北京市海淀区2020-2021学年高二年级下学期期中质量检测模拟（PDF版含答案）.pdf
高二数学试卷 第1页 北京市北京市海淀海淀区区高高二二年级年级第二学期第二学期期中期中质量检测质量检测模拟模拟 数 学 20214 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为一卷（共 100 分）和二卷（共 50 分）两部分 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题 共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1在等差数列na中，若12a =，24a =，则4a =（ ） A6 B8 C16 D32 2下列求导运算中错误的是（ ） A(3 )3 ln3xx= B2ln1 lnxxxx= C2111xxx+= + D(sincos )cos2xxx= 3已知, , ,m n p q为正整数，在等差数列 na中， “mnpq+”是 “mnpqaaaa+”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4已知是函数2x =就函数3( )32f xxax=+的极小值点，那么函数( )fx的极大值为（ ） A-2 B6 C17 D18 5如果等比数列 na的前n项和12nnSa+=+，则常数a =（ ） A1 B1 C2 D2 6用数学归纳法证明()*11111112324nnNnnnn+时，由nk=到1nk=+时，不等式左边应添加的项是（ ） A121k + B11211kk+ C112122kk+ D112122kk+ 高二数学试卷 第2页 7已知函数ln ,0( ),0 xxxxf xxxe=，则函数( )yf x=的图象大致是（ ） ABC D 8数列 na， nb用图象表示如下，记数列nna b的前n项和为nS，则（ ） A14SS，1011SS B45SS，1013SS C14SS，1011SS D45SS，1013SS 9做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为27且用料最省，则水桶底面圆的半径为（ ） A1 B3 C5 D7 10已知 nx是递增数列，且0nx ，则关于数列 nx，对任意的正整数p，q， 下列结论不可能成立的是（ ） Apqqpxpxqx=+ Bp qqpxpxqx+=+ C1pqpqxxx=+ D2p qpqxx x+= 二、填空题二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11已知 f (x)ln(3x1)，则 f （1）_. 12已知 3 个等差数列 , nnnabc，其中数列 nc的前 n 项和记为nS，已知nnnabS=，写出一组符合条件的na与 nb的通项公式_ 13已知数列 na的前n项和nS，且满足1nnaS+=，则39121239SSSSaaaa+=_. 高二数学试卷 第3页 14若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件： （1）直线 l 在点 P（x0，y0）处与曲线 C 相切； （2）曲线 C在点 P 附近位于直线 l 的两侧，则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C.给出下列四个命题： 直线 l：y0 在点 P（0，0）处“切过”曲线 C：yx3； 直线 l：yx1 在点 P（1，0）处“切过”曲线 C：ylnx； 直线 l：yx+ 在点 P（，0）处“切过”曲线 C：ysinx； 直线 l：yx+1 在点 P（0，1）处“切过”曲线 C：yex.其中正确的命题是_ 15已知数列na满足11ak=，2,kkN，na表示不超过na的最大整数（如1.61=，记nnba=，数列 nb的前n项和为nT）. 若数列na是公差为 1 的等差数列，则4T =_； 若数列na是公比为1k +的等比数列，则nT =_ 四、解答题四、解答题（每道题（每道题 10 分分，共共 40 分）分） 16已知an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，已知 a55，S515 （1）求数列an的通项公式； （2）设 anlog2bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 高二数学试卷 第4页 17问题提出：新型冠状病毒是一种人传人，不易被人们直觉发现，危及人们生命的严重病毒我们把与新型冠状病毒患者有过密切接触的人群称为密切关联者已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性后的概率为()01pp一旦被确诊为阳性后即将其隔离某位患者在隔离之前，每天有k位密切关联者与之接触，其中被感染的人数为()0XXk该病毒在进入人体后有 14 天的潜伏期，在这 14天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间设每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与k位密切关联者接触并继续传染其他人小明想通过数学建模分析从某一名患者携带新型冠状病毒的第 1 天开始算起，第n天新增患者数()2nEn ，同时他想研究戴口罩是否能够切实减少病毒传染. 