数学建模大赛试题2000.pdf
Heganma 2000Heganma 2000 网易杯全国大学生数学建模竞赛题目网易杯全国大学生数学建模竞赛题目A A 题题 DNA DNA 序列分类序列分类2000 年 6 月，人类基因组计划中 DNA 全序列草图完成，预计 2001 年可以完成精确的全序列图，此后人类将拥有一本记录着自身生老病死及遗传进化的全部信息的“天书” 。这本大自然写成的“天书”是由 4 个字符 A，T，C，G 按一定顺序排成的长约30 亿的序列，其中没有“断句”也没有标点符号，除了这4 个字符表示 4 种碱基以外，人们对它包含的“内容”知之甚少，难以读懂。破译这部世界上最巨量信息的“天书”是二十一世纪最重要的任务之一。在这个目标中，研究DNA 全序列具有什么结构，由这4 个字符排成的看似随机的序列中隐藏着什么规律，又是解读这部天书的基础，是生物信息学（ Bioinformatics）最重要的课题之一。虽然人类对这部“天书”知之甚少，但也发现了DNA 序列中的一些规律性和结构。例如，在全序列中有一些是用于编码蛋白质的序列片段，即由这 4 个字符组成的 64 种不同的 3 字符串，其中大多数用于编码构成蛋白质的 20 种氨基酸。又例如，在不用于编码蛋白质的序列片段中， A 和 T 的含量特别多些，于是以某些碱基特别丰富作为特征去研究DNA 序列的结构也取得了一些结果。此外，利用统计的方法还发现序列的某些片段之间具有相关性，等等。这些发现让人们相信，DNA 序列中存在着局部的和全局性的结构，充分发掘序列的结构对理解DNA 全序列是十分有意义的。目前在这项研究中最普通的思想是省略序列的某些细节，突出特征，然后将其表示成适当的数学对象。这种被称为粗粒化和模型化的方法往往有助于研究规律性和结构。作为研究 DNA 序列的结构的尝试，提出以下对序列集合进行分类的问题： 1）下面有 20 个已知类别的人工制造的序列（见反面） ，其中序列标号110 为 A 类，11-20 为 B 类。请从中提取特征，构造分类方法，并用这些已知类别的序列，衡量你的方法是否足够好。然后用你认为满意的方法，对另外 20 个未标明类别的人工序列（标号 2140）进行分类，把结果用序号（按从小到大的顺序）标明它们的类别（无法分类的不写入） ： A 类； B 类。请详细描述你的方法，给出计算程序。如果你部分地使用了现成的分类方法，也要将方法名称准确注明。这 40 个序列也放在如下地址的网页上，用数据文件Art-model-data 标识，供下载：网易网址：教育频道在线试题；教育网： News mcm2000教育网： Nat-model-data 中给出了 182 个自然 DNA 序列，它们都较长。用你的分类方法对它们进行分类，像1）一样地给出分类结果。提示提示：衡量分类方法优劣的标准是分类的正确率， 构造分类方法有许多途径，例如提取序列的某些特征，给出它们的数学表示：几何空间或向量空间的元素等，然后再选择或构造适合这种数学表示的分类方法；又例如构造概率统计模型，然后用统计方法分类等。Art-model-data1.aggcacggaaaaacgggaataacggaggaggacttggcacggcattacacggaggacgaggtaaaggaggcttgtctacggccggaagtgaagggggatatgaccgcttgg2.cggaggacaaacgggatggcggtattggaggtggcggactgttcggggaattattcggtttaaacgggacaaggaaggcggctggaacaaccggacggtggcagcaaagga3.gggacggatacggattctggccacggacggaaaggaggacacggcggacatacacggcggcaacggacggaacggaggaaggagggcggcaatcggtacggaggcggcgga4.atggataacggaaacaaaccagacaaacttcggtagaaatacagaagcttagatgcatatgttttttaaataaaatttgtattattatggtatcataaaaaaaggttgcga5.cggctggcggacaacggactggcggattccaaaaacggaggaggcggacggaggctacaccaccgtttcggcggaaaggcggagggctggcaggaggctcattacggggag6.atggaaaattttcggaaaggcggcaggcaggaggcaaaggcggaaaggaaggaaacggcggatatttcggaagtggatattaggagggcggaataaaggaacggcggcaca7.atgggattattgaatggcggaggaagatccggaataaaatatggcggaaagaacttgttttcggaaatggaaaaaggactaggaatcggcggcaggaaggatatggaggcg8.atggccgatcggcttaggctggaaggaacaaataggcggaattaaggaaggcgttctcgcttttcgacaaggaggcggaccataggaggcggattaggaacggttatgagg9.atggcggaaaaaggaaatgtttggcatcggcgggctccggcaactggaggttcggccatggaggcgaaaatcgtgggcggcggcagcgctggccggagtttgaggagcgcg10.tggccgcggaggggcccgtcgggcgcggatttctacaagggcttcctgttaaggaggtggcatccaggcgtcgcacgctcggcgcggcaggaggcacgcgggaaaaaacg11.gttagatttaacgttttttatggaatttatggaattataaatttaaaaatttatattttttaggtaagtaatccaacgtttttattactttttaaaattaaatatttatt12.gtttaattactttatcatttaatttaggttttaattttaaatttaatttaggtaagatgaatttggttttttttaaggtagttatttaattatcgttaaggaaagttaaa13.gtattacaggcagaccttatttaggttattattattatttggattttttttttttttttttttaagttaaccgaattattttctttaaagacgttacttaatgtcaatgc14.gttagtcttttttagattaaattattagattatgcagtttttttacataagaaaatttttttttcggagttcatattctaatctgtctttattaaatcttagagatatta15.gtattatatttttttatttttattattttagaatataatttgaggtatgtgtttaaaaaaaatttttttttttttttttttttttttttttttaaaatttataaatttaa16.gttatttttaaatttaattttaattttaaaatacaaaatttttactttctaaaattggtctctggatcgataatgtaaacttattgaatctatagaattacattattgat17.gtatgtctatttcacggaagaatgcaccactatatgatttgaaattatctatggctaaaaaccctcagtaaaatcaatccctaaacccttaaaaaacggcggcctatccc18.gttaattatttattccttacgggcaattaattatttattacggttttatttacaattttttttttttgtcctatagagaaattacttacaaaacgttattttacatactt19.gttacattatttattattatccgttatcgataattttttacctcttttttcgctgagtttttattcttactttttttcttctttatataggatctcatttaatatcttaa20.gtatttaactctctttactttttttttcactctctacattttcatcttctaaaactgtttgatttaaacttttgtttctttaaggattttttttacttatcctctgttat21.tttagctcagtccagctagctagtttacaatttcgacaccagtttcgcaccatcttaaatttcgatccgtaccgtaatttagcttagatttggatttaaaggatttagattga22.tttagtacagtagctcagtccaagaacgatgtttaccgtaacgtqacgtaccgtacgctaccgttaccggattccggaaagccgattaaggaccgatcgaaaggg23.cgggcggatttaggccgacggggacccgggattcgggacccgaggaaattcccggattaaggtttagcttcccgggatttagggcccggatggctgggaccc24.tttagctagctactttagctatttttagtagctagccagcctttaaggctagctttagctagcattgttctttattgggacccaagttcgacttttacgatttagttttgaccgt25.gaccaaaggtgggctttagggacccgatgctttagtcgcagctggaccagttccccagggtattaggcaaaagctgacgggcaattgcaatttaggcttaggcca26.gatttactttagcatttttagctgacgttagcaagcattagctttagccaatttcgcatttgccagtttcgcagctcagttttaacgcgggatctttagcttcaagctttttac27.ggattcggatttacccggggattggcggaacgggacctttaggtcgggacccattaggagtaaatgccaaaggacgctggtttagccagtccgttaaggcttag28.tccttagatttcagttactatatttgacttacagtctttgagatttcccttacgattttgacttaaaatttagacgttagggcttatcagttatggattaatttagcttattttcga29.ggccaattccggtaggaaggtgatggcccgggggttcccgggaggatttaggctgacgggccggccatttcggtttagggagggccgggacgcgttagggc30.cgctaagcagctcaagctcagtcagtcacgtttgccaagtcagtaatttgccaaagttaaccgttagctgacgctgaacgctaaacagtattagctgatgactcgta31.ttaaggacttaggctttagcagttactttagtttagttccaagctacgtttacgggaccagatgctagctagcaatttattatccgtattaggcttaccgtaggtttagcgt32.gctaccgggcagtctttaacgtagctaccgtttagtttgggcccagccttgcggtgtttcggattaaattcgttgtcagtcgctctrtgggtttagtcattcccaaaagg33.cagttagctgaatcgtttagccatttgacgtaaacatgattttacgtacgtaaattttagccctgacgtttagctaggaatttatgctgacgtagcgatcgactttagcac34.cggttagggcaaaggttggatttcgacccagggggaaagcccgggacccgaacccagggctttagcgtaggctgacgctaggcttaggttggaacccggaaa35.gcggaagggcgtaggtttgggatgcttagccgtaggctagctttcgacacgatcgattcgcaccacaggataaaagttaagggaccggtaagtcgcggtagcc36.ctagctacgaacgctttaggcgcccccgggagtagtcgttaccgttagtatagcagtcgcagtcgcaattcgcaaaagtccccagctttagccccagagtcgacg37.gggatgctgacgctggttagctttaggcttagcgtagctttagggccccagtctgcaggaaatgcccaaaggaggcccaccgggtagatgccasagtgcaccgt38.aacttttagggcatttccagttttacgggttattttcccagttaaactttgcaccattttacgtgttacgatttacgtataatttgaccttattttggacactttagtttgggttac39.ttagggccaagtcccgaggcaaggaattctgatccaagtccaatcacgtacagtccaagtcaccgtttgcagctaccgtttaccgtacgttgcaagtcaaatccat40.ccattagggtttatttacctgtttattttttcccgagaccttaggtttaccgtactttttaacggtttacctttgaaatttttggactagcttaccctggatttaacggccagtttB B 题题钢管订购和运输钢管订购和运输要铺设一条A1 A2 A15的输送天然气的主管道, 如图一所示(见反面)。 