2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛.pdf
20142014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛承承诺诺书书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ：所属学校（请填写完整的全名） ：参赛队员 (打印并签名) ：12.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2014年 8月 15日20142014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛编编 号号 专专 用用 页页评阅人评分备注赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：学校食堂就餐问题学校食堂就餐问题摘要良好的餐饮服务体系是学生良好校园的生活保障， 是学校后勤服务的系统最重要的环节之一。本文针对我校长期以来供餐者和就餐者之间存在供需矛盾的问题，运用数学建模的方法评价六个食堂的服务质量，建立师生在食堂就餐服务质量的满意度模型；预测师生在六个不同的餐厅就餐的分布规律，建立模型，定量地刻划就餐者在早餐，午餐和晚餐以及周一至周五，周末和节假日的就餐人数，在建模中整体采用概率统计的思想，在第一问和第二问中设计调查表，进行统计。在第一问中收集同学们对食堂评价信息，用模糊数学的方法处理，得到最终的满意评价。在第二问中，在统计的基础上运用回归方程构建模型，用 matlab 软件计算，计算概率的方法预测人数。在一二问的基础上形成第三问的报告。关键词：模糊数学 回归方程概率统计 建议一 问题重述海南大学目前有 6 个学生食堂，每天供约 25000 人（学生，教职员工）就餐。学生分布在各宿舍区，集中在教 1-教 5 上课。学生及食堂作息时间如下：上午6:00开饭 7:40上课 中午10:00开饭 11:20下课 晚上16:20下课 5:00开饭。长期以来，供餐者和就餐者之间存在供需矛盾的问题。如，某食堂管理员反映：在饭菜准备方面，有时有巨大的浪费，米饭作了许多，有时因为没有学生来吃饭，不得不倒掉。然而，学生却说，中午第四节课下课后，因为餐厅人多， 排队长，等轮到自己时，可口的饭菜已卖光；新菜还没有上来，不愿意再等，只好随便吃。教师就餐有时也会遇到一些问题，比如，期中考试期间，老师来食堂吃午饭，因为是周末，饭菜准备就有些不足，师傅们讲，没有接到通知，依然按照通常的状态准备的饭菜。这种供求关系的不平衡，食堂管理者和广大用餐者双方都十分关注。因此急需一种有效地就餐者量化预测方法来解决这种不平衡的供求关系。问题一：建立合理的就餐服务质量的满意度指标，并按此指标，对学校现有部分食堂应用数学建模做出综合评价。 要考虑的因素主要有餐饮品种与质量， 饭菜价格， 宿舍、教学楼和食堂的位置关系，食堂容量。问题二：在问题一的满意度指标影响下，定量分析各食堂特定时间早餐，午餐和晚餐以及周一至周五，周末和节假日等就餐学生人数的分布规律或比例，并预测该比例的长期变化趋势，给出相应的误差估计等。二基本假设 1、无外来人员，只有本校师生。2、学生吃完饭就离开，保证食堂的正常流动性。 3、南方北方学生米面都吃，没有特别的好恶倾向。 4、食堂打饭工作人员打饭的质量是接近学生要求的标准重量的。 5、随机调查取样的结果是符合学校师生日常就餐规律的。 