2013年美国大学生数学建模大赛A题 一等奖.pdf
Team#Page 1 of 17最终的布朗尼蛋糕盘最终的布朗尼蛋糕盘Team #23686February 5, 2013摘要摘要 Summary/AbstractSummary/Abstract为了解决布朗尼蛋糕最佳烤盘形状的选择问题， 本文首先建立了烤盘热量分布模型， 解决了烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题。又建立了数量最优模型， 解决了烤箱所能容纳最大烤盘数的问题。然后建立了热量分布最优模型，解决了烤盘平均热量分布最大问题。最后，我们建立了数量与热量最优模型，解决了选择最佳烤盘形状的问题。模型一： 为了解决烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题，我们假设烤盘的任意一条边为半无限大平板，结合第三边界条件下非稳态导热公式，建立了不同形状烤盘的热量分布模型，模拟出不同形状烤盘热量分布图。最后得到结论：在烤盘由多边形趋于圆的过程中，烤焦的程度会越来越小。模型二： 为了解决烤箱所能容纳最大烤盘数的问题，本文建立了随烤箱长宽比变化下的数量最优模型。 求解得到烤盘数目N随着烤箱长宽比和烤盘边数n变化的函数如下：2W2cont2cont2cont L nsin 1WnLN 4A模型三：本文定义平均热量分布H为未超过某一温度时的非烤焦区域占烤盘边缘总区域的百分比。为了解决烤盘平均热量分布最大问题，本文建立了热量分布最优模型，求解得到平均热量分布随着烤箱长宽比和形状变化的函数如下：tanH 1n2A2-sin2cosnnsinnn结论是：当烤箱长宽比为定值时，正方形烤盘在烤箱中被容纳的最多，圆形烤盘的平均热量分布最大。当烤盘边数为定值时，在长宽比为1:1 的烤箱中被容纳的烤盘数量最多，平均热量分布H最大。WW模型四：通过对函数N,n和函数H,n作无量纲化处理，结合各自LL的权重p和1 p，本文建立了数量和热量混合最优模型，得到烤盘边数n随p1Team#Page 2 of 17值和WL的函数。当W 0.7273，p 0.5977时，此时的n 6。LContentsContents1 1AnalysisAnalysis32 2Model AssumptionsModel Assumptions33 3Modeling and solvingModeling and solving33.13.1DefinitionDefinition .43.2 Model 13.2 Model 1.43.3 Model23.3 Model2.103.4 Model33.4 Model3.113.5 Model43.5 Model4.134 4ReferencesReferences155 5AppendixAppendix151. 1.问题分析问题分析 AnalysisAnalysis2Team#Page 3 of 17本文讨论了在有限的烤箱内，不同形状烤盘的外部边缘的热量的分布问题。当烤箱内部预热到一定时间时，烤箱内温度达到一个均衡值。由于预热的一段时间很短，我们假设在烤箱的工作时间，炉内热量分布是均匀的。因此烤箱内的气体可以看成为温度不变的流体。 烤盘的每一条边都可以看成无限大平板在一维时的情况。 可以建立半无限大平板在第三类边界条件下的一维非稳态导热函数，并结合多维非稳态导热的乘积解法，可以得到多边形烤盘在二维的热量分布。然后模拟出多边形烤盘热量分布的图像，通过观察， 得到各种形状烤盘所受到的热量分布情况。问题二： 讨论烤箱所能够容纳烤盘数最多的情况。实际上也就是讨论多边形W在W L区域内的平铺问题。在这里，我们假设W L为定值。一方面当分别L为不同值时，多边形的平铺区域面积会有不同的值。另一方面，多边形在区域W L的烤盘数量N会随着多边形边数的变化而变化。因此，平铺数量N会随着W和边数n的变化而变化。讨论烤盘平均热量最大的情况，实际上也就是讨论L非烤焦区域面积占总区域面积比例的问题。 我们认为烤焦区域面积为温度出现重W叠的区域面积。一方面，当分别为不同值时，热量平均分布H会有不同的值。L另一方面， 多边形在区域W L的热量平均分布会随着多边形边数的变化而变化。W因此，热量平均分布H会随着和边数n的变化而变化。结合以上相关结论，LW我们可以得到边数n会随着热量平均分布H和和数量N变化而变化。通过作L无量纲化处理，数量N和平均热量分布H的权重分别为p和1 p，所以边数n会随着W和P的变化而变化。L2. 2.模型假设模型假设 Model AssumptionsModel Assumptions1. 忽略不同食材，烘焙时间长短等因素对蛋糕成熟的影响；2. 当烤箱工作时，烤箱内的温度为定值；3. 假设烤箱内传热主要为导热传热。3. 3. 不同形状烤盘热量分布模型不同形状烤盘热量分布模型3.13.1 烤盘，烤箱的定义烤盘，烤箱的定义本文考虑的烤箱的结构简图（Figure 1） ：3Team#Page 4 of 17Figure 1 烤箱结构图本文忽略盘烤的高度，仅考虑烤盘在二维空间内的导热问题,如图 2 所示：Figure 2 烤盘形态图图3.23.2 模型建立模型建立模型解决烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题。 