2012年全国中考数学分类解析汇编专题12：几何三大变换问题之旋转.doc

12 012 年全国中考数学分类解析汇编年全国中考数学分类解析汇编专题专题 12：几何三大变换问题之旋转：几何三大变换问题之旋转一、选择题一、选择题1. （2012 广东佛山广东佛山 3 分）分）如图，把一个斜边长为 2 且含有 300角的直角三角板 ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 900到A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】A B3 C33+42D113+124【答案答案】D。【考点考点】旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，扇形面积。【分析分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形 ACA1、 BCD 和ACD 计算即可：在ABC 中，ACB=90°，BAC=30°，AB=2，BC=1 2AB=1，B=90°BAC=60°。22ACABBC3。ABC13SBCAC22。设点 B 扫过的路线与 AB 的交点为 D，连接 CD，BC=DC，BCD 是等边三角形。BD=CD=1。点 D 是 AB 的中点。ACDABC1133SS2224S。 1ACDACABCDABCSSS四四四四四四扫过积22903 6013331133603604464124四四故选 D。22. （2012 广东汕头广东汕头 4 分）分）如图，将ABC 绕着点 C 顺时针旋转 50°后得到ABC若A=40°B=110°，则BCA的度数是【 】A110° B80° C40° D30°【答案答案】B。【考点考点】旋转的性质，三角形内角和定理。【分析分析】根据旋转的性质可得：A=A，ACB=ACB，A=40°，A=40°。B=110°，ACB=180°110°40°=30°。ACB=30°。将ABC 绕着点 C 顺时针旋转 50°后得到ABC，ACA=50°，BCA=30°+50°=80°，故选 B。3. （2012 福建龙岩福建龙岩 4 分）分）如图，矩形 ABCD 中，AB=1，BC=2，把矩形 ABCD 绕 AB 所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为【 】A10 B4 C2 D2【答案答案】B。【考点考点】矩形的性质，旋转的性质。【分析分析】把矩形 ABCD 绕 AB 所在直线旋转一周所得圆柱是以 BC=2 为底面半径，AB=1 为高。所以，它的侧面积为22 1=4 。故选 B。4. （2012 湖北十堰湖北十堰 3 分）分）如图，O 是正ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60°得到线段 BO，下列结论：BOA 可以由BOC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到；点 O 与 O的距离为 4；AOB=150°；AOBOS=6+3 3四四 边；AOCAOB9 3SS6+4AA其中正确的结论是【 】3A B C D 【答案答案】A。【考点考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。【分析分析】正ABC，AB=CB，ABC=600。线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60°得到线段 BO，BO=BO，OAO=600。OBA=600ABO=OBA。BOABOC。BOA 可以由BOC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到。故结论正确。 连接 OO，BO=BO，OAO=600，OBO是等边三角形。OO=OB=4。故结论正确。在AOO中，三边长为 OA=OC=5，OO=OB=4，OA=3，是一组勾股数，AOO是直角三角形。AOB=AOOOOB =900600=150°。故结论正确。AOOOBOAOBO11SSS3 4+4 2 36+4 322 四四 边。故结论错误。如图所示，将AOB 绕点 A 逆时针旋转 60°，使得 AB 与 AC 重合，点 O 旋转至 O点易知AOO是边长为 3 的等边三角形，COO是边长为 3、4、5 的直角三角形。则AOCAOBAOCOCOOAOO113 39 3SSSSS3 4+3=6+2224 。故结论正确。综上所述，正确的结论为：。故选 A。5. （2012 湖南娄底湖南娄底 3 分）分）如图，矩形绕它的一条边 MN 所在的直线旋转一周形成的几何体是【 】4A B C D 【答案答案】C。【考点考点】点、线、面、体。【分析分析】矩形绕一边所在的直线旋转一周得到的是圆柱。故选 C。