6、打饭过程中饭无洒落等损失情况三符号说明1j 代表食堂编号为 1，2,3，4,5,6:；2、i 代表学生编号；3、k 代表指标编号；4、则由第 i 个学生对第 j 个食堂第 k 项的重要性评分所得对应的绝对权数设为 Aijk5、学生整体对第 j 个食堂第 k 项的重要性评分所得对应的绝对权数设为 Ajk，6、 第 i 个学生对第 j 个食堂第 k 项评价指标的重要性评分所得对应的相对权设为 Bijk，7、 学生整体对第j个食堂第k项的评价指标的重要性评分所得对应的相对权数设为Bjk，8、第 i 个学生对第 j 个食堂的指标评分所得相对应满意度的绝对权数设为 Cij9、学生整体对第 j 个食堂的指标评分所得相对应的满意度相对权数设为 Cj10、第 i 名受访学生对 j 食堂就餐绝对满意度指标设为 Dij；学生整体对 j 食堂整体就餐的相对满意度指标设为 Dj；11、第 i 名受访学生对 j 食堂的第 k 项调查项目评分所得对应相对满意度设为 Eijk12、学生整体对 j 食堂第 k 项的相对满意度设为 Eij；四模型建立4.1 问题一模型的建立 4.1.1 问题一的分析：在不考虑各因素的综合影响下，确立合理的就餐满意指标，研究不同的指标因素对学校两个食堂的满意度，建立简单优化模型，利用综合评分法算出各个食堂的总得分。得分越高， 满意度越高。 就是根据调查图表得到各因素对各食堂满意度的影响比重结果，再根据各比重联系实际情况建立合理的评分公式，代入调查数据，进行满意度的评分指标计算，得到问题一要求的结果。4.1.2 模型一:1、确定评价的标准及满意度指标在此对相应的满意度指标进行评价，将满意度划分为 5 个级别，如下表一：编号指标满意度评分1食堂与宿舍的位置2饭菜的质量3饭菜的卫生情况4服务态度5排队等候的时间模型求解：在模型中根据调查的数据进行计算，第i 个学生对第 j 个食堂第项的重要性评分所得对应的绝对权数 Aijk=Yijk/ Yijk； 有相对权数与绝对权数的计算方法我们得到学生整体对 j 个食堂第 k 项的重要性评分所得对应的绝数 Ajk=i=1,Yijk/n；根据数据计算第 i 个学生对第j 个食堂第 k 项评价指标的重要性评分所得对应的相对权数Bijk=Aijk/j=1,Yijk； 则学生整体对第 j 个食堂第 k 项的评价指标的重要性评分所得对应的相对权数 Bjk=Bijk/n； 第 i 个学生对第 j 个食堂的指标评分所得相对应满意度的绝对权数是 Ci=Bij*Xij,由绝对权数得学生整体对第 j 个食堂的指标评分所得相对应的满意度相对权数是 Cj=Cij/n 第 i 名受访学生对食堂就餐绝对满意度指标 Dij=Cij/,Cij 学生整体对 j 食堂就餐的相对满意度指标 Dj=Dijk/n;由此得到食堂整体满意度的评分 Dj；在整体满意度的基础上，计算单个指标的满意度评分，更全面的反应食堂的服务质量，根据具体单项的指标评价提出详尽合理的建议，故得到第 i 名受访学生对 j 食堂的第 k项调查项目评分所得对应相对满意度 Eijk=Xijk/Cij 学生整体对 j 食堂第 k 项的相对满意度 Eij=Eijk/n根据上表，我们划定就餐满意度指数U的三个层次,即：U U1,U2,U3,U4,U5,U1=U11,U12, U2=U21,U22,U23,U24,U25,U3=U31,U32,U33,U34, U4=U41,U42, U5=U51,U52,U53,U54设定每个评价指标的 5 个评价等级，即很好、好、一般、差和很差，得到评价集为V V1,V2,V3,V4,V5,其中V1表示很好，V2表示好，V3表示一般，V4表示差，V5表示很差。 不同等级对应的分数值为，很好90100，好为9075，一般为6075，差为4560，很差为45以下。