2012年全国中考数学分类解析汇编专题5：动点问题.doc

12 012 年全国中考数学分类解析汇编年全国中考数学分类解析汇编专题专题 5：动点问题：动点问题一、选择题一、选择题1. （2012 北京市北京市 4 分）分） 小翔在如图 1 所示的场地上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点 C，共用时 30 秒他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程设小翔跑步的时间为t（单位：秒） ，他与教练的距离为 y（单位：米） ，表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这个固定位置可能是图 1 中的【 】A点 MB点 NC点 PD点 Q【答案答案】D。【考点考点】动点问题的函数图象.【分析分析】分别在点 M、N、P、Q 的位置，结合函数图象进行判断，利用排除法即可得出答案：A、在点 M 位置，则从 A 至 B 这段时间内，弧AAB上每一点与点 M 的距离相等，即 y 不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B、在点 N 位置，则根据矩形的性质和勾股定理，NA=NB=NC，且最大，与函数图象不符，故本选项错误；C、在点 P 位置，则 PC 最短，与函数图象不符，故本选项错误；D、在点 P 位置，如图所示，以 Q 为圆心，QA 为半径画圆交AAB于点 E，其中 y 最大的点是AE 的中垂线与弧AAB的交点 H；在弧AAB上，从点 E 到点 C 上，y 逐渐减小；QB=QC，即BCy =y，且 BC 的中垂线 QN 与 BC 的交点 F 是 y 的最小值点。经判断点 Q 符合函数图象，故本选项正确。故选 D。22. （2012 浙江嘉兴、舟山浙江嘉兴、舟山 4 分）分）如图，正方形 ABCD 的边长为 a，动点 P 从点 A 出发，沿折线ABDCA 的路径运动，回到点 A 时运动停止设点 P 运动的路程长为长为 x，AP 长为 y，则 y关于 x 的函数图象大致是【 】A BCD【答案答案】D。【考点考点】动点问题的函数图象。【分析分析】因为动点 P 按沿折线 ABDCA 的路径运动，因此，y 关于 x 的函数图象分为四部分：AB，BD，DC，CA。当动点 P 在 AB 上时，函数 y 随 x 的增大而增大，且 y=x，四个图象均正确。当动点 P 在 BD 上时，函数 y 在动点 P 位于 BD 中点时最小，且在中点两侧是对称的，故选项B 错误。当动点 P 在 DC 上时，函数 y 随 x 的增大而增大，故选项 A，C 错误。当动点 P 在 CA 上时，函数 y 随 x 的增大而减小。故选项 D 正确。故选 D。3. （2012 浙江温州浙江温州 4 分）分）如图，在ABC 中，C=90°，M 是 AB 的中点，动点 P 从点 A 出发，沿 AC方向匀速运动到终点 C,动点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速运动到终点 B.已知 P，Q 两点同时出发，并同时到达终点.连结 MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，MPQ 的面积大小变化情况是【 】3A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小【答案答案】C。【考点考点】动点问题的函数图象。【分析分析】如图所示，连接 CM，M 是 AB 的中点，SACM=SBCM=1 2SABC，开始时，SMPQ=SACM=1 2SABC；由于 P，Q 两点同时出发，并同时到达终点，从而点 P 到达AC 的中点时，点 Q 也到达 BC 的中点，此时，SMPQ=1 4SABC；结束时，SMPQ=SBCM=1 2SABC。MPQ 的面积大小变化情况是：先减小后增大。故选 C。4. （2012 江苏无锡江苏无锡 3 分）分）如图，以 M（5，0）为圆心、4 为半径的圆与 x 轴交于 AB 两点，P 是M 上异于 AB 的一动点，直线 PAPB 分别交 y 轴于 CD，以 CD 为直径的N 与 x 轴交于E、F，则 EF 的长【 】A等于 4B等于 4C等于 6D随 P 点【答案答案】C。