初二上学期数学经典例题(精华版).pdf

等腰三角形经典例题透析类型一：与度数有关的计算1如图，在 ABC 中， D 在 BC 上，且 AB=AC=BD ，1=30，求 2 的度数。思路点拨：解该题的关键是要找到2 和 1 之间的关系，显然2=1+C，只要再找出 C 与 2 的关系问题就好解决了，而C=B，所以把问题转化为欲找出2 与 B之间有什么关系，变成ABD 的角之间的关系，问题就容易的多了。解析： AB=AC B =C AB=BD 2=3 2=1+C 2=1+ B 2+3+B=180B=180 22 2=1+180 2 2 32=1+1801=302=70总结升华： 关于角度问题可以通过建立方程进行解决。举一反三：【变式 1】如图， D、E 在 ABC 的边 BC 上，且 BE=BA ，CD=CA ，若 BAC=122 ，求 DAE 的度数。【答案】BE=BA 2=BAE CD=CA 1=CAD 1+CAD+ C=180精品资料精品学习资料第 1 页，共 42 页1= 2+BAE+ B=180 2= 1+2= B+C=180 BAC 1+2= DAE=180 （ 1+2）DAE=90 =90 61=29。【变式 2】在 ABC 中，AB=AC ，D 在 BC 上，E 在 AC 上，且 AD=AE ，BAD=30 ，求 EDC 的度数。【答案】AB=AC ，AD=AE B=C， ADE= AED ADE+ EDC=ADC= B+BAD AED+ EDC=C+BAD AED= C+EDC C+2 EDC=C+BAD EDC=BAD=15 。类型二：等腰三角形中的分类讨论2当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和 10cm，求周长。（2）等腰三角形的两边长分别为3cm 和 7cm，求周长。思路点拨： 由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰” ，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。解析： （ 1）因为 8+810，10+108，则在这两种情况下都能构成三角形；当腰长为8 时，周长为8+8+10=26；当腰长为10 时，周长为10+10+8=28；故这个三角形的周长为26cm 或 28cm。（2）当腰长为3 时，因为3+37，所以此时不能构成三角形；精品资料精品学习资料第 2 页，共 42 页当腰长为7 时，因为7+73，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长为：7+7+3=17；故这个三角形的周长为17cm。总结升华： 对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形举一反三：【变式 1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论等腰三角形的一个角是另一个角的4 倍，求它的各个内角的度数【答案】（1）当底角是顶角的4 倍时，设顶角为x，则底角为4x， 4x+4x+x=180 ， x=20， 4x=80，于是三角形的各个内角的度数为：20， 80， 80。（2）当顶角是底角的4 倍时，设底角为x，则顶角为4x， x+x+4x=180 ， x=30， 4x=120，于是三角形的各个内角的度数为：30， 30， 120。故三角形各个内角的度数为20， 80，80或 30， 30，120。【变式 2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为 25，求这个三角形的各个内角的度数。【答案】设 AB=AC ，BD AC；（1）高与底边的夹角为25时，高一定在ABC 的内部，如右图，DBC=25 ， C=90-DBC=90 -25=65， ABC= C=65， A=180 -265=50。（2）当高与另一腰的夹角为250时，如右图，高在ABC 内部时，当ABD=25 时， A=90 -ABD=65 ， C= ABC= （180 -A） 2=57.5；如下图，高在ABC 外部时， ABD=25 ， BAD=90 -ABD=90 -25=65，BAC=180 -65 =115，ABC= C=（180-115） 2=32.5故三角形各内角为：65， 65， 50或65， 57.5， 57.5或 115， 32.5， 32.5。