2013年中考数学试卷分类汇编 锐角三角函数.doc

1锐角三角函数锐角三角函数1、 （2013天津）tan60°的值等于（ ）A1BCD2 考点： 特殊角的三角函数值分析： 根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案解答： 解：tan60°= 故选 C 点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的 内容2、 （2013温州）如图，在ABC 中，C=90°，AB=5，BC=3，则 sinA 的值是（ ）A B C D 考点： 锐角三角函数的定义分析： 利用正弦函数的定义即可直接求解解答：解：sinA= 故选 C 点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边， 余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边3、 （2013雅安）如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上的点，CDB=30°，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于 E，则 sinE 的值为（ ）A B C D 2考点： 切线的性质；圆周角定理；特殊角的三角函数值分析： 首先连接 OC，由 CE 是O 切线，可得 OCCE，由圆周角定理，可得BOC=60°，继 而求得E 的度数，则可求得 sinE 的值 解答： 解：连接 OC， CE 是O 切线， OCCE， 即OCE=90°， CDB=30°， COB=2CDB=60°， E=90°COB=30°， sinE= 故选 A点评： 此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值此题难度不大，注 意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用4、 （2013包头）3tan30°的值等于（ ）A B 3C D 考点： 特殊角的三角函数值分析：直接把 tan30°=代入进行计算即可解答：解：原式=3×=故选 A 点评： 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关 键5、 （2013孝感）式子的值是（ ）A B 0C D 2考点： 特殊角的三角函数值3分析： 将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案解答：解：原式=2×1（1）=1+1 =0 故选 B 点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的 内容6、 （2013荆门）如图，在半径为 1 的O 中，AOB=45°，则 sinC 的值为（ ）A B C D 考点： 圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义分析： 首先过点 A 作 ADOB 于点 D，由在 RtAOD 中，AOB=45°，可求得 AD 与 OD 的长， 继而可得 BD 的长，然后由勾股定理求得 AB 的长，继而可求得 sinC 的值 解答： 解：过点 A 作 ADOB 于点 D， 在 RtAOD 中，AOB=45°，OD=AD=OAcos45°=×1=，BD=OBOD=1，AB=，AC 是O 的直径， ABC=90°，AC=2，sinC=故选 B4点评： 此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线 的作法，注意数形结合思想的应用7、 （2013白银）如图，O 的圆心在定角（0°180°）的角平分线上运动，且 O 与 的两边相切，图中阴影部分的面积 S 关于O 的半径 r（r0）变化的函数图象 大致是（ ）A B C D 考点： 动点问题的函数图象；多边形内角与外角；切线的性质；切线长定理；扇形面积的 计算；锐角三角函数的定义 专题： 计算题分析： 连接 OB、OC、OA，求出BOC 的度数，求出 AB、AC 的长，求出四边形 OBAC 和扇形 OBC 的面积，即可求出答案 解答： 解：连接 OB、OC、OA， 圆 O 切 AM 于 B，切 AN 于 C， OBA=OCA=90°，OB=OC=r，AB=AC BOC=360°90°90°=（180）°， AO 平分MAN， BAO=CAO=，AB=AC=，阴影部分的面积是：S四边形 BACOS扇形 OBC=2×××r=（）r2，r0，5S 与 r 之间是二次函数关系 故选 C点评： 本题主要考查对切线的性质，切线长定理，三角形和扇形的面积，锐角三角函数的 定义，四边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解 此题的关键8、 （2013鄂州）如图，RtABC 中，A=90°，ADBC 于点 D，若 BD：CD=3：2，则 tanB=（ ）A B C D 考点： 相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义分析： 首先证明ABDACD，然后根据 BD：CD=3：2，设 BD=3x，CD=2x，利用对应边成 比例表示出 