2013-2014学年8年级数学人教版上册同步练习13.3等腰三角形 13.4课题学习 最短路径问题（含答案解析）.doc

113.3 等腰三角形等腰三角形 13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题 专题一专题一 等腰三角形的性质和判定的综合应用等腰三角形的性质和判定的综合应用 1如图在ABC 中，BF、CF 是角平分线，DEBC，分别交 AB、AC 于点 D、E，DE 经 过点 F结论：BDF 和CEF 都是等腰三角形；DE=BD+CE； ADE 的周长 =AB+AC；BF=CF其中正确的是_(填序号)2如图，在ABC 中，AB=AC，点 D、E、F 分别在边 AB、BC、AC 上，且 BE=CF，AD+EC=AB （1）求证：DEF 是等腰三角形； （2）当A=40°时，求DEF 的度数； （3）DEF 可能是等腰直角三角形吗？为什么？ （4）请你猜想：当A 为多少度时，EDF+EFD=120°，并请说明理由3如图，已知ABC 是等腰直角三角形，BAC=90°，BE 是ABC 的平分线，DEBC， 垂足为 D （1）请你写出图中所有的等腰三角形； （2）请你判断 AD 与 BE 垂直吗？并说明理由 （3）如果 BC=10，求 AB+AE 的长2专题二专题二 等边三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定 4如图，在等边ABC 中，AC=9，点 O 在 AC 上，且 AO=3，点 P 是 AB 上一动点，连 接 OP，以 O 为圆心，OP 长为半径画弧交 BC 于点 D，连接 PD，如果 PO=PD，那么 AP 的长是_5如图在等边ABC 中，ABC 与ACB 的平分线相交于点 O，且 ODAB，OEAC （1）试判定ODE 的形状，并说明你的理由； （2）线段 BD、DE、EC 三者有什么关系？写出你的判断过程6如图，ABC 中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发， 沿三角形的边运动，已知点 M 的速度为 1 cm/s，点 N 的速度为 2 cm/s当点 N 第一次到 达 B 点时，M、N 同时停止运动 （1）点 M、N 运动几秒后，M、N 两点重合？ （2）点 M、N 运动几秒后，可得到等边三角形AMN？ （3）当点 M、N 在 BC 边上运动时，能否得到以 MN 为底边的等腰三角形 AMN？如存在， 请求出此时 M、N 运动的时间3专题三专题三 最短路径问题最短路径问题 7如图，A、B 两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线 a 表示输水总管道，直线 b 表示 输煤气总管道现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到 A、B 两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短图中， 点 A是点 A 关于直线 b 的对称点，AB 分别交 b、a 于点 C、D；点 B是点 B 关于直线 a 的对称点，BA 分别交 b、a 于点 E、F则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次 是（ ）AF 和 C BF 和 E CD 和 C DD 和 E 8如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这 个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小? (保留作图痕迹及简要说明)状元笔记状元笔记 【知识要点知识要点】 1等腰三角形的性质性质 1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三 线合一”) 2等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”) 3等边三角形的性质和判定方法4性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°判定方法 1：三个角都相等的三角形是等边三角形判定方法 2：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形 4直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 【温馨提示温馨提示】 1 “等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中，在两个三角形中时，上述 结论不一定成立 2在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：(1)必须是在直角三角形中；(2)必须有一 个锐角等于 30° 【方法技巧方法技巧】 1等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，当要证明同一个三角形的两个内角相 等时，可尝试用“等边对等角” 2等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条 线段相等时，可尝试用“等角对等边” 3利用轴对称可以解决几何中的最值问题，本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之 间线段最短和三角形两边之和大于第三边5参考答案参考答案:1 解析：DEBC，DFB=FBC，EFC=FCBBF 是ABC 的平分线，CF 是ACB 的平分线，FBC=DBF，FCE=FCBDBF=DFB，EFC=ECF， DFB，FEC 都是等腰三角形DF=DB，FE=EC，即有 DE=DF+FE=DB+ECADE 的 周长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC综上所述，命题正确 2解：(1)证明：AD+EC=AB，BD=CEAB=AC，B=CBE=CF，BDECEFDE=EF，即DEF 是等腰三角形(2)A=40°，B=C=1 2(180°A)=1 2(180°40°)=70°BDECEF，BDE=CEFDEF=180°BEDCEF=180°BEDBDE=B=70°(3)不能DEF=B90°，DEF 不可能是等腰直角三角形(4)60°理由：当A=60°时，B=C=60°，由（2）可得DEF=60°EDF+EFD=120°3解：（1）ABC，ABD，ADE，EDC（2）AD 与 BE 垂直证明：BE 为ABC 的平分线，ABE=DBE. 又BAE=BDE=90°，BE=BE，ABE 沿 BE 折叠，一定与DBE 重合A、D 是对称点ADBE（3）BE 是ABC 的平分线，DEBC，EAAB，AE=DE在 RtABE 和 RtDBE 中，AE= DEBE= BE，RtABERtDBE（HL） AB=BD又ABC 是等腰直角三角形，BAC=90°，C=45°又EDBC，DCE 为等腰直角三角形DE=DC即 AB+AE=BD+DC=BC=10 46 解析：连接 OD，PO=PD，OP=DP=ODDPO=60°ABC 是等边三角形，6A=B=60°，AC=AB=9OPA=PDB=DPA60°OPAPDBAO=3， AO=PB=3，AP=65解：（1）ODE 是等边三角形， 其理由是：ABC 是等边三角形， ABC=ACB=60° ODAB，OEAC， ODE=ABC=60°，OED=ACB=60° ODE 是等边三角形 （2）BD=DE=EC 其理由是：OB 平分ABC，且ABC=60°， ABO=OBD=30° ODAB， BOD=ABO=30° DBO=DOB DB=DO 同理，EC=EO DE=OD=OE， BD=DE=EC 6解：（1）设点 M、N 运动 x 秒后，M、N 两点重合， x×1+12=2x， 解得：x=12 （2）设点 M、N 运动 t 秒后，可得到等边三角形AMN，如图， AM=t×1=t，AN=ABBN=122t， 三角形AMN 是等边三角形， t=122t 解得 t=4 点 M、N 运动 4 秒后，可得到等边三角形AMN（3）当点 M、N 在 BC 边上运动时，可以得到以 MN 为底边的等腰三角形， 由（1）知 12 秒时 M、N 两点重合，恰好在 C 处，如图，假设AMN 是等腰三角形，AN=AM AMN=ANM AMC=ANB7AB=BC=AC， ACB 是等边三角形 C=B 在ACM 和ABN 中，ACAB CB AMCANB ， ， ，ACMABN CM=BN 设当点 M、N 在 BC 边上运动时，M、N 运动的时间 y 秒时，AMN 是等腰三角形， CM=y12，NB=362y，CM=NB y12=362y， 解得：y=16故假设成立 当点 M、N 在 BC 边上运动时，能得到以 MN 为底边的等腰三角形 AMN，此时 M、N 运 动的时间为 16 秒7A 解析：由轴对称最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点 B 关于 a 的对 称点 B与 A 的连线的交点 F，煤气分管道的连接点是点 A 关于 b 的对称点 A与 B 的连线 的交点 C故选 A 8解：如图，作点 B 关于公路的对称点 B，连接 AB，交公路于点 C，则这个基地建在 C 处，才能使它到这两个超市的距离之和最小.