基于三个DFT采样值的新型频率估计方法.pdf

年 月 日现代信息科技Jul.2019第 卷 第 期Modern Information TechnologyVol.3 No.13基于三个 采样值的新型频率估计方法陈皓1，雷艺2（1. 中国电子科技集团公司第三十八研究所 孔径阵列与空间探测安徽省重点实验室，安徽 合肥 230088；2. 合肥工业大学 计算机与信息学院，安徽 合肥 230601）摘要：FMCW 雷达通过发送和接收信号的差频信号进行测距，因此，差频信号的频率估计精度将直接影响到测距精度。本文通过进行详细的数学推导，提出了一种基于三个 DFT 采样值的新型频率估计方法，用于提高调频连续波（FMCW）雷达的测距精度。仿真证明，新方法无论在无噪声条件下还是在高斯噪声影响下，相比传统频率估计方法均有性能提升。同时由于新方法只需要三个 DFT 采样值，而且无须进行数据加窗处理，在计算复杂度上相比传统方法也有明显改善。关键词：频率估计；离散傅里叶变换（DFT）；测距精度中图分类号：TN958.1文献标识码：A文章编号：2096-4706（2019）13-0059-04CHEN Hao1，LEI Yi2（1.Aperture Array and Space Exploration Key Laboratory of Anhui Province，The 38th Research Institute of China ElectronicsTechnology Group Corporation，Hefei 230088，China；2.School of Computer Science and Information Engineering，Hefei Universityof Technology，Hefei 230601，China）difference between the transmitted signal and the received echo signal. ThereforeAbstract：To determining distance ，frequency-modulated continuous-wave（FMCW） radars need to estimate the frequency，the accuracy of the estimated frequency will have adirect impact on the range accuracy. In this paper ，a new frequency estimation method based on three DFT sampled values is proposed toimprove the ranging accuracy of FMCW radar through detailed mathematical derivation. The simulation results show that，compared toconventional methods，the performance of the proposed estimator has been improved in both noiseless scenario and Gaussian white noisescenario. Because it only needs three DFT samples and doesnt need windowing technique ，comparing with traditional methods ，thecomputational complexity is also improved significantly.Keywords：frequency estimation；discrete fourier transform（DFT）；range accuracy0引言为了解决 DFT 带来的栅栏效应，许多频率估计算法被FMCW雷达不同于脉冲雷达， 发射和接收均为连续波。提出。在文献 1 中，作者提出了一种两阶段频率估计方法，FMCW 雷达收发同时，理论上不存在脉冲雷达遇到的测距第一阶段寻找到 DFT 结果的最大值，对频率进行粗估计 ，盲区，而且在体积和功耗上优势明显，目前在军事雷达以及第二阶段通过对 DFT 结果最大谱线和附近谱线的信息进行民用雷达上都得到了广泛使用 。FMCW 雷达发射频率随时处理，计算出更为精确的频率峰值。为了使第二阶段的精细间变化的连续波，电磁波经物体反射，反射信号与发送信号估计更为简单有效 ，文献 2-5 提出了多种方法 ，这些方有一定的频差。由于信号的频率变化已知，因此可以通过发法只使用 DFT 最大谱线和相邻两个谱线的信息 ，计算量小送和接收信号的差频频率计算待测物体的距离。且估计结果较为精确。然而这些方法只对复指数信号有效，差频信号频率的测量精度直接决定了测距的精度，因此因为它们没有考虑到实数信号的负频谱泄漏问题。解决负频如何对含有噪声的信号进行精确的频率估计成为学术界和工谱泄漏问题的最直接有效的方法是使用窗函数来抑制负频谱业界研究的重点。频率估计算法中，最简单有效的一种途径对正频谱的干扰6，7。在文献 8 中，对于不同类型的窗函数，是离散傅里叶变换（DFT），对时域采样信号直接进行离散作者提出了一种通用的频率估计方法。加窗方法虽然能抑制傅里叶变换即可得到信号的频谱信息 。