函数单调性与极值习题课.doc.pdf

【学习目标】1 1、 明确利用导函数研究原函数性质（如单调性、极值、最值）的方法；2 2、 总结恒成立问题的求解思路：（1 1）转化为最值问题（2 2）分离参数。学法指导】运用导数研究函数的性质，题型丰富多样，在处理问题中应抓住以下几点：（1 1）抓住基本思路： 即导函数的正负决定原函数的增减；要求函数在某段闭区间上的最值，先求极值和端点函数值再 比较。（2 2）对于复杂问题，要善于转化，将所给问题转化为研究某个函数的某个性质，再借助导 函数模拟原函数的图像，数形结合分析、处理问题（3 3）以三次函数为载体，熟悉借助导数研究 函数性质的方法。考点一、导函数与单调性A1.A1.已知函数 y = VVy = VV）的图象如图其中广是函数 f f（x x）的导函数 1 1，下面四个图象中y y 顼（x x）的图象大致是（)函数 f(x)=lnx-ax(a0)f(x)=lnx-ax(a0)的单调递增区间为()A. ( , +8 B. (0, ) C. (0, +3a aa a)D. (0, a)A4.y = x2 -e（x 0）的单调递增区102x间为B5.如果函数y = -x+nx-ax在定义域上为增函数，则 a a 的取值范围是 求A6.函数y =上亍一 mm 工的单调区间。22g2C7.C7.已知函数f(x) = -x-(x-3ax一一)( c R),若函数 f(x)f(x)在(1, 2)(1, 2)内是增函数，求3a a 的取值范围。小结:(1)(1)求函数/ /( (X X) )的单调区间即解不等式,对于定义域不是 R R 的函 数在求单调区间时要先注意；(2)(2)己知可导函数了 0)0)在区间(,/?)单调递增，则Pxgb),都有 r r( (i)Ooi)Oo考点二、函数的极值和最值7 7A1.A1.设函数/(x) = - + ln%,/(x) = - + ln%,则(xA. x=LA. x=L 为 f(x)f(x)的极大值点2)B. x=LB. x=L 为 f(x)f(x)的极小值点2C. x=2C. x=2 为 f(x)f(x)的极大值点大值。D. x=2D. x=2 为 f(x)f(x)的极小值点A2.A2.已知函数 f(x)=2xf(x)=2x3 3-6x-6x2 2+a+a 在.2,.2, 2 2上有最小值.37,.37,求 a a 的值，并求 f(x)f(x)在.2,.2, 2 2上的最B3.B3.设函数 f(x)=xf(x)=x3 3-6x+5, xG Ro-6x+5, xG Ro(1)(1)求函数 f(x)f(x)的单调区间和极值；(2)(2)若关于 x x 的方程 f(x)=af(x)=a 有三个不同的实根，求实数 a a 的取值范围。小结：( (1)1)求可导函数在某段闭区间上的最值问题，要先求出区间端点函数值和极值，再进行比较确定最值。(2)(2)恒成立问题本质是最值问题；根的个数讨论问题可以结合单调性、极值等知识 ,运用数形结合的方法求解。考点三、证明不等式7T7TALAL 已知 OVxVOVxV , ,求证明 tanxXotanxXo2B2.B2.设f(x) = In x -I- /x -1,证明：当xl时，/(x) (x-1) 2a小结：证明不等式问题可以构造差函数，转化为研究差函数的最值与 0 0 的大小比较的问题。考点四、三次函数相关A1A1、函数 f(x)=2xf(x)=2x3 3-9x-9x2 2+12x+l+12x+l 的单调减区间为()A. (1, 2) B. (2, +8A. (1, 2) B. (2, +8) ) C. (-00, 1) D.( C. (-00, 1) D.(8, 1)8, 1)和(2(2， +oo) +oo)A2N函数 y=2xy=2x3 3-6x-6x2 2-18x+7 (-18x+7 () )A.A. 在 x=.lx=.l 处取得极大值 17,17,在 x=3x=3 处取得极小值 4747B.B.在 x=x=l l 处取得极小值 17,17,在33 处取得极大值.47.47C.C. 在 x=.lx=.l 处取得极小值-17,-17,在 x=3x=3 处取得极大值-47-47D.D. 