【考点考点】圆周角定理，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理。【分析分析】 连接 NE，设圆 N 半径为 r，ON=x，则 OD=rx，OC=r+x，以 M（5，0）为圆心、4 为半径的圆与 x 轴交于 AB 两点，4OA=4+5=9，0B=54=1。AB 是M 的直径，APB=90°。BOD=90°，PAB+PBA=90°，ODB+OBD=90°。PBA=OBD，PAB=ODB。APB=BOD=90°，OBDOCA。OCOD=OBOA，即r+x9=1rx，即 r2x2=9。由垂径定理得：OE=OF，由勾股定理得：OE2=EN2ON2=r2x2=9。OE=OF=3，EF=2OE=6。故选 C。5. （2012湖北黄冈湖北黄冈3分）分）如图，在RtABC中，C=90°，AC=BC=6cm，点P 从点A 出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P.设Q点运动的时间t秒，若四边形QPCP为菱形，则t的值为【 】A. 2B. 2 C. 2 2 D. 4 【答案答案】B。【考点考点】动点问题，等腰直角三角形的性质，翻折对称的性质，菱形的性质，矩形。【分析分析】如图，过点 P 作 PDAC 于点 D，连接 PP。由题意知，点 P、P关于 BC 对称，BC 垂直平分 PP。QP=QP，PE=PE。根据菱形的性质，若四边形 QPCP是菱形则 CE=QE。C=90°，AC=BC，A=450。AP=2t，PD= t。易得，四边形 PDCE 是矩形，CE=PD= t，即 CE=QE= t。又 BQ= t，BC=6，3 t=6，即 t=2。若四边形 QPCP为菱形，则 t 的值为 2。故选 B。 56. （2012 四川攀枝花四川攀枝花 3 分）分）如图，直角梯形 AOCD 的边 OC 在 x 轴上，O 为坐标原点，CD 垂直于 x 轴，D（5，4） ，AD=2若动点 E、F 同时从点 O 出发，E 点沿折线 OAADDC 运动，到达 C 点时停止；F 点沿 OC 运动，到达 C 点是停止，它们运动的速度都是每秒 1 个单位长度设 E 运动秒 x 时，EOF的面积为 y（平方单位） ，则 y 关于 x 的函数图象大致为【 】ABCD【答案答案】 C。【考点考点】动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定和性质，抛物线和直线的性质。【分析分析】如图，过点 A 作 AGOC 于点 G。D（5，4） ，AD=2，OC=5，CD=4，OG=3。根据勾股定理，得 OA=5。点 E、F 的运动的速度都是每秒 1 个单位长度，点 E 运动 x 秒（x5）时，OE=OF=x。当点 E 在 OA 上运动时，点 F 在 OC 上运动，当点 E 在 AD 和 DC上运动时，点 F 在点 C 停止。（1）当点 E 在 OA 上运动，点 F 在 OC 上运动时，如图，作 EHOC 于点 H。EHAG。EHOAGO。EHOE AGOA，即EHx 45。4EHx5。2 EOF1142y=SOF EHxxx2255。此时，y 关于 x 的函数图象是开口向上的抛物线。故选项 AB 选项错误。（2）当点 E 在 AD 上运动，点 F 在点 C 停止时，EOF 的面积不变。6EOF111y=SOF EHOC AG5 410222 。（3）当点 E 在 DC 上运动，点 F 在点 C 停止时，如图。EF=OAADDCx =11x，OC=5。EOF11555y=SOC EF5 11xx+2222 。此时，y 关于 x 的函数图象是直线。故选项 D 选项错误，选项 C 正确。故选 C。7. （2012 四川内江四川内江 3 分）分）如图，正ABC 的边长为 3cm,动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度，沿ABC的方向运动，到达点 C 时停止，设运动时间为 x（秒） ，2yPC,则 y 关于 x 的函数的图像大致为【 】A. B. C. D. 【答案答案】C。