6. （2012 四川绵阳四川绵阳 3 分）分）如图，P 是等腰直角ABC 外一点，把 BP 绕点 B 顺时针旋转 90°到 BP，已知APB=135°，PA：PC=1：3，则 PA：PB=【 】 。A1：2 B1：2 C3：2 D1：3【答案答案】B。【考点考点】旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析分析】如图，连接 AP，BP 绕点 B 顺时针旋转 90°到 BP，BP=BP，ABP+ABP=90°。又ABC 是等腰直角三角形，AB=BC，CBP+ABP=90°，ABP=CBP。在ABP 和CBP中， BP=BP，ABP=CBP，AB=BC ，ABPCBP（SAS）。AP=PC。PA：PC=1：3，AP=3PA。连接 PP，则PBP是等腰直角三角形。BPP=45°，PP= 2 PB。APB=135°，APP=135°-45°=90°，APP是直角三角形。设 PA=x，则 AP=3x，在 RtAPP中， 2222PPAPP A3xx2 2 x 。在 RtAPP中，PP2PB。2PB=2 2 x，解得 PB=2x。PA：PB=x：2x=1：2。 故选 B。57. （2012 贵州黔东南贵州黔东南 4 分）分）点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与 A、B 重合） ，连接 PD 并将线段PD 绕点 P 顺时针旋转 90°，得线段 PE，连接 BE，则CBE 等于【 】A75° B60° C45° D30°【答案答案】C。【考点考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。【分析分析】过点 E 作 EFAF，交 AB 的延长线于点 F，则F=90°，四边形 ABCD 为正方形，AD=AB，A=ABC=90°。ADP+APD=90°。由旋转可得：PD=PE，DPE=90°，APD+EPF=90°。ADP=EPF。在APD 和FEP 中，ADP=EPF，A=F，PD=PE，APDFEP（AAS） 。AP=EF，AD=PF。又AD=AB，PF=AB，即 AP+PB=PB+BF。AP=BF。BF=EF又F=90°，BEF 为等腰直角三角形。EBF=45°。又CBF=90°，CBE=45°。故选 C。8. （2012 广西北海广西北海 3 分）分）如图，等边ABC 的周长为 6，半径是 1 的O 从与 AB 相切于点 D 的位置出发，在ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与 AB 相切于点 D 的位置，则O 自转了：【 】A2 周B3 周C4 周D5 周【答案答案】C。【考点考点】等边三角形的性质，直线与圆的位置关系。6【分析分析】该圆运动可分为两部分：在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计算即可得到圆的自传周数：O 在三边运动时自转周数：6÷2 =3：O 绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周。O 自转了 3+1=4 周。故选 C。二、填空题二、填空题1. （2012 福建厦门福建厦门 4 分）分）如图，已知ABC90°，ABr，BC，半径为 r 的O 从点 A 出发，沿r2ABC 方向滚动到点 C 时停止.请你根据题意，在图上画出圆心 O 运动路径的示意图；圆心 O 运动的路程是 .【答案答案】2r。【考点考点】作图题，弧长的计算。【分析分析】根据题意画出图形，将运动路径分为三部分：OO1，O1O2 ，O2O3，分别计算出各部分的长再相加即可：圆心 O 运动路径如图：OO1=AB=r；O1O2 =90 r1r1802；O2O3=BC=1r2 ，圆心 O 运动的路程是 r+1r2+1r2 =2r。2. （2012 四川南充四川南充 3 分）分）如图，四边形 ABCD 中，BAD=BCD=900,AB=AD,若四边形 ABCD 的面积是 24cm2.则 AC 长是 cm. 7【答案答案】43。【考点考点】等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理。【分析分析】如图，将ADC 旋转至ABE 处，则AEC 的面积和四边形 ABCD 的面积一样多为 24cm2，,这时三角形AEC 为等腰直角三角形，作边 EC 上的高 AF，则 AF=1 2EC=FC, SAEC= 1 2AF·EC=AF2=24 。AF2=24。AC2=2AF2=48 AC=43。3. （2012 山东烟台山东烟台 3 分）分）如图，在 RtABC 中，C=90°，A=30°，AB=2将ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转至ABC的位置，B，A，C三点共线，则线段 BC 扫过的区域面积为 【答案答案】5 12。【考点考点】扇形面积的计算，旋转的性质。