【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论在ABC 中， AB=AC ，AB 边上的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40，求底角B 的度数。分析： 题目中 AB 边上的垂直平分线与直线AC 相交有两种情形；解： （1）如图， AB 边的垂直平分线与AC 边交于点D， ADE=40 ，精品资料精品学习资料第 3 页，共 42 页则A=900-ADE=50 ， AB=AC ， B=（180-50） 2=65。（2）如图， AB 边的垂直平分线与直线AC 的反向延长线交于点D， ADE=40 ，则 DAE=50 BAC=130 ， AB=AC ， B=（ 180-130） 2=25故B 的大小为65或 25。【变式 4】由腰上的中线引起的分类讨论等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分成差为3cm 的两部分，求腰长。【答案】如图，BD 为 AC 边上的中线，AD=CD ，（1）当（ AB+AD ）-（BC+CD ）=3 时，则 AB-BC=3 ， BC=5 AB=BC+3=8 ；（2）当（ BC+CD ）-（AB+AD ）=3 时，则 BC-AB=3 ， BC=5 AB=BC-3=2 ；但是当AB=2 时，三边长为2，2，5；而 2+25，不合题意，舍去；故腰长为8。类型三：证明题3 （2011山东德州）如图AB=AC ，CDAB 于 D，BEAC 于 E，BE 与 CD 相交于点 O（1）求证 AD=AE ；（2）连接 OA ，BC，试判断直线OA，BC 的关系并说明理由思路点拨：（1）根据全等三角形的判定方法，证明ACD ABE ，即可得出AD=AE ，（2）根据已知条件得出ADO AEO，得出 DAO= EAO，即可判断出OA 是BAC 的平分线，根据等腰三角形三线合一可得OA BC解析：（1）证明：在 ACD 与 ABE 中，精品资料精品学习资料第 4 页，共 42 页 A= A， ADC= AEB=90 ， AB=AC ， ACD ABE ，AD=AE （2）互相垂直，在 RtADO 与 AEO 中， OA=OA ，AD=AE ， ADO AEO， DAO= EAO，即 OA 是 BAC 的平分线，又 AB=AC ， OABC总结升华： 在等腰三角形中，应用三线合一的性质是解决垂直问题的一种方法。举一反三：【变式 1】已知：如图， ABC ，ACB 的平分线交于F，过 F作 DE BC，交 AB 于D，交 AC 于 E。求证： BD ECDE。分析 : 因为 DEDFFE，即结论为BD ECDFFE，分别证明BD DF，CEFE即可，于是运用“在同一三角形中，等角对等边”易证结论成立。解析： DEBC，3 2（两直线平行，内错角相等）又BF 平分 ABC 1 2 1 3 DB DF（等角对等边）同理：EF CE， BD ECDFEF 即 BD ECDE。【变式 2】已知，在 ABC 中， ACB 90， CD，CE 三等分 ACB ，CDAB（如图所示）。求证： （ 1）AB 2BC；（2）CEAEEB。【答案】（1） CE、CD 三等分 ACB 精品资料精品学习资料第 5 页，共 42 页 1 2 330又CDAB ， B60， A 30在 RtABC 中， A 30， AB 2BC （2） A 1 30 CEEA 又 B BCE60BCE 是等边三角形，ECEB CEEAEB 【变式 3】已知：如图，中，AB AC ，AD CE，求的度数。分析： 这道题综合考查了等边三角形的性质与判定，并借助全等三角形，使问题加以解决。解： 在中，AB AC ，为等边三角形（有一个角为60 的等腰三角形是等边三角形）AC BC，在和中（SAS）（全等三角形对应角相等）（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）精品资料精品学习资料第 6 页，共 42 页【变式 4】已知：如图， B、C、E 三点共线，都是等边三角形，连结AE、BD 分别较 CD、AC 于 N、M，连结 MN 。求证： AE BD，MN/BE 分析：本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明AE=BD ； 为证明 MN/BE ，可先证明三角形MNC 为等边三角形，再利用角去转化证明。