2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：23 直角三角形与勾股定理.doc

1直角三角形与勾股定理直角三角形与勾股定理一、选择题一、选择题1. （2014湘潭，第 7 题，3 分）以下四个命题正确的是（ ）A任意三点可以确定一个圆B菱形对角线相等C直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D平行四边形的四条边相等考点： 命题与定理分析： 利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个选项判断后即可确定答案解答： 解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误；C、正确；D、平行四边形的四条边不一定相等故选 C点评： 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质，难度一般2. （2014湘潭，14 题，3 分）如图，O 的半径为 3，P 是 CB 延长线上一点，PO=5，PA 切O 于 A 点，则 PA= 4 （第 2 题图）考点： 切线的性质；勾股定理2分析： 先根据切线的性质得到 OAPA，然后利用勾股定理计算 PA 的长解答：解：PA 切O 于 A 点，OAPA，在 RtOPA 中，OP=5，OA=3，PA=4故答案为 4点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了勾股定理3. （2014泰州，第 6 题，3 分）如果三角形满足一个角是另一个角的 3 倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）A1，2，3B1，1，C1，1，D1，2，考点： 解直角三角形专题： 新定义分析： A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是顶角 120°，底角 30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是 90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定解答： 解：A、1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是= ，可知是顶角 120°，底角 30°的等腰三角形，故选项错误；3D、解直角三角形可知是三个角分别是 90°，60°，30°的直角三角形，其中 90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确故选：D点评： 考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定， “智慧三角形”的概念4. （2014扬州，第 7 题，3 分）如图，已知AOB=60°，点 P 在边 OA 上，OP=12，点M，N 在边 OB 上，PM=PN，若 MN=2，则 OM=（ ）（第 4 题图）A3B4C5D6考点： 含 30 度角的直角三角形；等腰三角形的性质分析： 过 P 作 PDOB，交 OB 于点 D，在直角三角形 POD 中，利用锐角三角函数定义求出 OD 的长，再由 PM=PN，利用三线合一得到 D 为 MN 中点，根据 MN 求出 MD 的长，由 ODMD 即可求出 OM 的长解答： 解：过 P 作 PDOB，交 OB 于点 D，在 RtOPD 中，cos60°= ，OP=12，OD=6，PM=PN，PDMN，MN=2，MD=ND= MN=1，OM=ODMD=61=5故选 C4点评： 此题考查了含 30 度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键5.（2014扬州，第 8 题，3 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD=60°，点 M、N 分别在 AB、AD 边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则 tanMCN=（ ）（第 5 题图）ABCD2考点： 全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理专题： 计算题分析： 连接 AC，通过三角形全等，求得BAC=30°，从而求得 BC 的长，然后根据勾股定理求得 CM 的长，连接 MN，过 M 点作 MEON 于 E，则MNA 是等边三角形求得 MN=2，设NF=x，表示出 CF，根据勾股定理即可求得 MF，然后求得 tanMCN解答： 解：AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，AM=AN=2，BM=DN=4，5连接 MN，连接 AC，ABBC，ADCD，BAD=60°在 RtABC 与 RtADC 中，RtABCRtADC（LH）BAC=DAC= BAD=30°，MC=NC，BC= AC，AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，BC=2，在 RtBMC 中，CM=2AN=AM，MAN=60°，MAN 是等边三角形，MN=AM=AN=2，过 M 点作 MEON 于 E，设 NE=x，则 CE=2x，MN2NE2=MC2EC2，即 4x2=（2）2（2x）2，解得：x=，EC=2=，ME=，tanMCN=故选 A6点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键6. （ 2014安徽省,第 8 题 4 分）如图，RtABC 中，AB=9，BC=6，B=90°，将ABC折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为（ ）ABC4D5考点：翻折变换（折叠问题） 分析：设 BN=x，则由折叠的性质可得 