【分析分析】先根据 RtABC 中，C=90°，A=30°，AB=2 求出 BC 及 AC 的长，再根据线段 BC 扫过的区域面积为：S阴影=AB 扫过的扇形面积ABC面积AC 扫过的扇形面积ABC 面积=AB 扫过的扇形面积AC 扫过的扇形面积。RtABC 中，C=90°，A=30°，AB=2，113BCAB21AC23222四。B，A，C三点共线，BAB=150°。S阴影= AB 扫过的扇形面积ABC 面积BC 扫过的扇形面积 2 2150315025=36036012。4. （2012 广西河池广西河池 3 分）分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OEFG 的顶点 F 的坐标为(4，2)，将矩形OEFG 绕点 O 逆时针旋转，使点 F 落在 y 轴上，得到矩形 OMNP，OM 与 GF 相交于点 A若经过点 A8的反比例函数ky(x0)x=>的图象交 EF 于点 B，则点 B 的坐标为 .【答案答案】 （4，1 2） 。【考点考点】反比例函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析分析】矩形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转，使点 F 落在 y 轴的点 N 处，得到矩形 OMNP，P=POM=OGF=90°。PON+PNO=90°，GOA+PON=90°。PNO=GOA。OGANPO。E 点坐标为（4，0） ，G 点坐标为（0，2） ，OE=4，OG=2。OP=OG=2，PN=GF=OE=4。OGANPO，OG：NP=GA：OP，即 2：4=GA：2。GA=1。A 点坐标为（1，2） 。把 A（1，2）代入kyx=得 k=1×2=2。过点 A 的反比例函数解析式为2yx=。把 x=4 代入2yx=得1y2=。B 点坐标为（4，1 2） 。5. （2012 广西钦州广西钦州 3 分）分）如图，直线3yx32与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，把AOB 绕点 A旋转 90°后得到AOB，则点 B的坐标是 【答案答案】 （1，2）或（5，2） 。【考点考点】坐标与图形的旋转变化。【分析分析】当 y=0 时，3x302，解得 x=2；当x=0 时，y=3。9点 A（2，0） ，B（0，3） 。OA=2，OB=3，根据旋转不变性可得AOBAOB，AO=OA=2，OB=OB=3，如果AOB 是逆时针旋转 90°，则点 B（1，2） ，如果AOB 是顺时针旋转 90°，则点 B（5，2） 。综上，点 B的坐标是（1，2）或（5，2） 。 6. （2012 江西南昌江西南昌 3 分）分）如图，正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合，将AEF 绕顶点 A 旋转，在旋转过程中，当 BE=DF 时，BAE 的大小可以是 【答案答案】15°或 165°。【考点考点】正方形和正三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质。【分析分析】正三角形 AEF 可以在正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解：当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的内部时，如图 1，正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合，AB=AD，AE=AF。当 BE=DF 时，在ABE 和ADF 中，AB=AD，BE=DF，AE=AF，ABEADF（SSS） 。BAE=FAD。EAF=60°，BAE+FAD=30°。BAE=FAD=15°。当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的外部，顺时针旋转小于 1800时，如图 2，同上可得ABEADF（SSS） 。BAE=FAD。EAF=60°，BAF=DAE。900600BAFDAE=3600，BAF=DAE=105°。BAE=FAD=165°。10当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的外部，顺时针旋转大于 1800时，如图 3，同上可得ABEADF（SSS） 。BAE=FAD。EAF=60°，BAE=90°，90°DAE=60°DAE，这是不可能的。此时不存在 BE=DF 的情况。综上所述，在旋转过程中，当 BE=DF 时，BAE 的大小可以是 15°或 165°。7. （2012 吉林省吉林省 3 分）分）如图，在等边ABC 中，D 是边 AC 上一点，连接 BD将BCD 绕点 B 逆时针旋转 60°得到BAE，连接 ED若 BC=10，BD=9，则AED 的周长是_ _.