4.1.3模糊关系矩阵的建立利用模糊统计的方法， 通过计算属于某个评价等级的人数占总人数的百分比来确定该指标对于相应评价等级的隶属度，即可得到相应的模糊关系矩阵：r11rRi21rm1r12r22rm2r13r23rm3r14r24rm4r15r25rm5其中，rik表示Ui对评价集V中的第k个元素的隶属度。4.1.4 权重系数的确定根据实际情况，得到某项指标Ui对于另一指标Uj的重要程度为aij，则指标Uj对于 指 标Ui的 重 要 程 度 为aji， 即aij1aji，aij满 足 的 条 件 为 ：aij 0；aii1,i, j 1,2,n。从而构造出判别矩阵A aijnn。根据判别矩阵A aijnn，计算某级指标Ui中的某一元素Uij对该级指标Ui权重，具体的步骤为：1)将判别矩阵A aijnn中每一行的元素相乘，得Hi aij,i 1,2,j1n,n2)计算Hi的n次方根，得hinHi aij,i 1,2,j1n1n,n3)对向量h h1,h2,hn作归一化处理，得到权重向量ThhW n1,n2,h1h2i1i1hn w1,w2,nhni1T,wnT4)计 算 判 别 矩 阵A aijnn的 最 大 特 征 值m a x， 用 平 均 法 计 算m ax1nawia x,其中awi是权重w右乘A得到的列向量aw的第i个分量。mni1wi5)检查是否满足一致性，CI maxnn1,CR CI,其中RI可以查得，如表5-2.若RICR 0.10， 则A具有满意的一致性， 否则应该重新调整判断矩阵中的aij，直到CR 0.10具有满意的一致性为止。表5-2 平均随机一致性指标RIn 1 2 3 4 5 6RI 0 0 0.58 0.89 1.12 1.264.2.4 模糊矩阵的复合运算将权重向量W和隶属度关系R进行模糊矩阵的复合运算，得到模糊综合评价结果，根据隶属度关系矩阵R，得到：r11r,wn21rm1r12r22rm2r13r23rm3r14r24rm4r15r25l ,l ,l ,l ,li1i2i2i2i2rm5LiWiRiw1,w2,4.25多层次模糊综合评价由上式得Li为Ui的一级模糊综合评判向量， 根据隶属度Li可以得到二级评判矩阵，从就餐满意度指数集U到评价集V上的食堂综合评价向量P WLl1,l2,l3,l4,l5，之后取分数组的中段值，得到分数集S，确定各指标分值n，根据调查得到的综合评价分值M，计算得到各食堂的综合得分数N。4.2 模型二的建立回归分析是一种数理统计的方法， 即对随机干扰下的一组数据， 经适当的统计整理，排除其随机干扰， 而求得反映其数据变化的因变量与引起其变化的那些自变量之间的统计依赖关系或相关关系的函数表达式，常称为回归函数或回归方程。在实际应用中，回归函数是未知的、待定的。已知的只是一组测试数据，需要在此条件下拟合出实际变化规律的回归函数的具体形式，再经过适当的统计处理而估计出具体函数。所以实际上是利用数理统计的方法对测试数据的变化规律进行数学模型的拟合。 测试数据的变化规律往往是复杂的，无法用某种函数来精确的表示。但是，在数学上已证明：闭区间上的任意确定性连续函数总可以用如下的多项式在该区间以所要求的任意精度来逼近。 代数多项式回归模型，其中为待估计的回归函数系数；e 为满足基本假定下的随机误差项。测量若干组数据的值，用一个通常的多次多项式来近似它。如何选择这样的多项式呢。按最小二乘法，有如下公式：由计算出系数，得到的最小二乘法所确定的表达式。在此我们对兰州理工大学食堂就餐的分布规律进行拟合，以得出相应的回归方程。为此，对每一种进行试算的曲线类型计算出它的剩余标准偏差：可决系数其中iy 为拟合值为拟合离差。S 取值越小，曲线拟合的越好，相应的曲线即为所要选定的形式。除剩余标偏差S 外，拟合优度 R 也是衡量所配曲线拟合原始数据效果好坏的指标。