2,1,2异面直线所成的角习题课.ppt
2022年年6月月17日星期五日星期五让理想的雄鹰展翅高飞！让理想的雄鹰展翅高飞！ 一作一作(找找)：作（或找）平行线；作（或找）平行线； 二说：二说：说出所作的角为所求的异说出所作的角为所求的异 面直线所成的角（或其补角）；面直线所成的角（或其补角）； 三求：三求：在一恰当的三角形中求在一恰当的三角形中求出角；出角； 四答：四答：根据异面直线所成角的范根据异面直线所成角的范围作出答案。围作出答案。求异面直线所成角的步骤是求异面直线所成角的步骤是:1、在正方体在正方体AC1中，中，M,N分别是分别是A1A和和B1B的中点，求异面直线的中点，求异面直线CM和和D1N所成的角？所成的角？ABDCA1B1D1C1MN巩固练习巩固练习:利用平行四边形构造平行线利用平行四边形构造平行线ADCBA1D1C1B12 2、若若M M为为A A1 1B B1 1的中点，的中点，N N为为BBBB1 1的中点，的中点，求异面直线求异面直线AMAM与与CNCN所成的角；所成的角；NMFE利用平行四边形构造平行线利用平行四边形构造平行线PABCMN3、空间四边形空间四边形P-ABC中，中，M，N分别是分别是PB，AC的的中点，中点， MN=3， PA=BC=4，求，求PA与与BC所成的角？所成的角？E利用三角形的中位线构造平行线利用三角形的中位线构造平行线4. 如图，在长方体中，已知如图，在长方体中，已知AA1=AD=a，AB= a，求，求AB1与与BC1所成的角的余弦值所成的角的余弦值.3CBADA1B1C1D1aaa3利用平行四边形构造平行线利用平行四边形构造平行线PADCBMO如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCD中，底面是正方形，中心为中，底面是正方形，中心为O，且底面边长和侧棱相等，且底面边长和侧棱相等，M是是PC中点，求中点，求MO与与AB所成的角。所成的角。N 在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分分别是棱别是棱A1B1，B1C1的中点，求：的中点，求：异面直线异面直线 AD与与 EF所成角的大小；所成角的大小；异面直线异面直线B1C与与 EF所成角的大小；所成角的大小；异面直线异面直线 B1D与与 EF所成角的大小所成角的大小.4560平平移移法法OG90AC A1C1 EF, OG B1DB1D 与与EF所成的角所成的角即为即为AC与与OG所成的角所成的角, 即为即为AOG或其补角或其补角.长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABAB=AA=AA1 1= =2 cm2 cm，ADAD= =1cm1cm，求异面直线求异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成角的余弦值。所成角的余弦值。取取BBBB1 1的中点的中点MM，连，连O O1 1MM，则，则O O1 1MM D D1 1B B，如图，连如图，连B B1 1D D1 1与与A A1 1C C1 1 交于交于O O1 1，于是于是 A A1 1O O1 1MM就是异面直线就是异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成的角（或其补角）所成的角（或其补角）O1MDB1A1D1C1ACB解：解：为什么？为什么？55利用三角形的中位线构造平行线利用三角形的中位线构造平行线解法二解法二：补形法补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。现两条异面直线的关系。 11115,25,3A CA EC E=在在 A1C1E中中，由余弦定理得由余弦定理得115cos5AC E= A1C1与与BD1所成角的余弦值为所成角的余弦值为如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结连结A1E，C1E，则，则 A1C1E为为A1C1与与BD1所成的角所成的角(或补角或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方体的方体B1F ，55例例A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。 ABCDEFG解：解：连结连结DF，取，取DF的中点的中点G，连结，连结EG，CG，又，又E是是AD的中点，故的中点，故EG/AF，所以所以GEC（或其补角）是异面直线（或其补角）是异面直线AF、CE所成的角。所成的角。13.24EGAFa=1133.2224FGDFABa=2222317()().424CGFGFCABABa=2cos.3EGCGEC=在中用余弦定理得异面直线异面直线AF、CE所成角的余弦值是所成角的余弦值是 23例例A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。 ABCDEFP另解另解: :延长延长DC至至P, ,使使DC=CP，E为为AD中点，中点，AP/EC。 故故PAF(或其补角或其补角)为异面直为异面直线线AF、CE所成的角。所成的角。 3,2AFa=2272cos120.2PFFCPCFC PCa= =23 .APECa=2,cos.3PAFPAF=中应用余弦定理 得异面直线异面直线AF、CE所成角的余弦值是所成角的余弦值是 23D CA BA1 B1D1 C1M在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,点点M是是AB的的中点中点,求求DB1与与CM所成角的余弦值所成角的余弦值.变变1:在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,点点E,F 分别是分别是A1A,B1B的中点的中点,求求CE与与D1F 所成角的余弦值所成角的余弦值.D CA BA1 B1D1 C1EF变变2:在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,点点E、 F分别是分别是BB1、D1B1的中点。的中点。 求证：求证：EFDA1.A BA1 B1D CD1 C1EF练习练习:在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,点点E, F分别是分别是D1C1, AA1的中点的中点, (1)求求DE与与AC所成角的余弦值所成角的余弦值. (2)求证求证:BFDE.A BA1 B1D CD1 C1EF长方体长方体ABCD-A1B1C1D1中中,AB=AA1 =2,AD=1,求异面直线求异面直线A1C1与与BD1所成角的余弦值所成角的余弦值.直三棱柱直三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1 中中ACBACB90900 0,D,D1 1，F F1 1分别是分别是A A1 1B B1 1与与A A1 1C C1 1的中点。若的中点。若BCBCCACACCCC1 1，求，求BDBD1 1 与与AFAF1 1这两条异面直线所成的角。这两条异面直线所成的角。AA1CBB1C1F1D1例例例例(1)已知异面直线已知异面直线a和和b所成角为所成角为600，P为空间一点，为空间一点，则过点则过点P与与a和和b所成角都为所成角都为450的直线有几条？的直线有几条？ (3)已知异面直线已知异面直线a和和b所成角为所成角为600，P为空间一点，为空间一点，则过点则过点P与与a和和b所成角都为所成角都为700的直线有几条？的直线有几条？ (2)已知异面直线已知异面直线a和和b所成角为所成角为600，P为空间一点，为空间一点，则过点则过点P与与a和和b所成角都为所成角都为600的直线有几条？的直线有几条？ 拓展题拓展题.如图，如图，a、b为异面直线，直线为异面直线，直线a上的线上的线段段AB=6cm，直线，直线b上的线段上的线段CD=10cm， E、F分别为分别为AD、BC的中点，的中点，且且EF=7cm，求异面，求异面直线直线a与与b所成的角所成的角的度数的度数ABCDEF让理想的雄鹰展翅高飞！让理想的雄鹰展翅高飞！再见再见yyyy年年M月月d日星期日星期W
