量子力学总结 习题 考卷及答案.pdf

第一章第一章玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。普朗克量子假说：表述 1：对于一定频率 的辐射，物体只能以 h 为能量单位吸收或发射电磁辐射。表述 2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为： =h 。表述 3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量 的整数倍来实现，即 ，2 ，3 ，。光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。光电效应有两个突出的特点：存在临界频率0：只有当光的频率大于一定值 v0时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。光电子的能量只与光的频率有关， 与光的强度无关。 光的强度只决定光电子数目的多少。爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= h 的微粒形式出现， 而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程光电效应机理：当光射到金属表面上时， 能量为 E= h的光子立刻被电子所吸收， 电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。解释光电效应的两个典型特点：存在临界频率 v0：由上式明显看出，当 h - W00 时，即 0 = W0 / h 时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。光电子动能只决定于光子的频率： 上式表明光电子的能量只与光的频率 有关， 而与光的强度无关。康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。康普顿效应的实验规律：散射光中，除了原来X 光的波长 外，增加了一个新的波长为 的 X 光，且 ；波长增量 = - 随散射角增大而增大。量子现象凡是普朗克常数h 在其中起重要作用的现象光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。E h h P n kh2 , k n2光谱线：光经过一系列光学透镜及棱镜后， 会在底片上留下若干条线， 每个线条就是一条光谱线。所有光谱线的总和称为光谱。线状光谱：原子光谱是由一条条断续的光谱线构成的。21.标识线状光谱：对于确定的原子，在各种激发条件下得到的光谱总是完全一样的，也就是说，可以表征原子特征的线状光谱。22.戴维逊-革末实验证明了什么？第二章第二章量子力学中，原子的轨道半径的含义。波函数的物理意义：某时刻t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t 该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。 按照这种解释， 描写粒子的波是几率波。波函数的特性：波函数乘上一个常数后， 并不改变在空间各点找到粒子的几率， 即不改变波函数所描写的状态。波函数的归一化条件(x,y,z,t) d1(2.1-7)2态叠加原理：若体系具有一系列不同的可能状态1，2，n，则这些可能状态的任意线性组合，也一定是该体系的一个可能的状态。 也可以说，当体系处于态时，体系部分地处于态1，2，n 中。波函数的标准条件：单值性，有限性和连续性，波函数归一化。定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。 定态波函数：描述定态的波函数称为定态波函数。 。定态的性质： 由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。 粒子几率流密度不随时间改变。任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变。本征方程、本征值和本征波函数： 在量子力学中，若一个算符作用在一个波函数上， 等于一个常数乘以该波函数， 则称此方程为该算符的本征方程。 常数 fn为该算符的第 n 个本征值。波函数n为 fn相应的本征波函数。束缚态：在无穷远处为零的波函数所描述的状态。基态：体系能量最低的态。宇称：在一维问题中，凡波函数 (x)为 x 的偶函数的态称为偶(正)宇称态；凡波函数 (x)为 x 的奇函数的态称为奇(负)宇称态。在一维空间内运动的粒子的势能为( 2x2)/2， 是常数，这种粒子构成的体系称为线性谐振子。), ),n n 0, ,1, ,2, ,3, ,线性谐振子的能级为：E En n ( (n n12透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比。 反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比。隧道效应：粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。求证：在薛定谔方程中2i i ( (r r, ,t t) ) 2V V( (r r) ) ( (r r, ,t t) )t t2 只有当势能 V(r)为实函数时，连续性方程 w w( (r r, ,t t) ) J J 0才能成立。t t设一个质量为 的粒子束缚在势场中作一维运动，其能量本征值和本征波函数分别为En,n，n=1，2，3，4、。