DN=AN=9x，根据中点的定义可得 BD=3，在RtABC 中，根据勾股定理可得关于 x 的方程，解方程即可求解解答：解：设 BN=x，由折叠的性质可得 DN=AN=9x，D 是 BC 的中点，BD=3，在 RtABC 中，x2+32=（9x）2，解得 x=4故线段 BN 的长为 4故选：C点评：考查了翻折变换（折叠问题） ，涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大7. （ 2014广西贺州，第 11 题 3 分）如图，以 AB 为直径的O 与弦 CD 相交于点 E，且AC=2，AE=，CE=1则弧 BD 的长是（ ）ABCD7考点： 垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算分析： 连接 OC，先根据勾股定理判断出ACE 的形状，再由垂径定理得出 CE=DE，故=，由锐角三角函数的定义求出A 的度数，故可得出BOC 的度数，求出OC 的长，再根据弧长公式即可得出结论解答： 解：连接 OC，ACE 中，AC=2，AE=，CE=1，AE2+CE2=AC2，ACE 是直角三角形，即 AECD，sinA=，A=30°，COE=60°，=sinCOE，即=，解得 OC=，AECD，=，=故选 B点评： 本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中8.（2014滨州，第 7 题 3 分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A4，5，6B1.5，2，2.5C2，3，4D1，38考点：勾股定理的逆定理分析：由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可解答：解：A、42+52=4162，不可以构成直角三角形，故本选项错误；B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确；C、22+32=1342，不可以构成直角三角形，故本选项错误；D、12+（）2=332，不可以构成直角三角形，故本选项错误故选 B点评：本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形9 （2014 年山东泰安，第 8 题 3 分）如图，ACB=90°，D 为 AB 的中点，连接 DC 并延长到 E，使 CE= CD，过点 B 作 BFDE，与 AE 的延长线交于点 F若 AB=6，则 BF 的长为（ ）A6B7C8D10分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 CD= AB=3，则结合已知条件 CE= CD 可以求得 ED=4然后由三角形中位线定理可以求得 BF=2ED=8解：如图，ACB=90°，D 为 AB 的中点，AB=6，CD= AB=3又 CE= CD，CE=1，ED=CE+CD=4又BFDE，点 D 是 AB 的中点，ED 是AFD 的中位线，BF=2ED=8故选：C9点评：本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线根据已知条件求得 ED 的长度是解题的关键与难点10 （2014 年山东泰安，第 12 题 3 分）如图是一个直角三角形纸片，A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点 C 落在斜边上的点 C处，折痕为 BD，如图，再将沿 DE折叠，使点 A 落在 DC的延长线上的点 A处，如图，则折痕 DE 的长为（ ）A cmB2cmC2cmD3cm分析：根据直角三角形两锐角互余求出ABC=60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得BDC=BDC，CBD=ABD=30°，ADE=ADE，然后求出BDE=90°，再解直角三角形求出 BD，然后求出 DE 即可解：ABC 是直角三角形，A=30°，ABC=90°30°=60°，沿折痕 BD 折叠点 C 落在斜边上的点 C处，BDC=BDC，CBD=ABD= ABC=30°，沿 DE 折叠点 A 落在 DC的延长线上的点 A处，ADE=ADE，BDE=ABD+ADE= ×180°=90°，在 RtBCD 中，BD=BC÷cos30°=4÷=cm，在 RtADE 中，DE=BDtan30°=×= cm故选 A点评：本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是 30°角的直角三角形是解题的关键二二.填空题填空题1. （ 2014福建泉州，第 14 题 4 分）如图，RtABC 中，ACB=90°，D 为斜边 AB 的中点，AB=10cm，则 CD 的长为 5 cm10考点： 直角三角形斜边上的中线分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 CD= AB解答： 解：ACB=90°，D 为斜边 AB 的中点，CD= AB= ×10=5cm故答案为：5点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键2. （ 2014广东，第 14 题 4 分）如图，在O 中，已知半径为 5，弦 AB 的长为 8，那么圆心 O 到 AB 的距离为 3 考点： 垂径定理；勾股定理分析：作 OCAB 于 C，连结 OA，根据垂径定理得到 AC=BC= AB=3，然后在 RtAOC中利用勾股定理计算 OC 即可解答： 解：作 OCAB 于 C，连结 OA，如图，OCAB，AC=BC= AB= ×8=4，在 RtAOC 中，OA=5，OC=3，即圆心 O 到 AB 的距离为 311故答案为：3点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理3 （2014新疆，第 14 题 5 分）如图，RtABC 中，ABC=90°，DE 垂直平分 AC，垂足为 O，ADBC，且 