人教版初中数学九年级下册同步测试 第28章 锐角三角函数（共25页）.doc

1第二十八章第二十八章 锐角三角函数锐角三角函数测试测试 1 锐角三角函数定义锐角三角函数定义 学习要求学习要求 理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角 的三角函数值 课堂学习检测课堂学习检测 一、填空题一、填空题 1如图所示，B、B是MAN 的 AN 边上的任意两点，BCAM 于 C 点，BCAM 于 C点，则B'AC_，从而ACBA BCCB)( )(，又可得 BACB_，即在 RtABC 中(C90°)，当A 确定时，它的_与_的比是一个_值； BACA_，即在 RtABC 中(C90°)，当A 确定时，它的_与_的比也是一个_； CACB_，即在 RtABC 中(C90°)，当A 确定时，它的_与_的比还是一个_第 1 题图 2如图所示，在 RtABC 中，C90°第 2 题图对对)(sinA_，对对)(sinB_；对对)(cosA_，对对)(cosB_；对对对AA)(tan_，)(tan对对对BB_3因为对于锐角的每一个确定的值，sin、cos、tan分别都有_与 它_，所以 sin、cos、tan都是_又称为的2_ 4在 RtABC 中，C90°，若 a9，b12，则 c_， sinA_，cosA_，tanA_， sinB_，cosB_，tanB_ 5在 RtABC 中，C90°，若 a1，b3，则 c_， sinA_，cosA_，tanA_， sinB_，cosB_，tanB_ 6在 RtABC 中，B90°，若 a16，c30，则 b_， sinA_，cosA_，tanA_， sinC_，cosC_，tanC_ 7在 RtABC 中，C90°，若A30°，则B_， sinA_，cosA_，tanA_， sinB_，cosB_，tanB_ 二、解答题二、解答题 8已知：如图，RtTNM 中，TMN90°，MRTN 于 R 点，TN4，MN3 求：sinTMR、cosTMR、tanTMR9已知 RtABC 中，,12,43tan,90BCAC求 AC、AB 和 cosB综合、运用、诊断综合、运用、诊断 10已知：如图，RtABC 中，C90°D 是 AC 边上一点，DEAB 于 E 点DEAE12 求：sinB、cosB、tanB11已知：如图，O 的半径 OA16cm，OCAB 于 C 点，43sinAOC求：AB 及 OC 的长312已知：O 中，OCAB 于 C 点，AB16cm，53sinAOC(1)求O 的半径 OA 的长及弦心距 OC； (2)求 cosAOC 及 tanAOC13已知：如图，ABC 中，AC12cm，AB16cm，31sin A(1)求 AB 边上的高 CD； (2)求ABC 的面积 S； (3)求 tanB14已知：如图，ABC 中，AB9，BC6，ABC 的面积等于 9，求 sinB拓展、探究、思考拓展、探究、思考 15已知：如图，RtABC 中，C90°，按要求填空：4(1),sincaA cAca,sin_；(2),coscbA b_，c_；(3),tanbaA a_，b_；(4),23sinBBcos_，Btan_；(5),53cosB Bsin_，Atan_；(6)Btan3，Bsin_，Asin_ 16已知：如图，在直角坐标系 xOy 中，射线 OM 为第一象限中的一条射线，A 点的 坐标为(1，0)，以原点 O 为圆心，OA 长为半径画弧，交 y 轴于 B 点，交 OM 于 P 点，作 CAx 轴交 OM 于 C 点设XOM 求：P 点和 C 点的坐标(用的三角函数表示)17已知：如图，ABC 中，B30°，P 为 AB 边上一点，PDBC 于 D(1)当 BPPA21 时，求 sin1、cos1、tan1； (2)当 BPPA12 时，求 sin1、cos1、tan1测试测试 2 锐角三角函数锐角三角函数 学习要求学习要求 1掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求5一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角 2初步了解锐角三角函数的一些性质 课堂学习检测课堂学习检测 一、填空题一、填空题 1填表锐角30°45°60°sincostan二、解答题二、解答题 2求下列各式的值(1)o45cos230sin2(2)tan30°sin60°·sin30°(3)cos45°3tan30°cos30°2sin60°2tan45°(4)45sin30cos30tan1 30sin145cos2223求适合下列条件的锐角(1)21cos(2)33tan(3)222sin(4)33)16cos(64用计算器求三角函数值(精确到 0.001)(1)sin23°_；(2)tan54°5340_ 5用计算器求锐角(精确到 1)6(1)若 cos0.6536，则_； (2)若 tan(210°317)1.7515，则_综合、运用、诊断综合、运用、诊断6已知：如图，在菱形 ABCD 中，DEAB 于 E，BE16cm，1312sin A求此菱形的周长7已知：如图，在ABC 中，BAC120°，AB10，AC5 求：sinACB 的值8已知：如图，RtABC 中，C90°，BAC30°，延长 CA 至 D 点，使 ADAB求：(1)D 及DBC； (2)tanD 及 tanDBC； (3)请用类似的方法，求 tan22.5°9已知：如图，RtABC 中，C90°，3 BCAC，作DAC30°，AD交 CB 于 D 点，求：7(1)BAD； (2)sinBAD、cosBAD 和 tanBAD10已知：如图ABC 中，D 为 BC 中点，且BAD90°，31tanB，求：sinCAD、cosCAD、tanCAD拓展、探究、思考拓展、探究、思考11已知：如图，AOB90°，AOOB，C、D 是上的两点，AODAOC， 