以上都不对A3A3、三次函数当 x=lx=l 时有极大值 4, 4,当 x=3x=3 时有极小值 0, 0,且函数过原点，则此函数是(A. y=xA. y=x3 3+6x+6x2 2+9x B. y=x+9x B. y=x3 3-6x-6x2 2+9x C. y=x+9x C. y=x3 3-6x-6x2 2-9x D. y=x-9x D. y=x3 3+6x+6x2 2-9x-9xA4A4、函数 f(x)=xf(x)=x3 3-3bx+3b-3bx+3b 在( (0, 1)0, 1)内有极小值，则()A. 0bl B. b0A. 0bl B. b0I). b-I). b0)+cx+d (a0)为增函数，贝!J (A. bA. b2 2-4ac0 B. b0, c0 C. b=0, c0 D. b-4ac0 B. b0, c0 C. b=0, c0 D. b2 2-3ac0-3ac0B6B6、方程：X3-6X2+9X-10=0实数根的个数为(A. 3 B. 2 C. 1 D. 0A. 3 B. 2 C. 1 D. 0)A7.A7.设函数 f(x)=xf(x)=x3 3+3ax+3ax2 2+3(a+2)x+3+3(a+2)x+3 既有极大值又有极小值，则 a a 的取值范围 是。小结：三次函数是一类很典型的函数模型，借助导数工具研究三次函数的单调性、极值、零点等问题，大家要象熟悉二次函数一样熟悉三次函数。通过对三次函数的导函数二次函数的符号研究，对三次函数所有可能的图像应做到心中有数。【综合训练】1. 1.己在函数/Xx) = x/Xx) = x-X + bx + coA (1)A (1)若 f(x)f(x)的图象上有与 x x 轴平行的切线，求 b b 的取值范围；B (2)B (2)若 f(x)f(x)在 x=lx=l 处取得极值，且 x 6 -1, 2x 6 -1, 2时,f(x)cf(x)0)ox+2alnx(x0)o(1)(1)令 F(x)=x/F(x)=x/ /(x),(x),讨论 F(x)F(x)在( (0, +oo)0, +oo)内的单调性并求极值;(2)(2)求证当 xlxl 时，恒有 xlnxln2 2x-2alnx+lox-2alnx+lo函数单调性与极值习题课答案一、导函数与单调性5. a,，（工）=工+土一3解析（1）利用导数求单调口，由f（H） 血2。在（0 4-00）上恒成立可知在（。，+8上恒成立，在（。，+8）上x+|2,故a6.正解：函数的定义域为（O.+oc）,=X合的方法求解即可.解解：（D/（T）= 3.r-6,1、解题提示：利用y=jrfx）的图象判断，（了）的符号.从而判断=/（）的大致图象.解析：由 ffl3-3-1知，当一2VrV 1时,x/（x）0，_2工 一时，函数y=/（工）单调递增,当一1上时，。/axo,. -i/v 0时，函数;y=r（z）单调递减；当0W1时/（z）VO3 OJ：o5 r（工）o,x 1时，夕= /（力单训谣增.答案:C2.解析：利用导函数与原函数的图象关系求解.,: /Xz）在z= 2处取得极小值，. .寸=一=也12也二12x 令Jo,则有（5g T）0,Lo,Qn令，（a ） = 0,解得X,=一晅因为当r再或/?时,/（工）o,OX1,一国时”S）有极大值5+/ 函数的单调减区间为（0,1）.7.解：因为函数/（）在（1,2）内是增函数，所以,（了）=2折一Mr 32。对于一切.r （1,2）恒成立，所以， 当x2时,/（力）单调递增，即/0. 当zV 2时以=xf（x） 0；当工=2时=x/ （x）3=O；蓝,妊Cl*2）t令&（7）=专土,；（1,2）,/（工）=$ 十当一2VzV0时，jy = z/（H）VO;当工=0时，:y = W（i）=O；,图3当寸JLr）有极/J值54也图象的 大致形状如图3 - 13当547?VQV5+4国时,直线z=l时，&）= _,所以 二、函数的极值和亶值 1解析：利用导数法求解.9fM) = -In x(x0)9f &) = 2=。与T=/（X）的图象的图象有三当x0时以=，&）0.结合选项中图象知选C.答案:C3. B解析JO）的定义域为0,+8）,由/（x = a01 1不同交点， 即方程/（x）=a有三、证明不等式x得0 VrV.当工（0,2）时，r&XO/G）为减函数；r（2 4. 0,2）解析：定义域为0, +8）,；/ = 2丞一2,=解a；e f (x) = 6x212J：=6X(X）时，2),由f)=0,得HI=.