当只考虑烤盘的一条边时， 此时烤盘相当于半无限大平板。 在一维非稳态传热过程中烤盘内的温度。坐标分布如图 3 所示：Figure 3 半无限大平板加热过程中的温度分析由上图可知，烤盘厚度为时烤盘的加热情况：第一阶段 step1：当烤制时间(0,2)时，空气流体不断的向烤盘内部导热，但是烤盘仍然有部分处于初始温度，未开始加热。当2时，空气流体对烤盘的热量正好传到烤盘的内边缘；第二阶段 step2：当(2,4)时，空气流体对整个烤盘加热的一段时间；第三阶段 step3：当4时，烤盘的温度到达新的稳定状态。烤盘的加热过程的微分方程1为：t2ta2(1)其中，t为烤盘的温度 ，t0为烤盘的初始温度，tf为空气流体的温度 ，且tf t0。hf为空气流体与烤盘间的对流换热系数，且为常数。为加热时间，为烤盘边缘的厚度，为热量传输系数（或导热系数） 。定解条件： 0，0 x ，t t04Team#Page 5 of 17 0，x 0，tx 0（对称性）x0 0，x ，引入过余温度: tf-t。tx hftf-tx0 x在此定解条件下微分方程解的结果为：tf-t 2e 0tf-t0n1na22xsinncosnsn sinncosn（2）式中的n是下列超越方程的根，称为特征值。tannBinn 1,2,3从上式看出解得结果可表示为：x,tf-tx,0tf-t0 x f F0,Bi,(3)从上述的结果可知， 烤盘的加热过程函数是一个无穷级数， 计算工作量较大。但对比计算表明，当傅里叶系数Fo 0.2时，采用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的差别小0.1%。这样的误差在计算中是被允许的，因而当此Fo 0.2后可以采用以下简化结果： tf-t2sin1xecosi(4)0tf-t01sin1cos1n2a2其中特征值nn 1,2,3,的值与Bi有关。从上式可知得当Fo 0.2以后平板中的任意一点的过余温度x,与平板中心的过余温度x,m之比为：x cos1(5)m非稳态导热的这一阶段就是所谓的导热正规状况或充分发展阶段。 确认正规状况阶段的存在具有重要的意义， 因为本文计算中关心的非稳态导热过程常常处于正规状况阶段，此时的计算可以采用上述的简化公式。为了便于计算，人们广泛采用 按分析解的级数第一项而绘制的一些线算图5Team#Page 6 of 17（诺曼图） 。其中用以确定温度分布的线算图称为海斯勒（Heasler）图。以无限大平板为例，它首先根据等式 （4）中给出的m0随FO及Bi变化的曲线（此时x 0） ，然后再根据等式（5）确定的值。于是平板中任意一点的值m0便为： m(6)0m0无限大平板的m0和的计算图2如图 4 和图 5 所示：mFigure 4 无限大平板中心无量纲温度图Figure 5 无限大平板的曲线图m3.33.3 模型求解模型求解设烤盘密度 26.10kg /m3，比热容c 904J /(kg.C)，导热率120W /(mC)，对流换热系数h 100W /(m2C)，烤盘的宽度 0.5m，烤箱内的温度tf 200C。当时间10s时，根据图 4 和图 5 和等式(6)得到若干大平板的温度和大平板距离的散点数据， 拟合出大平板的温度和大平板距离的曲6Team#Page 7 of 17线如图 6 所示：Figure 6 大平板的温度和大平板距离的拟合曲线3.43.4 四边形烤盘情况四边形烤盘情况烤盘形状为四边形的受热情况：Figure 7 烤盘形状为四边形的受热图四边形的烤盘可以看做成由四个半无限大平板所围成的， 根据多维非稳态导热的乘积解法可以得出如下结果：x,y,-tft -t0ftx,-tft -t0fty,-tf1boardt0-tftx,-tf2boardt0-tfty,-tf3boardt0-tf(7)4board图像如图 8 所示：Figure 8 四边形烤盘的热量分布图3.53.5 五边形烤盘情况五边形烤盘情况烤盘形状为五边形的受热情况：7Team#Page 8 of 17Figure 9 烤盘形状为五边形的受热图五边形的烤盘可以看做成由五个半无限大平板所围成的，根据多维非稳态导热的乘积解法可以得出如下结果：x, y,-tft0-tftx,-tft -t0fty,-tf1boardt0-tftx,-tf2boardt0-tf(8)5board图像如图 10 所示：Figure 10 五边形烤盘的热量分布图3.63.6多边形烤盘情况多边形烤盘情况烤盘形状为n边形的受热情况： ：8Team#Page 9 of 17Figure 11烤盘形状为n边形的受热图n边形的烤盘可以看做成由n个半无限大平板所围成的，根据多维非稳态导热的乘积解法可以得出如下结果：x, y,-tft -t0ftx,-tft -t0fty,-tf1boardt0-tftx,-tf2boardt0-tf(9)nboard图像如图 12 所示：Figure 12 多边形烤盘的热量分布图4 4 烤盘数量最优模型烤盘数量最优模型当用相同多的材料做成烤箱时，存在以下等式：LW Cont式中，L为烤箱的长度，W为烤箱的宽度，Cont为常数。