AB=3，BC=4，则 AD 的长为 考点： 勾股定理；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质分析： 先根据勾股定理求出 AC 的长，再根据 DE 垂直平分 AC 得出 OA 的长，根据相似三角形的判定定理得出AODCBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论解答： 解：RtABC 中，ABC=90°，AB=3，BC=4，AC=5，DE 垂直平分 AC，垂足为 O，OA= AC= ，AOD=B=90°，ADBC，A=C，AODCBA，=，即=，解得 AD=故答案为：点评： 本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，12两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键4.（2014邵阳，第 17 题 3 分）如图，在 RtABC 中，C=90°，D 为 AB 的中点，DEAC 于点 EA=30°，AB=8，则 DE 的长度是 2 考点：三角形中位线定理；含 30 度角的直角三角形分析：根据 D 为 AB 的中点可求出 AD 的长，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出 DE 的长度解答：解：D 为 AB 的中点，AB=8，AD=4，DEAC 于点 E，A=30°，DE= AD=2，故答案为：2点评：本题考查了直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半135.（2014·云南昆明，第 10 题 3 分）如图，在 RtABC 中，ABC=90°，AC=10cm，点 D为 AC 的中点，则 BD= cm.考点： 直角三角形中线问题分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出结果解答： 解：ABC=90°，AC=10cm，点 D 为 AC 的中点，521ACBD故填 5点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，弄清性质是解决本题的关键三三.解答题解答题1. （2014湘潭，第 19 题）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工为了使山的另一侧的开挖点 C 在 AB 的延长线上，设想过 C 点作直线 AB 的垂线 L，过点 B 作一直线（在山的旁边经过） ，与 L 相交于 D 点，经测量ABD=135°，BD=800 米，求直线 L 上距离 D 点多远的 C 处开挖？（1.414，精确到 1 米）图 10图 图DCBA 14考点： 勾股定理的应用分析： 首先证明BCD 是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得 CD2+BC2=BD2，然后再代入 BD=800 米进行计算即可解答： 解：CDAC，ACD=90°，ABD=135°，DBC=45°，D=45°，CB=CD，在 RtDCB 中：CD2+BC2=BD2，2CD2=8002，CD=400566（米） ，答：直线 L 上距离 D 点 566 米的 C 处开挖点评： 此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图领会数形结合的思想的应用2. （2014益阳，第 20 题，10 分）如图，直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，抛物线 y=a（x2）2+k 经过点 A、B，并与 X 轴交于另一点 C，其顶点为 P（1）求 a，k 的值；（2）抛物线的对称轴上有一点 Q，使ABQ 是以 AB 为底边的等腰三角形，求 Q 点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点 M、N，使以 A，C，M，N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长15（第 2 题图）考点： 二次函数综合题分析： （1）先求出直线 y=3x+3 与 x 轴交点 A，与 y 轴交点 B 的坐标，再将 A、B 两点坐标代入 y=a（x2）2+k，得到关于 a，k 的二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设 Q 点的坐标为（2，m） ，对称轴 x=2 交 x 轴于点 F，过点 B 作 BE 垂直于直线 x=2 于点 E在 RtAQF 与 RtBQE 中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，由 AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3m）2，解方程求出 m=2，即可求得 Q 点的坐标；（3）当点 N 在对称轴上时，由 NC 与 AC 不垂直，得出 AC 为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到 M 点与顶点 P（2，1）重合，N 点为点P 关于 x 轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且 ACMN，则四边形 AMCN 为正方形，在 RtAFN 中根据勾股定理即可求出正方形的边长解答： 解：（1）直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，A（1，0） ，B（0，3） 又抛物线抛物线 y=a（x2）2+k 经过点 A（1，0） ，B（0，3） ，解得，故 a，k 的值分别为 1，1；（2）设 Q 点的坐标为（2，m） ，对称轴 x=2 交 x 轴于点 F，过点 B 作 BE 垂直于直线 x=2 于点 E在 RtAQF 