当工（2,+8r（z工）O（i）为增函数jr）.令y。，得xe-jr 0, V壬2。，厂， 0,. 2 0,12=2.当x变化时，/1X/（X）/（X）JC0, Jf2,又HA0,.0rtan2、由上表可知，当Z= 2时，&）min = 40 += 。=3.当X = 0时,八了）取得最大值,/（J：）max = 3.、明/&）在o,）上单调递增.0 8+。解题提解题提示：设/&） =（0o）.这只需证2. 工=2为/&）的极小值点.答案:Dx 2R 21 i 3以?（】） = -1-尸减，从工2jx 20,所以g。）在（1, 4-00）单调递3 3而 g3)vg(l) = 0,g3)vg(l) = 0,即当 x xl l 时，/U)-(x-l)o/U)-(x-l)o6.C C解题提解题提示：本题是一元三次方程，不易猜出根的个数 , 可以证明：令/（） =tanxJT,显然尸（工）在。,号）上是连续构造函数，再通过导数判断函数的单调性，画出草图，利用数形的，旦/（0）=0.结合的方法求解. .，&） =（tan z工）= -l=tan2x,1coszx解析：令 /危）=企3 6/ + 9工一10,则f（jr） = 3 a2当女（0号）时/&）o.即在区间0,号）上凡r）是增函数，.故当0j?/（0） = 0,即tanJCx0. 当0V1V*时ttanxx.四、三次函数相关1.A解析；，（工）=6xz18x + 12,令Cx218H+1?V0,解 得1W2.2. A解析，：/ = 6工2 12工一18,令）=0,解得了1 =一1,工2 =3.当工变化时，/（工）的变化状态见下表，12x+9 = 3（x 1）（工3）.令/() = ()得z当vo；O当（-1.一寻）U（l.2）当1 =一号时,及）有极大值乂 ，（ 一1）=夺+c当N3或x0,14/*危）是增函数；当1VZV3时，/（工）0,则/Xz）是减函数， 所以当x=l时，取得极大值,（1） =一6V0,所以，函数六了）的极大值在z轴的下方， 如图4-1-4,函教f（z）的图象与 h 轴只有一个文点，也就是说方程/（x） = 0只有一个 实数根.7. a|a2解析：，（了） =3#+6a工+ 3（Q+2）,若，/（ 当电一L2时/Cr）的最的最大2当一1.2时JGr）Vd恒2+C.解得Y-1或C的取值范围是（_8,_DU0,解 得V-l.+2）0 ,2,解：由已知得.厂（/） =2a2或a-3.因为/Cr）在（0,1上是增五、综合30(3,+oo)所以/（工）20,即2土在X/(x)(-00,-1)一1(-1,3)0所以当工=一+1时，/（&）取得极大值，了（一1） = 17,当+。晶的切线设g（i） = 测g（r）在r+g。的一个相H=3时取得极小值，了（3）=47j殳另一个根为 K .3. B解析，三次函数过原点，可设六公二孝+力充+出，则f广=3 + 2b+c=0,广（工）=3那+2& + c.由题设有,（3）=27 + 66 3 = 0,解 得8= 6,c=9. :. /（x） 6j?H-9.rty7j：） =3j：2 12工+ 9=301）3-3）.当x=l时，函数了（了取得极大值4 ,当N=3血+1=23mXlb陈即方程_下F=o有实数解令#（1）=0,解得r=2.X X0,2)f(工)FGr)20F(2),=1一12偿0,解得如由题意知.矛=1是方程3时，函数取得极小值。，潢足条件.4. A解析：由于函数，（了）=工33如：+36在（0,1）内有极小2解得厂 孑篇=由表可知FGr在（0,2）上是演函数，在（法则有厂(.”=1-.疑工.了().是 增函数，所以在x=2处取得极小值F（2）=2-21n 2+2a.故F(jr)=x/(x)=.r-2In x + 2t2X J?证明：(2)由GN值，因此函数/（工）的极值点No在（0,1）内.: /（工）=3/x+3b,F（x） = 3x 3b,令f（z） = 0,得x =b.2z。知FCr). g）在（0,1）内有极小值，. 必有0V6V1.5. D解析：:广（了）=3 .72+2方H+ C0=ZS=412QCV=胪x=l.一2,Z+2a0.一3&0.所以当xo时，恒有/（了单调递增.所以当工1时,六工）/（1）=0,即工一1一肝工+2a InJT0.故当xl时,怛有xhx2aln x+1.