多边形的边长数为n。 当n 5时， 多边形的形状可以近似看做其多边形的外圆。则n边形的排列方式如图：rFigure 13n边形的排列方式其中，三角形的面积：1Striangler2sin(10)29Team#Page 10 of 172,r为多边形所外外接圆的半径；n经过推到可以得到多边形的面积为：式中：A n2 2r sin(11)2n式中,A为烤盘的面积。则：r 2A(12)2nsinn每层的烤盘总数K：W L K 2r 2r烤箱有两层，则烤箱能够放的烤盘总数N：WN 2 2 L2A2 2nsin n 2WLnsinnN 4A2A 2nsinn化简得到：(13)当用相同多的材料做成烤箱时，存在：W L Cont。可推出2contW2L(13.5)W L cont cont 1WL2结合式（13）和式（13.5）可得函数：2W2cont2cont2cont L nsin 1WnLN 4A（13.55）当W L 1m，A 0.0025m2， 做出烤盘总数N随着变化的曲线如图 14 所示：W和多边形的边数n而L10Team#Page 11 of 17W和多边形的边数n而变化的曲线示意图LWW由此可得到结论为：在区间0,1上，随着的增大，烤箱内所容纳的烤LLW盘数N随多边形n变化而变化的曲线将整体上移。由此可知，1时，烤箱所L盛的烤盘数最大。W当的取值为某一定值时， 烤箱内所能容纳的烤盘数N随着多边形边数nLFigure 14 烤盘总数N随着 。特别的，当n 4时，烤盘数量N大于任意的增大而增大，其中，n5，多边形的烤盘数，即正方形的烤盘在烤箱中的数目最多。5 烤盘热量最优模型我们假设烤制时间为3时，蛋糕已经成熟。烤盘温度超过某一温度（即烤焦overcooked 的温度）的区域面积为A：A n2tan如图 15 所示：2(14)overcookedFigure 15 烤焦区域面积图用图像表示多边形随着边数n的变化引起的烤焦面积变化的趋势如图 16 所11Team#Page 12 of 17示：Figure 16 多边形随着边数n变化引起的烤焦面积变化的示意图每个烤盘的平均热量分布为H，考虑每个烤盘的各区域温度未超过某一温度（即烤焦 overcooked 的温度）的区域面积为总面积减去A，H表示如下：tanH 1n(15)2A2-sin2cosnnsinnn当多边形的边数变化时，得到结果如图 17 所示：Figure 17 每个烤盘的平均热量分布图总的烤盘的平均热量分布Htotal为每个烤盘的平均热量分布（H）和烤盘数量（N）的乘积，即：Htotal H N(16)根据式（13.55）和式（15）可得函数。12Team#Page 13 of 17tanHtotal1n2A2-sin2ncosnsinnn2W2cont 2cont2cont L nsinWn1L4A(16.5)当W L 1m，A 0.0025m2，做出烤盘热量平均分布随着边数n而变化的曲线：W和多边形的LFigure 18 烤盘热量平均分布随着当W和n变化示意图LWW在区间0,1上时，随着的增大，烤盘平均热量H分布随多边形n变LLW化而变化的曲线将整体上移。由此可知，1时，烤盘的平均热量分布H为L最大。W当的取值为某一定值时，烤盘平均热量H分布随着多边形边数n的增大L 。且，当n 时，烤盘平均热量H分布大于任意而增大，其中，n4，多边形的烤盘平均热量H分布，即圆形烤盘平均热量分布最多。6 6 烤盘数量与热量最优模型烤盘数量与热量最优模型分别将图 14 和图 18 做无纲量化处理， 并放置在同一坐标系中， 烤盘总数NW和热量平均分布H随着和多边形的边数n而变化的关系，如图 19 所示：L13Team#Page 14 of 171.210.80.60.40.20N(W/L=1)N(W/L=1/2)N(W/L=1/4)H(W/L=1)H(W/L=1/2)H(W/L=1/4)n45678数910边11Figure 19 烤盘总数和热量平均分布随W和n变化示意图L无量纲化的N和H的权重分别为p和1 p，即：pN 1 pH(17)此时，N和H比为：p(18)1 p权重比为的纵坐标之比，即：pN（18.5）1 pH即：N(19)N H根据式（13） ， （13.5） ， （18） ，可得函数：p 2W2cont2cont2cont L nsinWn1Lp4A21 pW2cont2cont2cont L nsinWn1tanLn14A2A2-sin2cosnnsinnn14Team#Page 15 of 17(20)当cont 1m， 0.5m时， 利用 matlab 作出以上函数， 函数图象如下图所示：Figure 20 烤盘边数n随W和p变化示意图LL由此我们可以得到以下结论：当W为定值时，p与n呈一一对应的关系，n值随p值的增加而减少；当p为定值时，N与H呈一一对应的关系，n值随WL值的增加而增大。通过确定P和WL，可以得到相应的n值。