江苏省淮安市2021届高三第二次适应性模拟考试数学试卷及答案.pdf

数学数学 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.设全集为U，非空真子集A，B，C满足：ABB，ACA，则 A.BC B.BC C.UAB D.UBC 【答案】【答案】D 2.如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响，当元件A正常工作B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作.若元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为 A.0.196 B.0.504 C.0.686 D.0.994 【答案】【答案】C 3.某产品的宣传费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的统计数据如表所示： x 4 5 6 7 8 y 60 80 90 100 120 根据上表可得回归方程14yxa，则宣传费用为9万元时，销售额最接近 A.123万元 B.128万元 C.133万元 D.138万元 【答案】【答案】C 4.化简7sinsin1212可得 A.1sin 226 B.1cos 226 C.1cos 226 D.1sin 226 【答案】【答案】D 5.已知函数 1ln1xf xx，设0.44af，345bf，0.225cf，则 A.abc B.acb C.bca D.cab 【答案】【答案】C 6.某班数学课代表给全班同学们出了一道证明题.甲和丁均说自己不会证明；乙说：丙会证明；丙说：丁会证明.已知四名同学中只有一人会证明此题，且只有一人说了真话.据此可以判定证明此题的人是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】【答案】A 7.函数1s n2ixxy的图象大致为 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 12sinxxf x 1122sin 22sinxxxxfxxf f x关于1,0对称，排除 BD 00f，排除 C，选 A. 8.已知圆221:20Oxyty与y轴交于A，B两点， 点C的坐标为1,2.圆2O过A，B，C三点，当实数t变化时，存在一条定直线l被圆2O截得的弦长为定值，则此定直线l的方程 为 A.250 xy B.20 xy C.210 xy D.20 xy 【答案】【答案】B 【解析】【解析】设圆222:0OxyDxEyF 圆2O过,A B两点，Et，2F 即此时圆222:20OxyDxty 圆2O过1,2C 23Dt 圆222:2320Oxytxty 即223220 xyxtxy 定直线20 xy，选 B. 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分. 9.为了解目前淮安市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩70,100NX，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀.则下列说明正确的是 参 考 数 据 ： 随 机 变 量2,N ， 则0.6826P，54420.92P，4330.997P. A.该校学生体育成绩的方差为10 B.该校学生体育成绩的期望为70 C.该校学生体育成绩的及格率不到85% D.该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当 【答案】【答案】BC 10.设复数izab（i为虚数单位） ，则下列说法正确的是 A.若0,1ab，则20211ikkz B.若13,22ab ，则2zz C.“zR”的充要条件是“zz” D.若cosa，sin0b，则复数z在复平面上对应的角在第一或第二象限 【答案】【答案】AB 11.已知三棱锥PABC的顶点均在半径为5的球面上，ABC为等边三角形且外接圆半径为4，平面PAB 平面ABC，则三棱锥PABC的体积可能为 A.20 B.40 C.60 D.80 【答案】【答案】AB 【解析】【解析】 设ABC外心为O，4OC， 而5OC，3OO 平 面PAB平 面ABC， 设 外 接 球 球 心 为O， 过O作OMPQ与点M P在 底 面ABC上 的 射 影 在AB上 ， 设PQh， 设OMOQx 22222535PMOMhx 而2242503210321xhh且3h 1 4 364 34 3 32112 312 76032P ABCVhh 选 AB. 12.分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义.按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图： 记图乙中第n个白圈的个数为na，黑圈的个数为nb，则下列结论中正确的有 A.414a B.40是数学 nb中的项 C.对任意的*nN，均有1nnnaabn D.910bN 【答案】【答案】ABD 【解析】【解析】根据图中所示的分形规委，1个白圈分为2个白圈，1个黑圈分为1个白圈，2个黑圈 记某行白圈x个，黑圈y个为, x y 第1行1,0 第2行2,1 第3行5,4 第4行14,13 414a，A 对， 02113aa 13233aa 24393aa 213nnnaa 1120111331313233nnnnaa 1312nna，1312nnb 5n 时，40nb ，B 对 1312nna 11113131322nnnnnnabnnna，C 错 842931918113280222b，932810bN，D 对 选 ABD. 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.