2022高考数学专题19 概率最值问题(解析版).pdf
专题专题 1919 概率最值问题概率最值问题例 1 某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12 片，每批生产若干盒，每片成本1 元，每盒芯片需检验合格后方可出厂检验方案是从每盒芯片随机取3 片检验，若发现次品，就要把全盒12 片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂(1)若某盒芯片中有 9 片合格，3 片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？(2)若每片芯片售价 10 元，每片芯片检验费用1 元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿 1 片经检验合格的芯片给组装厂.设每片芯片不合格的概率为p (0 p 1)，且相互独立若某箱 12 片芯片中恰有 3 片次品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；若以中的p0作为p的值，由于质检员操作疏忽，有一箱芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这箱芯片最终利润X（单位：元）的期望（1）设“该盒芯片经一次检验即可出厂”的事件为 A【解析】C9321则P =A355C12( )答：该盒芯片可出厂的概率为2155(2)某箱 12 片芯片中恰有 3 片次品的概率f = pC p1 p( )3123()91C3 3 33p + 3p + 3p +(1 p)9121C12= 27122712412当且仅当3p= 1 p，即p =1时取“=”号4故f p的最大值点p0=14( )1由题设知，= pp =04设这箱芯片不合格品个数为n1 则n B12，4故E n = 121= 34( )则E X = 120 12 30 32 =72这箱芯片最终利润X的期望是 72 元( )例 2绿水青山就是金山银山 近年来， 祖国各地依托本地自然资源， 打造旅游产业， 旅游业正蓬勃发展 景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付 20 元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调 1 元，游客选择带走照片的可能性平均增加 0.05，假设平均每天约有5000 人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5 元，假设每个游客是否购买照片相互独立（1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？【解析】解： （1）当收费为 20 元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，设每个游客的利润为Y1元，则Y1是随机变量，其分布列为：Y1P150.350.7E(Y1)150.3 50.71（元)，则 5000 个游客的平均利润为5000 元，当收费为 10 元时，照片被带走的可能性为0.3+ 0.0510 = 0.8，不被带走的概率为 0.2，设每个游客的利润为Y2，则Y2是随机变量，其分布列为：Y2P50.850.2E(Y2) = 50.8 50.2 = 3（元)，则 5000 个游客的平均利润为50003 = 15000（元)，该项目每天的平均利润比调整前多10000 元（2）设降价x元，则0 x C7( ) =，22162128所以当n为 5 或 6 时，有 3 个坑要补播种的概率最大最大概率为5161（2）n = 4时，要补播种的坑的个数X的所有的取值分别为0，1，2，3，4，X B(4, )，2113014114214，P(X，P(X，P(X =0 = )C4( )=2 = )C4( )=1= )C4( )=216282411314414，P(XP(X =3 = )C4( )=4 = )C4( )=24216所以随机变量X的分布列为：XP01161142383144116所以X的数学期望E(X) = 41= 22例 4 为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为 0.8，鱼苗乙、丙的自然成活率均为 0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立（1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X，求X的分布列和数学期望；（2） 试验后发现乙种鱼苗较好， 扶贫工作组决定购买n尾乙种鱼苗进行大面积养殖， 为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响，使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10 元，不成活则亏损2 元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于 37.6 万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？