中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在 RtBQE 中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，AQ=BQ，161+m2=4+（3m）2，m=2，Q 点的坐标为（2，2） ；（3）当点 N 在对称轴上时，NC 与 AC 不垂直，所以 AC 应为正方形的对角线又对称轴 x=2 是 AC 的中垂线，M 点与顶点 P（2，1）重合，N 点为点 P 关于 x 轴的对称点，其坐标为（2，1） 此时，MF=NF=AF=CF=1，且 ACMN，四边形 AMCN 为正方形在 RtAFN 中，AN=，即正方形的边长为点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，难度适中3. （2014益阳，第 21 题，12 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ADAB，B=60°，AB=10，BC=4，点 P 沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设AP=x（1）求 AD 的长；（2）点 P 在运动过程中，是否存在以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由；（3）设ADP 与PCB 的外接圆的面积分别为 S1、S2，若 S=S1+S2，求 S 的最小值17（第 3 题图）考点： 相似形综合题分析： （1）过点 C 作 CEAB 于 E，根据 CE=BCsinB 求出 CE，再根据 AD=CE 即可求出 AD；（2）若以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似，则PCB必有一个角是直角分两种情况讨论：当PCB=90°时，求出 AP，再根据在 RtADP 中DPA=60°，得出DPA=B，从而得到ADPCPB，当CPB=90°时，求出 AP=3，根据且，得出PCB 与ADP 不相似（3）先求出 S1=x，再分两种情况讨论：当 2x10 时，作 BC 的垂直平分线交 BC 于 H，交 AB 于 G；作 PB 的垂直平分线交 PB 于 N，交 GH 于 M，连结BM，在 RtGBH 中求出 BG、BN、GN，在 RtGMN 中，求出 MN=（ x1） ，在 RtBMN 中，求出 BM2= x2x+，最后根据 S1=xBM2代入计算即可当 0x2 时，S2=x（ x2x+） ，最后根据 S=S1+S2=x（x）2+x 即可得出 S 的最小值解答： 解：（1）过点 C 作 CEAB 于 E，在 RtBCE 中，B=60°，BC=4，CE=BCsinB=4×=2，AD=CE=219（2）存在若以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似，则PCB 必有一个角是直角当PCB=90°时，在 RtPCB 中，BC=4，B=60°，PB=8，AP=ABPB=2又由（1）知 AD=2，在 RtADP 中，tanDPA=，DPA=60°，DPA=CPB，ADPCPB，存在ADP 与CPB 相似，此时 x=2当CPB=90°时，在 RtPCB 中，B=60°，BC=4，PB=2，PC=2，AP=3则且，此时PCB 与ADP 不相似（3）如图，因为 RtADP 外接圆的直径为斜边 PD，则 S1=x（）2=x，当 2x10 时，作 BC 的垂直平分线交 BC 于 H，交 AB 于 G；作 PB 的垂直平分线交 PB 于 N，交 GH 于 M，连结 BM则 BM 为PCB 外接圆的半径在 RtGBH 中，BH= BC=2，MGB=30°，BG=4，BN= PB= （10x）=5 x，GN=BGBN= x1在 RtGMN 中，MN=GNtanMGN=（ x1） 在 RtBMN 中，BM2=MN2+BN2= x2x+，20S1=xBM2=x（ x2x+） 当 0x2 时，S2=x（ x2x+）也成立，S=S1+S2=x+x（ x2x+）=x（x）2+x当 x=时，S=S1+S2取得最小值x点评： 此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意分类讨论4. （2014株洲，第 21 题，6 分）已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（ac）=0，其中 a、b、c 分别为ABC 三边的长（1）如果 x=1 是方程的根，试判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由；（3）如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根考点： 一元二次方程的应用分析： （1）直接将 x=1 代入得出关于 a，b 的等式，进而得出 a=b，即可判断ABC 的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于 a，b，c 的等式，进而判断ABC 的形状；（3）利用ABC 是等边三角形，则 a=b=c，进而代入方程求出即可解答： 解：（1）ABC 是等腰三角形；理由：x=1 是方程的根，（a+c）×（1）22b+（ac）=0，a+c2b+ac=0，ab=0，a=b，ABC 是等腰三角形；（2）方程有两个相等的实数根，（2b）24（a+c） （ac）=0，4b24a2+4c2=0，21a2=b2+c2，ABC 是直角三角形；（3）当ABC 是等边三角形，（a+c）x2+2bx+（ac）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，x2+x=0，解得：x1=0，x2=1点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键5. （2014株洲，第 22 题，8 分）如图，在 RtABC 中，C=90°，A 的平分线交 BC 于点 E，EFAB 于点 F，点 F 恰好是 AB 