广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学(理科)试卷及答案解析.pdf

柳州市柳州市 20192019 届高三毕业班届高三毕业班 1 1 月模拟考试月模拟考试高三数学（理科）高三数学（理科）注意：注意：1.1.请把答案填写在答题卡上，否则答题无效。请把答案填写在答题卡上，否则答题无效。2.2.答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题。答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题。3.3.选择题，请用选择题，请用 2B2B 铅笔，把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑。非选择题，请用铅笔，把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑。非选择题，请用 0.5mm0.5mm黑色字迹签字笔在答题卡指定位置作答。黑色字迹签字笔在答题卡指定位置作答。第卷（选择题）第卷（选择题）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填在答题卡上）在答题卡上）1.已知集合A. B. C. D.，则（）【答案】A【解析】【分析】求出直线【详解】由题意故答案为 A.【点睛】本题考查了集合的交集，两直线的交点，属于基础题。2.已知复数与为共轭复数，其中，为虚数单位，则（）与的交点，即可得到答案。，解得，故.A. 1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由共轭复数的概念可以得到【详解】由题意得，故答案为 D.，解方程即可得到，进而可以求出，解得，则，.【点睛】本题考查了共轭复数的知识，考查了复数的模，属于基础题。3.关于函数A. 关于直线，下列叙述正确的是（）对称 B. 关于点对称C. 最小正周期【答案】C【解析】【分析】由辅助角公式可得 D. 图象可由的图像向左平移 个单位得到， 然后将代入可排除 A、 B， 由可判断 C 正确， 将的图像进行平移变换即可判断D 错误。【详解】由题意，A、B 都不正确，D 不正确。答案为 C.【点睛】本题考查了三角函数的化简，考查了三角函数的对称轴、对称中心、周期，以及三角函数的平移变换，属于基础题。4.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高 （cm）体重 （kg）给出两个回归方程： （1）通过计算，得到它们的相关指数分别为A. B.（2），则拟合效果最好的回归方程是（），选项 C 正确，当时，不等于最值，也不等于0，故,故选项的图像向左平移 个单位得到C. 两个一样好 D. 无法判断【答案】A【解析】【分析】两个变量的回归模型中，它们的相关指数越接近 1，这个模型的模拟效果越好，比较、，即可得到答案。【详解】因为两个变量更好。【点睛】本题考查了相关指数的知识，根据所给的相关指数判断模型的模拟效果，属于基础题。5.设方程的根为表示不超过的最大整数，则=（）的回归模型中，它们的相关指数越接近 1，这个模型的模拟效果越好，所以A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数案。【详解】构造函数由于函数故由则函数故选 B.【点睛】本题考查了函数零点问题，考查了函数的单调性，考查了对数函数的性质，属于基础题。6.在区间内任取两个实数 与 ，则满足的概率等于（）与，在定义域上都是单调递增函数，则它的零点为，结合的单调性即可判断的取值范围，从而得到答在定义域上单调递增，的零点在（2，3）之间，故，A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】点在边长为 1 的正方形内部（含边缘） ，满足的点在图中阴影部分，运用定积分方法即可求出阴影部分面积，然后利用几何概型的概率公式即可得到答案。【详解】由题意，点在边长为 1 的正方形内部（含边缘） ，正方形面积为1，满足，则.的点在图中阴影部分，阴影部分面积为【点睛】本题考查了利用定积分求几何图形面积，考查了利用几何概型求概率，属于基础题。7.已知数列则A.的首项为 ，第 2 项为 ，前 项和为，当整数时，恒成立，等于（） B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由【详解】由题意，故数列故答案为 D.【点睛】本题考查了由递推关系证明等差数列，考查了等差数列的通项公式、求和公式，考查了计算能力，属于中档题。