AD 的值，继而可得出 tanB 的值 解答： 解：在 RtABC 中， ADBC 于点 D， ADB=CDA， B+BAD=90°，BAD+DAC=90°， B=DAC， ABDACD，=，BD：CD=3：2， 设 BD=3x，CD=2x，AD=x，则 tanB=故选 D 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，难度一般，解答本题 的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应变成比例求边长9、(2013 年深圳市)如图 3，已知321/lll，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角ABC 的三个项点分别在这6三条平行直线上，则sin的值是（ ）A.31B.176C.55D.1010答案：D解析：分别过点 A，B 作 设平行线间距离为 d1，CEBF1，AECF2，ACBC5，AB10，则10、 （2013 杭州）在 RtABC 中，C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：sinA=；cosB=；tanA=；tanB=，其中正确的结论是 （只需填上正确结论的序号） 考点：特殊角的三角函数值；含 30 度角的直角三角形 专题：探究型 分析：先根据题意画出图形，再由直角三角形的性质求出各角的度数，由特殊角的三角函 数值即可得出结论 解答：解：如图所示：在 RtABC 中，C=90°，AB=2BC，sinA=，故错误；A=30°， B=60°， cosB=cos60°=，故正确； A=30°，tanA=tan30°=，故正确；B=60°，tanB=tan60°=，故正确 故答案为：点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关7键 11、 （2013攀枝花）如图，在菱形 ABCD 中，DEAB 于点 E，cosA= ，BE=4，则 tanDBE的值是 2 考点： 菱形的性质；解直角三角形分析： 求出 AD=AB，设 AD=AB=5x，AE=3x，则 5x3x=4，求出 x，得出 AD=10，AE=6，在RtADE 中，由勾股定理求出 DE=8，在 RtBDE 中得出 tanDBE=，代入求出即可， 解答： 解：四边形 ABCD 是菱形， AD=AB，cosA= ，BE=4，DEAB，设 AD=AB=5x，AE=3x， 则 5x3x=4， x=2， 即 AD=10，AE=6，在 RtADE 中，由勾股定理得：DE=8，在 RtBDE 中，tanDBE= =2，故答案为：2 点评： 本题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形的应用，关键是求出 DE 的长12、 （2013 鞍山）ABC 中，C=90°，AB=8，cosA= ，则 BC 的长 考点：锐角三角函数的定义；勾股定理 分析：首先利用余弦函数的定义求得 AC 的长，然后利用勾股定理即可求得 BC 的长解答：解：cosA=，AC=ABcosA=8× =6，BC=2故答案是：28点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边， 余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 13、（2013 陕西）比较大小：31cos8 35（填“>”，“=”，“”“>”14、 （2013淮安）sin30°的值为 考点： 特殊角的三角函数值分析： 根据特殊角的三角函数值计算即可解答：解：sin30°= ，故答案为 点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的 变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三 角形中各边特殊值规律去记15、 （2013自贡）如图，边长为 1 的小正方形网格中，O 的圆心在格点上，则AED 的余弦值是 考点： 圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义专题： 网格型分析： 根据同弧所对的圆周角相等得到ABC=AED，在直角三角形 ABC 中，利用锐角三角 函数定义求出 cosABC 的值，即为 cosAED 的值 解答：解：AED 与ABC 都对， AED=ABC，9在 RtABC 中，AB=2，AC=1， 根据勾股定理得：BC=，则 cosAED=cosABC=故答案为：点评： 此题考查了圆周角定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理 是解本题的关键16、(2013 年武汉)计算45cos 答案：22解析：直接由特殊角的余弦值，得到。