拟合优度 R 越接近1 时所配曲线拟合效果越好，综合考虑剩余标准偏差 S 和拟合优度 R 来选取较为理想的曲线类型。构造模型：第一个问题中已经给出了各食堂的满意度指标， 我们假定食堂学生的就餐比例与食堂满意度指标成正比，而这种也十分符合实际。学生对食堂越满意，则该食堂学生就餐比例越高。因此，我们可以得到各食堂的学生比例：Y=( 16.8 17.1 16.8 15.3 17.3 16.9 )又由于食堂满意度指标是在6个评价指标（ U1 U2 U3 U4 U5 U6）的基础上建立的，因此它们也是影响各食堂学生就餐比例的因素。对此，我们建立多元线性回归模型，即建立学生就餐比例Y与自变量X1，X2 X3 X4 X5 X6(这里的X即为前面所提到的评价指标U)之间的线性关系。从实际经验中我们可以知道， X1-X6这6个变量中并不一定每一项都对饭堂学生就餐比例Y有显著影响。因此我们希望从中挑选出对因变量Y影响显著的自变量X来建立回归模型。变量的选择的标准，应该是将所有对因变量影响显著的自变量都选入模型，而影响不显著的自变量都不选入模型，从便于应用的角度应使模型中自变量的个数尽可能少。而逐步回归就是一种从众多的自变量中有效的选择重要变量的方法。由此，我们建立逐步回归模型。对应的多元线性回归预测模型如下:Y=b0+b1X1+b2X2+b3X3+b4X4+b5X5+b6X6其中因变量 Y与自变量 XX1X2X3X4X5X6的观测值如下表： Y16.83.93.22.72.62.83.217.14.84.54.54.24.54.516.83.33.92.91.9.2.13.115.343.32.53.44.12.617.33.54.33.54.244.216.94.23.53.544.13.5下面运用Matlab数学软件进行逐步回归并计算线性回归方程：程序查看附件二。程序输入后，得到如下图形窗口；变量Y的影响不显著。 由上面的图形可以看出，X1的回归系数为b1=8.47456常数项: 该图形表示：绿色数字和直线表示在模型中的变量，红色数字和直线则表明应从模型中移除的变量。因此，我们有理由相信，因素X2、X3、X4、X5、X6对应b0=Y-b1X1=-16.5737 其中，Y、X1分别为Y、X1的平均值。 利用逐步线性回归最终得到的模型为 Y=8.4756X1-16.5737 由此可知食堂选址的重要性， 目前我们学校的学生把方便就餐放在第一位，因此位于宿舍区和教室的餐厅较高的就餐人数比例。五、食堂管理建议在模型一中，依据问题 1 的模型求解结果，我们知道我们学校的食堂各有各的特色，同时也存在各自的问题。由于因素多而且复杂我们采用综合评分法，只有每个食堂在满意度指标餐饮品种与质量，饭菜价格，宿舍、教学楼和食堂的位置关系，食堂容量四个方面兼顾都做得很好才能获得综合高分，得到同学的满意评价。北村饮食一条街容量太小，位置也只适合在4 号 6 教学楼上课的学生，对学生的就餐造成不便，然而其在餐饮品质和价格上都还比较令学生满意因而得分较高。 ； 南村食堂的菜价不是令学生很满意，这些都与实际情况相符，说明模型比较符合实际。在模型二中，通过多次使用回归分析研究各个时间段的人员流动级分布在早，中，晚所占比例变化，按照剩余标准偏差和拟合优度选定了各个时间段所师生人数所占比重的时间序列回归方程。 据此来绘制并拟合比例走势图，反应出食堂服务质量高低对在相应时间段学生就餐的影响。得出就餐分布规律的模型，然后预测后续短时间或较长时间内，师生就餐分布规律。进而对缓解食堂供求关系的矛盾。此两个模型在一定程度上反映了食堂就餐规律、食堂服务质量、食堂经营状况间的关系，有助于预测各个时段食堂的就餐分布规律，基本符合题意。但是仍然存在一些不足之处，需要进一步的改进。