【答案答案】19。【考点考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质。【分析分析】BCD 绕点 B 逆时针旋转 60°得到BAE， 根据旋转前、后的图形全等的旋转性质，得，CD= AE，BD=BE。ABC 是等边三角形，BC=10，AC= BC=10。AEAD=AC=10。又旋转角DBE=600，DBE 是等边三角形。DE=BD=9。AED 的周长=DEAEAD=910=19。三、解答题三、解答题1. （2012 北京市北京市 7 分）分）在ABC中，BA=BCBAC 四，M 是 AC 的中点，P 是线段 BM 上的动点，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转2得到线段 PQ。（1） 若 且点 P 与点 M 重合（如图 1） ，线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请补全图形，并写出CDB 的度数；（2） 在图 2 中，点 P 不与点 B，M 重合，线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，猜想CDB 的11大小（用含的代数式表示） ，并加以证明；（3） 对于适当大小的，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时，能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，且 PQ=QD，请直接写出的范围。【答案答案】解：（1）补全图形如下：CDB=30°。（2）作线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，连接 PC，AD，AB=BC，M 是 AC 的中点，BMAC。AD=CD，AP=PC，PD=PD。在APD 与CPD 中，AD=CD， PD=PD， PA=PCAPDCPD（SSS） 。AP=PC，ADB=CDB，PAD=PCD。又PQ=PA，PQ=PC，ADC=2CDB，PQC=PCD=PAD。PAD+PQD=PQC+PQD=180°。APQ+ADC=360°（PAD+PQD）=180°。ADC=180°APQ=180°2，即 2CDB=180°2。CDB=90°。（3）45°60°。【考点考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质， 。【分析分析】 （1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出CMQ 是等边三角形，即可得出答案：BA=BC，BAC=60°，M 是 AC 的中点，BMAC，AM=AC。将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 得到线段 PQ，AM=MQ，AMQ=120°。 CM=MQ，CMQ=60°。CMQ 是等边三角形。ACQ=60°。CDB=30°。（2）首先由已知得出APDCPD，从而得出PAD+PQD=PQC+PQD=180°，即可求出。（3）由（2）得出CDB=90°，且 PQ=QD，PAD=PCQ=PQC=2CDB=180°2。12点 P 不与点 B，M 重合，BADPADMAD。2180°2，45°60°。2. （2012 福建南平福建南平 12 分）分）在平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图所示放置，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（m，1） （m0） ，将此矩形绕 O 点逆时针旋转 90°，得到矩形 OABC（1）写出点 A、A、C的坐标；（2）设过点 A、A、C的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c 可用含 m 的式子表示）（3）试探究：当 m 的值改变时，点 B 关于点 O 的对称点 D 是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时 m 的值 【答案答案】解：（1）四边形 ABCD 是矩形，点 B 的坐标为（m，1） （m0） ，A（m，0） ，C（0，1） 。矩形 OABC由矩形 OABC 旋转 90°而成，A（0，m） ，C（1，0） 。 （2）设过点 A、A、C的抛物线解析式为 y=ax2bxc，A（m，0） ，A（0，m） ，C（1，0） ，2ambmc0 cm abc0 ，解得a1 bm1 cm 。此抛物线的解析式为：y=x2（m1）xm。（3）点 B 与点 D 关于原点对称，B（m，1） ，点 D 的坐标为：（m，1） ，假设点 D（m，1）在（2）中的抛物线上，0=（m）2（m1）×（m）m=1，即 2m22m1=0，=（2）24×2×2=40，此方程无解。