【考点考点】动点问题的函数图象，正三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。【分析分析】如图，过点 C 作 CD 垂直 AB 于点 D，则正ABC 的边长为 3，A=B=C=60°，AC=3。AD=3 2，CD=332。当 0x3 时，即点 P 在线段 AB 上时，AP=x，PD=3x2（0x3） 。22 2233yPC3+xx3x+922（0x3） 。该函数图象在 0x3 上是开口向上的抛物线。当 3x6 时，即点 P 在线段 BC 上时，PC=（6x） （3x6） ；y=（6x）2=（x-6）2（3x6） ，该函数的图象在 3x6 上是开口向上的抛物线。综上所述，该函数为22x3x+90x3yx63x6上上上上上上边。以 O、P、B、N 为顶点的四边形的面积 y 与 x 的函数关系是：3424 0x4 y=1xxx42上上上上。【考点考点】正方形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，两线垂直的判定，多边形的面积的分解，函数解析式的确定，分段函数，点到直线的距离。【分析分析】 （1）对于图 1，证明线段相等，一般情况下找全等。根据 BN，CP 的分布情况 可以观察CNB和DPC，然后证明两三角形全等。也可以观察CAN 和DBP，证明 AN=BP，从而有 BN=CP。对于图 2，证明如下：ABCD 为正方形，AC，BD 为对角线，DCP=90º。CMDP， PCM=PDC。PDB=CAN。又DPB=ANC，BD=AC，PDBNCA（ASA） 。PB=AN，DP=CN。CP=BN。PDB=CAN，OD=OC， CP=BN，PDONCO（SAS） 。OP=ON，DOP=CON。DOC=90º，PON=NOC+POC=DOP+POC=DOC=90º。OPON。（2）求以 O、P、B、N 为顶点的四边形的面积，则要把四边形分解为两个三角形去解决问题。图 1 中，S四边形 OPBN=SOBN+SBOP， ， ；图 2 中，S四边形 OBNP=SPOB+SPBN，代入求出即可。9. （2012 湖南张家界湖南张家界 10 分）分）如图，O 的直径 AB=4，C 为圆周上一点，AC=2，过点 C 作O 的切线DC，P 点为优弧ACBA上一动点（不与 AC 重合） （1）求APC 与ACD 的度数；（2）当点 P 移动到 CB 弧的中点时，求证：四边形 OBPC 是菱形（3）P 点移动到什么位置时，APC 与ABC 全等，请说明理由【答案答案】解：（1）连接 AC，如图所示：AB=4，OA=OB=OC=1 2AB=2。35又AC=2，AC=OA=OC。ACO 为等边三角形。AOC=ACO=OAC=60°，APC=1 2AOC=30°。又 DC 与圆 O 相切于点 C，OCDC。DCO=90°。ACD=DCOACO=90°60°=30°。（2）连接 PB，OP，AB 为直径，AOC=60°，COB=120°。当点 P 移动到弧 CB 的中点时，COP=POB=60°。COP 和BOP 都为等边三角形。AC=CP=OA=OP。四边形 AOPC 为菱形。（3）当点 P 与 B 重合时，ABC 与APC 重合，显然ABCAPC。当点 P 继续运动到 CP 经过圆心时，ABCCPA，理由为：CP 与 AB 都为圆 O 的直径，CAP=ACB=90°。在 RtABC 与 RtCPA 中，AB=CP，AC=ACRtABCRtCPA（HL） 。综上所述，当点 P 与 B 重合时和点 P 运动到 CP 经过圆心时，ABCCPA。【考点考点】切线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，菱形的判定。【分析分析】 （1）连接 AC，由直径 AB=4，得到半径 OA=OC=2，又 AC=2，得到 AC=OC=OA，即AOC 为等边三角形，可得出三个内角都为 60°，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的 2 倍，得到APC 为30°，由 CD 为圆 O 的切线，得到 OC 垂直于 CD，可得出OCD 为直角，用OCD-OCA 可得出ACD 的度数。