15.3 第3课时 直角三角形中30°角的性质定理.pptx
第15章 轴对称图形与等腰三角形15.3 等腰三角形,第3课时 直角三角形中30°角的性质定理,关注“初中教师园地”公众号2019秋季各科最新备课资料陆续推送中快快告诉你身边的小伙伴们吧,1探索含30°角的直角三角形的性质（重点）2会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算（难点）,导入新课,问题引入,问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到RtABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？,分离,拼接,A,C,B,问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？,讲授新课,含30°角的直角三角形的性质,性质：,在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.,如图，ADC是ABC的轴对称图形，,因此AB=AD, BAD=2×30°=60°，,从而ABD是一个等边三角形.,再由ACBD,可得BC=CD= AB.,证法1：在ABC 中，C =90°，A =30°, B =60°延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，则ABD 是等边三角形又ACBD,已知：如图，在RtABC 中，C =90°，A =30°. 求证：BC = AB,BC = AB,BC = BD,证明2： 在BA上截取BE=BC，连接EC. B= 60° ，BE=BC. BCE是等边三角形， BEC= 60°，BE=EC. A= 30°， ECA=BEC-A=60°-30° = 30°. AE=EC， AE=BE=BC， AB=AE+BE=2BC.,BC = AB,知识要点,含30°角的直角三角形的性质,在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.,应用格式：在RtABC 中，C =90°，A =30°，,BC = AB,判断下列说法是否正确：1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍,例1 如图，在RtABC中，ACB90°，B30°，CD是斜边AB上的高，AD3cm，则AB的长度是()A3cm B6cm C9cm D12cm,典例精析,注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形,D,解析：在RtABC中，CD是斜边AB上的高，ADC90°，ACDB30°.在RtACD中，AC2AD6cm，在RtABC中，AB2AC12cm.AB的长度是12cm.故选D.,例2 如图，AOPBOP15°，PCOA交OB于C，PDOA于D，若PC3，则PD等于()A3 B2 C.1.5 D1,解析：如图，过点P作PEOB于E，PCOA，AOPCPO，PCEBOPCPOBOPAOPAOB30°.又PC3，PE1.5.AOPBOP，PDOA，PDPE1.5.故选C.,E,C,总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形,例3 如图，在ABC中，C90°，AD是BAC的平分线，过点D作DEAB.DE恰好是ADB的平分线CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由,解：,理由如下：DEAB，AEDBED90°.,DE是ADB的平分线，ADEBDE.,又DEDE，AEDBED(ASA)，,在RtACD中，CAD30°，,ADBD，DAEB.,BADCAD BAC，,BADCADB.,BADCADB90°，,BBADCAD30°.,CD AD BD，即CD DB.,总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质,想一想：图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？,例4如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，A =30°，立柱BC、DE 要多长？,解：DEAC,BC AC, A=30 °，,BC= AB, DE= AD.,BC= AB= ×7.4=3.7(m).,又AD= AB,DE= AD= ×3.7=1.85 (m).,答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.,例5 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高.,A,C,B,D,15 °,15 °,20,解:过C作CDBA,交BA的延长线于点D.,B=ACB=15° (已知),DAC= B+ ACB= 15°+15°=30°，,),),CD= AC= ×20=10.,总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.,例4 一艘船从A处出发,以每小时10海里的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘轮船上午8：00从A处出发，10：00到达B处，从B处测得一礁石C在北偏西60°的方向上.（1）画出礁石C的位置；（2）求出B处到礁石C的距离.,B,C,30°,60°,解：(1)如图,以B为顶点，向北偏西60° 作角， 这角一边与AM交于点C, 则C为礁石所在地；,M,(2)DBC=BAC+ACB， BAC=30 °， DBC=60°， ACB=30°，即BAC=ACB， BC=AB ，( 等角对等边) 即 BC=AB=10×2=20(海里）.,答：B处到礁石C的距离为20海里.,B,C,30°,60°,M,当堂练习,1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )A6米 B9米 C12米 D15米,2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的ABC空地上种植草皮以美化环境，已知A150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )A300a元 B150a元C450a元 D225a元,B,B,4.在ABC中,A: B: C=1:2:3，若AB=10，则BC = .,5,5.如图，RtABC中，A= 30°，AB+BC=12cm，则AB=_.,8,3.如图，在ABC 中，ACB =90°，CD 是高，A =30°，AB =4则BD = .,1,第3题图,第5题图,6.在ABC中，C=90°，B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长,解：连接AE，DE是AB的垂直平分线，BE=AE，EAB=B=15°，AEC=EAB+B=30°C=90°，,AC= AE= BE=2.5,7.在 ABC中 ，AB=AC，BAC=120° ，D是BC的中点，DEAB于E点，求证：BE=3EA.,证明：AB=AC，BAC=120°， B=C=30°. D是BC的中点，ADBCADC=90°，BAD=DAC=60°.AB=2AD.DEAB，AED=90°，ADE=30°，AD=2AE.AB=4AE，BE=3AE.,8.如图，已知ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQAD于点Q,求证:BP=2PQ.,拓展提升,ADCBEA.,证明：ABC为等边三角形，, AC=BC=AB ,C=BAC=60°，,CD=AE，,CAD=ABE.BAP+CAD=60°，ABE+BAP=60°.BPQ=60°.又 BQAD，,BP=2PQ.,PBQ=30°，,BQP=90°，,课堂小结,内容,在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半,使用要点,含30°角的直角三角形的性质,找准30 °的角所对的直角边，点明斜边,注意,前提条件：直角三角形中,