求证： m m( (x x) ) n n( (x x) )dxdx 0，m m n n对一维运动的粒子，设1(x)和 2(x)均为定态薛定谔方程的具有相同能量E 的解，求证： 1( (x x) ) 2 1( (x x) ) 2( (x x) )( (x x) ) 常常 数数一粒子在一维势场a a,x x 2U U(x x) 0， a a x x a a22,x x a a2中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 体系处于 (x,t)态，几率密度 (x,t)=？几率流密度 j(x,t)=？证明：证明： J Jt tx x21设粒子波函数为 (r,t),写出粒子几率守恒的微分表达式。22量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别？答: 量子力学的波函数是一种概率波，没有直接可测的物理意义，它的模方表示概率，才有可测的意义；经典的波场代表一种物理场，有直接可测的物理意义。23什么是量子力学中的定态？它有什么特征？24设C C( (p p, ,t t) )为归一化的动量表象下的波函数，写出C C( (p p, ,t t) ) dpdp的物理意义。25设质量为 粒子处于如下势垒中U Ux x x x0U U(x x) 0(1)0 x x x x02若 U00，E0，求在 x=x0处的反射系数和透射系数。26设质量为 粒子沿 x 轴正方向射向如下势垒V Vx x x x0U U( (x x) ) 0 00 x x x x0若 V00，E0，求在 x=x0处的反射系数和透射系数。27一个粒子的波函数为x xA Aa a, ,0 x x a a, ,( (b b x x) ), ,a a x x b b, ,A A, ,a a, ,b b都都是是常常数数。 ( (x x) ) A A( (b ba a) )0, ,其其他他，求：归一化常数A；画出 ( (x x) )与x x关系图，并求粒子出现最大几率的点。在0 x x a a区间找到粒子的几率。在b b a a和b b 2a a时的几率。x x的平均值。 28A A2 I I，I I为单位矩阵，则算符A A的本征值为_。29自由粒子体系，_守恒；中心力场中运动的粒子_守恒。30力学量算符应满足的两个性质是。厄密算符的本征函数具有。第三章第三章算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号， 量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。为厄密算符。满足下列等式 F F dxdx F F dxdx，厄密算符的定义： 如果算符F则称F 式中 和 为任意波函数，x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。厄密算符的性质： 厄密算符的本征值必是实数。 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目。氢原子的电离态：氢原子中的电子脱离原子的束缚，成为自由电子的状态。电离能：电离态与基态能量之差氢原子中在半径 r 到 r+dr 的球壳内找到电子的概率是：WWnlnl( (r r) )drdr R R2( (r r) )r r2drdrn nl l在方向(，)附近立体角 d 内的概率是：w wlmlm( ( , , ) )d d Y Ylmlm( ( , , ) ) d d 2d d 0 0式中积分是对变量变化的全部区域进行的，两函数 1和 2正交的条件是： 12则称函数 1和 2相互正交。正交归一系：满足正交条件的归一化本征函数k或l。的正交归一本征波函数， 是本厄密算符本征波函数的完全性：如果n(r)是厄密算符Fn征值，则任一波函数 (r)可以按n(r)展开为级数的性质。或者说 n(r)组成完全系。的本征态 时，算符与力学量的关系： 当体系处于算符F力学量 F 有确定值，这个值就是在 态中的本征值。力学量在一般的状态中没有确定的数值，而有一系列的可能值，算符F这些可能值就是表示这个力学量的算符的本征值。每个可能值都以确定的几率出现。 B B 。 B B A A , ,B B A A算符对易关系：A A与B是可对易的； , ,B B 0 0，则称算符A可对易算符：如果A A与B是不对易的。 , ,B B 0 0，则称算符A不对易算符：如果A A两力学量同时有确定值的条件： 有一组共同本征函数n，而且n组成完全系，则算符 和和 G G定理 1：如果两个算符F F对易。 对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。 和和 G G定理 2：如果两个算符F F测不准关系：当两个算符不对易时，它们不能同时有确定值，2( (F)F)2 2( (G G ) )2 2k k4量子力学中力学量运动守恒定律形式是： d d F FF F1F F , , H H 0dt dtt ti i量子力学中的能量守恒定律形式是： , , H H 0d dH H1 H Hdt dti i空间反演：把一个波函数的所有坐标自变量改变符号(如 rr)的运算。宇称算符：表示空间反演运算的算符。宇称守恒：体系状态的宇称不随时间改变。一维谐振子处在基态(x) (1) 势能的平均值U (2) 动能的平均值T22e2x2it22，求：12x2；2p2；2 (3) 动量的几率分布函数。