求证：(1)0sinAOCsinAOD1； (2)1cosAOCcosAOD0； (3)锐角的正弦函数值随角度的增大而_； (4)锐角的余弦函数值随角度的增大而_12已知：如图，CAAO，E、F 是 AC 上的两点，AOFAOE8(1)求证：tanAOFtanAOE； (2)锐角的正切函数值随角度的增大而_13已知：如图，RtABC 中，C90°，求证：(1)sin2Acos2A1；(2)AAAcossintan14化简：cossin21(其中 0°90°)15(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：sin30°_2sin15°cos15°；sin36°_2sin18°cos18°； sin45°_2sin22.5°cos22.5°；sin60°_2sin30°cos30°； sin80°_2sin40°cos40°；sin90°_2sin45°cos45° 猜想：若 0°45°，则 sin2_2sincos (2)已知：如图，ABC 中，ABAC1，BAC2请根据图中的提示，利 用面积方法验证你的结论916已知：如图，在ABC 中，ABAC，ADBC 于 D，BEAC 于 E，交 AD 于 H 点在底边 BC 保持不变的情况下，当高 AD 变长或变短时，ABC 和HBC 的 面积的积 SABC·SHBC的值是否随着变化?请说明你的理由测试测试 3 解直角三角形解直角三角形(一一) 学习要求学习要求 理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型 课堂学习检测课堂学习检测 一、填空题一、填空题 1在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在 RtABC 中，C90°，ACb，BCa，ABc，第 1 题图 三边之间的等量关系： _ 两锐角之间的关系： _ 边与角之间的关系： BAcossin_；BAsincos_；BAtan1tan_；BAtantan1_直角三角形中成比例的线段(如图所示)第小题图 在 RtABC 中，C90°，CDAB 于 D10CD2_；AC2_； BC2_；AC·BC_ 直角三角形的主要线段(如图所示)第小题图 直角三角形斜边上的中线等于斜边的_，斜边的中点是_ 若 r 是 RtABC(C90°)的内切圆半径，则 r_ 直角三角形的面积公式 在 RtABC 中，C90°，SABC_(答案不唯一) 2关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道 _(其中至少_)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来解直 角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_或斜边和_)及已知 一边和一个锐角(_和一个锐角或_和一个锐角) 3填写下表：已知条件解法一条边和斜边 c 和锐角AB_，a_，b_一个锐角直角边 a 和锐角AB_，b_，c_两条直角边 a 和 bc_，由_求A，B_两条边直角边 a 和斜边 cb_，由_求A，B_二、解答题二、解答题 4在 RtABC 中，C90°(1)已知：a35，235c，求A、B，b；(2)已知：32a，2b，求A、B，c；(3)已知：32sinA，6c，求 a、b；(4)已知：, 9,23tanbB求 a、c；11(5)已知：A60°，ABC 的面积, 312S求 a、b、c 及B综合、运用、诊断综合、运用、诊断 5已知：如图，在半径为 R 的O 中，AOB2，OCAB 于 C 点(1)求弦 AB 的长及弦心距； (2)求O 的内接正 n 边形的边长 an及边心距 rn6如图所示，图中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼 梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图中 AB、BC 两段)，其中CC BB3.2m结合图中所给的信息，求两段楼梯 AB 与 BC 的长度之和(结果保留 到 0.1m)(参考数据：sin30°0.50，cos30°0.87，sin35°0.57，cos35°0.82)7如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为 20cm，台阶面的宽为 30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为 12°的斜坡，设原台阶的起点为 A，斜坡的起点为 C，求 AC 的长度(精确到 1cm)12拓展、探究、思考拓展、探究、思考 8如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为 3m，冬天 太阳光与水平面的夹角为 30°(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为 6 层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上， 那么建筑时两楼之间的距离 BD 至少为多少米?(保留根号) (2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离 BD21m，若仍要求冬天甲楼的影子不 能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层?9王英同学从 A 地沿北偏西 60°方向走 100m 到 B 地，再从 B 地向正南方向走 200m 到 C 地，此时王英同学离 A 地多少距离?10已知：如图，在高 2m，坡角为 30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多 少米?