【解析】解： （1）随机变量X的所有可能取值为 0，1，2，3，则P(X = 0) = 0.20.10.1 = 0.002，P(X =1) = 0.80.10.2 + 0.20.90.1+ 0.20.10.9 = 0.044，P(X = 2) = 0.80.90.1+ 0.80.10.9 + 0.20.90.9 = 0.306，P(X = 3) = 0.80.90.9 = 0.648故X的分布列为：XP00.00210.04420.30630.648E(X) = 00.002 +10.044 + 20.306 + 30.648 = 2.6（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.9 + 0.10.5 = 0.95，9.4元一尾乙种鱼苗的平均收益为100.95 20.05 =设购买n尾乙种鱼苗，F(n)为购买n尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则F = (n)9.4n 376000，解得n 40000所以需至少购买 40000 尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6 万元例 5 为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价 阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别月用水量范围(单位：立方米)第一阶梯水量0,10)第二阶梯水量第三阶梯水量10,15)15,+)从本市随机抽取了 10 户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（）现要在这 10 户家庭中任意选取 3 户，求取到第二阶梯水量的户数X 的分布列与数学期望；（）用抽到的 10 户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10 户，若抽到k户月用水量为一阶的可能性最大，求k的值【解析】 （）由茎叶图可知抽取的10 户中用水量为一阶的有3 户，二阶的有5 户，三阶的有2 户第二阶段水量的户数X的可能取值为 0，1，2，3，312C50C5C5C515P(X =0=P X = 1=)，(，33C1012C1012130C5C5C52C551P X =3=P(X =2=)()，33C1012C1012所以X的分布列为XP01231125125121120X的数学期望E(X)=15513+1+2+3=.1212121223 ，10（）设Y为从全市抽取的 10 户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得Y B10,k 3 7 P(X =k=)C10 10 10k10kk(=0,1,2,3,.,10)，k+19kk 3 k 7 10k 7 k+1 3 C10C10 233310 101010k， 解得， 又k N*， 所以当k =3时概率最大由k10kk111k1010 7 k 3 7 k1 3 C10 C1010101010 即从全市依次随机抽取10 户，抽到 3 户月用水量为一阶的可能性最大.例 6 已知 A，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，下.X1和X2的分布列如X1P5%0.810%0.2X2P2%0.28%0.512%0.3Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，B两个项目上各投资100万元，（1） 在A，求D(Y1)和D(Y2)；（2）将x(0 x 100)万元投资 A 项目，100 x万元投资 B 项目，f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差之和.求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值.【解析】 （1）EY1= 5%1000.8+10%1000.2 = 6,DY1= (5%1006)20.8+(10%1006)20.2 = 4EY2= 2%1000.2+8%1000.5+12%1000.3=8,DY2(2%1008)20.2+(8%1008)20.5+(12%1008)20.312D(（2）f (x) =x100 xx2100 x2Y1)+ D(Y2) = () D(Y1)+() D(Y2)100100100100442222x +3(100 =x) (4x 600 x+3100 ),22100100当x = 75时，f (x)取最小值 3.例 7 某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种水果只能在9 月份销售，且该种水果只能当天食用口感最好，隔天食用口感较差。某超市每年9 月份都销售该特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每公斤 8 元，销售价每公斤12 元；当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂，但每公斤只能卖到5 元。根据往年销售经验，每天需求量与当地气温范围有一定关系。如果气温不低于30 度，需求量为 5000 公斤；如果气温位于25,30)，需求量为 3500 公斤；如果气温低于 25 度，需求量为 2000 公斤；为了制定今年 9 月份订购计划，统计了前三年9 月份的气温范围数据，得下面的频数分布表气温范围天数15,20)420,25)1425,30)3630,35)2135,40)15以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率（1）求今年 9 月份这种水果一天需求量X（单位：公斤）的分布列和数学期望；，当 9 月份这种水果一天的进货量为n（单位：（2）设 9 月份一天销售特产水果的利润为Y（单位：元）公斤）为多少时，Y的数学期望达到最大值，最大值为多少？【解析】解析： （1）今年 9 月份这种水果一天的需求量X的可能取值为 2000、3500、5000 公斤，= P(X2000=)= P(X5000=)4+1436=0.2，P(= X3500 =)=0.4，909021+15=0.490于是X的分布列为：XP20000.235000.450000.44+50000.4 = 4800X的数学期望为：EX = 20000.2+35000（2）由题意知，这种水果一天的需求量至多为5000 公斤，至少为 2000 公斤，因此只需要考虑2000n5000，当3500 n 5000时，若气温不低于 30 度，则Y = 4n；Y35004(n 3500)= 3245003n；若气温位于25,30)，则=Y20004(n 2000)= 3140003n；若气温低于 25 度，则=此时EY =22114n +(245003n)+(140003n)=12600n 119005555当2000 n 3500时，若气温不低于 25 度，则Y = 4n；Y20004(n 2000)= 3140003n；若气温低于 25 度，则=4113此时EY =4n +(140003n)= 2800+n 11900；555所以n = 3500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为11900例 8 长沙某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5 元，售价为每桶 7 元，未售出的冰激凌以每桶3 元的价格当天全部处理完毕.