米、200 米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设 5 米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设 x 米，根据题意可列出方程： = 【分析】设甲每天铺设 x 米，则乙每天铺设（x+5）米，根据铺设时间=和甲、乙完成铺设任务的时间相同列出方程即可【解答】解：设甲工程队每天铺设 x 米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得：=故答案是：=【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程15 （5 分） （2017温州）如图，矩形 OABC 的边 OA，OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 在第一象限，点 D 在边 BC 上，且AOD=30°，四边形 OABD 与四边形OABD 关于直线 OD 对称（点 A和 A，B和 B 分别对应） 若 AB=1，反比例函数y=（k0）的图象恰好经过点 A，B，则 k 的值为 【分析】设 B（m，1） ，得到 OA=BC=m，根据轴对称的性质得到OA=OA=m，AOD=AOD=30°，求得AOA=60°，过 A作 AEOA 于 E，解直角三角形得到 A（m，m） ，列方程即可得到结论【解答】解：四边形 ABCO 是矩形，AB=1，设 B（m，1） ，OA=BC=m，四边形 OABD 与四边形 OABD 关于直线 OD 对称，OA=OA=m，AOD=AOD=30°，AOA=60°，过 A作 AEOA 于 E，OE=m，AE=m，A（m，m） ，反比例函数 y=（k0）的图象恰好经过点 A，B，mm=m，m=，k=故答案为：【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键16 （5 分） （2017温州）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图 1） ，完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点 A，出水口 B 和落水点 C 恰好在同一直线上，点 A 至出水管 BD 的距离为 12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2 所示，现用高 10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点 D 和杯子上底面中心 E，则点 E 到洗手盆内侧的距离 EH 为 248 cm【分析】先建立直角坐标系，过 A 作 AGOC 于 G，交 BD 于 Q，过 M 作MPAG 于 P，根据ABQACG，求得 C（20，0） ，再根据水流所在抛物线经过点 D（0，24）和 B（12，24） ，可设抛物线为 y=ax2+bx+24，把 C（20，0） ，B（12，24）代入抛物线，可得抛物线为 y=x2+x+24，最后根据点 E 的纵坐标为 10.2，得出点 E 的横坐标为 6+8，据此可得点 E 到洗手盆内侧的距离【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过 A 作 AGOC 于 G，交 BD 于 Q，过 M 作 MPAG 于 P，由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故 AP=6，AG=36，RtAPM 中，MP=8，故 DQ=8=OG，BQ=128=4，由 BQCG 可得，ABQACG，=，即=，CG=12，OC=12+8=20，C（20，0） ，又水流所在抛物线经过点 D（0，24）和 B（12，24） ，可设抛物线为 y=ax2+bx+24，把 C（20，0） ，B（12，24）代入抛物线，可得，解得，抛物线为 y=x2+x+24，又点 E 的纵坐标为 10.2，令 y=10.2，则 10.2=x2+x+24，解得 x1=6+8，x2=68（舍去） ，点 E 的横坐标为 6+8，又ON=30，EH=30（6+8）=248故答案为：248【点评】本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 80 分）：分）：17 （10 分） （2017温州） （1）计算：2×（3）+（1）2+；（2）化简：（1+a） （1a）+a（a2） 【分析】 （1）原式先计算乘方运算，化简二次根式，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果（2）运用平方差公式即可解答【解答】解：（1）原式=6+1+2=5+2；（2）原式=1a2+a22a=12a【点评】本题考查了平方差公式，实数的运算以及单项式乘多项式熟记实数运算法则即可解题，属于基础题18 （8 分） （2017温州）如图，在五边形 ABCDE 中，BCD=EDC=90°，BC=ED，AC=AD（1）求证：ABCAED；（2）当B=140°时，求BAE 的度数【分析】 （1）根据ACD=ADC，BCD=EDC=90°，可得ACB=ADE，进而运用 SAS 即可判定全等三角形；（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到BAE 的度数【解答】解：（1）AC=AD，ACD=ADC，又BCD=EDC=90°，ACB=ADE，在ABC 和AED 中，ABCAED（SAS） ；（2）当B=140°时，E=140°，又BCD=EDC=90°，五边形 ABCDE 中，BAE=540°140°×290°×2=80°【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等19 （8 分） （2017温州）为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、 “魅力数独”、 “数学故事”、 “趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门） （1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图根据该统计图，请估计该校七年级 480 名学生选“数学故事”的人数（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的 A，B，C 三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在 A 班，求他和小慧被分到同一个班的概率 （要求列表或画树状图）【分析】 （1）利用样本估计总体，用 480 乘以样本中选“数学故事”的人数所占的百分比即可估计该校七年级 480 名学生选“数学故事”的人数；（2）画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出他和小慧被分到同一个班的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）480×=90，估计该校七年级 480 名学生选“数学故事”的人数为 90 人；（2）画树状图为：共有 6 种等可能的结果数，其中他和小慧被分到同一个班的结果数为 2，所以他和小慧被分到同一个班的概率=【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率20 （8 分） （2017温州）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形如图，已知整点 A（2，3） ，B（4，4） ，请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形（1）在图 1 中画一个PAB，使点 P 的横、纵坐标之和等于点 A 的横坐标；（2）在图 2 中画一个PAB，使点 P，B 横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4 倍【分析】 （1）设 P（x，y） ，由题意 x+y=2，求出整数解即可解决问题；（2）设 P（x，y） ，由题意 x2+42=4（4+y） ，求出整数解即可解决问题；【解答】解：（1）设 P（x，y） ，由题意 x+y=2，P（2，0）或（1，1）或（0，2）不合题意舍弃，PAB 如图所示（2）设 P（x，y） ，由题意 x2+42=4（4+y） ，整数解为（2，1）或（0，0）等，PAB 如图所示【点评】本题考查作图应用与设计、二元方程的整数解问题等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型21 （10 分） （2017温州）如图，在ABC 中，AC=BC，ACB=90°，O（圆心O 在ABC 内部）经过 B、C 两点，交 AB 于点 E，过点 E 作O 的切线交 AC 于点 F延长 CO 交 AB 于点 G，作 EDAC 交 CG 于点 D （1）求证：四边形 CDEF 是平行四边形；（2）若 BC=3，tanDEF=2，求 BG 的值【分析】 （1）连接 CE，根据等腰直角三角形的性质得到B=45°，根据切线的性质得到FEO=90°，得到 EFOD，于是得到结论；（2）过 G 作 GNBC 于 N，得到GMB 是等腰直角三角形，得到 MB=GM，根据平行四边形的性质得到FCD=FED，根据余角的性质得到CGM=ACD，等量代换得到CGM=DEF，根据三角函数的定义得到 CM=2GM，于是得到结论【解答】解：（1）连接 CE，在ABC 中，AC=BC，ACB=90°，B=45°，COE=2B=90°，EF 是O 的切线，FEO=90°，EFOC，DECF，四边形 CDEF 是平行四边形；（2）过 G 作 GNBC 于 N，GMB 是等腰直角三角形，MB=GM，四边形 CDEF 是平行四边形，FCD=FED，ACD+GCB=GCB+CGM=90°，CGM=ACD，CGM=DEF，tanDEF=2，tanCGM=2，CM=2GM，CM+BM=2GM+GM=3，GM=1，BG=GM=【点评】本题考查了切线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键22 （10 分） （2017温州）如图，过抛物线 y=x22x 上一点 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点 B，交 y 轴于点 C，已知点 A 的横坐标为2（1）求抛物线的对称轴和点 B 的坐标；（2）在 AB 上任取一点 P，连结 OP，作点 C 关于直线 OP 的对称点 D；连结 BD，求 BD 的最小值；当点 D 落在抛物线的对称轴上，且在 x 轴上方时，求直线 PD 的函数表达式【分析】 （1）首先确定点 A 的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点 B 坐标；（2）由题意点 D 在以 O 为圆心 OC 为半径的圆上，推出当 O、D、B 共线时，BD 的最小值=OBOD；当点 D 在对称轴上时，在 RtOD=OC=5，OE=4，可得 DE=3，求出 P、D 的坐标即可解决问题；【解答】解：（1）由题意 A（2，5） ，对称轴 x=4，A、B 关于对称轴对称，B（10，5） （2）如图 1 中，由题意点 D 在以 O 为圆心 OC 为半径的圆上，当 O、D、B 共线时，BD 的最小值=OBOD=5=55如图 2 中，图 2当点 D 在对称轴上时，在 RtODE 中，OD=OC=5，OE=4，DE=3，点 D 的坐标为（4，3） 设 PC=PD=x，在 RtPDK 中，x2=（4x）2+22，x=，P（，5） ，直线 PD 的解析式为 y=x+【点评】本题考查抛物线与 X 轴的交点、待定系数法、最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题，属于中考常考题型23 （12 分） （2017温州）小黄准备给长 8m，宽 6m 的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形 