13点 D 不在（2）中的抛物线上。【考点考点】二次函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，关于原点对称的点的坐标特征，一元二次方程根与系数的关系。【分析分析】 （1）先根据四边形 ABCD 是矩形，点 B 的坐标为（m，1） （m0） ，求出点 A、C 的坐标，再根据图形旋转的性质求出 A、C的坐标即可。（2）设过点 A、A、C的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，把 A、A、C三点的坐标代入即可得出abc 的值，进而得出其抛物线的解析式。（3）根据关于原点对称的点的坐标特点用 m 表示出 D 点坐标，把 D 点坐标代入抛物线的解析式看是否符合即可。3. （2012 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 10 分）分）ABC 中，AB=AC，D 为 BC 的中点，以 D 为顶点作MDN=B（1）如图（1）当射线 DN 经过点 A 时，DM 交 AC 边于点 E，不添加辅助线，写出图中所有与ADE相似的三角形（2）如图（2） ，将MDN 绕点 D 沿逆时针方向旋转，DM，DN 分别交线段 AC，AB 于 E，F 点（点 E与点 A 不重合） ，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论（3）在图（2）中，若 AB=AC=10，BC=12，当DEF 的面积等于ABC 的面积的1 4时，求线段 EF 的长【答案答案】解：（1）图（1）中与ADE 相似的有ABD，ACD，DCE。（2）BDFCEDDEF，证明如下：B+BDF+BFD=180°，EDF+BDF+CDE=180°，又EDF=B，BFD=CDE。AB=AC，B=C。BDFCED。BDDF=CEED。BD=CD，CDDF=CEED，即CDCE=DFED。14又C=EDF，CEDDEF。BDFCEDDEF。 （3）连接 AD，过 D 点作 DGEF，DHBF，垂足分别为 G，HAB=AC，D 是 BC 的中点，ADBC，BD=1 2BC=6。在 RtABD 中，AD2=AB2BD2，即 AD2=10262，AD=8。SABC=1 2BCAD=1 2×12×8=48，SDEF=1 4SABC=1 4×48=12。又1 2ADBD=1 2ABDH，AD BD8 624DHAB105。BDFDEF，DFB=EFD。 DHBF，DGEF，DHF=DGF。又DF=DF，DHFDGF（AAS） 。DH=DG=24 5。SDEF=1 2·EF·DG=1 2·EF·24 5=12，EF=5。【考点考点】旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质。【分析分析】 （1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出ADEABDACDDCE：AB=AC，D 为 BC 的中点，ADBC，B=C，BAD=CAD。又MDN=B，ADEABD。同理可得：ADEACD。MDN=C=B，B+BAD=90°，ADE+EDC=90°，B=MDN，BAD=EDC。B=C，ABDDCE。ADEDCE。（2）利用已知首先求出BFD=CDE，即可得出BDFCED，再利用相似三角形的性质得出BDDF=CEED，从而得出BDFCEDDEF。（3）利用DEF 的面积等于ABC 的面积的1 4，求出 DH 的长，从而利用 SDEF的值求出 EF即可。4. （2012 江苏淮安江苏淮安 12 分）分）如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A（0，4） ，C（2，0） ，将矩形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 1350，得到矩形 EFGH（点 E 与 O 重合）.15（1）若 GH 交 y 轴于点 M，则FOM ，OM= （2）矩形 EFGH 沿 y 轴向上平移 t 个单位。直线 GH 与 x 轴交于点 D，若 ADBO，求 t 的值；若矩形 EFHG 与矩形 OABC 重叠部分的面积为 S 个平方单位，试求当 0 0333，AB=3 2 7 3 3。点 B 在矩形 ARTZ 的外部。【考点考点】旋转的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，实数的大小比较。【分析分析】 （1）由旋转的性质，可得BAM=15°，即可得OKB=AOM=75°，又由正方形的性质，可得ABD=45°，然后利用外角的性质，即可求得DOM 的度数。（2）首先连接 AM，交 BD 于 I，连接 DN，由特殊角的三角函数值，求得HAN=30°，又由旋转的性质，即可求得DAN=45°，即可证得 A，C，N 共线，然后由股定理求得答案。