(保留整数)测试测试 4 解直角三角形解直角三角形(二二) 学习要求学习要求 能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形 课堂学习检测课堂学习检测 1已知：如图，ABC 中，A30°，B60°，AC10cm 求 AB 及 BC 的长132已知：如图，RtABC 中，D90°，B45°，ACD60°BC10cm求 AD 的长3已知：如图，ABC 中，A30°，B135°，AC10cm 求 AB 及 BC 的长4已知：如图，RtABC 中，A30°，C90°，BDC60°，BC6cm求 AD 的长综合、运用、诊断综合、运用、诊断 5已知：如图，河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为 30°，测得岸边 点 D 的俯角为 45°，又知河宽 CD 为 50m现需从山顶 A 到河对岸点 C 拉一条笔直的 缆绳 AC，求山的高度及缆绳 AC 的长(答案可带根号)146已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔 M 在北偏西 30°，货轮以 每小时 20 海里的速度航行，1 小时后到达 B 处，测得灯塔 M 在北偏西 45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短距离是多少?(精确到 0.1 海里，732. 13 )7已知：如图，在两面墙之间有一个底端在 A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的 顶端在 B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在 D 点已知BAC60°，DAE45°点 D 到地面的垂直距离m23DE，求点 B 到地面的垂直距离 BC8已知：如图，小明准备测量学校旗杆 AB 的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆 AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长 BC20m，斜坡 坡面上的影长 CD8m，太阳光线 AD 与水平地面成 26°角，斜坡 CD 与水平地面所成 的锐角为 30°，求旗杆 AB 的高度(精确到 1m)159已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚 A 沿坡角为 30°的山坡 AB 行走 400m，到达 一个景点 B，再由 B 地沿山坡 BC 行走 320 米到达山顶 C，如果在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为 60°求山高 CD(精确到 0.01 米)10已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起 一根 2m 长的竹竿，测得竹竿影长为 1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿 的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为 2m问路灯高度为多少米?11已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地 A 出发，沿北偏东 60°方向走了 500m3到达 B 点，然后再沿北偏西 30°方向走了 500m，到达目的地 C 点求(1)A、C 两地之间的距离； (2)确定目的地 C 在营地 A 的什么方向?12已知：如图，在 1998 年特大洪水时期，要加固全长为 10000m 的河堤大堤高 5m， 坝顶宽 4m，迎水坡和背水坡都是坡度为 11 的等腰梯形现要将大堤加高 1m，背 水坡坡度改为 11.5已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成 工程需多少立方米的土石?16拓展、探究、思考拓展、探究、思考 13已知：如图，在ABC 中，ABc，ACb，锐角A(1)BC 的长；(2)ABC 的面积14已知：如图，在ABC 中，ACb，BCa，锐角A，B(1)求 AB 的长；(2)求证：.sinsinba15已知：如图，在 RtADC 中，D90°，A，CBD，ABa用含 a 及 、的三角函数的式子表示 CD 的长1716已知：ABC 中，A30°，AC10，25BC，求 AB 的长17已知：四边形 ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于 E 点， ACa，BDb，BEC(0°90°)，求此四边形的面积测试测试 5 综合测试综合测试 1计算(1) 45tan260tan60cos2(2)60cos30cos60tan30tan45sin30sin22222已知：如图，ABC 中，ACB90°，CDAB 于 D，AB32，BC12 求：sinACD 及 AD 的长3已知：RtABC 中，ACB90°，CDAB 于 D 点，AB2m，BDm1，54cos A(1)用含 m 的代数式表示 BC； (2)求 m 的值；4已知：如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC6，BE2EC，DMAE 于 M 点求 DM 的 长185已知：如图，四边形 ABCD 中，A45°，C90°，ABD75°，DBC30°，AB2a求 BC 的长6已知：如图，四边形 ABCD 中，AC90°，D60°，35ADAB3，求 BC 的长7已知：如图，ABC 内接于O，BCm，锐角A，(1)求O 的半径 R； (2)求ABC 的面积的最大值8已知：如图，矩形纸片 ABCD 中，BCm，将矩形的一角沿过点 B 的直线折叠，使 A 点落在 DC 边上，落点记为 A，折痕交 AD 于 E，若ABE求证：2sincosmEB1920答案与提示答案与提示第二十八章第二十八章 锐角三角函数锐角三角函数 测试测试 1 1BAC，AB，ACABBC，对边，斜边，固定；ABAC，邻边，斜边，固定值；ACBC，对边，邻边，固定值2A 的对边，,caB 的对边，;cbA 的邻边，,cbB 的邻边，;caA 的对边，,baB 的邻边，ab3唯一确定的值，对应，的函数，锐角三角函数434,53,54,43,54,53,155. 