2013年中考数学试卷分类汇编 解直角三角形（三角函数应用）.doc

1解直角三角形（三角函数应用）解直角三角形（三角函数应用）1、 （绵阳市 2013 年）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高 15 米，从A点经过旗杆顶点恰 好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角 为 60º，又从A点测得D 点的俯角 为 30º，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的 高CD为（ A ）A20 米 B10 3米 C15 3米 D5 6米 解析GE/AB/CD，BC=2GC，GE=15 米，AB=2GE=30 米， AF=BC=ABcotACB=30×cot60º=10米，3DF=AFtan30º=10×=10 米，333CD=AB-DF=30-10=20 米。2、 （2013 杭州）在 RtABC 中，C=90°，若 AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（ ）ABCD考点：解直角三角形 专题：计算题 分析：在直角三角形 ABC 中，由 AB 与 sinA 的值，求出 BC 的长，根据勾股定理求出 AC 的 长，根据面积法求出 CD 的长，即为斜边上的高 解答：解：根据题意画出图形，如图所示， 在 RtABC 中，AB=4，sinA=， BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC=3.2，SABC=ACBC=ABCD，CD=故选 B点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三 角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键 3、 （2013绥化）如图，在ABC 中，ADBC 于点 D，AB=8，ABD=30°，CAD=45°，求 BC 的长2考点： 解直角三角形分析： 首先解 RtABD，求出 AD、BD 的长度，再解 RtADC，求出 DC 的长度，然后由 BC=BD+DC 即可求解 解答： 解：ADBC 于点 D， ADB=ADC=90° 在 RtABD 中，AB=8，ABD=30°，AD= AB=4，BD=AD=4在 RtADC 中，CAD=45°，ADC=90°， DC=AD=4，BC=BD+DC=4+4 点评： 本题考查了解直角三角形的知识，属于基础题，解答本题的关键是在直角三角形中 利用解直角三角形的知识求出 BD、DC 的长度4、 （2013鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家他曾经设 计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计） ，一根没有弹性的木 棒的两端 A、B 能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点 P 处的小孔中，随着木棒的滑 动就可以画出一个圆来若 AB=20cm，则画出的圆的半径为 10 cm考点： 直角三角形斜边上的中线分析： 连接 OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OP 的长，画出的圆的半 径就是 OP 长 解答： 解：连接 OP， AOB 是直角三角形，P 为斜边 AB 的中点，OP= AB，AB=20cm，3OP=10cm， 故答案为：10点评： 此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半5、 （2013 安顺）在 RtABC 中，C=90°，BC=8，则ABC 的面积为 考点：解直角三角形 专题：计算题 分析：根据 tanA 的值及 BC 的长度可求出 AC 的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算 即可解答：解：tanA=，AC=6， ABC 的面积为×6×8=24 故答案为：24 点评：本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表示 形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积 6、（11-4 解直角三角形的实际应用·2013 东营中考）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为 60，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为 30，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为 3 米，则旗杆AB的高度为 米. 415. 9.解析：过 B 作 BECD 于点 E，设旗杆 AB 的高度为 x，在Rt ABC中，tanABACBAC，所以3 tantan6033ABxxACxACB，在Rt BDE中，3 3BEACx，60BOE，tanBEBDEDE，所以3 31 tan33xBEDExBDE，因为 CE=AB=x，所以163DCCEDExx，所以x=9，故旗杆的高度为 9 米.7、 （2013常德）如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是 BC 边上的中线，C=45°，sinB= ，AD=1（1）求 BC 的长； （2）求 tanDAE 的值考点： 解直角三角形 分析： （1）先由三角形的高的定义得出ADB=ADC=90°，再解 RtADC，得出 DC=1；解 RtADB，得出 AB=3，根据勾股定理求出 BD=2，然后根据 