若ABC的三边长分别为2，3，4，则AB BCBC CACA AB 的值为_. 【答案】【答案】292 14.能使“函数 i3s nxf x在区间,2上单调递减”是真命题的一个正数的值为_. 【答案】【答案】1 15.5232xx的展开式中2x项的系数为_. 【答案】【答案】800 【解析】【解析】 55523212xxxx 51x 展开式第1r 项55155C1C1rrrrrrrTxx 52x 展开式第1k 项55155C2C2kkkkkkkTxx 101155C C12rkr kkrrkT Tx 求2x的系数8rk 5r 时，3k ，此时2x系数 535355C C1280 4r 时，4k ，此时2x系数 444455C C12400 3r 时，5k ，此时2x系数 353555C C12320 2x系数800. 16.拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑波拿马最早提出的一个几何定理： “以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角形的顶点”.在ABC中，120A，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O，2O，3O，若123OO O的面积为3，则ABC的周长的取值范围为_. 【答案】【答案】32 3,4 3 【解析】法一：【解析】法一： 建立坐标系，将几何问题转化为代数问题 按右图建立坐标系 以A为原点，AB为x轴 AB于A的直线为y轴 设ABx，ACy 120A，CA延长出来即为一正三角形的边 求出12OO点坐标，即能求出正三角形123O O O的面积表示 都是正三角形，ACy，32CMy，2yAM 13,26yOy，同理23,26xOx 2221214123xyxyO Oxy 12321213322O O OSO O 代入2213= 3=12223xyxy 222222231224yBCBMCMxyxyxyxyxyxy 12ABCCABBCACxyxy 2=12 xy，0 x，0y，122 3 xy 2 312Cxy 222=12212xyxyxy，222xyxy 4123xyxy，当3xy时取等 0 x，0y，03 xy 2 31232 3,4 3Cxy. 法二：法二：120A，1330 O ABO AC 13, ,O A O三点共线 设=AB c，ACb，BCa 123O O O的边长为3333ab 12323 132 343O O OSbcbc 而222222212129,122bcbcaabcbcbcbcbc 3,2 3 a 32 3,4 3 abc. 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分） 在3sincosCcBcb，23coscoscos24ACAC， sinsin3bAaB三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足_. （1）求角B的大小； （2）若14b ，4 2ac，求ABC的面积. 【解析】【解析】若选，sincosbCcBC 3sinsinsincossinBCCBC 3sincos1BB 2sin16B 0,B，3B （2）22222cos22cosbacacBacacacB 14323ac 6ac 211sin33 32622ABCSacB 若选23coscoscos24ACAC 131coscoscos24ACAC 31coscossinsin2coscos2ACACAC 1sinsincoscos2ACAC 即1cos2AC 即1cos2B ，0,B，3B，下同 若选sinsin3bAaB 13sinsinsinsincos22BAABB 13sincos22BB tan3,0,BB，3B，下同. 18.（12 分） 已知数列 na，其前n项和为nS，且满足12a ，112nnSa. （1）求nS； （2）求满足22nSnn的最小整数n. 【解析】【解析】112nnSa 2n 时2nnSa 1122nnnaaa，即12nnaa 1n 时，2124Sa，22a na是从第二项起的一个等比数列 12,212,nnnan 1n 时，2nS 2n 时，112 122 12222121nnnnS，1n 时也成立， 2nnS. （2）2n 时，24S ，224，此时222S 3n 时，38S ，239，此时233S 4n 时，416S ，2416，此时244S 5n 时，532S ，2525，此时255S 2n 时，min5n. 19.（12 分） 2021淮安西游乐园淮安马拉松将于4月18日在江苏淮安举行.本次比赛是淮安举办的首个全程马拉松比赛，是“奔跑中国”马拉松系列赛的重要一站，是一次纪念建党100周年的伟人故里行、体验千秋淮扬文脉的运河文化行、品味江淮旖旎风光的绿色高地行、感受淮安和合南北之便的枢纽新城行.为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某高中选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的22列联表： 喜欢跑步 不喜欢跑步 合计 男生 80 女生 20 合计 已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6. （1）判断是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？ （2） 从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生， 再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望. 