17、 （2013 德州）cos30°的值是 考点： 特殊角的三角函数值分析： 将特殊角的三角函数值代入计算即可解答：解：cos30°=×=故答案为：点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，掌握几个特殊角的三角函数值是解 题的关键18、 （2013曲靖）如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=90°，C=45°， AD=1，BC=4，则 CD= 3 考点： 直角梯形分析： 过点 D 作 DEBC 于 E，则易证四边形 ABED 是矩形，所以 AD=BE=1，进而求出 CE 的 值，再解直角三角形 DEC 即可求出 CD 的长 解答： 解：过点 D 作 DEBC 于 E ADBC，B=90°， 四边形 ABED 是矩形， AD=BE=1，10BC=4， CE=BCBE=3， C=45°，cosC=，CD=3 故答案为 3点评： 此题考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质以及特殊角的锐角三角函数值，此 题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用19、 （2013湖州）如图，已知在 RtACB 中，C=90°，AB=13，AC=12，则 cosB 的值为 考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理分析： 首先利用勾股定理求得 BC 的长，然后利用余弦函数的定义即可求解解答：解：BC=5，则 cosB=点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边， 余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边20、(2013 年广东省 4 分、14)在 RtABC 中,ABC=90°,AB=3,BC=4,则 sinA=_.答案：54解析：由勾股定理，得 AB5，所以 sinA541121、 （2013 甘肃兰州 4 分、9）ABC 中，a、b、c 分别是AB、C 的对边，如果 a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（ ）AcsinA=aBbcosB=cCatanA=bDctanB=b 考点：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义分析：由于 a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到ABC 是直角三角形，且C=90°，再根 据锐角三角函数的定义即可得到正确选项 解答：解：a2+b2=c2， ABC 是直角三角形，且C=90°AsinA= ，则 csinA=a故本选项正确；BcosB= ，则 cosBc=a故本选项错误；CtanA= ，则=b故本选项错误；DtanB= ，则 atanB=b故本选项错误故选 A点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可 22、（2013 哈尔滨） 先化简，再求代数式212 2121aa aaaa的值，其中6tan602a 考点：知识点考察：分式的通分，分式的约分，除法变乘法的法则，完全平方公 式 特殊角的三角函数值 分析：利用除式的分子利用完全平方公式分解因式，除法变乘法的法则，同分母分式的减 法法则计算，再利用特殊角的三角函数值求出 a 的值代入进行计算即可，考查的是分式的 化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键解答：原式=21(1) 212aa aaa=1 22aa aa=1 2a6tan302a =3623a =2 32原式=1 2a=1 2 322=3 623、（13 年北京 5 分 20）如图，AB 是O 的直径，PA，PC 分别与O 相切于点 A，C，PC交 AB 的延长线于点 D，DEPO 交 PO 的延长线于点 E。12（1）求证：EPD=EDO（2）若 PC=6，tanPDA=43，求 OE 的长。中国教育出&版*#网解析：考点：圆中的证明与计算（三角形相似、三角函数、切线的性质）24、（13 年北京 8 分 25）对于平面直角坐标系xOy中的点 P 和C，给出如下定义：若C 上存在两个点 A，B，使得APB=60°，则称 P 为C 的关联点。已知点 D（21，21），E（0，-2），F（32，0）（1）当O 的半径为 1 时，在点 D，E，F 中，O 的关联点是_；过点 F 作直线交y轴正半轴于点 G，使GFO=30°，若直线上的点P（m，n）是O 的关联点，求m的取值范围；（2）若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。13解析：【解析】(1) ED、； 由题意可知，若P点要刚好是圆C的关联点；需要点P到圆C的两条切线PA和PB之间所夹 的角度为60； 由图1可知60APB，则30CPB，连接BC，则rBCCPBBCPC22sin；若P点为圆C的关联点；则需点P到圆心的距离d满足rd20； 由上述证明可知，考虑临界位置的P点，如图 2； 点P到原点的距离212OP； 过O作x轴的垂线OH，垂足为H；3232tanOGOFOGF；60OGF；360sinOGOH；23sinOPOHOPH；60OPH；易得点1P与点G重合，过2P作xMP2轴于点M；易得302OMP；330cos2OPOM；从而若点P为圆O的关联点，则P点必在线段21PP上；30m；(2) 若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；图 1CBAPxyMP2G(P1)图 2HOF14考虑临界情况，如图 3；即恰好FE、点为圆K的关联时，则2212EFKNKF；此时1r； 故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为1r.