数学建模大赛论文范文.pdf
数学建模大赛论文范文一、问题重述在约 10,000 米高空的某边长 160 公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的其它飞机发生相撞。如果发生相撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机的飞行方向角，以避免碰撞。现假设条件如下： (1) 不相撞的标准为任意两架飞机的距离大于8 公里； (2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30 度； (3) 所有飞机的飞行速度均为每小时800 公里； (4) 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60 公里以上；(5) 最多需考虑 6 架飞机； (6) 不必考虑飞机离开此区域后的情况。请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过 0.01 度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域 4 个顶点的坐标为（0，0），（160，0），（160，160），（0，160）。记录数据为：注：方向角指飞行方向与 x 轴正向的夹角。二、问题分析此问题很容易想到以飞机调整的飞行角度平方和作为目标函数，而以每两架飞机之间的最小距离不超过 8km，各飞机飞行角度调整的值不超过30为约束条件。如此得出的是一个非线性模型，在计算上可能会复杂些，但一目了然。三、符号说明 t 表示表示时间； xi,yi 分别表示第 i 架飞机的横纵坐标（问题中已给出）；的飞行方向角（问题中已给出） dij(t)表示 t 时刻第 i 架飞机与第 j 架飞机间的距离；。 v 表示飞机的飞行高度（v800）四、模型的建立i 表示第 i 架飞机由题意可知，目标函数是 6 f i1i2约束条件为 Dijmindij2 t 6 ,i,j1,2,6,ij其中 dij(t) 2 2(yiyjvt(sin(ii)sin(jj)2(xixjvt(cos(ii)cos(jj)064 和i利用微积分的知识可求出 Dij，由 2d(dij) dt这里 a0t b a(xixj)(cos(ii)cos(ji)sin(ji)cos(jj)2j)j)(yiyj)(sin(i bv(cos(i(sin 2 )si(iin(jj将 t 代入即可求出 Dij。于是本问题的一个数学模型为minf ts.引入记号：Diji i1 6 2 i64 6 i,j1,6,ij1,6，g(g1,g15)T，（i,j1,2,6,ij 构成的向量，在下面的程序中计算），则模型变为 TminfT tg0s.vlbvubTTg 是由 64Dij 按其中 vlb 661,1,1,1,1,1，vub1,1,1,1,1,1。五、模型的求解调用 Matlab 命令 fmincon 求解，先写两个 M 函数 airfun.m 和 airfunco.m 如下： M 函数 airfun.m function f=airfun(delta) f=delta*delta; M 函数 airfunco.m function c,ceq=airfunco(delta) x0=150 85 150 145 130 0;y0=140,85,155,50,150,0; alpha0=243 236 220.5159 230 52*pi/180;v=800; co=cos(alpha0+delta);si=sin(alpha0+delta); for i=2:6 for j=1:i-1 t(i,j)=(x0(i)-x0(j)*(co(i)-co(j); t(i,j)=t(i,j)+(y0(i)-y0(j)*(si(i)-si(j); t(i,j)=-t(i,j)/v; t(i,j)=t(i,j)/(co(i)-co(j)2+(si(i)-si(j)2); if t(i,j) d(i,j)=(x0(i)-x0(j)+v*t(i,j)*(co(i)-co(j)2; d(i,j)=d(i,j)+(y0(i)-y0(j)+v*t(i,j)*(si(i)-si(j)2; end end end c=64-d(2,1),d(3,1:2),d(4,1:3),d(5,1:4),d(6,1:5);ceq=;在 Matlab 命令窗口计算如下： deltaini=zeros(1,6); vlb=-pi*ones(1,6)/6;vub=pi*ones(1,6)/6; options=optimset(LargeScale,off); dt,fval=fmincon(airfun,deltaini,vlb,vub,airfunco,options); d1=dt*180/pi,fval=d1*d1 d1 = 0.0000 0.0000 2.0683 -0.4896 -0.0055 1.5611 fval = 6.9547六、模型的检验及推广（略）