参考公式及数据：22n adbcKdabcdacb 20P Kk 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0k 0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828 【解析】【解析】 （1）喜欢跑步的人数0.6120200 22 列联表 喜欢跑步 不喜欢跑步 合计 男生 80 60 140 女生 40 20 60 合计 120 80 200 22200 80100121206040.5872.7180 14060063K 没有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关. （2）不喜欢跑步男生有60人，女生有20人 现分层抽样8人，男生抽6人，女生抽2个 X可以0,1,2 3638C50C14P X 216238C C151C28P X 126238C C32C28P X X的分布列 X 0 1 2 P 514 1528 328 515330121428284E X. 20.（12 分） 如图 1 所示，梯形ABCD中，2224ADABBCCD，E为AD的中点，连结BE，AC交于F，将ABE沿BE折叠，使得平面ABE 平面BCDE（如图 2）. （1）求证：AFCD； （2）求平面AFC与平面ADE所成的二面角的正弦值. 【解析】【解析】 （1）在梯形ABCD中，2ADBC，E为AD中点 BC DEBCDE为平行四边形 同理BCAE AEFCBF BFEF，AFFC F为BC中点 又2ABAEBAFE 平面ABE 平面BCDE，平面ACDE 平面ABEBE，AF 平面ABE AF平面BCDE 又CD 平面BCDE CAFD. （2）连结CEBCAE2ABCE BCE为正三角形，F为AC中点 BCFE 又AF 平面BCDE，CF 平面BCDE CAFF ,FB FC FA两两垂直 以F为坐标原点分别以,FB FC FA为, ,x y z轴建系 1,0,0B，1,0,0E ，0, 3,0C，0,0, 3A 1,3,0DECB BF 平面AFC 11,0,0n是平面AFC的一个法向量 设平面ADE的法向量为, ,nx y z 00n AEn DE 3030 xzxy 不妨设1y ，则3x ，1z ，3,1, 1n 设平面AFC与平面ADE所成的二面角为 111315coscos,551n nn nn n 10sin5. 21.（12 分） 已知双曲线2222:10,0 xyCabab的一条渐近线方程为2yx，右准线方程为33x . （1）求双曲线C的标准方程； （2）过点0, 1P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A，B，交双曲线C的两条渐近线于点D，E（D在y轴左侧）. 是否存在直线l，使得OAOB？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由； 记ODE和OAB的面积分别为1S，2S，求12SS的取值范围. 【解析】【解析】 （1）2222213233baaabccacb，双曲线2212yx. （2）设:1l ykx，11,A x y，22,B xy， 22112ykxyx，消y可得222230kxkx 直线l分别交双曲线左右两支于,A B两点 22122122208 3022302 kkkxxkx xk，则22k 若OAOB，则12120 x xy y 即21212110 kx xk xx，无解，不存在这样的直线l. ODE以O为顶点，高为h，底为DE OAB以为O顶点，高为h，底为AB 121212h DESDESABh AB， 由（1）知22222122228 3231141222kkABkxxkkkkk 由12ykxyx，解得12Dxk，同理12Exk 222112 211222kDEkkkk 213DEABk 22k 313DEAB 12313SS. 22.（12 分） 已知函数 sinexxtf x的导函数为 fx，其中e为自然对数的底数. （1）若0 xR，使得00fx，求实数t的取值范围； （2）当2t 时，0,x ， 10ekxfx恒成立，求实数k的取值范围. 【解析】 法一：【解析】 法一： （1） 2coseesincossieneesinxxxxxtxxtxftfxxxx 0fx有解cossintxx 有解 而有辅助角公式：22,sin24tx 故2, 2t 时， 0fx在R上有解. （2）由（1） 10cossineeeekxkxxxxxtfx 注意到e0 x，所以2c se0osinkxxxtt 即证明： 2ecossinkxg xxx在0,上成立. 01 102g esincoskxgxkxx 若： 0101kgk ， （取131lnkkxkk， 3ln11111esincos3sincoskkkxxkxxgxk 3 1 1110kkkk ） 0,， g x在0,上小于0 022gg矛盾！ 从而1k ，而我们显然有ekx在1,上关于k单增 即：e1ekxxk对0,x成立. esincosesincoskxxg xxxxxg x 11ecossine2sin4xxgxxxx， 1gx在30,4上单增， 1100gxg 1102ggx ，在30,4上成立，而34x时，3224ee24 12e1 1422gx ， 12gxg x 在1k 时成立. 法二：法二： （1） cossinexxxtfx 由题知00cossin0 xxt 有解，而00cossintxx 而000cossin2c, 2os42xxx ，故2, 2t （2）当2t 时， cossin2exxxfx 即10cossin2eekxxxx 整理有0cossin21ekxxx 令 cossin21ekxxxg x sincoscossin2ekxxxkxxgx 当1k 时， sincossin222cos0eekxkxgxcsoxxxxx g x单调递增， 00g xg，符合题意 当01k地， 010gk ，00 x，使00 xx时， 0g x， g x单调递减， 00g xg，不符合题意 当0k 时， 0g，不符题意 故1,k