证明：，都是等边三角形BCAC， CECD，在和中（已证）（SAS）BD AE（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应角相等）在和中（已证）（ASA ）MC NC（全等三角形对应边相等）精品资料精品学习资料第 7 页，共 42 页是等边三角形（有一个角为60 的等腰三角形是等边三角形）（内错角相等，两直线平行）类型四：探究型题目4如图1，在直角 ABC 中， ACB=90 ， CAB=30 ，请你设计三种不同的分法，把 ABC 分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。（在等腰三角形的两个底角处标明度数）思路点拨 : 在三角形中，“等边对等角” 与“等角对等边” ，本题应从角度入手进行考虑。下面提供四种分割方法供大家参考。解析：总结升华： 对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一。举一反三：精品资料精品学习资料第 8 页，共 42 页【变式 1】如图 1，给你一张三角形纸片，其中AB=AC ， A=36，将此纸片按图2中的线剪开， 可以将原三角形分成三个等腰三角形，那么 (1)能否仿照图2，再设计几种不同的分割方法，将原三角形纸片分为3 个三角形，使得每个三角形都为等腰三角形(要求：在图中标出分得的每个等腰三角形的三个内角的度数，至少画出两种)(2)你能用此三角形纸片剪出4 个等腰三角形吗? 解析： 此题看似简单，但检验一个人思维的发散程度和一定的创造性，做全了不易，要注意多体会积累，提供一些参考答案，看看能否启迪你的创造力精品资料精品学习资料第 9 页，共 42 页轴对称经典例题透析类型一：对称轴问题1、观察下图中的图案，问这些轴对称图形，各有几条对称轴?思路点拨 ：对于一个图形的对称轴一定要按定义全方位地去找或按照定义实际操作一下，否则就容易造成漏解或找不到对称轴。解：有4 条对称轴有 1 条对称轴有 2 条对称轴总结升华 ：这类图形必须得认真观察、分析每个图形的特征，最好能动手操作一下举一反三【变式1】试说出下列图形的对称轴的条数。（1）线段；（2）角；（3）平行线（两条） 。解析：（1）线段沿着本身所在直线或沿着它的中垂线折叠，两旁的部分能够完全重合。故线段有两条对称轴；（ 2）角沿着它的平分线所在直线对折，两旁的部分能够完全重合，故只有一条对称轴，即角平分线所在直线；（3）两条平行线，沿着和它们都平行且到它们距离相等的一条直线或沿着和它们都垂直的直线对折，两旁的部分能够重合而和它们都垂直的直线有无数条故它的对称轴有无数条综上，线段、角、两条平行线的对称轴分别是2 条、 l 条、无数条类型二：轴对称图形的作法2、已知 ABC ，直线 l求作，使和 ABC 关于 l 对称思路点拨：作一个图形关于已知直线的对称图形关键是作出一些特殊点关于已知直线的对称点， 所谓的特殊点， 即可以决定图形的大小和形状的点，一般来说一个多边形的特殊点就是它的各个顶点作法 ：如下图所示：作 AOl 于 O，并延长AO 至使，则就是 A 点关于的对称点同样可以作出B 点关于的对称点的精品资料精品学习资料第 10 页，共 42 页由于C 在对称轴上，故 C 关于的对称点就是它本身连接、就是所求的三角形，如图所示总结升华： 由作对称图形的步骤和方法可知，关键是找出每个图形的特殊点，再作出这个特殊点关于直线l 的对称点最后把对称点按原图那样连接起来举一反三【变式1】如图， ABC 和 DEF 是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴作法： 连结 CF 作 CF 的垂直平分线，即为所求【变式 2】如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下一角，则展开后所得的图形是( ) 精品资料精品学习资料第 11 页，共 42 页解析： 逆回去思考类型三：中垂线问题3、如图所示，在ABC 中， AC=10cm ，AB 的中垂线交AB 于 E,交 AC 于 D，DBC 的周长为16 cm，求 BC 的长思路点拨： 欲求 BC 长，只需求出DB+DC 。而 DE 垂直平分AB ，故 DA=DB ，此题可解解析：DE 垂直平分 AB ， DA=DB DB+DC=DA+DC=AC=10 cm又DB+DC+BC=16 cm BC=16-（ DB+DC ）=16-10 =6（cm） 总结升华： 借助三角形周长，求其一边，只需求出另两边之和，不一定非得把另两边都求出来。举一反三【变式 1】如图所示， AD 垂直平分 BC，DEAB，DFAC ，垂足分别为E、F。求证DE=DF 。