（3）在 RtARK 中，利用三角函数即可求得 AK 的值，与 AB 比较大小，即可确定 B 的位置。12. （2012 福建泉州福建泉州 14 分）分）如图，点 O 为坐标原点，直线l绕着点 A（0,2）旋转，与经过点 C（0,1）的二次函数21yxh4交于不同的两点 P、Q.（1）求 h 的值；（2）通过操作、观察算出POQ 面积的最小值（不必说理） ；（3）过点 P、C 作直线，与 x 轴交于点 B，试问：在直线l的旋转过程中四边形 AOBQ 是否为梯形，若是，请说明理由；若不是，请指明其形状.【答案答案】解：（1）二次函数21yxh4的图象经过 C（0,1），h=1。（2）操作、观察可知当直线lx 轴时，其面积最小；将 y=2 带入二次函数21yx14中，得x2 ， S最小=（2×4）÷2=4。30（3）连接 BQ，若 l 与 x 轴不平行（如图） ，即 PQ 与 x 轴不平行，依题意，设抛物线21yx14上的点P（a，21a14） 、Q（b，21b14） （a0b） 。直线 BC：y=k1x+1 过点 P，21a14=ak1+1，得 k1=1a4。直线 BC：y=1a4x+1令 y=0 得：xB=4 a过点 A 的直线 l：y=k2x+2 经过点 P、Q，2 21a1ak24 ，2 21b1=bk24 。×b-×a 得：221a bb aba2ba4四四四四，化简得：b=4 a。点 B 与 Q 的横坐标相同。BQy 轴，即 BQOA。又AQ 与 OB 不平行，四边形 AOBQ 是梯形。根据抛物线的对称性可得（a0b）结论相同。若 l 与 x 轴平行，由 OA=2，BQ=2，OB=2，AQ=2，且AOB=900，得四边形 AOBQ 是正方形。故在直线 l 旋转的过程中：当 l 与 x 轴不平行时，四边形 AOBQ 是梯形；当 l 与 x 轴平行时，四边形 AOBQ 是正方形。【考点考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，旋转的性质，二次函数的性质，一次函数的运用，梯形和正方形的判定。【分析分析】 （1）根据二次函数图象上的点的坐标特征，利用待定系数法求得 h 的值。（2）操作、观察可得结论。实际上，由 P（a，21a14） 、Q（b，21b14） （a0b） ，可求得 b=4 a（参见（3） ） 。2POQQP11444SOA xxOA |a |a =a+422aaa 四四四四当4=aa即|a|=|b|（P、Q 关于 y 轴对称）时，POQ 的面积最小。即 PQx 轴时，POQ 的面积最小，且 POQ 的面积最小为 4。31（3）判断四边形 AOBQ 的形状，可从四个顶点的坐标特征上来判断首先设出 P、Q 的坐标，然后根据点 P、C 求出直线 BC 的解析式，从而表示出点 B 的坐标，然后再通过直线 PQ 以及 P、A、Q三点坐标，求出 Q、B 两点坐标之间的关联，从而判断该四边形是否符合梯形的特征。13. （2012 辽宁丹东辽宁丹东 12 分）分）已知：点 C、A、D 在同一条直线上，ABC=ADE=，线段 BD、CE 交于点 M（1）如图 1，若 AB=AC，AD=AE问线段 BD 与 CE 有怎样的数量关系？并说明理由；求BMC 的大小（用 表示） ；（2）如图 2，若 AB= BC=kAC，AD =ED=kAE则线段 BD 与 CE 的数量关系为 ，BMC= （用 表示） ；（3）在（2）的条件下，把ABC 绕点 A 逆时针旋转 180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ，连接 EC 并延长交BD 于点 M.则BMC= （用 表示）【答案答案】解：（1）如图 1。BD=CE，理由如下：AD=AE，ADE=，AED=ADE=， 。DAE=180°2ADE=180°2。同理可得：BAC=180°2。DAE=BAC。DAE+BAE=BAC+BAE，即：BAD=CAE。在ABD 与ACE 中，AB=AC，BAD=CAE，AD=AE，ABDACE（SAS） 。BD=CE。ABDACE，BDA=CEA。BMC=MCD+MDC，BMC=MCD+CEA=DAE=180°2。32（2）如图 2，BD=kCE，902。（3）作图如下：90 +2。【考点考点】相似三角形的判定和性质，全等角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，作图（旋转变换） ，旋转的性质【分析分析】 （1）先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出DAE=BAC，则BAD=CAE，再根据 SAS 证明ABDACE，从而得出 BD=CE。先由全等三角形的对应角相等得出BDA=CEA，再根据三角形的外角性质即可得出BMC=DAE=180°2。（2）AD=ED，ADE=，DAE=180ADE=9022。