3,1010,10103,31,10103,1010,106815,178,1715,158,1715,178,347. 3,21,23,33,23,21,60o837tantan,43coscos,47sinsinNTMRNTMRNTMR953cos,20,16BABAC10. 2tan,55cos,552sinBBB11AB2AC2AO·sinAOC24cm，cm7422ACOAOC1243tan,54cos)2( ;cm332,cm340) 1 (AOCAOCOCOA13(1)CDAC·sinA4cm；(2);cm32212CDABS(3)422tanB211431sinB15(1);sin Aa(2);cos,cosAbAc(3);tan,tanAaAb(4); 3,21(5);43,54(6)1010,1010316P(cos，sin)，C(1，tan)提示：作 PDx 轴于 D 点17(1). 31tan,211cos,231sin(2),231tan,7721cos,7211sin提示：作 AEBC 于 E，设 AP222测试测试 2 1锐角30°45°60°sin2122 23cos23 22 21tan33132(1)0； (2);123(3); 222325 (4)4133(1)60°；(2)30°；(3)22.5°；(4)46° 4(1)0.391；(2)1.423 5(1)49°1111；(2)24°5244 6104cm提示：设 DE12xcm，则得 AD13xcm，AE5xcm利用 BE16cm 列方程 8x16解得 x27,721提示：作 BDCA 延长线于 D 点8(1)D15°，DBC75°；(2);32tan, 32tanDBCD (3). 125 .22tan9(1)15°；(2). 32tan,426cos,426sinBADBADBAD1023,13132,13133提示：作 DEBA，交 AC 于 E 点，或延长 AD 至 F，使 DFAD，连结 CF 11提示：作 CEOA 于 E，作 DFOA 于 F (3)增大， (4)减小 12(2)增大 13提示：利用锐角三角函数定义证14原式cossin2cossin222)cos(sin|cossin|).450(sincos),9045(cossin2315(1)略sin22sincos(2),2sin212sin121 21BEACSABC,cossin21ADBDADBCSABCsin22sincos16不发生改变，设BAC2，BC2m，则.)tan(tan422 mmmSSHBCABC 测试测试 31a2b2c2； AB90°； ;,ab ba cb caAD·BD，AD·AB，BD·BA，AB·CD：一半，它的外心，2cba(或cbaab)ab21或ch21(h 为斜边上的高)或Abcsin21或Bacsin21或).(21cbar(r 为内切圆半径) 2两个元素，有一个是边，直角边，一条直角边，斜边，一条直角边 390°A，sinA，cosA；;sin,tan,90oAa AaA;90,tan,22AbaAbac.90,sin,22BcaAacb4(1)A45°，B45°，b35；(2)A60°，B30°，c4；(3);52, 4ba(4);133, 6ca(5).30,64,62,26Bcba5(1)AB2R·sin，OCR·cos；(2)nRrnRann180cos,180sin26AB6.40 米，BC5.61 米，ABBC12.0 米 7约为 222cm8(1)318米(2)4 层，提示：设甲楼应建 x 层则.2130tan3x249m3100106 米 测试测试 41cm3310,cm3320BCAB2)3515(cm3cm25;cm)535(BCAB提示：作 CDAB 延长线于 D 点434cm5山高m)31 (50,m)31 (25AC6约为 27.3 海里7m338约为 17m，提示：分别延长 AD、BC，设交点为 E，作 DFCE 于 F 点 9约 477.13m 1010m 11(1)AC1 000m；(2)C 点在 A 点的北偏东 30°方向上 12面积增加 24m2，需用 240 000m2土石13(1).cos222bccbBC提示：作 CDAB 于 D 点，则 CDb·sin，ADb·cos再利用 BC2CD2DB2的关系，求出 BC(2)abc sin2114(1)ABb·cosa·cos. 提示：作 CDAB 于 D 点(2)提示：由 bsinCDasin可得 bsinasin，从而sinsinba15提示：ABADBDCD tan(90°)CD tan(90°) CDtan(90°)tan(90°) ，)90tan()90tan(aCD或 tantantantanaCD16535或. 535提示：AB 边上的高 CD 的垂足 D 点可能在 AB 边上(这时 AB)535，也可能在 AB 边的延长线上(这时535AB)17.sin21ab测试测试 5251(1);23 (2)252255,855sinADACD3(1) 1(2mmBC或56mBC (2)725m45185aBC2提示：作 BEAD 于 E 点6BC6提示：分别延长 AB、DC，设它们交于 E 点7(1)sin2mR提示：作O 的直径 BA，连结 AC(2)2tan42m提示：当 A 点在优弧 BC 上且 AOBC 时，ABC 有面积的最大值8提示：2sincos'sincoscosm BCABCBAEB