（2）由AOC 为 60°，AB 为圆 O 的直径，得到BOC=120°，再由 P 为 CB 的中点，得到两条弧相等，根据等弧对等角，可得出COP=BOP=60°，从而得到COP 与BOP 都为等边三角形，可得出 OC=OB=PC=PB，即四边形 OBPC 为菱形。（3）点 P 有两个位置使APC 与ABC 全等，其一：P 与 B 重合时，显然两三角形全等；第二：当 CP 为圆 O 的直径时，此时两三角形全等。10. （2012 江苏无锡江苏无锡 10 分）分）如图，菱形 ABCD 的边长为 2cm，DAB=60°点 P 从 A 点出发，以cm/s 的速度，沿 AC 向 C 作匀速运动；与此同时，点 Q 也从 A 点出发，以 1cm/s 的速度，沿射线 AB36作匀速运动当 P 运动到 C 点时，P、Q 都停止运动设点 P 运动的时间为 ts（1）当 P 异于 AC 时，请说明 PQBC；（2）以 P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，P 与边 BC 分别有1 个公共点和 2 个公共点？【答案答案】解：（1）四边形 ABCD 是菱形，且菱形 ABCD 的边长为 2，AB=BC=2，BAC=1 2DAB。又DAB=60°，BAC=BCA=30°。如图 1，连接 BD 交 AC 于 O。四边形 ABCD 是菱形，ACBD，OA=1 2AC。OB=1 2AB=1。OA=3，AC=2OA=23。运动 ts 后，AP=3t，AO=t，APAC=3AQAB。又PAQ=CAB，PAQCAB.APQ=ACB.PQBC.（2）如图 2，P 与 BC 切于点 M，连接 PM，则 PMBC。在 RtCPM 中，PCM=30°，PM=13PC= 3t22。由 PM=PQ=AQ=t，即33t2=t，解得 t=4 36，此时P 与边 BC 有一个公共点。如图 3，P 过点 B，此时 PQ=PB，PQB=PAQ+APQ=60°PQB 为等边三角形。QB=PQ=AQ=t。t=1。37当4 36t1，则m1n上，解出不等式组的解为10a2和a0，此时，点 E 已在边 DA 延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根） 。当22x2时，y=222225+2 2+4=22220 )。 （1）连接 DP ，经过 1 秒后，四边形 EQDP 能够成为平行四边形吗？请说明理由；80（2）连接 PQ ，在运动过程中，不论 t 取何值时，总有线段 PQ 与线段 AB 平行。为什么？（3）当 t 为何值时，EDQ 为直角三角形。【答案答案】解：（1）不能。理由如下：假设经过 t 秒时四边形 EQDP 能够成为平行四边形。点 P 的速度为 1 厘米秒，点 Q 的速度为 1 . 25 厘米秒，AP=t 厘米，BQ=1.25t 厘米。又PEBC，AEPADC。EPAP DCAC。AC=4 厘米，BC=5 厘米，CD=3 厘米，EPt 34，解得，EP=0.75t 厘米。又5QDBCBQDC5t321.25t4，由 EP=QD 得21.25t=0.75t，解得t=1。只有t=1时四边形 EQDP 才能成为平行四边形。经过 1 秒后，四边形 EQDP 不能成为平行四边形。（2）AP=t 厘米，BQ=1.25t 厘米，AC=4 厘米，BC=5 厘米，PC4tQC5 1.25t4t AC4BC54 上。PCQC ACBC。又C=C，PQCABC。PQC=B。PQAB。在运动过程中，不论 t 取何值时，总有线段 PQ 与线段 AB 平行。（3）分两种情况讨论：当EQD=90°时，显然有 EQ=PC=4t，DQ=1.25t2又EQAC，EDQADC。EQDQ ACDC，即4t1.25t2 43，81解得t=2.5。当QED=90°时，CDA=EDQ，QED=C=90°，EDQCDA。DQRt EDQ DARt CDA上上上上 上上上上边 边。RtEDQ 斜边上的高为 4t，RtCDA 斜边上的高为2.4，1.25t24t 52.4，解得 t =3.1。综上所述，当 t 为 2.5 秒或 3.1 秒时，EDQ 为直角三角形。【考点考点】动点问题，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，平行的判定，直角三角形的判定。【分析分析】 （1）不能。