一、模型假设：1. 潜伏期病毒未被发现，持续传播 2. 每位患者每天接触的人数均为k 3. 假设每位患者每天接触的密切关联者被感染人数为定值Xkp= 二、模型求解： 根据题意，最初患者自己被感染，即第 1 天人数为 1， 第 2 天被感染人数增至为：1 11kpkp+ = +； 第 3 天被感染人数增至为：_ 于是可以得出，第n天新增加人数nE =_， 小明根据自己的生活经验取10k =，12p = 8E的值为_； 经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率p满足关系式()2ln 13ppp =+当p取得最大值时，计算p所对应的6E和12p =所对应的6E值，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性. （参考数据：ln20.7，ln31.1，ln51.6，10.33，20.73，6646650=计算结果保留整数） 三、模型检验与评价：通过与新闻中的数据对比，小明计算出的被感染人数远高于实际的感染人数，你认为原因是什么？_ _ 高二数学试卷 第5页 18已知函数( )ln(1)f xxmx=+ （1）1m =时，求( )f x在0 x =处的切线 （2）求函数( )f x的极值； （3）若函数( )f x在区间20,1e上恰有两个零点，求 m 的取值范围 19n为给定的大于 2 的正整数，集合1,2,Sn=，已知数列nA：1x，2x，nx满足条件： 当1in 时，ixS；当1ijn 时，ijxx. 如果对于1ijn ，有ijxx，则称(),ijx x为数列nA的一个逆序对.记数列nA的所有逆序对的个数为()nT A. （1）若()41T A=，写出所有可能的数列4A； （2）若()2nT A=，求数列nA的个数； （3）对于满足条件的一切数列nA，求所有()nT A的算术平均值. 高二数学试卷 第6页 二卷（共 50 分） 一、选择题（一、选择题（共三道小题，每题共三道小题，每题 6 分，分，18 分）分） 20若函数( )fx的导函数的图像关于 y 轴对称，则( )fx的解析式可能为（ ） A( )3cosf xx= B( )321f xxx=+ C( )sin2f xx= D( )xf xex=+ 21若lnx aexa+对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A1,e B(,1 C(,2 D(,e 22将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等.建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为( )coshxf xaa=，其中a为悬链线系数，cosh x称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh2xxeex+=，相应地双曲正弦函数的函数表达式为sinh2xxeex=.若直线xm=与双曲余弦函数1C和双曲正弦函数2C分别相交于点A，B，曲线1C在点A处的切线与曲线2C在点B处的切线相交于点P，则（ ） Asinh coshyxx=是偶函数 B()coshcosh coshsinh sinhxyxyxy+= CBP随m的增大而减小 DPAB的面积随m的增大而减小 高二数学试卷 第7页 二二、填空题、填空题（共三道小题，每题共三道小题，每题 6 分，分，18 分分） 23某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：3m）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：31( )1010V tHt=（H为常数） ，其图像如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为()3m / hv.那么1234, , ,t t t t中，瞬时融化速度等于()3m / hv的时刻是图中的_. 24法国数学家拉格朗日于 1778 年在其著作解析函数论中提出一个定理：如果函数( )yf x=满足如下条件： （1）在闭区间, a b上是连续不断的； （2）在区间(), a b上都有导数 则在区间(), a b上至少存在一个数，使得( )( )( )()f bf afba=，其中称为拉格朗日中值则( )xg xe=在区间0,1上的拉格朗日中值=_ 高二数学试卷 第8页 25如图，已知抛物线2yx=及两点()110,Ay和()220,Ay，其中120yy.