在模型一中究竟服务质量到底有多高，仍需进一步调整才能得到较为准确的数据。因此，在原基础上需要做进一步的细化和改进。对学校后勤管理部门的意见与建议从我们的调查中可以了解到，食堂总体状况还是让大学生比较满意。每个食堂学生提供免费粥或是茶水。就餐期间工作人员及时进行桌面的清理，为学生提供良好就餐环境。食堂每天都会进行三次打扫，卫生状况令人满意。并且食堂的餐具消毒情况良好。每个食堂也都设有特色窗口，定期都会推出特色菜品。食堂工作人员统一着装，表现出食堂的管理制度化。尽管食堂总体的状况令人满意，但是食堂还是有各自的缺点。首先食堂的服务态度有待加强，尤其是南村第二餐厅和北区某些餐厅。再者，长期以来南三和北区食堂的菜品丰富程度也应有所改进，几乎每天重复相同的种类是很难吸引到顾客的。由于南村食堂的承包化使得饭菜的价格出现极端化，各个食堂饭菜价格不统一，不便于管理。食堂饭菜的质量也存在一定的问题，有时太咸有时又太淡并且有的食堂打饭并不上称，这就完全由打饭人员的主观意识来决定了。而且学校人数众多窗口又很少明显出现供不应求的状态。综合以上论述及我们的切身感受对各个食堂的现状如下：学校餐厅经常出现的现象是：窗口老板左看右看发现没有监督人员之后，毫无顾忌地收取学生现金，有时甚至偷偷摸摸进行，这是一件很有损校纪校风的举动！对于此种现象，学校后勤集团采取了很多严厉措施监督惩罚，但效果不尽人意。对此，我们小组认为：现金消费宜疏不宜堵。学生难免有些特殊情况需要现金消费，一律杜绝现金消费自然会引起学生的不满情绪， 于是消费者和市场就形成了供求关系， 是一件互利双赢的事，当有外力阻碍时，双方都会采取相应措施反抗。南村一、二食堂：早餐品种丰富，包子、饼子和各种粥饮一应俱全。主食的丰富程度很高除了米饭和馒头还有很多其他的主食。但是窗口开设较少，特别是每逢早餐高峰时期都是拥挤不堪，很大程度上影响了学生们的就餐需求。南村三、四食堂：价格比较便宜，但是素菜居多，各个窗口的侧重点也不同。食堂相对采光比较好，感觉宽敞明亮。而且食堂内还安有电视，供学生关注国家大事以及娱乐。晚上开的也比较晚，到 9、10 点钟时还开着以便晚课的学生吃夜宵，想的很是周到，窗口也是应有尽有。但是价格较其他食堂比较贵，应当有所调整，还有单间环境优雅。可以提供多个同学聚餐。 北村饮食一条街： 餐馆就餐环境一般， 工作人员的服务态度还好，最重要的是其饭菜质量较好， 因此吸引了不少的回头客。 不足的是餐饮丰富程度较差 （绝大多数只提供米饭），少数餐厅的是卫生状况也较差，工作人员的制服都很脏而且穿戴不整齐，应当注意穿着。炒菜价格较南村食堂有点贵。具体的改进方案如下：1、要建立健全集体食堂食品卫生安全管理制度，并对个人卫生制度严格要求，着装干净整齐，严格做好餐具消毒工作，改善就餐环境。2、每个食堂的现有特色菜品也应该增加，增加菜品的丰富程度以招揽到更多的顾客。每个食堂的特色菜样也应相互区别，保证就餐质量，就餐人员的合理化分配。 3、学校可以从外面招来一家清饭馆，既品种多又质量好，更重要的是解决回族同学的就餐单调问题。学校也许会担心卫生问题，但是只要略知伊斯兰教义和穆斯林风俗习惯的人都应该很清楚。正宗的清真面馆，出于虔诚的宗教信仰的原因，绝不会用不卫生的饭菜原料，其食物原料的标准远远高于一般的餐饮公司。 4、学校食堂的价格上涨应慎重，价格回调。应该适当变换样式，要大众味。还要加大降价幅度及适当增加饭菜份量，应适当让利与学生。再者学校还应建立一套严格的价格监督管理体系，应公布市场上的大米、蔬菜、肉类的价格，做到公平公正公开。 5、学校应该对食堂职工的选择上加强力度并对职工进行专门的培训，保证良好的服务质量。如微笑对待顾客衣冠整齐，注意言辞等。 6、增强食堂的安全防护措施，为广大师生提供良好的，安全的就餐环境。 