0 x2ne xdx (2n 1)!n12n12证明下列关系式： ，p p i i , 2L L , , L L 0, ,( ( x x, , y y, , z z) ) L Lx x, , L Ly y i iL Lz z ( ( x x, , y y, ,z z) )综综合合写写成成：L L L L i iL LL Ly y, ,L Lz z i iL Lx xL L ，L L 0， L Lz z, , L Lx x i iL Ly y L LL LL L 0, ,( ( x x, , y y, ,z z) ), , y y i iz z; ; , ,x xy y, ,x x i iz z L LL Lz z, , y y i ix xL Lz z, ,x x i iy y; ; L Lx x, ,z z i iy yy y, ,z z i ix x; ; L LL L ; ;L L p p 0, ,( ( x x, , y y, ,z z) ), , p p i ip p, , p p i ip p , , x xy yz zy yx xz z L LL LL L ; ; L L ; ; , , p p i ip p, , p p i ip p, , p p i ip py yz zx xz zy yx xz zx xy yx x, , p pz z i ip py y量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？表示力学量的厄密算符的所有本征函数构成； 力学量的取值范围就是该算符的所有。厄密算符有什么性质？试证明厄密算符的本征值必是实数。 试证明厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。21. 证明算符关系： L L p px x, p p2f f(x x) 2i ip pf f(x x),x x, p pf f(x x)p p i i p pf f(x x) L L 2i ip pf f(x x)p p,p px xx xx xx xx xx x 22. 试证明算符L Lx x y yp pz z z zp py y是厄密算符。 和L L23. 写出角动量分量L Ly y之间的对易关系。x x , , f f( (x x) ) i if f( (x x) )24.f f( (x x) )是x x的可微函数，证明：p px xx x 各为厄密算符，试证明：A A 对易。25.A AB B也是厄密算符的条件是A A, ,B B与与B B26. 粒子在宽度为 a 的非对称一维无限深势阱中，其本征能量和本征波函数为：2 2n n( ( x x) )( (E En n 2n n2,n n 1,2,3, n n( (x x) ) 2s s i i n n0 x x a a) )a aa a2 a a当体系处于状态 ( (x x) ) AxAx( (a a x x) )时（A 是归一化常数） ，证明：4216 ；14 96960n n1, ,3, ,5n n1, ,3, ,5, ,n n27. 氢原子处在基态 ( (r r, , , , ) ) 1e ea a0，求： a a0r r(1) r 的平均值；(2) 势能e e的平均值r r2(3) 动量的几率分布函数。28. 一维运动粒子的状态是A A x xe e x xx x 0 ( (x x) ) 0其中其中 00 x x 求： （1） 粒子动量的几率分布函数； （2）粒子的平均动量。! !）（利用公式0 x xm me e x xdxdx m mm m 129. 设氢原子处在状态 ( (r r, , , , ) ) 53R R21( (r r) )Y Y10( ( , , ) )1R R ( (r r) )Y Y11( ( , , ) )3R R21( (r r) )Y Y11( ( , , ) )2313试求氢原子能量、角动量平方及角动量 z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。30. 量子力学中，体系的任意态 ( (x x) )可用一组力学量完全集的共同本征态 n n( (x x) )展开： ( (x x) ) c cn n n n( (x x) )，写出展开式系数c cn n的表达式。n n31. 设粒子的波函数为b bsinsinbxbx, ,x x 2 2 b b （x x）0 0，x x 2 b bA给出在该态中粒子动量的可能测量值及相应的几率振幅；B求出几率最大的动量值。32. 力学量算符在自身表象中的表示是一个矩阵； 同一个力学量算符在不同表象中的表示通过一个矩阵相联系。 33. 设一力学量为F F ，求F F的本征值和本征函数。 2 P P ，试判 断 e e x x34. 电子在 均匀电场E E , , 0, , 0中运动 ，哈密顿量 为H H 2 L Lx x, , L Ly y, , L Lz z各量中哪些是守恒量，为什么？第四章第四章基底： 设 e1, e2, e3为线性无关的三个向量， 空间内任何向量 v 必是 e1, e2, e3的线性组合，则 e1, e2, e3称为空间的基底。正交规范基底：若基底的向量互相垂直，且每一向量的长度等于 1，这样的基底叫做正交规范基底。希耳伯特空间：如果把本征波函数 m 看成类似于几何学中的一个矢量(这就是波函数有时称为态矢量或态矢的原因)，则波函数的集合 m构成的一个线性空间。表象：量子力学中，态和力学量的具体表示方式。 2 和L L 的共同表象中，算符L L设已知在L L和L Ly y的矩阵分别为x xz z01 10 00i i0 0 2 2 L Lx x1 10 01 1；L Ly yi i0 0i i220 01 10 00 0i i0 0求它们的本征值和归一化的本征函数。