过1A、2A分别作y轴的垂线，交抛物线于1B、2B两点，直线12B B与y轴交于点()330,Ay，此时就称1A、2A确定了3A.依此类推，可由2A、3A确定4A、.记()0,nnAy，1n =、2、3、. 给出下列三个结论： 数列 ny是递减数列；对任意*nN，0ny ；若14y =，23y =，则523y =. 其中，所有正确结论的序号是_ 三三、解答解答题题（共共 14 分分） 26已知函数21( )ln(1) ,()2=+f xxaxax aR （1）当1a =时，判断函数( )yf x=的单调性； （2）若关于x的方程21( )2f xax=有两个不同实根12,x x，求实数a的取值范围，并证明212xxe 高二数学试卷 第9页 参考答案参考答案 1B 2C 3D 4D 函数3( )32f xxax=+的导数( )233fxxa=， 由题意得，( )20f =，即1230a=，4a = ( )3122f xxx=+，( )()()2312322fxxxx=+， 令( ) 0fx，得2x 或2x ；( )0fx ，得22x ， 所以当时2x = 取极大值，即( )()8242218f xf = =+=极大值 5C 6D 当 nk 时，有不等式11111112324kkkkk+， 当 nk+1 时，不等式为11111123212224kkkk+， 将上面两式的左边相减可得，由 nk 到 nk+1 时，不等式左边应添加的项是11111212212122kkkkk+=+. 7A 8B 由题意，数列 na， nb用图象可知， 当4n 时，0na ；当5n 时，0na ， 所以4n 时，0nna b ，所以14SS，可排除 A 项；由5 50a b ，所以45SS，可排除 D 项； 由11 110a b ，所以1011SS，可排除 C 项； 当1113n时，0nna b ，所以1013SS，可得 B 项正确. 高二数学试卷 第10页 9B 解：设高为h，底面半径为r， 则227r h=，即227r h =， 所用材料的面积是222275422()Srhrrrrr=+=+=+， 则2542Srr =，令0S=，得2542rr=，解得：3r =， 且3r 时，0S ，03r时，0S， 即S在03 ，上单调递减，在()3 +，上单调递增， 故当3r =时 S 取得极小值，也是最小值,故当水桶底面半径为 3 时，用料最省 10B 对于选项 A，pqqppqqpxxxxpxqxpqqp=+=+，取lnnxnn=，则易知数列 nx满足条件，故选项A 可能成立 对于选项 B，p qqpxpxqx+=+，令1pq=，则212xx=；令2p =，1q =， 得312124xxxx=+=；令2pq=，得42148xxx=；令3p =，1q =， 得413137xxxx=+=所以1187xx=，即10 x =，所以0nx =与 nx是递增数列矛盾，故选项 B 不可能成立 对于选项 C，由1pqpqxxx=+得111pqpqxxx = +，取ln1nxn=+，则易知数列 nx满足条件，故选项 C 可能成立 对于选项 D，由2p qpqxx x+=，得222p qpqxxx+=，取e2nnx =，则易知数列 nx满足条件，故选项 D 可能成立 1132 高二数学试卷 第11页 12答案不唯一，例如=nnanbpnq=+，均可 131013 由数列 na的前n项和nS，且满足1nnaS+=， 当2n 时，111nnaS+=， 两式相减，可得()11120nnnnnnaaSSaa+=，即11(2)2nnana=， 令1n =，可得11121aSa+=，解得112a =， 所以数列 na表示首项为12，公比为12的等比数列，所以12nna=， 则11122111212nnnS= ，所以1122112nnnnnSa=， 所以()2939121239222(1 11)SSSSaaaa+=+ + ()9102 129211101312=. 故答案为：1013. 14 解：yx3的导数为 y3x2，可得切线方程为 y0，即 x 轴， 而0 x 时，30yx=，0 x 时，30yx=，直线 l：y0 在点 P（0，0）处“切过”曲线 C：yx3，正确； 由 lnx 的导数为1x，可得切线方程为 y0 x1， 且 ylnx（x1）的导数为 y1x1， 当 x1 时，函数 y 递减；0 x1 时，函数 y 递增， 可得 x1 处 ylnxx+1 的最大值为 0， 高二数学试卷 第12页 则 lnxx1， 直线 l：yx1 在点 P（1，0）处“切过”曲线 C：ylnx 不正确； ysinx 的导数为 ycosx， 可得在点 P（，0）处切线方程为 yx+， 由 ysinx 和直线 yx 可得切线穿过曲线， 直线 l：yx+ 在点 P（，0）处“切过”曲线 C：ysinx，故正确； yex的导数为 yex，可得在点 P（0，1）处切线为 yx+1， 令1xyex=，则1xye =，0 x 时，0y，0 x 时，0y，即1xyex=在(,0)上递减，在(0,)+上递增，0 x =时，min0y=，即10 xyex= ， 直线 l：yx+1 在点 P（0，1）处“切过”曲线 C：yex不正确. 