根据往年销售经验， 每天的需求量与当天最高气温 （单位：有关， 如果最高气温不低于25 C， 需求量为 600 桶； 如果最高气温 （单位：位于区间20,25)，C）C）需求量为 400 桶；如果最高气温低于20C，需求量为 200 桶.为了确定今年九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：10,15)最高气温（C）15,20)20,25)25,30)30,35)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求九月份这种冰激凌一天的需求量X（单位：桶）的分布列；，当九月份这种冰激凌一天的进货量n（单位：（2）设九月份一天销售这种冰激凌的利润为Y（单位：元）桶）为多少时，Y的均值取得最大值？【解析】 （1）由已知得，X的可能取值为 200，400，600，记六月份最高气温低于20 为事件A1，最高气温位于区间20，25)为事件A2，最高气温不低于 25 为事件A3，根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，X200) =P(A =可知P(=1)181362362=,P(= X400) =P(A=)=,P(= X600) =P(A=)=，23905905905故六月份这种冰激凌一天的需求量X（单位：桶）的分布列为：XP200400600152525（2）结合题意得当n200时，E(Y) = 2n400，当200 n400时，E(Y) =当400600时，E(Y) =1222002 + (n 200)(2)+4002 + (n 400)(2)+6002 + (n 600)(2)555= 1760 2n 0)3该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示：市场情形好中差概率0.40.40.2价格p与产量q的函数关系式=p164 3q=p1013q= p704q设L1，L2，L3分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量k，表示当产量为q，而市场前景无法确定的利润（I）分别求利润L1，L2，L3与产量q的函数关系式；（II）当产量q确定时，求期望Ek；（III）试问产量q取何值时，Ek取得最大值【解析】解:由题意可得q2L1=(1643q)q (3q2+ 20q +10)3q3= +144q 10 (q0).3q3同理可得L2= +81q 10 (q0)3q3L3= +50q 10(q0)3() 解:由期望定义可知4 分E= 0.4L1+ 0.4L2+ 0.2L3q3q3q3= 0.4(+144q 10)+ 0.4(+81q 10)+ 0.2(+50q 10)333q3= +100q 10.3() 解:由()可知E是产量 q 的函数,设q3f (q) = E= +100q 10(q0)32得f(q) = q+100.令f(q) =0 解得q =10,q = 10(舍去).当 0q10 时,f (q)0;当 q10 时,f (q)0可知,当 q=10 时, f(q)取得最大值,即E最大时的产量 q 为 10.F(n)为这个数的位数 （如n =12例 10 将连续正整数1,2,n(n N*)从小到大排列构成一个数123n，时，此数为123456789101112，共有 15 个数字，f (12) =15） ，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到 0 的概率.（1）求p(100)；（2）当n2014时，求F(n)的表达式；= (n)（3）令g(n)为这个数中数字 0 的个数，f (n)为这个数中数字 9 的个数，hf (n) g(n)，S =n| h(n) =1,n 100,n N*，求当nS时p(n)的最大值.【解析】 （1）解：当n =100时，这个数中总共有 192 个数字，其中数字0 的个数为 11，所以恰好取到 0 的概率为p(100)=11;192n,1 n 92n 9,10 n 99（2）F(n) =3n 108,100 n 9994n 1107,1000 n 2014（3）当n= b(1 b 9,bN ),g(n)= 0;当n= 10k +b,(1 k 9,0 b 9,kN ,bN),g(n)= k,*0,n= b,1 b 9,bN*,*n1000,=g(n)11;g(n)=即当k,n= 10k +b,1 k 9,0 b 9,kN ,bN,同理有11,n =1000,1 n 8*k,n= 10k +b 1,1 k 8,0 b 9,kN ,bN,f (n) =nn80,899820,n = 99,100由h(n) = f (n) g(n) =1,可知n = 9,19,29,39, 49,59,69,79,89,90,所以当n100时，S =9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,当n n = = 9 9时，P(9) = 0,=当n =90时，P(90)g(90)91=，F(90)17119*=(n)当n= 10k +9(1 k 8,kN )时，P由y =g(n)kk=,F(n)2n920k +98k,关于 k 单调递增，故当n= 10k +9(1 k 8,kN*)，P(n)最大值为P(89) =.20k +9169又181，所以当nS时，P(n)最大值为.1916919
