14角平分线的性质与判定.ppt
1.4角平分线的性角平分线的性质与判定质与判定ADBCEADCB 杨杨 平平AOBC活活 动动1（对折）（对折）1、如图，是一个角平分仪，、如图，是一个角平分仪，其中其中AB=AD,BC=DC。将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画一画一条射线条射线AE,AE就是角平分线，就是角平分线，你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?活活 动动2ADBCE 如果前面活动中的纸片换成木板、如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办呢？p2、证明： 在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知） DC=BC（已知）（已知） CA=CA（公共边）（公共边） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等） AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE 根据角平分仪的制作原理怎样作根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）量角器）OABCE活活 动动3NOMCENM分别以，为圆心大于 的长为半径作弧两弧在AOB的内部交于21作法：以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于作射线OC则射线即为所求 (1)实验实验：将：将AOB对折，再折出一个直角对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活活 动动4 (2)(2)猜想猜想: :角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的距离相等两边的距离相等. .题设：一个点在一个角的平分线上题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等证明：证明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分线的定义）（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO= PEO= 90（垂直的定义）（垂直的定义） 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO（已证）（已证） 1= 2 （已证）（已证） OP=OP （公共边）（公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） P PA AOOB BC CE EDD12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于点于点DD，PEOBPEOB于点于点E E求证求证: PD=PE: PD=PE活活 动动4(3)验证猜想验证猜想(4)得到角得到角平分线的平分线的性质：性质：活活 动动4 利 用 此 性 质利 用 此 性 质怎样书写推理过怎样书写推理过程程? 1= 2, PD OA， PE OB（已知）（已知）PD=PE（全等三（全等三角形的对应边相等）角形的对应边相等）P PA AOOB BC CE EDD12 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（ ） 如图，如图， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（） AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ， （ ） DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。ADCB不必再证全等不必再证全等，OABED思考：思考：如图所示如图所示OC是是AOB 的平分线的平分线,P 是是OC上任意上任意一点一点,问问PE=PD?为为 什么什么?CPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不是角它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等所以不一定相等思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路 如 图 ： 在 如 图 ： 在 A B C 中 ，中 ，C=90 AD是是BAC的平分的平分线，线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF； 求证：求证：CF=EBACDEBF 分析分析:要证要证CF=EB,首先我们想到的是要证它首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB. 现已有一个条件现已有一个条件BD=DF(斜边相等斜边相等),还需还需要我们找什么条件要我们找什么条件DC=DE (因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质) 再用再用HL证明证明.试试自己写试试自己写证明。你一证明。你一定行！定行！ 做一做做一做驶向胜利的彼岸w已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分线是它的角平分线, ,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.w求证求证:EB=FC. :EB=FC. 老师期望老师期望: :做完题目后做完题目后, ,一定要一定要“悟悟”到点东到点东西西, ,纳入到自己的认知结构中去纳入到自己的认知结构中去. . BAEDCFDEFABCPMN变式：变式：如图，如图，的的的外角的平的外角的平分线与分线与的外角的平分线相交于的外角的平分线相交于点求证：点到三边，点求证：点到三边，所在直线的距离相等所在直线的距离相等F FGH一、过程小结：一、过程小结：情境情境观察观察作图作图应用应用探究探究再应用再应用二、知识小结：二、知识小结：本节课学习了那些知识？有哪些运用？你本节课学习了那些知识？有哪些运用？你学了吗？做了吗？用了吗？学了吗？做了吗？用了吗？w 定理定理 角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个角的两边距离相等角的两边距离相等. .w OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已知已知) )PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等).).w 用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线. .小结 拓展OCB1A2PDE已知：已知：PD OA ，PE OB，垂足分别是，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：求证： 点点P在在AOB的平分线上。的平分线上。角平分线的判定定理角平分线的判定定理AOBPDEC用符号语言表示为：用符号语言表示为：PD=PE PD OA ，PE OB 1= 2 . 角的平分线是到角的两边距离相角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合等的所有点的集合.练一练练一练填空：填空：(1). 1= 2,DCAC, DEAB _(_)(1). DCAC ,DEAB ,DC=DE_(_ _)ACDEB121= 2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等2.已知：如图，已知：如图，C= C=90 AC=AC 求证求证（1） ABC= ABC ； （2）BC=BC .（要求不用三角形全等的判定）（要求不用三角形全等的判定）BCAC例例1 1 已知：在等腰已知：在等腰RtRtABCABC中，中，AC AC BCBC C C9090，ADAD平分平分 BACBAC，DEABDEAB于点于点E E。 求证：求证：BDBDDE DE ACAC 变式变式 已知已知AB 15cm, 求求DBE的周长的周长EDCBA利用结论，解决问题练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。A A A A A A ADNE BFMCA 1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定角平分线的判定定理定理:到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。分线上。 3.角平分线的性质定理和角平分线的判角平分线的性质定理和角平分线的判定定定理是证明角相等、线段相等的新途径定理是证明角相等、线段相等的新途径.再再 见见
