浙江省杭州市2020-2021学年下学期高三年级教学质量检测（二模）数学试题（含答案 ）.pdf

2020 学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测 数学参考答案及评分标准 选择题部分（共40分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B C B D D B B A 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 114；1 或1 120，4 133，334 142，54125 15322 161 或 2 174 三、解答题： （本大题共 5 小题，共 74 分） ，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （本题满分 14 分） （）因为31 cos21( )sin2sin 22226xf xxx， 因为 2 22 262kxk， 解得,63kxkkZ 所以 f (x)的单调递增区间( , ),63kkkZ 7 分 （）1( )sin 263f AA，令26A，则02， 所以1sin3，2 2cos3， 则5222cos 2coscoscossinsin6333A 2 211332 232326 7 分 19 （本题满分 15 分） （）连接 CM 交 BD 于 F，连接 EN， 因为2CEDMEMAM， 所以2CECNEMNP， A B C D M N P （第 19 题） x y z F E 所以 EN/PM，又以为 EN平面 BDN，PM平面 BDN， 所以 PM/平面 BDN 7 分 （）取 BC 中点 F，易知 ADMF，ADPF， 所以 AD平面 PMF，所以 ADPM，建立如图所示的空间直角坐标系 Mxyz 则 A(1，0，0)，B(2，3，0)，C(2，3，0)，P(0，1，22)， 则 (1，1，22)， (2，2，22)， (4，0，0)， 设平面 PBC 法向量为 n(x，y，z)， 则00n BPn BC，即222 2040 xyzx， 取 n(0，2y，1)，设 PA 与平面 PBC 所成角的 ， 则 sin|cos|155， 所以 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为155 8 分 20 （本题满分 15 分） （）由 an2n2，b2k1ak， 得 b2k12k2， 又因为 b2k1，b2k，b2k1成等差数列，得 b2k32k3， 即2222， 所以b2k是首项为34，公比为 2 的等比数列 8 分 （）因为2 213 23 2223， 所以+2(+1)22(+1)(+1)21211(+1)2，( 1)， 所以 1201221+12211322+ +1211(+1)21 1(+1)27 分 21 （本题满分 15 分） （）点 A 处切线 l 方程：y2x1x21x，与椭圆 C2方程2212xy联立， 得2234111(1 8)8220 xxx xx，因为 l 与椭圆 C2相交， 故方程判别式624111644(1 8)(22)0 xxx ，求得210417x， 则 AB 直线方程为：2111122yxxx ，与抛物线方程 yx2联立，可得 23111220 x xxxx，由韦达定理，可得21112xxx ， 所以12111222xxxx，当且仅当112x 时，12xx取得最小值 2 7 分 （）记点 O，B 到直线 l 的距离分别为 d1，d2 则2112114xdx，221211221111 4111|2|1 4()244xdxxxxx， 所以 41122221214|41|(1 4)(4)dxDODBdxx 因为210417x，所以211417x， 故221|44(0,)1|17(4)DODBx 8 分 22 （本题满分 15 分） （）当 a1 时，设2( )( )( )ln(12xh xf xg xxx）， 则22214( )1(2)(1)(2)xh xxxxx， 当 x(0，)时，h(x)0，故 h(x)单调递增 所以0 x时，h(x)h(0)0，不等式 f (x)g(x)得证 7 分 （）由 P，Q 到 x 轴的距离相等，且 f (x)aln(x1)的单调知 P，Q 的纵坐标相反， 故设(e1,)maPm，(e1,)maQm，不妨设 m0 则点 P 处切线方程为(e1)emamaayxm， 则点 Q 处切线方程为(e1)emamaayxm 联立两直线方程，可得 M 交点021eemmaamax，02e (e)eemmaammaamayam 设0tam，则0022 e1,(1)eeeetttttttxyat， 要证 M 在第二象限，即证：x00，y00 要证0210eetttx ，即证ee20ttt，设( )ee2ttF tt， 则( )ee20ttF t，故 F(t)在(0，)上单调递增， 当 t0 时，F(t)F(0)0，即证 x00 要证02e(1)0eettttyat，即证：2e1eettttt， 只要证ee1eettttt，即证：22e11e1ttt设2e1tn，则2ln nt ， 则22e11e1ttt等价于121lnnnn，只需证2(1)ln1nnn， 且由（）知，x0 时，221ln(xxx）， 则有 n1 时，2(1)ln1nnn，故 y00 得证 所以对任意 a0，点 M 在第二象限 8 分