精品资料精品学习资料第 12 页，共 42 页思路点拨： 欲证 DE=DF ，只需证 AD 是 BAC 的平分线 而 AD 是 BC 中垂线可得B、C 两点关于AD 对称，故 ABD 和 ACD 关于 AD 对称，则可得BAD= CAD 证明 ： AD 是 BC 的中垂线， B、C 关于 AD 对称又A、D 在直线 AD 上， A 和它本身对称，D 也和它本身对称 ABD 和 ACD 关于 AD 对称故 BAD 和 CAD 能够重合 BAD= CAD 又DE AB，DFAC ， DE=DF 总结升华： 注意不要一看见中垂线就想得出到线段两端距离相等要认真分析题意，看清该题到底需要什么结论【变式 2】 （2011 重庆綦江）为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使 P 到该镇所属A 村、 B 村、 C 村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P 的位置要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹分析： 根据垂直平分线的性质得出，两垂直平分线的交点即是所求答案解答： 已知 A 村、 B 村、 C 村，求作新建一个医疗点P，使 P 到该镇所属A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相等；精品资料精品学习资料第 13 页，共 42 页类型四：最短路问题4、在锐角 AOB 内有一定点P，试在 OA 、OB 上确定两点C、D，使 PCD 的周长最短思路点拨 : PCD 的周长等于PC+CD+PD ， 要使 PCD 的周长最短， ?根据两点之间线段最短，只需使得 PC+CD+PD 的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线 OA ?和 OB 的对称点 E、F，则 PCD 的周长等于线段EF 的长解析：作法：如图作点P关于直线OA 的对称点E；作点 P关于直线OB 的对称点F；连接 EF 分别交 OA、OB 于点 C、D则 C、D 就是所要求作的点证明：连接PC、PD，则 PC=EC，PD=FD 在 OA 上任取异于点C 的一点 H，连接 HE、HP、HD ，则 HE=HP PHD 的周长=HP+HD+PD=HE+HD+DFED+DF=EF 而 PCD 的周长=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF PCD 的周长最短总结升华： 本题主要是通过作对称点的方法得出结论，并利用了对称线段相等，三角形两边之和大于第三边的性质推得所作的图形符合条件，这是道综合性的应用问题。举一反三：【变式】草原上两个居民点A、B 在河流 a 的同旁，一汽车从A 出发到 B，途中需要到河边加水。汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？在图上画出该点。思路点拨： 若 P 为直线 a 上的点，则要使PA+PB 最小与线段有关的结论是两点之间线段最短，当把PA+PB 转化成为一条线段时，点P 就是符合条件的点精品资料精品学习资料第 14 页，共 42 页解析： 作点 A 关于直线a 的对称点A，连接A B 交直线 a 于点 P，点 P 就是所求的点。说明 ：此时 PA+PB=A B，设点 C 是直线 a 上另一点，则CA+CB=CA +CBAB（三角形两边之和大于第三边）所以，PA+PB 是最短的类型五：坐标系中的对称问题5、如图，（1）请写出 ABC 中各顶点的坐标 （2）在同一坐标系中画出直线m：x=?-1，并作出 ABC 关于直线m 对称的 ABC （ 3）若 P（a，b）是 ABC 中 AC边上一点， ?请表示其在ABC中对应点的坐标思路点拨： 直线 m：x=-1 表示直线m 上任意一点的横坐标都等于-1，因此过点 （ -1，0）?作 y 轴的平行线即直线m画出直线 m 后，再作点 A、C 关于直线m 的对称点A、C，?而点 B 在直线 m 上，则其关于直线m 对称的点B就是点B 本身解析：（1） ABC 中各顶点的坐标分别是A（1，4） 、B（-1，1） 、C（2，-1）（2）过点（ -1，0）作 y 轴的平行线m，即直线x=-1（3）分别作点A、B、C 关于直线m 对称的点A（ -3，4） 、B（ -1，1） 、C（ -4，-1） ，并对顺次连接 A、 B、 C三点，则 ABC即为所求（4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化而横坐标都可以表示为2（ -1）?减去对应点的横坐标所以点P 的对应点的坐标为（-2-a，b） 。