8.如图，网格纸上正方形小格边长为 ，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（ ），可以得到时，从而可以证明，则，是等差数列，即可求出，即.，又.是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列，A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥，作出图形即可求出表面积。【详解】该几何体为四棱锥，如图.选 C.【点睛】本题考查了三视图，考查了四棱锥的表面积，考查了学生的空间想象能力与计算能力，属于基础题。9.某公司每月都要把货物从甲地运往乙地，货运车有大型货车和小型货车两种。已知 台大型货车与 台小型货车的运费之和少于万元，而 台大型货车与 台小型货车的运费之和多于万元.则 台大型货车的运费与 台小型货车的运费比较（）A.台大型货车运费贵 B.台小型货车运费贵C. 二者运费相同 D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】设大型货车每台运费 万元，小车每台运费 万元，可得到函数过，利用线性规划知识，得到目标时， 最小，从而可判断 最小为 0，即可得出答案。【详解】设大型货车每台运费 万元，小车每台运费 万元，依题意得过时， 最小.，即，选 A.【点睛】用线性规划的方法来解决实际问题：先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的量用字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，建立数学模型，在画出表示的区域。10.已知点是抛物线长的最小值为（）上的动点，以点 为圆心的圆被 轴截得的弦长为 ，则该圆被 轴截得的弦A. B.【答案】D【解析】【分析】先设出圆心坐标 C. D.，然后由圆被 轴截得的弦长为 可以表示出半径，进而可以表示出圆的方程，然后可以将该圆被 轴截得的弦长的表达式表示出来，进而求最小值即可。【详解】设圆心，而，圆的方程为：当时，得故选 D.，.【点睛】求圆的弦长的常用方法：几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB|11.已知三点都在表面积为|x1x2|rd；.22的球 的表面上，若.则球内的三棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出外接球的半径 ，的外接圆半径 ，即可求出球心 到平面的距离，然后利用面积的最大值，即可余弦定理及基本不等式可以得到求出三棱锥【详解】， 设的 角（当且仅当故三棱锥体积的最大值为体积的最大值，在.中，从而可以求出球心， 由，选 C.到平面的距离， 得，所 对 的 边 分 别 为时取“=”） ，即【点睛】本题考查了外接球问题，考查了球的表面积，考查了解三角形知识，考查了利用基本不等式求最值，考查了计算能力，属于中档题。12.若关于 的不等式取值范围是（）A.C.【答案】D【解析】【分析】不等式可化为的单调性，进而画出函数【详解】不等式令当当当则因为所以当故选 D.时，时，时，的最小值为，为增函数，为减函数，记，时，不等式在内只有一个整数解为 ，满足题意。，记， 从而构造函数， 求导可判断函数 B. D.的解集为，且内只有一个整数，则实数 的的图象，利用数形结合即可求出 的取值范围。，即，过点，【点睛】本题考查了不等式，通过构造函数并判断函数单调性，利用数形结合思想是解决本题的关键，属于难题。第卷（非选择题）第卷（非选择题）二、填空题二、填空题. .13.已知向量 与 是互相垂直的单位向量，设_.【答案】【解析】【分析】由得，代入计算即可。，则所以.，若，则实数 的值为【详解】由题意，【点睛】本题考查了向量垂直的性质，考查了向量的数量积，属于基础题。14.设【答案】【解析】【分析】由定积分可以求出 ，然后写出二项展开式的通项，即可求出常数项的值。【详解】， 则， 展开式的通项为， 当，则的展开式中的常数项为_.（用数字填写）时得到常数项为，故答案为 60.【点睛】本题考查了定积分的计算，考查了二项式定理的运用，考查了计算能力，属于基础题。15.已知双曲线线 的右支上的动点，且【答案】【解析】【分析】由立计算即可。【详解】设双曲线右焦点为 ，则值为又，解得，所以，于是，所以最小值为，故双曲线方程为，.，而的最小，可知，而的最小值为，结合离心率为2，联的离心率为 ，左焦点为，点（ 为半焦距）.是双曲即的最小值为 .则双曲线 的方程为_.