BC=BD+DC 即可求解； （2）先由三角形的中线的定义求出 CE 的值，则 DE=CECD，然后在 RtADE 中根据 正切函数的定义即可求解 解答： 解：（1）在ABC 中，AD 是 BC 边上的高， ADB=ADC=90° 在ADC 中，ADC=90°，C=45°，AD=1，5DC=AD=1在ADB 中，ADB=90°，sinB= ，AD=1，AB=3，BD=2，BC=BD+DC=2+1；（2）AE 是 BC 边上的中线，CE= BC=+ ，DE=CECD= ，tanDAE= 点评： 本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别 解 RtADC 与 RtADB，得出 DC=1，AB=3 是解题的关键8、（13 年山东青岛、20）如图，马路的两边 CF、DE 互相平行，线段 CD 为人行横道，马 路两侧的 A、B 两点分别表示车站和超市。CD 与 AB 所在直线互相平行，且都与马路两边垂 直，马路宽 20 米，A，B 相距 62 米，A=67°，B=37° （1）求 CD 与 AB 之间的距离； （2）某人从车站 A 出发，沿折线 ADCB 去超市 B，求他沿折线 ADCB 到达超市 比直接横穿马路多走多少米（参考数据：131267sin，13567cos，51267tan，5337sin，5437sin，4337tan）解析：69、 （2013益阳）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道 AB， 现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥 PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0 米， PAB=38.5°，PBA=26.5请帮助小张求出小桥 PD 的长并确定小桥在小道上的位 置 （以 A，B 为参照点，结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5° =0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）考点： 解直角三角形的应用专题： 应用题分析： 设 PD=x 米，在 RtPAD 中表示出 AD，在 RtPDB 中表示出 BD，再由 AB=80.0 米， 可得出方程，解出即可得出 PD 的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置 解答： 解：设 PD=x 米， PDAB， ADP=BDP=90°，在 RtPAD 中，tanPAD=，7AD=x，在 RtPBD 中，tanPBD=，DB=2x，又AB=80.0 米， x+2x=80.0， 解得：x24.6，即 PD24.6 米， DB=2x=49.2 答：小桥 PD 的长度约为 24.6 米，位于 AB 之间距 B 点约 49.2 米 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函 数表示出相关线段的长度，难度一般10、 （2013娄底）2013 年 3 月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援， 救援队利用生命探测仪在地面 A、B 两个探测点探测到 C 处有生命迹象已知 A、B 两点相 距 4 米，探测线与地面的夹角分别是 30°和 45°，试确定生命所在点 C 的深度 （精确到0.1 米，参考数据：）考点： 解直角三角形的应用分析： 过点 C 作 CDAB 于点 D，设 CD=x，在 RtACD 中表示出 AD，在 RtBCD 中表示出 BD，再由 AB=4 米，即可得出关于 x 的方程，解出即可 解答： 解：过点 C 作 CDAB 于点 D， 设 CD=x， 在 RtACD 中，CAD=30°， 则 AD=CD=x， 在 RtBCD 中，CBD=45°， 则 BD=CD=x， 由题意得，xx=4，解得：x=2（+1）5.5答：生命所在点 C 的深度为 5.5 米8点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函 数知识表示出相关线段的长度，注意方程思想的运用11、 （2013包头）如图，一根长 6米的木棒（AB） ，斜靠在与地面（OM）垂直的墙 （ON）上，与地面的倾斜角（ABO）为 60°当木棒 A 端沿墙下滑至点 A时，B 端沿地 面向右滑行至点 B （1）求 OB 的长； （2）当 AA=1 米时，求 BB的长考点： 勾股定理的应用；解直角三角形的应用分析： （1）由已知数据解直角三角形 AOB 即可； （2）首先求出 OA 的长和 OA的长，再根据勾股定理求出 OB的长即可 解答： 解：（1）根据题意可知：AB=6，ABO=60°，AOB=90°，在 RtAOB 中，cosABO=，OB=ABcosABO=6cos60°=3米， OB 的长为 3米；（2）根据题意可知 AB=AB=6米，在 RtAOB 中，sinABO=，OA=ABsinABO=6sin60°=9 米， OA=OAAA，AA=1 米， OA=8 米， 在 RtAOB中，OB=2米， BB=OBOB=（23）米 点评： 本题考查了勾股定理的应用和特殊角的锐角三角函数，是中考常见题型912、 （2013呼和浩特）如图，A、B 两地之间有一座山，汽车原来从 A 地到 B 地经过 C 地沿 折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶已知 AC=10 千米，A=30°， B=45°则隧道开通后，汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少千米？