总结升华： 2（ -1）中的 -1 即对称轴x=-1若对称轴不是x=-1，而是 y=2，相信聪明的你是一定能作出对称的三角形的，也一定能发现其中坐标变化的规律举一反三：【变式】（2011 四川眉山）如图图中的小方格都是边长为1 的正方形 ADC 的顶点坐标为 A (0，)、 B (3，)、C(2，1)（1）请在图中画出ABC 关于 y 轴对称的图形ABC；（2）写出点B和 C的坐标。精品资料精品学习资料第 15 页，共 42 页解答：（1）如图所示：（2）B（ -3，-1） ，C（ -2，1）精品资料精品学习资料第 16 页，共 42 页全等三角形单元复习与巩固经典例题透析类型一：全等三角形的性质1 如图，ABC DEF， DF 和 AC ， FE 和 CB 是对应边。 若 A=100 ，F=47，则 DEF 等于（）A. 100B. 53C.47D. 33思路点拨： 抓住全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，找准对应边和对应角。解析： 由 ABC DEF， A 与 D 对应， DEF 和 B 对应，所以在 DEF 中， DEF=180 -100-47=33，选 D。举一反三：【变式】如图，RtABC 中， ACB=90 ， A=20 ， ABC ，若恰好经过点B，交 AB 于 D，则 BDC 的度数为（）A. 50B. 60C62D. 64分析： 由全等三角形性质得B 和 B=70，因为恰好经过点B，所以为等腰三角形，=70， BDC= C+=20 +40 =60。【答案 】B 类型二：三角形全等的证明2 （2011 重庆）如图，点A、 F、C、D 在同一直线上，点B 和点 E 分别在直线AD 的两侧，且AB=DE ， A= D，AF=DC 求证： BCEF精品资料精品学习资料第 17 页，共 42 页思路点拨： 通过证明 ACB DEF ， 得到内错角相等， 从而达到证明线段平行的目的。证明： AF=DC ，AC=DF ，在 ACB 和 DEF 中， ACB DEF， ACB= DFE，BCEF总结升华： 证明三角形全等是证明线段相等，角相等的手段之一。举一反三：【变式 1】 如图：BE、CF 相交于点D， DE AC， DF AB， 垂足分别为E、 F， 且 DE=DF 。求证： AB=AC 。解析 ：DEAC， DFAB DFB= DEC=90 （垂直的定义）在BDF 和 CDE 中 BDF CDE（ASA ） BD=CD （全等三角形对应边相等）又 DE=DF BE=CF 在 ABE 和 ACF 中 ABE ACF （AAS ） AB=AC （全等三角形对应边相等）【变式2】如图： BEAC ，CFAB，BM=AC ，CN=AB 。求证： （1）AM=AN ； （2） AM AN 。精品资料精品学习资料第 18 页，共 42 页解析： BEAC， CFAB AEB= AFC=90 （垂直的定义）1+BAC= 2+BAC=90 （直角三角形的两个锐角互余）1=2 在 ABM 和 NCA 中 ABM NCA （SAS） AM=AN ， 3= N（全等三角形对应边、对应角相等）在 RtAFN 中： 4+ N=90 （直角三角形两个锐角互余）3+ 4=90 AM AN （垂直的定义）【变式 3】 如图， C 是线段 BD 上一点，以BC，CD 为边在 BD 同侧做等边 ABC 和等边 CDE，BE 与 AD 相交于 M。（1）求证： BE=AD ；（2）求 AMB 的大小。分析：（1）要证 BE=AD ，只需证 BCE ACD 。由已知可知AC=BC ，CE=CD ，因此只需证 BCE=ACD 。（2）由 BCE ACD 可知 4=5，而 6=5+ AMB= 4+1，因此 AMB=1=60。解： （1） ABC ， CDE 都是等边三角形BC=AC ，CD=CE 。 1=2=60。 BCE= 1+3， ACD= 2+3， BCE= ACD 在 BCE 和 ACD 中，精品资料精品学习资料第 19 页，共 42 页 BCE ACD （SAS）BE=AD 。（2） BCE ACD ， 4=5。 6=5+AMB= 4+ 1， AMB= 1=60。【变式 4】两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置， E，A，C 三点在一条直线上，连结BD ，取 BD 的中点 M，连结 ME ，MC 。试判断 EMC 的形状，并说明理由。解析： EMC 是等腰直角三角形。由已知条件可以得到：DE=AC ， DAE+ BAC=90 DAB=90 。连接AM 。