数学建模_足球比赛_论文.pdf
作业二：足球队的名次排名方法论文作业二：足球队的名次排名方法论文专业班级：10 级统计二班张静 100108020048段砚秋 100108020057魏佳慧 100108020058模型：用层次分析法，把平均积分、净球数和获胜场数与参赛场数的比值作为准则层的影响因素，根据它们的比重关系，构造正互反矩阵(逆称矩阵)，通过求最大特征值及其特征向量，从而求出排名。名次123456789101112模型模型T7T3T1T10T2T9T8T6T12T5T11T4此模型能推广到任意 N 个队的情况。关键词：足球 排名 积分 图论 比分矩阵 层次分析一、 问题描述与分析近几十年以来，足球这一运动项目在我国较为流行，深受许多球迷的喜爱，越来越多的大型的足球比赛在国内组织起来， 其中全国足球联赛就是一个比较正式，比赛要求较为严谨的一个比赛组织，公平、公正、公开的评分原则显现的更为重要。 题目中给出了 1988-1989 年全国足球甲级队联赛的比赛成绩列表，根据列表的数据， 要求设计一个合理的方案对十二支队进行排列名次，并给出用该方案排名次的结果。建立数学模型，对数据进行分析，对十二支分队进行排名，并要求能够推广到 N 个队，计算出对于 N 个队的排名情况，对于所设计出来的数学模型说明所要求数据具备的条件有哪些。设计方案的方法是多种多样的，可以运用模糊数学、图论、层次分析等等，然而由于能力有限或者题目数据的限制，我们仅用其中较为浅显的理论，进行了建立模型。二、 模型假设1、参赛各队都是按照自己的真实水平发挥的，且在短时间内，真实水平是不发生变化的，比赛结果没有人为或其它非正常因素的影响。2、每场比赛的结果对排名的估计的重要程度是一样的，具有相同的可信度。3、每一场比赛都是由比赛规则决定的，没有弃权的现象。三、 模型建立模型：层次分析法在此模型中，我们采取层次分析法。在本题中，我们认为影响参赛队排名主要有一下三个因素：平均分，净球数，参赛队赢的场数与该对比赛的场数之比。1、我们根据层次分析法建立如下的层次关系：1目标层排名准则层平均分净球数赢的场数与比赛的场数之比各因素x1，x21，x3，相对于目标 y（其中y w1x1 w2x2 w3x2）的重要性。用下表数值表示xi/xjaij相等1较强3强5很强7绝对强9若介于上述两者之间，则取 2，4，6，8。3通过三个因素对排名的影响构造矩阵 C，其中 C=(cij)3*3=(xi/ xj)3*3，以上的数据我们可以写出矩阵 C，然后求出最大特征值和其对应的特征向量。将特征向量归一化，就可以得到w1，w2，w3的值，我们就可以求出排名了。四、 模型求解1、我们根据题目可以得出各参赛队的平均分，净球数，参赛队赢的场数与该对比赛的场数之比。参赛队平均分净胜球赢的场数与该对比赛的场数之比T11.7895810/19T21.400021/3T31.800088/15T40.4737-201/19T50.8889-52/9T61.2000-42/5T72.29412513/17T81.294126/17T91.3529-67/17T101.4118-26/17T110.5556-71/9T121.1111-32/92 132 1/311/21、我们可以写出矩阵 C:C 1/221 2、在matlab软件中， 可以求出 C的最大特征值为max= 3.0092， 特征值max0.84680.5396，将其归一化得向量0.1634，0.2565对应的特征向量为0.46600.29703、我们看出平均分占的比重比较大，所以，当我们给参赛队进行排名的时候，我们首先考虑平均分，当平均分差不多的时候，我们再计较赢的场数与该对比赛的场数之比。因此，我们得出各参赛队的排名为：T7T3T1T10T2T9T8T6T12T5T11T4五、 模型检验我们采用计算机模拟的方法来进行模型检验。 具体方法如下：设有 n 个队参加比赛，采用随机函数在0,1区间内产生 n 个数，分别记为Mi，表示这 n 个球队的总体实力水平， 将这n个数俺从大到小的顺序排列即得到这n各队的的排名。根据产生的 n 个数可产生一组比赛数据，对任意的Ti和Tj，先用随机函数产生他们之间的比赛场数bij(取值为 0，1，2，3 中的一个)，还有要注意比赛场数的选取要保证图的连通性，即对任意Ti都必须至少和其他球队有一场比赛。然后，产生比赛数据，不妨设Ti强于Tj，我们通过查阅资料得到一场比赛中的结果的概率经验公式：4PTi获胜 0.30.7 Mi MjPTj获胜 0.30.3 Mi MjP平局1-PTi胜-PTj胜 0.4-0.4 Mi-Mj以上三式概率分别记为P1、P2、P3。根据以上概率算式以可将0,1区间按上述概率大小分别分成三段用来计算机随机模拟比赛结果。最后我们来模拟没遗产比赛的比分，设Ti与Tj的第 q 场比赛3的比分为 a：b，则1)Ti获胜，即随机数 X 落在0，P1内时b rand()%3,a b 1 rand()%(int)(1 2(Mi-Mj)2)Tj获胜，即随机数 X 落在P1，P1 P2内时a rand()%3,b a 1 rand()%23)平局，即随机数 X 落在P1 P2，1内时a b rand()%5模拟完成后， 可以的出任意组的数据，对数据进行一些简要的筛选即可选出一些粗数据对所建立的模型进行检验、分析、评价。记随机产生的名次排序为Qi(i 1,2,.,n)，通过模型产生的名次排序为qi(i 1,2,.,n)。我们采取的检验公式为E 1nn(Qiqi)显然 E 越小表明模型越合理， 为了消除随机因素对模型检验的带来的影响，我们应模拟足够多的数据来进行检验，且 E 区平均水平。当您 n=12 时，由于数据量很大，我们只取了 5 组数据进行简要的检验，检验结果如下表。模型模型E 的平均值4.04六、模型的优缺点分析六、模型的优缺点分析优点：考虑了多个因素对结果的影响；缺点：模型中存在人为的主观因素4