【点评】“新定义”问题最关键的是要能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过第 (2)问开 头部分的解析，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于 2倍半 径的点. 了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了.考点：代几综合（“新定义”、特殊直角三角形的性质、圆、特殊角三角形函数、数形结合）25、(2013 年广东湛江)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再将要求答题：13sin30,cos3022，则22sin 30cos 30 ； 22sin45,cos4522，则22sin 45cos 45 ； 22sin60,cos6022，则22sin 60cos 60 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有22sincosAA 1 （）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理 对A证明你的猜想；（）已知：A为锐角cos0A 且3sin5A ，求cos A（）证明：过点B作BDAC于D，在RtADB中，sin,cosBDADAAABAB，由勾股定理得，22 222,1BDADBDADABABAB，22sincos1AAxy图 3NKEF15（）解：A为锐角cos0A ，3sin5A ，22sincos1AA24cos1 sin5AA26、 （2013郴州）如图，ABC 中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P 为 AC 边上一动点，设 PC=x，作 PEAB 交 BC 于 E，PFBC 交 AB 于 F （1）证明：PCE 是等腰三角形； （2）EM、FN、BH 分别是PEC、AFP、ABC 的高，用含 x 和 k 的代数式表示 EM、FN， 并探究 EM、FN、BH 之间的数量关系； （3）当 k=4 时，求四边形 PEBF 的面积 S 与 x 的函数关系式x 为何值时，S 有最大值？并 求出 S 的最大值考点： 等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形 分析： （1）根据等边对等角可得A=C，然后根据两直线平行，同位角相等求出 CPE=A，从而得到CPE=C，即可得证；（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出 CM= CP，然后求出 EM，同理求出 FN、BH的长，再根据结果整理可得 EM+FN=BH； （3）分别求出 EM、FN、BH，然后根据 SPCE，SAPF，SABC，再根据 S=SABCSPCESAPF，整理即可得到 S 与 x 的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答 解答： （1）证明：AB=BC， A=C， PEAB， CPE=A， CPE=C， PCE 是等腰三角形；（2）解：PCE 是等腰三角形，EMCP，CM= CP= ，tanC=tanA=k，EM=CMtanC= k=，同理：FN=ANtanA=k=4k，由于 BH=AHtanA= ×8k=4k，16而 EM+FN=+4k=4k，EM+FN=BH；（3）解：当 k=4 时，EM=2x，FN=162x，BH=16，所以，SPCE= x2x=x2，SAPF= （8x）（162x）=（8x）2，SABC= ×8×16=64，S=SABCSPCESAPF， =64x2（8x）2， =2x2+16x， 配方得，S=2（x4）2+32， 所以，当 x=4 时，S 有最大值 32 点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的 最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点27、 （2013呼和浩特）如图，AD 是ABC 的角平分线，以点 C 为圆心，CD 为半径作圆交 BC 的延长线于点 E，交 AD 于点 F，交 AE 于点 M，且B=CAE，EF：FD=4：3 （1）求证：点 F 是 AD 的中点； （2）求 cosAED 的值； （3）如果 BD=10，求半径 CD 的长考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形分析： （1）由 AD 是ABC 的角平分线，B=CAE，易证得ADE=DAE，即可得 ED=EA， 又由 ED 是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得 EFAD，由三线合一的知识， 即可判定点 F 是 AD 的中点； （2）首先连接 DM，设 EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得 ED 的长，继而求得 DM 与 ME 的长，由余弦的定义，即可求得答案； （3）易证得AECBEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）2= k（10+5k） ，解此方程即可求得答案解答： （1）证明：AD 是ABC 的角平分线， 1=2， ADE=1+B，DAE=2+3，且B=3， ADE=DAE，17ED=EA， ED 为O 直径， DFE=90°， EFAD， 点 F 是 AD 的中点；（2）解：连接 DM， 设 EF=4k，df=3k，则 ED=5k， ADEF= AEDM，DM=k，ME= k，cosAED=；（3）解：B=3，AEC 为公共角， AECBEA， AE：BE=CE：AE， AE2=CEBE，（5k）2= k（10+5k） ，k0， k=2，CD= k=5点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾 股定理以及三角函数等知识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结 合思想与方程思想的应用28、 （2013滨州压轴题）根据要求，解答下列问题： （1）已知直线 l1的函数表达式为 y=x，请直接写出过原点且与 l1垂直的直线 l2的函数表 达式； （2）如图，过原点的直线 l3向上的方向与 x 轴的正方向所成的角为 30°18求直线 l3的函数表达式； 把直线 l3绕原点 O 按逆时针方向旋转 90°得到的直线 l4，求直线 l4的函数表达式 （3）分别观察（1） （2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线 y=垂直的直线 l5的函数表达式考点： 一次函数综合题分析： （1）根据题意可直接得出 l2的函数表达式； （2）先设直线 l3的函数表达式为 y=k1x（k10） ，根据过原点的直线 l3向上的方 向与 x 轴的正方向所成的角为 30°，直线过一、三象限，求出 k1=tan30°，从而求 出直线 l3的函数表达式； 根据 l3与 l4的夹角是为 90°，求出 l4与 x 轴的夹角是为 60°，再设 l4的解析式 为 y=k2x（k20） ，根据直线 l4过二、四象限，求出 k2=tan60°，从而求出直线 l4的函数表达式； （3）通过观察（1） （2）中的两个函数表达式可得出它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，再根据这一关系即可求出与直线 y=垂直的直线 l5的函数表达式 解答： 解：（1）根据题意得：y=x；（2）设直线 l3的函数表达式为 y=k1x（k10） ， 过原点的直线 l3向上的方向与 x 轴的正方向所成的角为 30°，直线过一、三象限，k1=tan30°=，直线 l3的函数表达式为 y=x；l3与 l4的夹角是为 90°， l4与 x 轴的夹角是为 60°， 设 l4的解析式为 y=k2x（k20） ， 直线 l4过二、四象限，k2=tan60°=， 直线 l4的函数表达式为 y=x；（3）通过观察（1） （2）中的两个函数表达式可知，当两直线互相垂直时，它们的19函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，过原点且与直线 y=垂直的直线 l5的函数表达式为 y=5x点评： 此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是锐角三角函数、一次函数的解析式的 求法，关键是根据锐角三角函数求出 k 的值，做综合性的题要与几何图形相结合， 更直观一些29、 （2013 菏泽）如图，BC 是O 的直径，A 是O 上一点，过点 C 作O 的切线，交 BA 的 延长线于点 D，取 CD 的中点 E，AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 P （1）求证：AP 是O 的切线； （2）OC=CP，AB=6，求 CD 的长考点：切线的判定与性质；解直角三角形 分析：（1）连接 AO，AC（如图） 欲证 AP 是O 的切线，只需证明 OAAP 即可；（2）利用（1）中切线的性质在 RtOAP 中利用边角关系求得ACO=60°然后在 Rt BAC、RtACD 中利用余弦三角函数的定义知 AC=2，CD=4 解答：（1）证明：连接 AO，AC（如图） BC 是O 的直径， BAC=CAD=90° E 是 CD 的中点， CE=DE=AE ECA=EAC OA=OC， OAC=OCA CD 是O 的切线， CDOC ECA+OCA=90° EAC+OAC=90° OAAP A 是O 上一点， AP 是O 的切线； （2）解：由（1）知 OAAP20在 RtOAP 中，OAP=90°，OC=CP=OA，即 OP=2OA，sinP=，P=30° AOP=60° OC=OA， ACO=60° 在 RtBAC 中，BAC=90°，AB=6，ACO=60°，AC=2，又在 RtACD 中，CAD=90°，ACD=90°ACO=30°，CD=4点评：本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形注意，切线的定义的运用，解题的关键是熟记特殊角的锐角三角函数值 