经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有S1,S2,S7。 图中粗线表示铁路， 单细线表示公路， 双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位 km)。为方便计，1km 主管道钢管称为 1 单位钢管。一个钢厂如果承担制造这种钢管， 至少需要生产 500 个单位。 钢厂Si在指定期限内能生产该钢管的最大数量为si个单位，钢管出厂销价 1 单位钢管为pi万元，如下表：i180028003100042000520006200073000sipi1601551551601551501601 单位钢管的铁路运价如下表：里程(km)运价(万元)里程(km)运价(万元)5016003760170044701800508019005590110006030020301350233514002640145029451500321000km 以上每增加 1 至 100km 运价增加 5 万元。公路运输费用为 1 单位钢管每公里 0.1 万元（不足整公里部分按整公里计算） 。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点A1,A2,A15，而是管道全线） 。（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。290S3S269012007202021100201953061150600105194A6A56061031201A8A7S11242701017052088462S510220S432016070307062S611042030S72069016020A15500A14A13210A12480680A9300A11A10450802053104A12750A4A2A3301图一290S3S26901200720A162021100201953061150600105194A6A56067502A4A33011031S1124217052088S4A1816013016070A2010030260S670(A21)320A196211042030S72069020A15190462500A14A177010S510220A13210A12480A9680300A10A11201A8205A745080图二3104A1A220002000 网易杯全国大学生数学建模竞赛题目网易杯全国大学生数学建模竞赛题目( (大专组大专组) )C C 题题飞越北极飞越北极今年 6 月，扬子晚报发布消息： “中美航线下月可飞越北极， 北京至底特律可节省 4 小时” ，摘要如下：7 月 1 日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4 个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。假设：飞机飞行高度约为 10 公里，飞行速度约为每小时 980 公里；从北京至底特律原来的航线飞经以下 10 处：A1 (北纬 31 度，东经 122 度)；A2 (北纬 36 度，东经 140 度)；A3 (北纬 53 度，西经 165 度)；A4 (北纬 62 度，西经 150 度);A5 (北纬 59 度，西经 140 度)；A6 (北纬 55 度，西经 135 度)；A7 (北纬 50 度，西经 130 度)；A8 (北纬 47 度，西经 125 度)；A8 (北纬 47 度，西经 122 度)；A10 (北纬 42 度，西经 87 度)。请对“北京至底特律的飞行时间可节省4 小时“从数学上作出一个合理的解释，分两种情况讨论：（1）设地球是半径为 6371 千米的球体；（2）设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378 千米，子午线短半轴为6357 千米。D D 题题空洞探测空洞探测山体、隧洞、坝体等的某些内部结构可用弹性波测量来确定。一个简化问题可描述为，一块均匀介质构成的矩形平板内有一些充满空气的空洞，在平板的两个邻边分别等距地设置若干波源，在它们的对边对等地安放同样多的接收器，记录弹性波由每个波源到达对边上每个接收器的时间，根据弹性波在介质中和在空气中不同的传播速度，来确定板内空洞的位置。现考察如下的具体问题：一块 240（米）240（米）的平板（如图） ，在 AB 边等距地设置 7 个波源 Pi(i=1,7)，CD 边对等地安放 7 个接收器 Qj(j=1,7)，记录由 Pi发出的弹性波到达 Qj的时间 tij(秒); 在 AD 边等距地设置 7 个波源Ri(i=1,7)， BC边对等地安放7个接收器Sj(j=1,7)， 记录由Ri发出的弹性波到达Sj的时间ij(秒)。已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为2880（米/秒）和320（米/秒） ，且弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。1）确定该平板内空洞的位置。2）只根据由 Pi发出的弹性波到达 Qj的时间 tij(i,j=1,7)，能确定空洞的位置吗；讨论在同样能够确定空洞位置的前提下，减少波源和接受器的方法。DQjCRiSjAtijP1P2P3P4P5P6P7ijR1R2R3R4R5R6R7Q10.06110.09890.30520.32210.34900.38070.4311S10.06450.07530.34560.36550.31650.27490.4434Q20.08950.05920.41310.44530.45290.31770.3397PiQ30.19960.44130.05980.40400.22630.23640.3566S30.08130.28520.09740.42470.32140.58950.3904Q40.20320.43180.41530.07380.19170.30640.1954S40.35160.43410.40930.10070.32560.30160.0786BQ50.41810.47700.41560.17890.08390.22170.0760S50.38670.34910.42400.32490.09040.20580.0709Q60.49230.52420.35630.07400.17680.09390.0688S60.43140.48000.45400.21340.18740.08410.0914Q70.56460.38050.19190.21220.18100.10310.1042S70.57210.49800.31120.10170.21300.07060.0583S20.06020.07000.32050.32890.24090.38910.4919