例如当W 0.7273，p 0.5977时，此时的n 6。L7. 7.参考文献参考文献 ReferencesReferences1沈巧珍，杜建明，冶金传输原理，北京：冶金工业出版社，2006.82沈巧珍等，冶金传输原理，http:/ 动态数学模型 测试建模方法， 西安： 西安电子科技大学出版社， 2012.37Mark M.Meerschaert,Mathematical Modeling(Third Edition),北京： 机械工业出版社,2009.58. 8.附录附录 AppendixesAppendixesAppendix1Appendix1Matlab Figure 6 制作编程f(x) = p1*x2 + p2*x + p3Coefficients (with 95% confidence bounds):p1 =20.82(19.66, 21.98)p2 =4.872e-015(-0.2821, 0.2821)15Team#Page 16 of 17p3 =169.3(169.1, 169.5)Appendix2Appendix2Matlab Figure18 制作编程ezplot(0.25*n*sin(2*pi/n)/0.01*(1-tan(pi/n)*0.0005/(2*sin(pi/n)*(sqrt(0.005/(n*sin(2*pi/n)-0.0005/cos(pi/n),4,50,50,200);hold onezplot(2/9*n*sin(2*pi/n)/0.01*(1-tan(pi/n)*0.0005/(2*sin(pi/n)*(sqrt(0.005/(n*sin(2*pi/n)-0.0005/cos(pi/n),4,50,50,200);hold onezplot(4/25*n*sin(2*pi/n)/0.01*(1-tan(pi/n)*0.0005/(2*sin(pi/n)*(sqrt(0.005/(n*sin(2*pi/n)-0.0005/cos(pi/n),4,50,50,200)Appendix3Appendix3Matlab Figure20 制作编程x=1 1 1 1 1 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25y=0.761481795 0.680250585 0.600193826 0.540164388 0.500147096 0.470136039 0.450128520.440123164 0.699691087 0.631249757 0.581192366 0.541162599 0.511145115 0.4951339340.481126332 0.471120916 0.648771881 0.577253616 0.537196942 0.497167547 0.4771502810.457139241 0.447131734 0.437126385z=4 5 6 7 8 9 10 11 4 5 6 7 8 9 10 11 4 5 6 7 8 9 10 11xi,yi=meshgrid(linspace(min(x),max(x),100),linspace(min(y),max(y),100);zi=griddata(x,y,z,xi,yi,v4);hold onsurf(xi,yi,zi);shading interp %去除网格 h=scatter3(x,y,z,50,5*ones(size(x),filled);16Team#Page 17 of 17Slogan: The Ultimate Brownie Pan tailored for your palate and your ovenThe background of the advertisement is made up with three different colors. The intersecting linesof each color respectively represent p (the peoples different taste), W/L (the width to length ratioof the oven) and n (the number of edges of the pan). p (the peoples different taste) in theadvertisement represents the weight of H (the even heat distribution of each pan) in the paper. Thethree different colors fully display the relationship among the three factors. The advertisementwants to tell the customers that the Brownie Pan can offer you optimal selection of pan.17