的一个三等分点（AFBF） （1）求证：ACEAFE；（2）求 tanCAE 的值考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义分析： （1）根据角的平分线的性质可求得 CE=EF，然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全等（2）由ACEAFE，得出 AC=AF，CE=EF，设 BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，根据勾股定理可求得，tanB=，CE=EF=，在 RTACE 中，tanCAE=；解答： （1）证明：AE 是BAC 的平分线，ECAC，EFAF，CE=EF，在 RtACE 与 RtAFE 中，22RtACERtAFE（HL） ；（2）解：由（1）可知ACEAFE，AC=AF，CE=EF，设 BF=m，则 AC=2m，AF=2m，AB=3m，BC=m，在 RTABC 中，tanB=，在 RTEFB 中，EF=BFtanB=，CE=EF=，在 RTACE 中，tanCAE=；tanCAE=点评： 本题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形，根据已知条件表示出线段的值是解本题的关键6. （2014株洲，第 23 题，8 分）如图，PQ 为圆 O 的直径，点 B 在线段 PQ 的延长线上，OQ=QB=1，动点 A 在圆 O 的上半圆运动（含 P、Q 两点） ，以线段 AB 为边向上作等边三角形 ABC（1）当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，求ABC 的面积（图 1） ；（2）设AOB=，当线段 AB、与圆 O 只有一个公共点（即 A 点）时，求 的范围（图2，直接写出答案） ；（3）当线段 AB 与圆 O 有两个公共点 A、M 时，如果 AOPM 于点 N，求 CM 的长度（图 3） 23（第 6 题图）考点： 圆的综合题；等边三角形的性质；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值分析： （1）连接 OA，如下图 1，根据条件可求出 AB，然后 AC 的高 BH，求出 BH 就可以求出ABC 的面积（2）如下图 2，首先考虑临界位置：当点 A 与点 Q 重合时，线段 AB 与圆 O 只有一个公共点，此时 =0°；当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，线段 AB 与圆 O 只有一个公共点，此时 =60°从而定出 的范围（3）设 AO 与 PM 的交点为 D，连接 MQ，如下图 3，易证 AOMQ，从而得到PDOPMQ，BMQBAO，又 PO=OQ=BQ，从而可以求出 MQ、OD，进而求出 PD、DM、AM、CM 的值解答： 解：（1）连接 OA，过点 B 作 BHAC，垂足为 H，如图 1 所示AB 与O 相切于点 A，OAABOAB=90°OQ=QB=1，OA=1AB=ABC 是等边三角形，AC=AB=，CAB=60°sinHAB=，HB=ABsinHAB=×=SABC=ACBH=××24=ABC 的面积为（2）当点 A 与点 Q 重合时，线段 AB 与圆 O 只有一个公共点，此时 =0°；当线段 A1B 所在的直线与圆 O 相切时，如图 2 所示，线段 A1B 与圆 O 只有一个公共点，此时 OA1BA1，OA1=1，OB=2，cosA1OB=A1OB=60°当线段 AB 与圆 O 只有一个公共点（即 A 点）时， 的范围为：0°60°（3）连接 MQ，如图 3 所示PQ 是O 的直径，PMQ=90°OAPM，PDO=90°PDO=PMQPDOPMQ=PO=OQ=PQPD=PM，OD=MQ同理：MQ=AO，BM=ABAO=1，MQ=OD=PDO=90°，PO=1，OD=，PD=25PM=DM=ADM=90°，AD=A0OD=，AM=ABC 是等边三角形，AC=AB=BC，CAB=60°BM=AB，AM=BMCMABAM=，BM=，AB=AC=CM=CM 的长度为点评： 本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、直线与圆相切、勾股定理、特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角的取值范围，综合性较强7. （2014泰州，第 23 题，10 分）如图，BD 是ABC 的角平分线，点 E，F 分别在BC、AB 上，且 DEAB，EFAC（1）求证：BE=AF；26（2）若ABC=60°，BD=6，求四边形 ADEF 的面积（第 7 题图）考点： 平行四边形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形分析： （1）由 DEAB，EFAC，可证得四边形 ADEF 是平行四边形，ABD=BDE，又由 BD 是ABC 的角平分线，易得BDE 是等腰三角形，即可证得结论；（2）首先过点 D 作 DGAB 于点 G，过点 E 作 EHBD 于点 H，易求得 DG 与 DE的长，继而求得答案解答： （1）证明：DEAB，EFAC，四边形 ADEF 是平行四边形，ABD=BDE，AF=DE，BD 是ABC 的角平分线，ABD=DBE，DBE=BDE，BE=DE，BE=AF；（2）解：过点 D 作 DGAB 于点 G，过点 E 作 EHBD 于点 H，ABC=60°，BD 是ABC 的平分线，ABD=EBD=30°，DG= BD= ×6=3，BE=DE，BH=DH= BD=3，BE=2，27DE=BE=2，四边形 ADEF 的面积为：DEDG=6点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用8.