11.2与三角形有关的角（第1课时）.ppt

第十一章 三角形,11.2与三角形有关的角第1课时,关注“初中教师园地”公众号2019秋季各科最新备课资料陆续推送中快快告诉你身边的小伙伴们吧,学习目标,2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）,1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内 角和等于180°.（重点）,我的形状最小，那我的内角和最小.,我的形状最大，那我的内角和最大.,不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.,一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.,导入新课,情境引入,我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.,思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?,折叠,还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？,锐角三角形,测量,480,720,600,6004807201800,（学生运用学科工具量角器测量演示）,剪拼,（小组合作，讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程）,三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.,观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？,还有其他的拼接方法吗？,讲授新课,探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.,三角形的内角和定理的证明,验证结论,三角形三个内角的和等于180°.,求证：A+B+C=180°.,已知：ABC.,证法1：过点A作lBC， B=1.(两直线平行,内错角相等) C=2.(两直线平行,内错角相等) 2+1+BAC=180°，B+C+BAC=180°.,1,2,证法2：延长BC到D，过点C作CEBA， A=1 .(两直线平行，内错角相等) B=2.(两直线平行，同位角相等)又1+2+ACB=180°， A+B+ACB=180°.,E,D,E,D,F,证法3：过D作DEAC,作DFAB. C=EDB,B=FDC.(两直线平行，同位角相等) A+AED=180°,AED+EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补) A=EDF.EDB+EDF+FDC=180°， A+B+C=180°.,想一想：同学们还有其他的方法吗？,思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？,借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.,试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？,知识要点,在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.,思路总结,为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.,作辅助线,例1 如图，在ABC中， BAC=40 °, B=75 °,AD是ABC的角平分线，求ADB的度数.,解：由BAC=40 °, AD是ABC的角平分线，得,BAD= BAC=20 °.,在ABD中，ADB=180°-B-BAD=180°-75°-20°=85°.,三角形的内角和定理的运用,【变式题】如图，CD是ACB的平分线，DEBC，A50°，B70°，求EDC，BDC的度数,解：A50°，B70°，ACB180°AB60°.CD是ACB的平分线，BCD ACB30°.DEBC，EDCBCD30°，在BDC中，BDC180°BBCD=80°.,例2 如图，ABC中，D在BC的延长线上，过D作DEAB于E，交AC于F.已知A30°，FCD80°，求D.,解：DEAB，FEA90°在AEF中，FEA90°，A30°，AFE180°FEAA60°.又CFDAFE，CFD60°.在CDF中，CFD60°，FCD80°，D180°CFDFCD40°.,基本图形,由三角形的内角和定理易得A+B=C+D.,由三角形的内角和定理易得1+2=3+4.,总结归纳,例3 在ABC 中， A 的度数是B 的度数的3倍，C 比B 大15°，求A，B，C的度数.,解: 设B为x°，则A为(3x)°，C为(x 15)°， 从而有,3x x (x 15) 180.,解得 x 33.,所以 3x 99 ， x 15 48.,答： A， B， C的度数分别为99°， 33°， 48°.,几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.,【变式题】在ABC中，A B ACB，CD是ABC的高，CE是ACB的平分线，求DCE的度数,解析：根据已知条件用A表示出B和ACB，利用三角形的内角和求出A，再求出ACB，ACD，最后根据角平分线的定义求出ACE即可求得DCE的度数,比例关系可考虑用方程思想求角度.,解：A B ACB，设Ax，B2x，ACB3x.ABACB180°，x2x3x180°，得x30°，A30°，ACB90°.CD是ABC的高，ADC90°，ACD180°90°30°60°.CE是ACB的平分线，ACE ×90°45°，DCEACDACE60°45°15°.,在ABC中，A :B:C=1:2:3，则ABC是 _三角形 .,练一练：,在ABC中，A=35°， B=43 °，则 C= .,在ABC中， A= B+10°, C= A + 10°, 则 A= ， B= ， C= .,102°,直角,60°,50°,70°,例4 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角ACB是多少度？,三角形的内角和定理也常常用在实际问题中.,解： CAB= BAD- CAD=80 °-50°=30°.,由AD/BE,得BAD+ ABE=180 °.,所以ABE=180 °- BAD=180°-80°=100°,ABC= ABE- EBC=100°-40°=60°.,在ABC中，ACB=180 °- ABC- CAB=180°-60°-30° =90°,答：从B岛看A,C两岛的视角ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角ACB是90°.,【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角ACB的度数.,解：如图，由题意得BEAD,BAD=40°，CAD=15°，EBC=80°，EBA=BAD=40°， BAC=40°+15°=55°,CBA=EBC-EBA=80°-40°=40°，ACB=180°-BAC-ABC =180°-55°-40°=85°,D,E,当堂练习,1.求出下列各图中的x值,x=70,x=60,x=30,x=50,2.如图，则1+2+3+4=_ .,280 °,3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,A+ADE=180°，B=78°，C=60°，求EDC的度数,解：A+ADE=180°，ABDE，CED=B=78°又C=60°，EDC=180°-（CED+C）=180°-（78°+60°）=42°,4.如图，在ABC中，B=42°，C=78°，AD平分BAC求ADC的度数.,解：B=42°，C=78°，BAC=180°-B-C=60°.AD平分BAC，CAD= BAC=30°，ADC=180°-B-CAD=72°.,5.如图，在ABC中，BP平分ABC，CP平分ACB，若BAC=60°，求BPC的度数,解：ABC中，A=60°，ABC+ACB=120°BP平分ABC，CP平分ACB，PBC+PCB= （ABC+ACB）=60°PBC+PCB+BPC=180°，BPC=180°-60°=120°,拓 展,【变式题】你能直接写出BPC与A 之间的数量关系吗？,解：BP平分ABC，CP平分ACB，PBC+PCB= （ABC+ACB）=60°PBC+PCB+BPC=180°，BPC=180°- （ABC+ACB） =180°- （180°-A）=90°+ A ,课堂小结,三角形的内角和定理,证明,了解添加辅助线的方法及其目的,内容,三角形内角和等于180 °,