同理可得：BAC=902。DAE=BAC。DAE+BAE=BAC+BAE，即：BAD=CAE。AB=kAC，AD=kAE，AB：AC=AD：AE=k。在ABD 与ACE 中，AB：AC=AD：AE=k，BDA=CEA，ABDACE。BD：CE=AB：AC=AD：AE=k，BDA=CEA。BD=kCE。BMC=MCD+MDC，BMC=MCD+CEA=DAE=902。（3）先在备用图中利用 SSS 作出旋转后的图形，再根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出DAE=BAC=902，由 AB=kAC，AD=kAE，得出 AB：AC=AD：AE=k，从而证出ABDACE，得出BDA=CEA，然后根据三角形的外角性质即可得出BMC=90 +2：33AD=ED，ADE=，DAE=AED=180ADE=9022。同理可得：BAC=902。DAE=BAC，即BAD=CAE。AB=kAC，AD=kAE，AB：AC=AD：AE=k。在ABD 与ACE 中，AB：AC=AD：AE=k，BAD=CAE，ABDACE。BDA=CEA。BMC=MCD+MDC，MCD=CED+ADE=CED+，BMC=CED+CEA=AED+=902+=90 +2。14. （2012 辽宁阜新辽宁阜新 12 分）分） （1）如图，在ABC 和ADE 中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90°当点 D 在 AC 上时，如图 1，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；将图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转 角（0°90°） ，如图 2，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由（2）当ABC 和ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段 BD、CE 在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由甲：AB：AC=AD：AE=1，BAC=DAE90°；乙：AB：AC=AD：AE1，BAC=DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE1，BAC=DAE90°【答案答案】解：（1）结论：BD=CE，BDCE。结论：BD=CE，BDCE。理由如下：BAC=DAE=90°，BADDAC=DAEDAC，即BAD=CAE。在 RtABD 与 RtACE 中，AB=AC，BAD=CAE ，AD=AE，34ABDACE（SAS） 。BD=CE。延长 BD 交 AC 于 F，交 CE 于 H。在ABF 与HCF 中，ABF=HCF，AFB=HFC，CHF=BAF=90°。BDCE。（2）结论：乙AB：AC=AD：AE，BAC=DAE=90°。【考点考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，旋转的性质。【分析分析】 （1）BD=CE，BDCE。根据全等三角形的判定定理 SAS 推知ABDACE，然后由全等三角形的对应边相等证得 BD=CE、对应角相等ABF=ECA；然后在ABD 和CDF 中，由三角形内角和定理可以求得CFD=90°，即 BDCF。BD=CE，BDCE。根据全等三角形的判定定理 SAS推知ABDACE，然后由全等三角形的对应边相等证得 BD=CE、对应角相等ABF=ECA；作辅助线（延长 BD 交 AC 于 F，交 CE 于 H）BH 构建对顶角ABF=HCF，再根据三角形内角和定理证得BHC=90°。（2）根据结论、的证明过程知，BAC=DFC（或FHC=90°）时，该结论成立了，所以本条件中的BAC=DAE90°不合适。15. （2012 辽宁铁岭辽宁铁岭 12 分）分）已知ABC 是等边三角形（1）将ABC 绕点 A 逆时针旋转角 （0°180°） ，得到ADE，BD 和 EC 所在直线相交于点 O 如图 a，当 =20°时，ABD 与ACE 是否全等？ （填“是”或“否”） ，BOE= 度；当ABC 旋转到如图 b 所在位置时，求BOE 的度数；（2）如图 c，在 AB 和 AC 上分别截取点 B和 C，使 AB=3AB，AC=3AC，连接 BC，将ABC绕点 A 逆时针旋转角（0°180°） ，得到ADE，BD 和 EC 所在直线相交于点 O，请利用图 c 探索BOE 的度数，直接写出结果，不必说明理由【答案答案】解：（1）是； 120。35由已知得：ABC 和ADE 是全等的等边三角形，AB=AD=AC=AE。ADE 是由ABC 绕点 A 旋转 得到的，BAD=CAE=。BADCAE（SAS） 。ADB=AEC。ADB+ABD+BAD=180°，