由 DM=MB可知MA=DM ， MDA= MAB=45 从而MDE= MAC=105 即 EDM CAM 。因此EM=MC ， DME= AMC 又易得 EMC=90 所以EMC 是等腰直角三角形。【变式 5】 在 ABC 中， ACB=90 ， AC=BC ，直线经过顶点C，过 A，B 两点分别作的垂线 AE，BF，垂足分别为E，F。（1）如图 1 当直线不与底边 AB 相交时，求证：EF=AE+BF 。（2）将直线绕点 C 顺时针旋转，使与底边 AB 相交于点D，请你探究直线在如下位置时， EF、AE、BF 之间的关系， AD BD ； AD=BD ； AD BD 。精品资料精品学习资料第 20 页，共 42 页分析： 要证 EF=AE+BF ，只需证 ACE CBF 。证明： （1） AE，BF， AEC= CFB=90， 1+2=90 ACB=90 ， 2+3=90 1= 3。在 ACE 和 CBF 中， ACE CBF（AAS）AE=CF ，CE=BF EF=CE+CF ， EF=AE+BF 。（2） EF=AE BF，理由如下：AE ， BF， AEC= CFB=90 ， 1+2=90 ACB=90 ， 2+3=90， 1= 3。在 ACE 和 CBF 中 ACE CBF（AAS）AE=CF ，CE=BF EF=CF CE， EF=AE BF。EF=AE BF EF=BF AE 证明同。【变式 6】.如图所示，在ABC 中， AC=BC ， ACB=90 ， D 是 AC 上一点，且AE垂直 BD 的延长线于E， AE=BD，求证： BD 是 ABC 的平分线精品资料精品学习资料第 21 页，共 42 页思路点拨： 如果 BD 是 ABC 的角平分线，则应有ABD= CBD ，根据已知条件，很难找到这两个角相等的直接条件，但可以延长AE 和 BC，令其交于一点，先证出全等三角形，再利用全等三角形对应角相等解题证明 ：延长 AE 和 BC，交于点F，因为AC BC，BEAE， ADE= BDC（对顶角相等） ，所以 EAD+ ADE= CBD+ BDC即 EAD= CBD 在 RtACF 和 RtBCD 中所以 RtACF RtBCD （ASA） 则 AF=BD （全等三角形对应边相等）因为AE=BD，所以 AE=AF，即 AE=EF 在 RtBEA 和 RtBEF 中，则 RtBEARtBEF（ SAS） 所以ABE= FBE（全等三角形对应角相等），即 BD 是 ABC 的平分线总结升华： 如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决平时练习中多积累一些辅助线的添加方法。类型三：角平分线的性质与判定3已知：如图所示，CDAB 于点 D，BEAC 于点 E，BE、CD 交于点 O，且AO 平分 BAC ，求证： OB=OC 思路点拨： 由 CDAB，BEAC ，可知 ADC= AEB=90 ，又由OA 平分 BAC精品资料精品学习资料第 22 页，共 42 页可知， OE=OD ，再利用“角边角”证明出OBD OCE，从而得到OB=OC 证明 ：因为 CDAB ，BEAC，则 ADC= AEB=90 又因为AO 平分 BAC ，所以OD=OE （角平分线上的点到角两边的距离相等）在BOD 和 COE 中，所以 RtBOD Rt COE（ASA ） 所以OB=OC （全等三角形对应边相等）总结升华： 注意运用角平分线的性质的数学几何语言表达举一反三：【变式1】如图，在中，平分，那么点到直线的距离是 _cm答案： 3 cm 【变式 2】如图， CDAB ，BEAC ，垂足分别为D，E，BE，CD 相交于，。求证解析： CDAB ，BEAC BDO= CEO=90在 BDO 与 CEO 中精品资料精品学习资料第 23 页，共 42 页 BDO CEO（AAS ）OD=OE 又 ODAB，OEAC AO 为 BAC 平分线 1=2 （角平分线的判定）【变式 3】如图，直线表示三条互相交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？分析： 要求到三条公路的距离相等，那需要画出各个角的平分线，（包括外角），这样的点有 4 个。【答案】可以选择的地点有4 处， P1，P2，P3，P4，如图所示。