（2014泰州，第 25 题，12 分）如图，平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y= x+b（b为常数，b0）的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，半径为 4 的O 与 x 轴正半轴相交于点 C，与 y 轴相交于点 D、E，点 D 在点 E 上方（第 8 题图）（1）若直线 AB 与有两个交点 F、G求CFE 的度数；用含 b 的代数式表示 FG2，并直接写出 b 的取值范围；（2）设 b5，在线段 AB 上是否存在点 P，使CPE=45°？若存在，请求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由考点： 圆的综合题分析： （1）连接 CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行CFE=45°，（2）作 OMAB 点 M，连接 OF，利用两条直线垂直相交求出交点 M 的坐标，利用勾股定理求出 FM2，再求出 FG2，再根据式子写出 b 的范围，28（3）当 b=5 时，直线与圆相切，存在点 P，使CPE=45°，再利用两条直线垂直相交求出交点 P 的坐标，解答： 解：（1）连接 CD，EA，DE 是直径，DCE=90°，CODE，且 DO=EO，ODC=OEC=45°，CFE=ODC=45°，（2）如图，作 OMAB 点 M，连接 OF，OMAB，直线的函数式为：y= x+b，OM 所在的直线函数式为：y= x，交点 M（b，b）OM2=（b）2+（b）2，OF=4，FM2=OF2OM2=42（b）2（b）2，29FM= FG，FG2=4FM2=4×42（b）2（b）2=64b2=64×（1b2） ，直线 AB 与有两个交点 F、G4b5，（3）如图，当 b=5 时，直线与圆相切，DE 是直径，DCE=90°，CODE，且 DO=EO，ODC=OEC=45°，CFE=ODC=45°，存在点 P，使CPE=45°，连接 OP，P 是切点，OPAB，OP 所在的直线为：y= x，又AB 所在的直线为：y= x+5，P（，） 点评： 本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，明确两条直线垂直时 K 的关系9. （2014扬州，第 28 题，12 分）已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处30（第 9 题图）（1）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连结 AP、OP、OA求证：OCPPDA；若OCP 与PDA 的面积比为 1：4，求边 AB 的长；（2）若图 1 中的点 P 恰好是 CD 边的中点，求OAB 的度数；（3）如图 2，擦去折痕 AO、线段 OP，连结 BP动点 M 在线段AP 上（点 M 与点 P、A 不重合） ，动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连结 MN交 PB 于点 F，作 MEBP 于点 E试问当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段 EF 的长度考点： 相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；特殊角的三角函数值专题： 综合题；动点型；探究型分析： （1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出 PC 长以及 AP 与 OP 的关系，然后在 RtPCO 中运用勾股定理求出 OP长，从而求出 AB 长（2）由 DP= DC= AB= AP 及D=90°，利用三角函数即可求出DAP 的度数，进而求出OAB 的度数（3）由边相等常常联想到全等，但 BN 与 PM 所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出 EF 是 PB 的一半，只需求出 PB 长就可以求出 EF 长解答： 解：（1）如图 1，四边形 ABCD 是矩形，AD=BC，DC=AB，DAB=B=C=D=90°由折叠可得：AP=AB，PO=BO，PAO=BAOAPO=B32APO=90°APD=90°CPO=POCD=C，APD=POCOCPPDAOCP 与PDA 的面积比为 1：4，= PD=2OC，PA=2OP，DA=2CPAD=8，CP=4，BC=8设 OP=x，则 OB=x，CO=8x在 RtPCO 中，C=90°，CP=4，OP=x，CO=8x，x2=（8x）2+42解得：x=5AB=AP=2OP=10边 AB 的长为 10（2）如图 1，P 是 CD 边的中点，DP= DCDC=AB，AB=AP，DP= APD=90°，sinDAP= DAP=30°DAB=90°，PAO=BAO，DAP=30°，OAB=30°OAB 的度数为 30°（3）作 MQAN，交 PB 于点 Q，如图 2AP=AB，MQAN，33APB=ABP，ABP=MQPAPB=MQPMP=MQMP=MQ，MEPQ，PE=EQ= PQBN=PM，MP=MQ，BN=QMMQAN，QMF=BNF在MFQ 和NFB 中，MFQNFBQF=BFQF= QBEF=EQ+QF= PQ+ QB= PB由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，C=90°PB=4EF= PB=2在（1）的条件下，当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度不变，长度为234点评： 本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键10 （ 2014安徽省,第 19 题 10 分）如图，在O 中，半径 OC 与弦 AB 垂直，垂足为 E，以 OC 为直径的圆与弦 AB 的一个交点为 F，D 是 CF 延长线与O 的交点若OE=4，OF=6，求O 的半径和 CD 的长考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性