（结果保留根号）考点： 解直角三角形的应用分析： 过 C 作 CDAB 于 D，在 RtACD 中，根据 AC=10，A=30°，解直角三角形求出 AD、CD 的长度，然后在 RtBCD 中，求出 BD、BC 的长度，用 AC+BC（AD+BD）即 可求解 解答： 解：过 C 作 CDAB 于 D， 在 RtACD 中， AC=10，A=30°， DC=ACsin30°=5，AD=ACcos30°=5， 在 RtBCD 中， B=45°， BD=CD=5，BC=5， 则用 AC+BC（AD+BD）=10+5（5+5）=5+55（千米） 答：汽车从 A 地到 B 地比原来少走（5+55）千米点评： 本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是作三角形的高建立 直角三角形幷解直角三角形13、 （2013巴中）2013 年 4 月 20 日，四川雅安发生里氏 7.0 级地震，救援队救援时，利 用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点 C 处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测 点 A、B 相距 4 米，探测线与地面的夹角分别为 30°和 60°，如图所示，试确定生命所在 点 C 的深度（结果精确到 0.1 米，参考数据1.41，1.73）10考点： 解直角三角形的应用分析： 过点 C 作 CDAB 交 AB 于点 D，则CAD=30°，CBD=60°，在 RtBDC 中，CD=BD，在 RtADC 中，AD=CD，然后根据 AB=ADBD=4，即可得到 CD 的方程， 解方程即可 解答： 解：如图，过点 C 作 CDAB 交 AB 于点 D 探测线与地面的夹角为 30°和 60°， CAD=30°，CBD=60°，在 RtBDC 中，tan60°=，BD=，在 RtADC 中，tan30°=，AD=，AB=ADBD=4，=4，CD=23.5（米） 答：生命所在点 C 的深度大约为 3.5 米点评： 本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形， 解直角三角形，也考查了把实际问题转化为数学问题的能力14、 （2013舟山）某学校的校门是伸缩门（如图 1） ，伸缩门中的每一行菱形有 20 个，每 个菱形边长为 30 厘米校门关闭时，每个菱形的锐角度数为 60°（如图 2） ；校门打开时， 每个菱形的锐角度数从 60°缩小为 10°（如图 3） 问：校门打开了多少米？（结果精确 到 1 米，参考数据：sin5°0.0872，cos5°0.9962，sin10°0.1736，cos10° 0.9848） 11考点： 解直角三角形的应用；菱形的性质分析： 先求出校门关闭时，20 个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时，20 个菱形的宽 即伸缩门的宽；然后将它们相减即可 解答： 解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形 ABCD 根据题意，得BAD=60°，AB=0.3 米 在菱形 ABCD 中，AB=AD， BAD 是等边三角形， BD=AB=0.3 米， 大门的宽是：0.3×206（米） ； 校门打开时，取其中一个菱形 A1B1C1D1 根据题意，得B1A1D1=10°，A1B1=0.3 米 在菱形 A1B1C1D1中，A1C1B1D1，B1A1O1=5°， 在 RtA1B1O1中， B1O1=sinB1A1O1A1B1=sin5°×0.3=0.02616（米） ， B1D1=2B1O1=0.05232 米， 伸缩门的宽是：0.05232×20=1.0464 米； 校门打开的宽度为：61.0464=4.95365（米） 故校门打开了 5 米12点评： 本题考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，难度适中解题的关键是把实际问 题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中，一切将迎刃而解15、 （2013绍兴）如图，伞不论张开还是收紧，伞柄 AP 始终平分同一平面内两条伞架所成 的角BAC，当伞收紧时，结点 D 与点 M 重合，且点 A、E、D 在同一条直线上，已知部分伞 架的长度如下：单位：cm 伞架DEDFAEAFABAC 长度363636368686 （1）求 AM 的长 （2）当BAC=104°时，求 AD 的长（精确到 1cm） 备用数据：sin52°=0.788，cos52°=0.6157，tan52°=1.2799考点： 解直角三角形的应用分析： （1）根据 AM=AE+DE 求解即可；（2）先根据角平分线的定义得出EAD= BAC=52°，再过点 E 作 EGAD 于 G，由等腰三角形的性质得出 AD=2AG，然后在AEG 中，利用余弦函数的定义求出 AG 的长， 进而得到 AD 的长度 解答： 解：（1）由题意，得 AM=AE+DE=36+36=72（cm） 故 AM 的长为 72cm；（2）AP 平分BAC，BAC=104°，EAD= BAC=52°过点 E 作 EGAD 于 G，13AE=DE=36， AG=DG，AD=2AG 在AEG 中，AGE=90°， AG=AEcosEAG=36cos52°=36×0.6157=22.1652， AD=2AG=2×22.165244（cm） 故 AD 的长约为 44cm点评： 本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，其中涉及到角平分线的定义，等腰 三角形的性质，三角函数的定义，难度适中16、(2013 年南京)已知不等臂跷跷板AB长 4m。如图，当AB的一端碰到地面时，AB与 地面的夹角为；如图，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为。