但是 DFT 会引入两负频谱干扰，但是以增大频谱主瓣宽度和牺牲信噪比为代价种误差：一是 DFT 的栅栏效应，DFT 的结果是信号频域的的，这会导致雷达测距的分辨率降低，测量精度也因信噪比采样值，采样点很难恰好落在待测频率处；二是负频谱泄漏，的降低而有所下降。本文提出了一种新型频率估计方法 ，综合考虑 DFT 的实数信号的频谱既包含正频谱也包含负频谱，正负频谱叠加栅栏效应和负频谱泄漏问题 ，只使用 DFT 结果的三个谱线后的总频谱最大值与信号的真实频率会出现偏差。值，且不需要窗函数 。相比现有方法 ，新方法的频率估计精度有明显提高，同时由于避免了加窗处理，计算复杂度也收稿日期：2019-05-23更低。59现代信息科技7月13期排版文件 .indd 592019/7/22 14:44:25第 13 期现代信息科技1频率估计原理Rkp=离散时间正弦信号在高斯白噪声下的表达式如式 （1）所示：（4）rn=Acos （2f0+0） +wn（1）式中信号频率为 f0，采样频率为 fs，信号幅度为 A，初始相位为 0。根据奈奎斯特采样定理，fs不能低于 f0的 2 倍。Rkp-1=式（1）通过数学变换可表示成两个复数信号相加的形式 ：（5）rn=（+）+-（+）+Wn（2）对上式进行 N 点 DFT 可得到信号的离散频域表达式：Rk=Rkp+1=（6）（3）本文这里定义：式（3）中的 Wk 是高斯噪声离散信号的频域表达 。从式中可以看出，实数信号的频谱既有正频谱也有负频谱。负M=（7）频谱的频率泄漏会导致频率估计的误差。Rk 由离散的频谱线组成，谱线的间隔为 fs/N，由于离散信号的栅栏效应，谱线的最大值很难恰好与待测频率 f0重合。待测频率 f0可以表示为 f0=fs（kp+）/N，其中 kp为整本文的关键点即为提出了 M 参数，利用 M 参数这个中数部分，（-0.5 0.5）为分数部分。本文所提出方间变量能够得到 的解析解。法利用三个频谱线的值估计 f0的精确值。论文的谱线最大值论文在推导 的解析解时，仅考虑没有噪声的情形。把以及其左右相邻谱线可以用式（4）（5）（6）来表示：式（4）（5）（6）带入到式（7）中，可以得到：（8）接着，可以得到：由于是很小的数 ，可近似tan（），因此：tan（）=tan-+（9）=tan-+（10）60现代信息科技7月13期排版文件 .indd 602019/7/22 14:44:26陈皓，等：基于三个 DFT 采样值的新型频率估计方法第 13 期由式（10）可以看出 ，通过 M 的值即可计算出 ，但进行 10000 组仿真，而且 10000 组信号的相位在均在0，是无法从式（7）直接计算出 M 的值，因为要计算精确的 M2pi）之间随机变化，采样点数 N=64。无噪声情况下不同方值必须要已知 ，因此 没有解析解。为了得到解析解，论法进行频率估计的结果如图 1 所示，从图中可以看出，相比文做了如下近似：另外几种算法，本文所提出的方法的误差最小。为了证明此（+ ）（+ + ）结论在不同采样点数情况下依然成立 ，本文在 N=128 时也进行了仿真比较，结果如图 2 所示，本文提出算法的误差也（）（+ ）是最小的。101（- ）（+ - ）100（）（+ ）10-1这样即可得到 M 的近似值：）zH10-2（差偏10-310-4Mreal（11）10-510-64041 42 43 4445464748被测频率（kHz）具体算法流程如表1 所示。本文提出的方法只需要CandanHammingHannDFT 结果的三个采样点即可估计出待测频率值 ，而且不需Blackman新方法要进行加窗处理，下节将通过仿真证明本方法的优越性。表 1频率估计算法步骤图 1无噪声情况下不同方法频率估计的误差比较（N=64）1做 N 点 DFT，并从前 N/2 个点中找出最大谱线和其101左右两谱线：Rkp，Rkp-1 和 Rkp+110010-1）10-2z2计算 M=realH（10-3差偏10-410-5-63得到 =tan-10+10-740 41 42 43 44 454647484得到估计的频率值=（kp+）fs/N被测频率（kHz）CandanHammingHann2仿真比较Blackman新方法论文把提出的新方法和 Candon 算法5以及部分常用的图 2无噪声情况下不同方法频率估计的加窗方法8进行了仿真比较。其中 Candon 算法是一种针对误差比较（N=128）复数信号进行频率估计的常用方法，加窗方法中用到的窗函当待测频率较小时，采用窗函数的频率估计方法效果较数包括 Hamming 窗、Hann 窗和 Blackman 窗。仿真中的差，这是因为加窗处理会导致频谱的主瓣宽度变大，待测频所有方法均基于DFT的三个采样值。 在进行比较的方法中，率较小时正负频率的主瓣会互相干扰。论文比较了待测频率Candon 算法和本文中所提出的算法复杂度较低 ，因为这两在 3.5kHz 6kHz 范围变化时各算法的效果 。信号的采样种算法不需要进行加窗处理。速率设定为 200kHz，采样点数 N=64，3.5kHz 6kHz 的仿真实验中，信号的采样速率设定为 200kHz，由于奈待测频率在设定的采样速率和采样点数下，正负频谱的主瓣奎斯特采样定理的限制 ，被测频率不能超过 100kHz。仿真会产生干扰。图 3 为仿真结果，从图中可以看出，在待测频中待测频率变化范围为 40kHz 48kHz，对每个频率值都率小于 4.5kHz 时，加窗算法性能显著恶化，本文所提出的61现代信息科技7月13期排版文件 .indd 612019/7/22 14:44:28第 13 期现代信息科技算法优势明显。