156 ()211nkknk+ 若数列 na是公差为1的等差数列，且11ak=，*2kkN，则11(1, )nannnk=+ ，所以1nnban=，则40 1236T =+ +=；故填 6. 若数列 na是公比为1k +的等比数列，且11ak=，*2kkN，则 111(1)nnbkkk=+ 21(1)1nnTknkk=+ 16(1) nan=； （2）+122nnT =. 解:(1)设等差数列的公差为 d，则5151455 45152aadSad=+=+=，解之得111ad=， 所以数列an的通项公式为1 1 (1)nann= + =；5 分 （2）2log,22nannnnabnb=，由此可得1111222.22nnnnbbb+=，数列bn的是首项为2,公比为 2 的等比数列.因此，可得bn前 n 项和()+12 122212nnnT=.10 分 高二数学试卷 第13页 17 根据题意，最初患者自己被感染，即第 1 天人数为 1， 第 2 天被感染人数增至为：1 11kpkp+ = +； 第 3 天被感染人数增至为：() ()()2111kpkp kpkp+=+， 显然第1n 天被感染人数增至为：()21nkp+，第n天被感染人数增至为：()11nkp+， 于是根据题意中均值定义，第n天新增加人数的数学期望()()1211nnnEkpkp=+， 即()21nnEkpkp=+，于是68611101 105 623328022E=+4 分 根据题意函数( )()2ln 13pfppp =+，求导得：( )()121 2133 1pfppp=+， 当且仅当10,2p时，( )0fp，此时( )pfp =单调递增；当1,12p时，( )0fp， 即( )pfp =单调递减，于是( )max11ln3ln20.132pfpp = 此时12p =，0.1p=， 于是6 24611101 105 6648022E=+= =（人） ， 466 211101 102161010E=+=（人） 经过计算得知，戴口罩情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为 16 人， 而不戴口罩的情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为 6480 人， 即6E远大于6E，于是戴口罩是非常必要的8 分 原因：实际上有更多的防疫措施；病人体内病毒的传染性可能会降低；实际密切接触的人数可能较少等等。10 分 高二数学试卷 第14页 18(1)y=0 2 分 （2）( )ln(1)f xxmx=+的定义域为()1, +， ()1( )11fxm xx= +，3 分 当0m 时，1( )01fxmx=+恒成立，4 分 此时( )f x在()1, +单调递增，无极大值和极小值，5 分 当0m 时，111m ，由1( )01fxmx=+可得：111 xm， 由1( )01fxmx=+可得11xm， 此时( )f x在11,1m单调递增，在11,m+单调递减， 所以( )f x的极大值为1111ln 1111lnfmmmmmm=+= ，无极小值.6 分 （3）由（2）可知，当0m 时，( )f x在()1, +单调递增，所以( )f x在20,1e单调递增，不可能有两个零点， 当0m 时，( )f x的极大值为111lnfmmm= ， 因为(0)0f=，所以0 x =是( )f x的一个零点， 若函数( )f x在区间20,1e上恰有两个零点，则()22101011f eem ，8 分 即()2221011m eme ，可得：2211me， 所以 m 的取值范围为2211me.10 分 高二数学试卷 第15页 19 （1）因为()41T A=， 故1234,x x x x只有一个逆序对， 则不同的4A分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4.3 分 （2）因为()42T A=，故数列nA：1x，2x，nx有两种情况： 2对逆序数由连续 3 个元素提供，即 例如 123 可以变成 312 和 231，共2(2)n种 2对逆序数由两对 2 个元素提供，即 第一对取 12，第二对取 34,45,56共3n种 第一对取 23，第二对去 45,56,67共2n种 以此类推，共()3 (2)2nn种 综上，共有()+1 (2)2nn种6 分 （3）对任意的nA：1x，2x，nx，其逆序对的个数为()nT A， 我们引进一个定义：1ijn ，有ijxx，则称(),ijx x为数列nA的一个顺序对， 则nA中的顺序对个数为()()12nn nT A. 