求跷跷板AB的 支撑点O到地面的高度OH。(用含、的式子表示)解析：解：在 RtAHO中，sin= ，OA= 。 在 RtBHO中，sin= ，OB= OH OAOHsinOH OB。OHsinAB=4，OAOB=4，即 =4。OH= (m)。 (8 分)OHsinOHsin4sinsinsinsin(2013 年江西省)如图 1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度 可抽象为一条折线OAB，如图 2 所示，量得连杆OA长为 10cm，雨刮杆AB长为 48cm，OAB=120°若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图 3 所 示（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到 0.01）（2）求雨刮杆AB扫过的最大面积（结果保留 的整数倍）（参考数据：sin60°=23，cos60°=21，tan60°=3，72126.851，可使用科学计算器）O ABAB HO H 14【答案答案】解：（1）雨刮杆AB旋转的最大角度为 180° 连接OB，过O点作AB的垂线交BA的延长线于EH， OAB=120°，OAE=60° 在 RtOAE中， OAE=60°，OA=10，sinOAE=OAOE=10OE，OE=53， AE=5. EB=AE+AB=53， 在 RtOEB中，OE=53，EB=53，OB=22BEOE =2884=272153.70； （2）雨刮杆AB旋转 180°得到CD，即OCD与OAB关于点O中心对称， BAOOCD，SBAO=SOCD， 雨刮杆AB扫过的最大面积S=21(OB2OA2) =1392. 【考点解剖考点解剖】 本题考查的是解直角三角形的应用，以及扇形面积的求法，难点是考生缺 乏生活经验，弄不懂题意（提供的实物图也不够清晰，人为造成一定的理解困难） 【解题思路解题思路】 将实际问题转化为数学问题，（1）AB旋转的最大角度为 180°；在OAB 中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为 直角三角形来求解，由OAB=120°想到作AB边上的高，得到一个含 60°角的 RtOAE和 一个非特殊角的 RtOEB.在 RtOAE中，已知OAE=60°，斜边OA=10，可求出OE、AE的 长，进而求得 RtOEB中EB的长，再由勾股定理求出斜边OB的长；（2）雨刮杆AB扫过 的最大面积就是一个半圆环的面积（以OB、OA为半径的半圆面积之差）. 【方法规律方法规律】 将斜三角形转化为直角三角形求解.在直角三角形中，已知两边或一边一角 都可求出其余的量.【关键词关键词】 刮雨器 三角函数 解直角三角形 中心对称 扇形的面积17、（2013 陕西）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯 D 的高度，如图， 当李明走到点 A 处时，张龙测得李明直立身高 AM 与其影子长 AE 正好相等，接着李明沿 AC 方向继续向前走，走到点 B 处时，李明直立时身高 BN 的影子恰好是线段 AB，并测得 AB=1.25m。已知李明直立时的身高为 1.75m，求路灯的高 CD 的长.（结果精确到 0.1m）15考点：此题考查稳定，就是考查解直角三角形，或者考查的是相似三角形的应用测量高度，考点：此题考查稳定，就是考查解直角三角形，或者考查的是相似三角形的应用测量高度， 宽度等线段的长度的具体计算，将问题转换成方程（组）来求解，经常设置的具体的实际宽度等线段的长度的具体计算，将问题转换成方程（组）来求解，经常设置的具体的实际 情景得到与测量相关的计算；情景得到与测量相关的计算； 解析：本题考查的是典型的测量问题之中心投影下的测量，而此问题设置基本上就是应用解析：本题考查的是典型的测量问题之中心投影下的测量，而此问题设置基本上就是应用 相似的性质来将实际问题转化成数学问题来解决，相似的性质来将实际问题转化成数学问题来解决， 解：如图，设解：如图，设 CDCD 长为长为xm m AMEC，CDEC，BNEC，EA=MAMACD，BNCD，EC=CD=x，ABNACD ACAB CDBN即75. 125. 175. 1xx解得1 . 6125. 6x所以路灯高所以路灯高 CDCD 约为约为 6.16.1 米米18、（2013 年潍坊市）如图 1 所示，将一个边长为 2 的正方形ABCD和一个长为 2、宽为 1 的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至'''DFCE,旋转角为.（1）当点'D恰好落在EF边上时，求旋转角的值；（2）如图 2，G为BC的中点，且 0°90°，求证：DEGD''；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，'DCD与'CBD能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由.答案：(1) DC/EF,DCD=CDE=CDE=. BAECDNM第 21 题图16sin=1 '2CECE CDCD,=30°(2) G 为 BC 中点，GC=CE=CE=1，DCG=DCG+DCD=90°+, DCE=DCE+DCD=90°+, DCG=DCE又CD=CD, GCDECD, GD=ED (3) 能. =135°或 =315° 考点：图形的旋转、三角函数、解直角三角形、全等三角形的判定 点评：本题依据学生的认知规律，从简单特殊的问题入手，将问题向一般进行拓展、变式， 通过操作、观察、计算、猜想等获得结论.此类问题综合性较强，要完成本题学生需要有较 强的类比、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力