【变式 4】如图，已知1=2，P为 BN 上的一点， PFBC 于 F，PA=PC，求证： PCB+BAP=180 o证明： 过点 P 作 PEBA 于 E 1=2,PFBC 于 F PE=PF, PEA= PFB=90o精品资料精品学习资料第 24 页，共 42 页在 RtPEA 与 RtPFC 中 PEA PFC PAE=PCB BAP+ PAE=180o PCB+BAP=180 o类型四：利用三角形全等知识解决实际问题4要测量河两岸相对的两点A、B 的距离，先在AB 的垂线 BF 上取两点C、D，使 CD=?BC， 再定出 BF 的垂线 DE， 使 A、 C、 E 在一条直线上， 可以证明 EDC? ABC ，?得到 ED=AB ， 因此测得ED 的长就是AB 的长（如图）， 判定 EDC ABC 的理由是 （ ）A边角边公理B角边角公理；C边边边公理D斜边直角边公理思路点拨： 把实际问题转化成数学语言或数学符号，然后用学过的数学知识进行解答【答案】 ：B 总结升华： 解决本类题的关键是相关知识的熟练掌握和转化。举一反三：【变式 1】如图，将两根钢条AA、BB 的中点 O 连在一起，使AA、BB 可以绕着点O 自由转动， 做成一个测量工具，则 AB 的长等于内槽宽AB ， 那么判定 OAB OA B的理由是 _【答案】 SAS； 由题意可知OA= OA， AOB= A OB ，OB=O B，所以判定全等的理由是SAS。【变式 2】如图 ,工人师傅要检查模型中的A 和 B 是否相等 ,但他手边没有量角器,只精品资料精品学习资料第 25 页，共 42 页有一把刻度尺 ,请你设计一个方案来说明A 和 B 是否相等。解析： 方案如下 : (1) 分别在 AB 上取两点E、G,使 AE=BG；(2) 分别在 AC 和 BD 上取两点F、H,使 AF=BH(3) 量出 EF 和 GH 的长度 . 若 EF=GH,则根据“ SSS ”证明 AEF BGH, 从而得到 A=B；若 EFGH,则 A B. 精品资料精品学习资料第 26 页，共 42 页角平分线的性质经典例题透析类型一：角平分线性质的应用1（2011 湖北恩施） 如图，AD 是 ABC 的角平分线， DFAB， 垂足为 F， DE=DG ，ADG 和 AED 的面积分别为50 和 39，则 EDF 的面积为：（ ）A、11 B、5.5 C、7 D、3.5 思路点拨：过 D 点作 DH AC 于 H， 由角平分线的性质， DF=DH ， 易证 EDF GDH，根据，可以算出EDF 的面积解析： 过 D 点作 DH AC 于 H，AD 是 ABC 的角平分线， DF AB，DH AC DF=DH 在 RtEDF 和 RtGDH 中DE=DG ，DF=DH RtEDFRtGDH 同理可证RtADF 和 RtADH =50-39=11， EDF 的面积为5.5，选 B 总结升华： 角平分线上的点到角两边的距离相等。举一反三：【变式 1】如图， ABC 中， C=90， AD 平分 BAC ，点 D 在 BC 上，且 BC=24，CD:DB=3:5 求： D 到 AB 的距离。精品资料精品学习资料第 27 页，共 42 页分析： 点到直线的距离是经过该点作直线的垂线，该点与垂足之间线段的长度。【答案】：过 D 作 DEAB 于 E。AD 平分 BAC ，DEAB，DCAC DE=CD BC=24 ，CD:DB=3:5 CD=24=9DE 即点 D 到 AB 的距离是9。【变式 2】如图， ACB=90 ,BD 平分 ABC 交 AC 于 D，DEAB 于 E，ED 的延长线交 BC 的延长线于F. 求证： AE=CF 【答案】 BD 平分 ABC ，DEAB,DC BF DE=DC 在 ADE 和 FDC 中 ADEFDC(ASA) AE=CF 类型二：角平分线的判定2、已知，如图，CE AB,BD AC,B=C，BF=CF。求证： AF 为 BAC 的平分线。思路点拨： 由已知条件与待求证的结论，应想到角平分线的判定定理。解析： CEAB,BD AC （已知） CDF=BEF=90 DFC=BFE(对顶角相等 ) BF=CF( 已知 ) DFC EFB(AAS) DF=EF( 全等三角形对应边相等) FEAB,FD AC（已知）点 F 在 BAC 的平分线上 (到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 即 AF 为 BAC 的平分线总结升华： 应用角平分线定理及逆定理时不要遗漏了“垂直”的条件。如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性。精品资料精品学习资料第 28 页，共 42 页举一反三：【变式 1】如图，已知AB=AC,AD=AE,DB与 CE 相交于 O (1) 若 DB AC,CE AB,D,E 为垂足，试判断点O 的位置及OE 与 OD 的大小关系，并证明你的结论。(2) 若 D，E 不是垂足，是否有同样的结论？