30、 （2013内江）在ABC 中，已知C=90°，sinA+sinB=，则 sinAsinB= ± 考点： 互余两角三角函数的关系分析： 根据互余两角的三角函数关系，将 sinA+sinB 平方，把 sin2A+cos2A=1，sinB=cosA 代入求出 2sinAcosA 的值，代入即可求解 解答： 解：（sinA+sinB）2=（）2， sinB=cosA，sin2A+cos2A+2sinAcosA=，2sinAcosA=1=，则（sinAsinB）2=sin2A+cos2A2sinAcosA=1=，sinAsinB=± 故答案为：± 点评： 本题考查了互余两角的三角函数关系，属于基础题，掌握互余两角三角函数的关系 是解答本题的关键31、 （2013攀枝花）如图，PA 为O 的切线，A 为切点，直线 PO 交O 与点 E，F 过点 A 作 PO 的垂线 AB 垂足为 D，交O 与点 B，延长 BO 与O 交与点 C，连接 AC，BF （1）求证：PB 与O 相切； （2）试探究线段 EF，OD，OP 之间的数量关系，并加以证明；（3）若 AC=12，tanF= ，求 cosACB 的值21考点： 圆的综合题分析： （1）连接 OA，由 OP 垂直于 AB，利用垂径定理得到 D 为 AB 的中点，即 OP 垂直平分 AB，可得出 AP=BP，再由 OA=OB，OP=OP，利用 SSS 得出三角形 AOP 与三角形 BOP 全 等，由 PA 为圆的切线，得到 OA 垂直于 AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的 定义得到 OB 垂直于 BP，即 PB 为圆 O 的切线； （2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形 AOD 与三角形 OAP 相似，由相似得 比例，列出关系式，由 OA 为 EF 的一半，等量代换即可得证 （3）连接 BE，构建直角BEF在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设 BE=x，BF=2x，进而可得 EF=x；然后由面积法求得 BD=x，所以根据垂径定理求得 AB 的长度，在 RtABC 中，根据勾股定理易求 BC 的长；最后由余 弦三角函数的定义求解 解答： （1）证明：连接 OA， PA 与圆 O 相切， PAOA，即OAP=90°， OPAB， D 为 AB 中点，即 OP 垂直平分 AB， PA=PB， 在OAP 和OBP 中，OAPOBP（SSS） ， OAP=OBP=90°， BPOB， 则直线 PB 为圆 O 的切线；（2）答：EF2=4DOPO 证明：OAP=ADO=90°，AOD=POA， OADOPA，=，即 OA2=ODOP，EF 为圆的直径，即 EF=2OA，22 EF2=ODOP，即 EF2=4ODOP；（3）解：连接 BE，则FBE=90°tanF= ，= ，可设 BE=x，BF=2x， 则由勾股定理，得EF=x， BEBF= EFBD，BD=x又ABEF，AB=2BD=x，RtABC 中，BC=x， AC2+AB2=BC2，122+（x）2=（x）2，解得：x=4，BC=4×=20，cosACB= 点评： 此题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数 关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键32、 （2013曲靖）如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，连接 DE，过点 C 作 CFDE 于 F， 过点 A 作 AGCF 交 DE 于点 G （1）求证：DCFADG （2）若点 E 是 AB 的中点，设DCF=，求 sin 的值23考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形分析： （1）根据正方形的性质求出 AD=DC，ADC=90°，根据垂直的定义求出 CFD=CFG=90°，再根据两直线平行，内错角相等求出AGD=CFG=90°，从而 得到AGD=CFD，再根据同角的余角相等求出ADG=DCF，然后利用“角角边” 证明DCF 和ADG 全等即可； （2）设正方形 ABCD 的边长为 2a，表示出 AE，再利用勾股定理列式求出 DE，然后根 据锐角的正弦等于对边比斜边求出ADG 的正弦，即为 的正弦 解答： （1）证明：在正方形 ABCD 中，AD=DC，ADC=90°， CFDE， CFD=CFG=90°， AGCF， AGD=CFG=90°， AGD=CFD， 又ADG+CDE=ADC=90°， DCF+CDE=90°， ADG=DCF， 在DCF 和ADG 中，DCFADG（AAS） ；（2）设正方形 ABCD 的边长为 2a， 点 E 是 AB 的中点，AE= ×2a=a，在 RtADE 中，DE=a，sinADG=，ADG=DCF=，sin=点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，同角的余角24相等的性质，以及勾股定理的应用，熟练掌握各图形的性质并确定出三角形全等的 条件是解题的关键