7、合理利用食堂资源，节假日可开放宽敞的地方用于宴会的出租。以赚取额外利润。 8、虽然后勤集团部门已经实现了社会化化和商业化，但还是缺少竞争机制，并可以让学生对食堂进行定期或不定期的评比活动，评比结果可及时向老师和学生反映，从而建立奖惩制度，进而不断提高学校食堂的服务水平。 9、完善校园一卡通充值返利制度。我们可以将学生的伙食补助按充值的一定比例赠送给持卡人，这样，用现金购买 100 元的食物，改用刷卡消费的话就能买 120 元的食物，这种有利无害的事肯定能得到师生一致好评，现金消费自然不攻自破，良好的校纪校风自然形成.食堂问题在现代大学中具有重要地位， 它直接影响到了学校的正常运行及其以后的发展。 学校食堂不仅能给师生带来方便和好处， 而且这也关系到学校的整体形象。 因此，我们应对其充分重视，学校应贯彻“为了学生的一切，一切为了学生”的理念，而恰恰食堂就是体现这种理念的首要部门。只有把困扰学生的食堂问题解决了，我们才能更好地建设和谐校园。这对于每一个学生来说也是至关重要的。吃饭是头等大事，解决了吃饭问题，学生才能专心地学习，形成良好的学习氛围，对整个学校建设来说，才能真正地构建好社会主义和谐校园。因此，学校食堂应该进一步提高服务质量，只有这样才能解决食堂和学生之间的种种矛盾，让同学们的生活更加舒适，同时学校管理制度可以正常运行。以上就是我们的研究报告，希望可以帮助后勤部门完善食堂的管理，更好的为学生和学校服务。六、模型分析评价1基于模糊理论，对相同问题进行了讨论，按照人脑的思维方式对事物进行综合分析得出合理评断结论。2通过线性回归方法，大致预测就餐满意度和学生就餐比例的长期变化趋势。并且预测出在不同满意度指标改变的基础上饭堂的长期变化趋势。但该模型只是基于小范围的调查及数据的收集处理，且满意度指标分组较笼统，得出的结论只能大致的表明这些指标的影响因素。若要得出精确结论，我们对其餐饮的这些情况需要进一步处理。七参考文献【1】 张娜.基于模糊综合评价的高校食堂服务满意度分析.中国科技论文在线 :http:/；【2】李传成.高校新区大学生食堂设计及用后评价.建筑学报, 2007【3】韩中庚.数学建模方法及其应用.北京:高等教育出版社,2005：225238【4 】 数学模型（第三版） 作者：姜启源、谢金星、叶俊等数学模型引论（第三版） 作者：唐焕文、贺明峰编附件：一. 计算权重和一致性分析程序function f(A)%以下为权重的计算，A 为判断矩阵！s=0;n=0;x,y=size(A);p=ones(x,1);for i=1:x for j=1:x; p(i)=A(i,j)*p(i); endendfor i=1:x p(i)=(p(i)(1/x);endf=sum(p);B=p/f%以下为该方阵的一致性检验！c=A*B;for i=1:x s=s+c(i)/B(i); n=n+1;endt=(1/n)*sn;CI=(t-n)/(n-1);RI=0 0 .58 .90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45;CR=CI/RI(n);if CR0.1; disp(CI=) disp(CI) disp(RI=) disp(RI(n) disp(CR=) disp(CR) fprintf(所以n CR x=3.9 3.3 3 3.6 2 3.2 4.5 3.8 3.8 2.6 4.5 3.8 3.3 2.8 2.8 1.93.5 2.7 3.5 3.5 3 3.5 2.1 2.6 4.3 3.1 3.1 3.5 4 3.3 4 3.2 3.2 4 43.2; y=18.47 23.34 10.66 14.45 18.13 14.66; stepwise(x,y)