102103）z102HE（）SzMHR（101差偏10010140 41 42 43 44 45 46 47 48待测频率（kHz）-1CandanHammingHann103.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0Blackman新方法被测频率（kHz）图 5 RMSE 随待测频率变换情况（SNR=20dB）CandanHammingHann3结论Blackman新方法图 3无噪声情况下不同方法频率估计的为了提高 FMCW 雷达测距精度，本文提出了一种新型误差比较（待测频率范围 3.5kHz-6kHz）频率估计方法。新方法只需要 DFT 三个采样值即可精确对前面的仿真均为无噪声的理想情形，论文进而继续研究待测频率值进行估计，而且不需要进行加窗处理。相比现有了有噪声情况下各算法的误差情况。仿真实验中，待测频率的频率估计方法，本文提出的方法无噪声且有更小的估计误设定为 42kHz，信噪比 SNR 的变化范围为 -10dB 80dB，差。在高斯噪声影响下，新方法在不同信噪比情况下较传统信号的采样速率设定为 200kHz，采样点数 N=64。仿真结方法均能表现出更加精确的频率估计性能。参考文献：果如图 4 所示。1 Trees H. L. V. Detection，Estimation，and Modulation Theory105（Part I） M.New York：Wiley，1971.2 Quinn B. G. Estimating frequency by interpolation using fourier104coefficients J.IEEE Transactions on Signal Processing， 1994， 42 （5） ：1264-1268.3）10z3 Macleod M. D. Fast nearly ML estimation of the parametersH（of real or complex single tones or resolved multiple tones J.IEEEE102STransactions on Signal Processing，1998，46（1）：141-148.MR1014 Jacobsen E， Kootsookos P . Fast， accurate frequency estimators J.IEEE Signal Processing Magazine ，2007，24（3）：124 -126.1005 Candan C. A Method For Fine Resolution Frequency EstimationFrom Three DFT Samples J.IEEE Signal Process Letters， 2011， 18 （6） ：10-1351354.-10 0 102030 40 50 6070806 Belega D ，Petri D ，Dallet D. Frequency estimation of a信噪比 (dB)sinusoidal signal via a three-point interpolated dft method with highCandanHammingHannimage component interference rejection capability J.Digital SignalBlackman新方法Processing，2014，24：162-169.图 4 RMSE 随信噪比变化（待测频率 42kHz）7 Belega D，Petri D. Sine-waveparameterestimationby从图中可以看出，在信噪比足够高时，本文所提出的算interpolated dft method based on new cosine windows with high interference法的优势明显。这是因为高信噪比时，均方根误差（RMSE）rejection capability J.Digital Signal Processing，2014，33：60 -70.主要是由算法误差带来的 。但是在中等信噪比时 ，各算法8 Candan C. A method for fine resolution frequency estimation的差别并不明显 ，这是由于此时的RMSE 是由信噪比决from three dft samples J.IEEE Signal Processing Letters，2011，18（6）：351-354.定的。论文进而研究了中等信噪比下不同方法的频率估计9 Porat B. A Course in Digital Signal Processing M.New效果。实验中 SNR 设定为 20dB，待测频率变化范围为York：John Wiley & Sons，1996.40kHz-48kHz，信号的采样速率设定为 200kHz，采样点数作者简介：陈皓（1989.01- ），男，汉族，安徽颍上人，工N=64。仿真结果如图 5 所示，从图中可以看出本文提出方程师，博士，研究方向：雷达系统设计；雷艺（1990.12-），法和 Candon 算法相比加窗算法效果更好，因为窗函数会导女，汉族，重庆忠县人，讲师，博士，研究方向：光纤无线融合、致信噪比的损失。MIMO、信道编码。62现代信息科技7月13期排版文件 .indd 622019/7/22 14:44:28