应用相似三角形的判定和性质，得出只有t=1时四边形 EQDP 才能成为平行四边形的结果，从而得出经过 1 秒后，四边形 EQDP 不能成为平行四边形的结论。（2）由PQCABC 得PQC=B，从而得到在运动过程中，不论 t 取何值时，总有线段PQ 与线段 AB 平行的结论。（3）分EQD=90°和QED=90°两种情况讨论即可。36. （2012 河南省河南省 11 分）分）如图，在平面直角坐标系中，直线1y=x+12与抛物线2y=ax +bx3交于 A，B两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为 3。点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点（不与 A，B 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 与点 C，作 PDAB 于点 D（1）求 a，b 及sinACP的值（2）设点 P 的横坐标为m用含m的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值；连接 PB，线段 PC 把PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为 9：10？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由.82【答案答案】解：（1）由1x+1=02，得到 x=2，A（2，0） 。由1x+1=32，得到 x=4，B（4，3） 。2y=ax +bx3经过 A、B 两点，4a2b3=0 16a+4b3=3 ，解得1a=2 1b=2 。设直线 AB 与 y 轴交于点 E，则 E（0，1） 。根据勾股定理，得 AE=5。PCy 轴，ACP=AEO。OA22 5sinACP=sinAEO=AE55。（2）由（1）可知抛物线的解析式为211y=xx322。由点 P 的横坐标为m，得 P211mmm322上，C1mm+12上。PC= 221111m+1mm3m +m+42222 。在 RtPCD 中，2212 559 5PDPC sin ACP=m +m+4=m1+2555，505<，当 m=1 时，PD 有最大值9 5 5。存在满足条件的m值，532m=29上。【考点考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的性质，锐角三角函数定义，83二次函数最值。【分析分析】 （1）求出点 A、B 的坐标，代入2y=ax +bx3即可求出 a，b。由 PCy 轴，得ACP=AEO，在 RtAOE 中应用锐角三角函数定义即可求得OA22 5sinACP=sinAEO=AE55。（2）用m表示出点 P、C 的坐标，从而表示出 PC 的长：PC21m +m+42 ，由锐角三角函数定义得PDPC sin ACP，代入即能用含m的代数式表示线段 PD 的长。根据二次函数最值求法求得线段 PD 长的最大值。如图，分别过点 D，B 作 DFPC，BGPC，垂足分别为 F，G。DP2 5sinACP=CP5，设 DP= 2 5k，CP=5 k。根据勾股定理，得 DC=5k。DC5k5sinCPD=CP5k5。在 RtPDF 中，2259 551DFPD sin CPD=m 1 +=m2m 8 5555 。又 BG=4m，2PCDPBC1m2m8SDFm+25 SBG4m5 。当PCDPBCSm+29 S510时，解得5m=2；当PCDPBCSm+210 S59时，解得32m=9。37. （2012 河北省河北省 10 分）分）如图，A（5，0） ，B（-3，0） ，点 C 在 y 轴的正半轴上，CBO=45°，CDABCDA=90°点 P 从点 Q（4，0）出发，沿 x 轴向左以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时时间 t 秒（1）求点 C 的坐标；（2）当BCP=15°时，求 t 的值；（3）以点 P 为圆心，PC 为半径的P 随点 P 的运动而变化，当P 与四边形 ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求 t 的值84【答案答案】解：（1）BCO=CBO=45°，OC=OB=3。