并证明你的结论。【答案】（1） AB=AC,AD=AE BE=CD DBAC,CE AB, BEO=CDO=90 在 BEO 和 CDO 中 BEOCDO EO=DO EOAB,DO AC 点 O 在 A 的平分线上（2）点 D,E 不是垂足时， （1）的结论仍然成立，连接AO 在 ABD 和 ACE 中 ABD ACE B=C AB=AC,AD=AE EB=CD 在 BEO 和 CDO 中 BEOCDO EO=DO 连接 AO ，则：精品资料精品学习资料第 29 页，共 42 页在 AEO 和 ADO 中 AEOADO EAO= DAO O 点在 A 的角平分线上【变式 2】如图，与的面积相等求证：OP 平分分析： 观察已知条件中提到的三角形与，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得。【答案】：作于 M，于 N ，且又又平分类型三、角平分线的综合应用3、已知：如图，在ABC 中， BE 是 ABC 的平分线， AD BE，垂足为 D求证： BAD= DAE+ C精品资料精品学习资料第 30 页，共 42 页思路点拨：题目中没有角平分线上的点到任何一边的垂线段，观察要证的结论发现，可以通过将ABD 翻折下来从而将DAE 和 C 放在同一个三角形中，利用外角可求和。另外也可以单纯导角得到结果。证明： （法 1）延长 AD 交 BC 于 F 平分=在与中又，即有： BAD= DAE+ C （法 2）(仔细观察发现没必要证明两三角形全等) 又，即有： BAD= DAE+ C （法 3）(进一步观察发现本题也无需添加辅助线) 即而精品资料精品学习资料第 31 页，共 42 页又，即有：BAD= DAE+ C 总结升华： 添加辅助线时，要能充分利用已知条件。举一反三：【变式 1】如图，BD 平分，且探究与的数量关系，并证明你的结论分析： 利用角平分线进行翻折，构造全等三角形，使得与产生关系。【答案】：在 BC 上取点 E，使 BE=AB ，连结 DE BD 平分在和中又（此处提前用到了等腰三角形等边对等角的性质，也可由作等腰三角形 DEC 的底边高线证全等得两角相等。）又即：精品资料精品学习资料第 32 页，共 42 页【变式 2】如图， PB 平分 ABC ，PDBC 于 D， PAB+PCB=180。求证： AB+BC=2BD 。【答案】：过点 P 作 PEAB 于 E， PB 平分 ABC ，PDBC 于 D， PD=PE， AEP= PDB=PDC=90在 RtPBE 和 RtPBD 中 RtPBERtPBD（ HL） BE=BD 。 PAB+ PCB=180， PAB+1=180， PCB= 1。在 PAE 和 PCD 中， PAE PCD（AAS ） ， AE=CD AB+BC=AB+BD+CD=AB+AE+BD=BE+BD=2BD。精品资料精品学习资料第 33 页，共 42 页全等三角形经典例题透析类型一：全等三角形性质的应用1、如图， ABD ACE， AB=AC，写出图中的对应边和对应角.思路点拨 : AB=AC， AB 和 AC 是对应边， A 是公共角， A 和 A 是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解. 解析： AB 和 AC 是对应边， AD 和 AE、BD 和 CE 是对应边， A 和 A 是对应角， B和 C， AEC 和 ADB 是对应角 . 总结升华： 已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边. 已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角. 举一反三：【变式1】如图， ABC DBE .问线段 AE 和 CD 相等吗？为什么？【答案】 证明：由ABC DBE， 得 AB=DB,BC=BE ， 则 AB-BE=DB-BC ， 即 AE=CD 。【变式2】如图，已知 ABC DEF，A=30 ， B=50， BF=2，求 DFE 的度数与 EC 的长。思路点拨 : 由全等三角形性质可知：DFE= ACB ，EC+CF=BF+FC ，所以只需求ACB 的度数与BF 的长即可。【答案】在 ABC 中， ACB=180 -A- B，又A=30 ， B=50，精品资料精品学习资料第 34 页，共 42 页所以ACB=100 . 又因为 ABC DEF ，所以ACB= DFE ，BC=EF （全等三角形对应角相等，对应边相等）。所以DFE=100 EC=EF-FC=BC-FC=FB=2 。类型二