ABCD 区域（阴影部分）和一个环形区域（空白部分） ，其中区域用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足 PQAD，如图所示（1）若区域的三种瓷砖均价为 300 元/m2，面积为 S（m2） ，区域的瓷砖均价为 200 元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过 12000 元，求 S 的最大值；（2）若区域满足 AB：BC=2：3，区域四周宽度相等求 AB，BC 的长；若甲、丙两瓷砖单价之和为 300 元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为 5：3，且区域的三种瓷砖总价为 4800 元，求丙瓷砖单价的取值范围【分析】 （1）根据题意可得 300S+（48S）20012000，解不等式即可；（2）设区域四周宽度为 a，则由题意（62a）：（82a）=2：3，解得a=1，由此即可解决问题；设乙、丙瓷砖单价分别为 5x 元/m2和 3x 元/m2，则甲的单价为（3003x）元/m2，由 PQAD，可得甲的面积=矩形 ABCD 的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12s） ，由题意 12（3003x）+5xs+3x（12s）=4800，解得s=，由 0s12，可得 012，解不等式即可；【解答】解：（1）由题意 300S+（48S）20012000，解得 S24S 的最大值为 24（2）设区域四周宽度为 a，则由题意（62a）：（82a）=2：3，解得a=1，AB=62a=4，CB=82a=6设乙、丙瓷砖单价分别为 5x 元/m2和 3x 元/m2，则甲的单价为（3003x）元/m2，PQAD，甲的面积=矩形 ABCD 的面积的一半=12，设乙的面积为 s，则丙的面积为（12s） ，由题意 12（3003x）+5xs+3x（12s）=4800，解得 s=，0s12，012，又3003x0，综上所述，50x100，1503x300，丙瓷砖单价 3x 的范围为 1503x300 元/m2【点评】本题考查不等式的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决实际问题，属于中考常考题型24 （14 分） （2017温州）如图，已知线段 AB=2，MNAB 于点 M，且AM=BM，P 是射线 MN 上一动点，E，D 分别是 PA，PB 的中点，过点A，M，D 的圆与 BP 的另一交点 C（点 C 在线段 BD 上） ，连结 AC，DE（1）当APB=28°时，求B 和的度数；（2）求证：AC=AB（3）在点 P 的运动过程中当 MP=4 时，取四边形 ACDE 一边的两端点和线段 MP 上一点 Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且 Q 为锐角顶点，求所有满足条件的 MQ 的值；记 AP 与圆的另一个交点为 F，将点 F 绕点 D 旋转 90°得到点 G，当点 G 恰好落在 MN 上时，连结 AG，CG，DG，EG，直接写出ACG 和DEG 的面积之比【分析】 （1）根据三角形 ABP 是等腰三角形，可得B 的度数，再连接 MD，根据 MD 为PAB 的中位线，可得MDB=APB=28°，进而得到=2MDB=56°；（2）根据BAP=ACB，BAP=B，即可得到ACB=B，进而得出AC=AB；（3）记 MP 与圆的另一个交点为 R，根据 AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，即可得到PR=，MR=，再根据 Q 为直角三角形锐角顶点，分四种情况进行讨论：当ACQ=90°时，当QCD=90°时，当QDC=90°时，当AEQ=90°时，即可求得MQ 的值为或或；先判定DEG 是等边三角形，再根据 GMD=GDM，得到 GM=GD=1，过 C作 CHAB 于 H，由BAC=30°可得 CH=AC=1=MG，即可得到 CG=MH=1，进而得出 SACG=CG×CH=，再根据 SDEG=，即可得到ACG 和DEG的面积之比【解答】解：（1）MNAB，AM=BM，PA=PB，PAB=B，APB=28°，B=76°，如图 1，连接 MD，MD 为PAB 的中位线，MDAP，MDB=APB=28°，=2MDB=56°；（2）BAC=MDC=APB，又BAP=180°APBB，ACB=180°BACB，BAP=ACB，BAP=B，ACB=B，AC=AB；（3）如图 2，记 MP 与圆的另一个交点为 R，MD 是 RtMBP 的中线，DM=DP，DPM=DMP=RCD，RC=RP，ACR=AMR=90°，AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，12+MR2=22+PR2，12+（4PR）2=22+PR2，PR=，MR=，当ACQ=90°时，AQ 为圆的直径，Q 与 R 重合，MQ=MR=；如图 3，当QCD=90°时，在 RtQCP 中，PQ=2PR=，MQ=；如图 4，当QDC=90°时，BM=1，MP=4，BP=，DP=BP=，cosMPB=，PQ=，MQ=；如图 5，当AEQ=90°时，由对称性可得AEQ=BDQ=90°，MQ=；综上所述，MQ 的值为或或；ACG 和DEG 的面积之比为理由：如图 6，DMAF，DF=AM=DE=1，又由对称性可得 GE=GD，DEG 是等边三角形，EDF=90°60°=30°，DEF=75°=MDE，GDM=75°60°=15°，GMD=PGDGDM=15°，GMD=GDM，GM=GD=1，过 C 作 CHAB 于 H，由BAC=30°可得 CH=AC=AB=1=MG，AH=，CG=MH=1，SACG=CG×CH=，SDEG=，SACG：SDEG=【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及等边三角形，运用旋转的性质以及含 30°角的直角三角形的性质进行计算求解，解题时注意分类思想的运用