【点睛】本题考查了双曲线的方程，双曲线的定义，及双曲线的离心率，考查了计算能力，属于中档题。16.已知点在函数的图象上（）.数列的前 项和为，设，数列的前 项和为.则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先求出等比数列的通项公式，代入，即可得到等差数列的通项公式，然后利用等差数列的性质求前 项和的最值即可。【详解】点在函数，公比图象上，的等比数列，,，是首项为则当，即，是首项为，公差为 2 的等差数列，.时，最小，即最小值为【点睛】 本题考查了等差数列及等比数列的通项公式与前 项和公式， 考查了等差数列的前 项和的最值，考查了计算能力，属于中档题。三、解答题三、解答题. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.的内角的对边分别为，已知成等差数列.（1）求角 ；（2）若【答案】 （1）【解析】【分析】（1）由等差数列性质得到，展开并化简可求出中利用余弦定理即可求出【详解】 （1）由正弦定理得：，即因为又（2）在，所以，中，.，.成等差数列，则，结合正弦定理可得， 即可求出角 ； (2)利用余弦定理可先求出 与，利用， 然后在 (2)为中点，求的长.，即或，（舍去） ，故，在中，在中，.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用，利用正弦定理进行边角转化与与余弦定理进行求值计算是本题的关键点，属于中档题。18.我市为改善空气环境质量，控制大气污染，政府相应出台了多项改善环境的措施 .其中一项是为了减少燃油汽车对大气环境污染.从 2018 年起大力推广使用新能源汽车，鼓励市民如果需要购车，可优先考虑选用新能源汽车.政府对购买使用新能源汽车进行购物补贴，同时为了地方经济发展，对购买本市企业生产的新能源汽车比购买外地企业生产的新能源汽车补贴高.所以市民对购买使用本市企业生产的新能源汽车的满意度也相应有所提高.有关部门随机抽取本市本年度内购买新能源汽车的户，其中有户购买使用本市企业生产的新能源汽车，对购买使用新能源汽车的满意度进行调研，满意度以打分的形式进行.满分直方图.分，将分数按照分成 5 组，得如下频率分布（1）若本次随机抽取的样本数据中购买使用本市企业生产的新能源汽车的用户中有 户满意度得分不少于分，把得分不少于分为满意.根据提供的条件数据，完成下面的列联表.购本市企业生产的新能源汽车户数购外地企业生产的新能源汽车户数总计并判断是否有的把握认为购买使用新能源汽车的满意度与产地有关？满意不满意总计（2） 以频率作为概率， 政府对购买使用新能源汽车的补贴标准是： 购买本市企业生产的每台补贴万元，购买外地企业生产的每台补贴 万元.但本市本年度所有购买新能源汽车的补贴每台的期望值不超过万元.则购买外地产的新能源汽车每台最多补贴多少万元？附：，其中.【答案】 （1）见解析；(2)购买外地产的新能源汽车每台最多补贴 万元【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图可求出列联表中数据，代入公式即可求出 ，然后与表中数据比较即可判断；(2)设购买新能源汽车的补贴每台为 万元， 则进而表示出期望的表达式，令或， 分别求出对应概率， 即可得到对应的分布列，解不等式即可。【详解】 （1）根据样本频率分布直方图可知：满意度得分不少于分的用户数：又因为本市企业生产用户有户满意，所以外地企业生产的用户有户满意，得如下列联表：购买本市企业生产的新能源汽车户数购买外地企业生产的新能源汽车户数总计则故没有，的把握认为购买使用新能源汽车的满意度与产地有关。或，满意不满意总计，（2）设政府对购买新能源汽车的补贴每台为 万元，则，随机变量 的分布列为：，则解得，由，又因为，即，故，即，所以，购买外地产的新能源汽车每台最多补贴 万元。【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了独立性检验，考查了概率的计算、分布列及期望，考查了学生的数学应用意识、计算能力，属于中档题。19.已知四棱锥底面.中，底面为等腰梯形，丄（1）证明：平面（2）过的平面交平面；把四棱锥分成体积相等的两部分， 求二面角于点 ，若平面的余弦值.【答案】 （1）见证明； （2）【解析】【分析】（1） 先证明等腰梯形丄平面； （2）由中， 然后证明， 即可得到，可得到的法向量为，平面丄平面， 从而可证明平面，然后可，列出式子可求出的法向量为 ，由建立如图的空间坐标系， 求出平面得到答案。【详解】 （1）证明：在等腰梯形易得在则有又平面中，故，平面，即（2）在梯形平面中，设，故平面，而丄平面.