又点 C 在 y 轴的正半轴上，点 C 的坐标为（0，3） 。（2）分两种情况考虑：当点 P 在点 B 右侧时，如图 2，若BCP=15°，得PCO=30°，故 PO=COtan30°=3。此时 t=4+3当点 P 在点 B 左侧时，如图 3，由BCP=15°，得PCO=60°，故 OP=COtan60°=33。此时，t=4+33t 的值为 4+3或 4+33（3）由题意知，若P 与四边形 ABCD 的边相切时，有以下三种情况：当P 与 BC 相切于点 C 时，有BCP=90°，从而OCP=45°，得到 OP=3，此时 t=1。当P 与 CD 相切于点 C 时，有PCCD，即点 P 与点 O 重合，此时 t=4。当P 与 AD 相切时，由题意，得DAO=90°，点 A 为切点，如图 4，PC2=PA2=（9t）2，PO2=（t4）2。于是（9t）2= PO2=（t4）2，即 8118tt2=t28t169，解得，t=5.6。85综上所述，t 的值为 1 或 4 或 5.6。【考点考点】动点问题，切线的性质，坐标与图形性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析分析】 （1）由CBO=45°，BOC 为直角，得到BOC 为等腰直角三角形，又 OB=3，利用等腰直角三角形 AOB 的性质知 OC=OB=3，然后由点 C 在 y 轴的正半轴可以确定点 C 的坐标。（2）分点 P 在点 B 右侧和点 P 在点 B 左侧两种情况讨论即可。（3）当P 与四边形 ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况讨论：当P 与 BC边相切时，当P 与 CD 相切于点 C 时，当P 与 CD 相切时。38. （2012 吉林省吉林省 10 分）分）如图，在ABC 中，A=90°，AB=2cm，AC=4cm动点 P 从点 A 出发，沿AB 方向以 1cm/s 的速度向点 B 运动，动点 Q 从点 B 同时出发，沿 BA 方向以 1cm/s 的速度向点 A 运动当点 P 到达点 B 时，P，Q 两点同时停止运动，以 AP 为一边向上作正方形 APDE，过点 Q 作QFBC，交 AC 于点 F设点 P 的运动时间为 ts，正方形和梯形重合部分的面积为 Scm2（1）当 t= s 时，点 P 与点 Q 重合；（2）当 t= s 时，点 D 在 QF 上；（3）当点 P 在 Q，B 两点之间（不包括 Q，B 两点）时，求 S 与 t 之间的函数关系式【答案答案】解：（1）1。（2）4 5。（3）当 P、Q 重合时，由（1）知，此时 t=1；当 D 点在 BC 上时，如答图 2 所示，此时 AP=BQ =t，BP=1 2t，又BP=2t，1 2t=2t，解得 t=4 3。进一步分析可知此时点 E 与点 F 重合。当点 P 到达 B 点时，此时 t=2。86因此当 P 点在 Q，B 两点之间（不包括 Q，B 两点）时，其运动过程可分析如下：当 1t4 3时，如答图 3 所示，此时重合部分为梯形 PDGQ。此时 AP=BQ=t，AQ=2t，PQ=APAQ=2t2。易知ABCAQF，可得 AF=2AQ，EF=2EG。EF=AFAE=2（2t）t=43t，EG=1 2EF=23 2t。DG=DEEG=t（23 2t）=5 2t2。2 PDGQ1159SSPQDGPD2t2t2t=t2t2224上上上上。当4 3t2 时，如答图 4 所示，此时重合部分为一个多边形。此时 AP=BQ=t，AQ=PB=2t。易知ABCAQFPBMDNM，可得 AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN。AF=42t，PM=42t。又 DM=DPPM=t（42t）=3t4，DN=1 2（3t4） 。2 AQFDMNAPDE11SSSSAPAQ AFDN DM22上上上 2211 19t2t42t3t43t4t10t822 24 综上所述，当点 P 在 Q，B 两点之间（不包括 Q，B 两点）时，S 与 t 之间的函数关系式为：2294t2t(1t)43S94t10t8(t2)43 。