考虑nA：1x，2x，nx与nB：nx，1nx，1x， nA中的逆序对的个数为nB中顺序对的个数，nA中顺序对的个数为nB中逆序对个数， 把所有的nA按如上形式两两分类，则可得所有的nA中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，而它们的和为()1!2n nn，故逆序对的个数为()1!4n nn， 所以所有()nT A的算术平均值为()14n n.10 分 高二数学试卷 第16页 20C 21B 设( )()ln,0 x af xexax=，则( )ln0 x af xexa=恒成立， 由( )1x afxex=，令( )1x ah xex=，则( )210 x ah xex=+恒成立， 所以( )()1,0 x ah xexx=为增函数，令10 x aex=得()0,0 xxx=， 当00 xx时，( )0h x ，当0 xx时，( )0h x ； 所以( )fx在()00,x递减，在()0,x +递增，故( )fx在0 xx=处取得最小值， 故最小值()000ln0 xaf xexa=，因为001xaex=，则00lnxax= 所以0010 xaax+恒成立，得0012axx+，又因为0012xx+（当且仅当01x =时等号成立） ；所以2a2 即1a . 22D 对于选项 A：定义域为R， ( )22sinh cosh4xxeeyf xxx=，而()( )222xxeefxf x= ，所以( )fx是奇函数，所以 A 错误； 对于选项 B：cosh coshsinh sinh2222xxyyxxyyeeeeeeeexyxy+= ()cosh442x yx yx yy xx yx yx yy xx yy xeeeeeeeeeexy+ + +=，所以 B 错误； 对于选项 C、D：设,2mmeeA m+，,2mmeeB m，()()cosh, sinh22xxxxeeeexx+=， 高二数学试卷 第17页 则曲线1C在点A处的切线方程为：()22mmmmeeeeyxm+=， 曲线2C在点B处的切线方程为：()22mmmmeeeeyxm+=， 联立求得点P的坐标为()1,mme+，则()2221124mmmmmeeeeBPe+= += +， 1122mPABSABe=，所以BP随m的增大而先减小后增大，PAB的面积随m的增大而减小，所以 C 错误，D 正确. 233t 24()ln1e ( )xg xe=，则( )xgxe=，所以( )ge=， 由拉格朗日中值的定义可知，( )( )( )1011 0ggge=， 即1ee= ，所以()ln1e= 25. 由题意知，()2111,nnnByy，()2222,nnnByy， 直线12nnBB的斜率为122212121nnnnnnyyyyyy=+， 则直线12nnBB的方程为()211121nnnnyyxyyy=+， 令0 x =，则21112nnnnyyyyy=+，1212nnnnyyyyy=+，即1212nnnnnyyyyy=+， 在等式1212nnnnnyyyyy=+两边取倒数得12111nnnyyy=+. 10y ，20y ，由此可得出30y ，40y ，命题正确； 高二数学试卷 第18页 121110nnnyyy=，则111nnyy，由知，对任意的nN，0ny ， 1nnyy，即数列 ny是单调递减数列，命题正确； 若14y =，23y =，则3127y =，41211y =，323y =，命题正确. 26 （1）1a =时，21( )ln2 (0)2f xxxx x=+， 故22121( )20 xxfxxxx+=+=， ( )f x在(0,)+上单调递增4 分 （2）由题意可知ln(1)xax=+有两解， 设直线ykx=与lnyx=相切，切点坐标为()00,xy， 则00000ln1ykxyxkx=，解得001,1,xeyke=， 101ae + ，即111ae 实数a的取值范围是11,1e6 分 不妨设210 xx，则1122ln(1) ,ln(1)xaxxax=+=+， 两式相加得：()()1212ln(1)x xaxx=+， 两式相减得：()2211ln(1)xaxxx=+， ()12122211lnlnx xxxxxxx+=，故()12212211lnlnxxxx xxxx+=， 高二数学试卷 第19页 要证212x xe，只需证122211ln2+xxxxxx，8 分 即证()2211221121212ln1xxxxxxxxxx=+，10 分 令211xtx=，故只需证2(1)ln1ttt+在(1,)+恒成立即可 令2(1)( )ln(1)1tg tttt=+， 则22214(1)( )0(1)(1)tg tttt t=+，12 分 ( )g x在(1,)+上单调递增， ( )(1)0g tg=， 即2(1)ln1ttt+在(1,)+恒成立 212xxe14 分