，,即以点 为坐标原点，则设平面，的法向量为，.所在直线为 轴，所在直线为 轴，建立如图的空间坐标系，所在直线为 轴，由得，取，得，的法向量为的平面角为 ，同理可求得平面设二面角则，所以二面角的余弦值为 .【点睛】本题考查了两平面垂直的判定， 考查了利用空间向量的方法求二面角，考查了棱锥的体积的计算，考查了空间想象能力及计算能力，属于中档题。20.已知点，直线为平面内的动点，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，且.（1）求动点 的轨迹 的方程；（2）过点 作两条互相垂直的直线【答案】 （1）【解析】【分析】（1）设动点，则，由展开计算得到四点坐标，即可得到的关系式即可；(2)当直线；当直线的斜 (2)与分别交轨迹 于四点.求的取值范围.的斜率不存在（或者为0）时，可求出率存在且不为 0 时，设为 ，直线得到+的方程为，与轨迹 的方程联立，结合根与系数的关系可的取值范围。的表达式，然后利用函数与导数知识可求出，则，则，.，【详解】 （1）设动点由所以化简得故点 的轨迹 的方程为（2）当直线可设.轴，的斜率不存在时，当直线当直线设的斜率为 0 时，轴，同理得，的方程为：，的斜率存在且不为0 时，设为 ，则直线，由，得:则所以，则，直线的方程为：，同理可得：，所以令，则，由在，得；，得；上单调递增上单调递减，在，又综上所述，的取值范围是，故.【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，考查了向量的数量积，考查了直线与椭圆统合问题，考查了学生分析问题、解决问题的能力，及计算能力，属于难题。21.已知函数（1）讨论的单调性；， 若存在， 使成立， 则称为函数的不动点.如果函数，.（2） 定义： 对于函数存在不动点，求实数 的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】(1)对函数得到求导，结合二次函数的性质讨论 的范围，即可判断有实数根， 即有解， 构造函数令的单调性；(2)由存在不动点， 通过求导即可判断的单调性，从而得到【详解】(1)对于函数当时，即在在当当，即时，由的取值范围，即可得到 的范围。，的定义域为，时，恒成立.在恒成立.为增函数；或时，或，得在为增函数，减函数.为增函数，当时，由在为增函数。时，时，在在在恒成立，综上，当增函数；当（2）为增函数，为增函数。减函数，为，存在不动点，方程有实数根，即有解，令令当当，得时，时，当时，的范围为，单调递减；单调递增；有不动点，.【点睛】导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点，一般采用求根法和图像法。22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程，曲线的参数方程；（2）若分别为曲线，上的动点，求,的参数方程为.的最小值，并求取得最小值时， 点的直角坐标.【答案】(1)【解析】【分析】（ 为参数） (2)(1)由参数方程、普通直角坐标方程及极坐标方程间的关系转化即可；(2)结合 (1)的结论，设，利用点到直线的距离公式可得到 的表达式，利用三角函数求最值即可得到 的最小值，即的最小值，进而可以得到 点的直角坐标。【详解】 （1）由曲线的参数方程为（ 为参数） ，消去 ，得由即，即的参数方程为，（ 为参数） ，则点 到直线的距离：（2）设曲线上动点为当时，即时， 取得最小值，即的最小值为，.【点睛】本题考查了直角坐标方程，参数方程，及极坐标方程间的转化，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了利用三角函数求最值，属于基础题。23.已知函数.；的解集非空，求实数 的取值范围.（2）（1）解关于 的不等式（2）设【答案】 （1）【解析】试题分析：第一步根据解含绝对值不等式，化为两个一元二次不等式分别解出，找，得到不等式等价于的解集非空，出不等式的解集，第二步写出关于 的不等式根据“极值原理”，只需 大于范围.试题解析：（1）原不等式可化为：即：由由或得得或或或的解集非空，的最小值，根据绝对值三角不等式求出最值，得到 的取值综上原不等式的解为（2）原不等式等价于令由所以.，即，所以，【点睛】解含有绝对值的不等式有三种方法，第一种只含有一个绝对值符号，一般使用公式：，；第二种不等式两边均有一个绝对值符号的，可采用两边平方；第三种含有两个绝对值符号的一般采用零点分区间讨论，利用定义讨论去掉绝对值符号是一种解决绝对值问题的通法，必须灵活会用，分离参数，利用“极值原理”求参数的取值范围是常见题型常用方法 .