【考点考点】动点问题，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析分析】 （1）当点 P 与点 Q 重合时，此时 AP=BQ=t，且 AP+BQ=AB=2，由此得 t+t=2，解得 t=1（s） 。（2）当点 D 在 QF 上时，如答图 1 所示，此时 AP=BQ=tQFBC，APDE 为正方形，PQDABC。DP：PQ=AC：AB=2，则 PQ=1 2DP=1 2AP=1 2t。由 AP+PQ+BQ=AB=2，得 t+1 2t+t=2，解得：t=4 5。87（3）当点 P 在 Q，B 两点之间（不包括 Q，B 两点）时，运动过程可以划分为两个阶段：当 1t4 3时，如答图 3 所示，此时重合部分为梯形 PDGQ先计算梯形各边长，然后利用梯形面积公式求出 S。当4 3t2 时，如答图 4 所示，此时重合部分为一个多边形面积 S 由关系式“APDESS上上上AQFDMNSS”求出。39.（2012 浙江舟山浙江舟山 14 分）分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）连接 OP，过点 0 作 OP 的垂线交抛物线于另一点 Q连接 PQ，交 y 轴于点 M作 PA 丄 x 轴于点A，QB 丄 x 轴于点 B设点 P 的横坐标为 m（1）如图 1，当 m=2时，求线段 OP 的长和 tanPOM 的值；在 y 轴上找一点 C，使OCQ 是以 OQ 为腰的等腰三角形，求点 C 的坐标；（2）如图 2，连接 AM、BM，分别与 OP、OQ 相交于点 D、E用含 m 的代数式表示点 Q 的坐标；求证：四边形 ODME 是矩形【答案答案】解：（1）把 x=2代入 y=x2，得 y=2，P（2，2） ，OP=6。PA 丄 x 轴，PAMOOP2tan POMtan OPA=AP2。设 Q（n，n2） ，tanQOB=tanPOM，2n2=n22n=2。Q（21 22 上） 。OQ=3 2。当 OQ=OC 时，则 C1（0，3 2） ，C2（0，3 2） 。当 OQ=CQ 时，则 C3（0，1） 。88（2）点 P 的横坐标为 m，P（m，m2） 。设 Q（n，n2） ，APOBOQ，BQBO=AOAP。22nn=mm，得1n=m。Q（211 mm上 ） 。设直线 PO 的解析式为：y=kx+b，把 P（m，m2） 、Q（211 mm上 ）代入，得：22m =mk+b 11=k+bmm，解得 b=1。M（0，1） 。2QBOB1=MOAPm，QBO=MOA=90°，QBOMOA。MAO=QOB，QOMA。同理可证：EMOD。又EOD=90°，四边形 ODME 是矩形。【考点考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定。【分析分析】 （1）已知 m 的值，代入抛物线的解析式中可求出点 P 的坐标；由此确定 PA、OA 的长，通过解直角三角形易得出结论。题目要求OCQ 是以 OQ 为腰的等腰三角形，所以分 QO=OC、QC=QO 两种情况来判断：QO=QC 时，Q 在线段 OC 的垂直平分线上，Q、O 的纵坐标已知，C 点坐标即可确定；QO=OC 时，先求出 OQ 的长，那么 C 点坐标可确定。（2）由QOP=90°，易求得QBOMOA，通过相关的比例线段来表示出点 Q 的坐标。在四边形 ODME 中，已知了一个直角，只需判定该四边形是平行四边形即可，那么可通过证明两组对边平行来得证。40. （2012 湖北孝感湖北孝感 12 分）分）)如图，抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交于点 A(1，0)、B(3，0)，与 y轴交于点 C(0，3)(1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；(2)若 P 为线段 BD 上的一个动点，过点 P 作 PMx 轴于点 M，求四边形 PMAC 的面积的最大值和此时点 P 的坐标；(3)若点 P 是抛物线第一象限上的一个动点，过点 P 作 PQAC 交 x 轴于点 Q当点 P 的坐标为89时，四边形 PQAC 是平行四边形；当点 P 的坐标为 时，四边形 PQAC 是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)【答案答案】解：（1）抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交于点 A(1，0)、B(3，0)，可设抛物线的解析式为y=a x1x3。又抛物线 yax2bxc(a0) 与 y 轴交于点 C(0，3)，3=a 01 03，解得a=1。抛物线的解析式为y=x1x3。即2y=x +2x+3。又22y=x +2x+3=x1+4，抛物线顶点 D 的坐标为（1，4） 。（2）设直线 BD 的解析式为y=kx+b，由 B（3，0） ，D（1，4）得3k+b=0 k+b=4，解得k=2 b=6 。直线 BD 的解析式为y=2x+6。点 P 在直线 PD 上，设 P（p，2p+6） 。则 OA=1，OC=3，OM= p，PM=2p+6。2 2 OACOMPCPMAC11939105SSS1 332p+6p=p +p+=p+2222416 上上上上 边。9134<<，当9p=4时，四边形 PMAC 的面积取得最大值为105 16，此时点 P 的坐标为（93 42上） 。90（3） （2，3） ；（1115 416上） 。【考点考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，平行四边形的判定，等腰梯形的判定，相似三角形的判定和性质勾股定理，解一元二次方程。【分析分析】 （1）将抛物线的解析式设为交点式，可用待定系数法较简捷地求得抛物线的解析式，将其化为顶点式即可求得顶点 D 的坐标。（2）求出直线 BD 的解析式，设定点 P 的坐标，由OACOMPCPMACSSS上上上上 边列式，根据二次函数最值原理，即可求得四边形 PMAC 的面积的最大值和此时点 P 的坐标。（3）如图，四边形 PQAC 是平行四边形时，CPx 轴，点 P 在抛物线上，点 P 与点 C 关于抛物线的对称轴 x=1 对称。C(0，3)，P（2，3） 。如图，四边形 PQAC 是等腰梯形时，设 P（m，2m +2m+3） ，过点 P 作 PHx 轴于点 H，则 H（m，0） 。易得ACOQNP，QHHP AOOC。OA=1，OC=3，HP=2m +2m+3，2QHm +2m+3 13，即212QHm +m+133 。AQ=AO+OHQH=211m +m33。2432121AQ =m +m +m999。又由勾股定理得，22222432432CPm + 3m +2m+3=m +m4m +4m =m4m +5m 。由四边形 PQAC 是等腰梯形得 AQ=CP，即 AQ2=CP2，432432121m +m +m =m4m +5m999，整理得24m19m+22=0，解得m=2或11m=4。当m=2时，由知 CPAQ，四边形 PQAC 是平行四边形，不符合条件，舍去。当11m=4时，CP 与 AQ 不平行，符合条件。P（1115 416上） 。41. （2012 江苏南京江苏南京 10 分）分）如图，A、B 为O 上的两个定点，P 是O 上的动点（P 不与 A、B 重合） ，我们称APB 为O 上关于 A、B 的滑动角。91（1）已知APB 是OA上关于点 A、B 的滑动角。 若 AB 为O 的直径，则APB= 若O 半径为 1，AB=2，求APB 的度数（2）已知2O为1OA外一点，以2O为圆心作一个圆与1OA相交于 A、B 两点，APB 为1OA上关于点A、B 的滑动角，直线 PA、PB 分别交2OA于点 M、N（点 M 与点 A、点 N 与点 B 均不重合） ，连接AN，试探索APB 与MAN、ANB 之间的数量关系。【答案答案】解：（1）900。如图，连接 AB、OA、OB在AOB 中，OA=OB=1AB=2，OA2+OB2=AB2。AOB=90°。当点 P 在优弧 AB 上时（如图 1） ，APB=1 2AOB=45°；当点 P 在劣弧 AB 上时（如图 2） ，APB=1 2（360°AOB）=135°。（2）根据点 P 在O1上的位置分为以下四种情况第一种情况：点 P 在O2外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点 B在点 P 与点 N 之间