第五章第五章(0)(0)微扰论：由En求出En，由n求出n的近似求解方法。斯塔克效应：在外电场中，原子光谱产生分裂的现象。分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。周期微扰产生跃迁的条件是： mkmk或或 m m k k ，说明只有当外界微扰含有频率 mkmk时，体系才能从k k态跃迁到m m态，这时体系吸收或发射的能量是 mkmk，这表明周期微扰产生的跃迁是一个共振跃迁。光的吸收现象： 在光的照射下， 原子可能吸收光的能量由较低的能级跃迁到较高的能级的现象。原子的受激辐射(跃迁)现象：在光的照射下，原子从较高的能级跃迁到较低的能级而放出光的现象。原子的自发辐射(跃迁)现象：在无光照射时，处于激发态的原子跃迁到较低能级而发光的现象。自发发射系数A Amkmk：表示原子在单位时间内，由 m m能级自发跃迁到 k k能级，并发射出能量为 mkmk的光子的几率。受激发射系数B Bmkmk：作用于原子的光波在 d d 频率范围内的能量密度是I I( ( ) )d d ，则在单位时间内，原子由 m m能级受激跃迁到能级 k k、并发射出能量为 mkmk的光子的几率是B BmkmkI I( ( mkmk) )。吸收系数B Bkmkm：原子由低能级 k k跃迁到高能级 m m、并吸收能量为 mkmk的光子的几率是B BkmkmI I( ( mkmk) )。给出跃迁的黄金规则公式，简单说明式中各个因子的含义。在 H0表象中，若哈密顿算符的矩阵形式为：E E00a a10H H 0E E2b b0a ab bE E300 E3其中E10 E2。利用微扰理论求能量至二级近似。设一体系未受微扰作用时只有两个能级 E01及 E02，现在受到微扰的作用。微扰矩阵元为H H12 H H21 a a, ,H H11 H H22 b b; a, b 都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。质量为的粒子处于势能0, ,0 x x a aV V（x x）， ，其他其他 x x2，试求基态与第一激发态能量的一级修正。中。假设它又经受微扰H H一粒子在(0,2(0,2a a) )的一维无限深势阱中运动，若微扰为 b b, ,0 x x a a H H b b, ,a a x x 2a a求近似到一级修正的粒子能量。) )的作用，求能量的一级修正。一维无限深势阱中的粒子受到微扰H H( (x x) ) kxkx( (k k为常数为常数 0表象中，体系的哈密顿 为已知在H HH HE E( (0) )0 00 01a a0 0a a ( (0) )H H 0E E2 20 0000 0( (0) )a a0 02a a00 0E E3 3( (0) )( (0) )( (0) ) E E2 2 E E3 3其中 a,b 为小量，a 为实数，E E1，求近似到二级修正的能量值。一粒子在一维无限深势阱中运动，若微扰为a a0, ,0 x x 2V V( (x x) ) b b, ,a a x x a a2, ,x x 0, , x x a ab 为小量，求近似到一级修正的粒子能量。微扰理论适用的条件和情况。第七章第七章斯特恩-革拉赫实验证明电子存在自旋理由。塞曼效应：在外磁场中，每一条光谱线劈裂成一组相邻谱线的现象。简单(正常)塞曼效应：无外磁场时的一条光谱线，在磁场中将分裂为三条光谱线。产生的条件是：当外磁场足够大时，自旋和轨道运动间相互作用可以忽略。复杂(反常)塞曼效应：无外磁场时的一条光谱线，在磁场中将分裂为更多条光谱线。产生的条件是：在弱外磁场中，必须考虑自旋和轨道运动间相互作用。两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量S：S S s s( (s s 1) )，s s s s1 s s2，s s1 s s21 ， 0所以两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量只能有两个可能值。两个电子轨道角动量耦合的轨道总角动量L：L L l l( (l l 1) ), , l l l l1l l2, , l l1l l21, , l l1l l22, , , , l l1l l2对于两个电子，就有几个可能的轨道总角动量。电子自旋角动量与轨道角动量耦合为一个总角动量J1：J J1 l l1 s s1, , l l1 s s1，s s112每个电子只有两个 J1值。LS 耦合总角动量 J：J J j j( (j j 1) ), ,j j l l s s, , l l s s 1, , l l s s 2, , , , l l s sjj jj 耦合总角动量 J：J J j j( (j j 1) ), ,j j j j1 j j2, , j j1 j j21, , j j1 j j22, , , , j j1 j j2价电子：原子最外层的电子。原子的化学性质以及光谱特性都决定于价电子。内层电子：原子中除价电子外的剩余电子。原子实：原子核与内层电子组成一个完整而稳固的结构。电子组态：价电子所处的各种状态。原子态：原子中电子体系的状态。原子态符号：用来描述原子状态的符号。原子态符号规则：用轨道总量子数l、自旋总量子数 s 和总角动量量子数 j 表示轨道总量子数 l=0,1,2, ，对应的原子态符号为S,P,D,F,H,I,K,L, ; ;原子态符号左上角的数码表示重数，大小为2s s +1,表示能级的个数。原子态符号右下角是 j j 值 ，表示能级对应的 j j 值 。形式为：2s s1S Sj j, ,2s s1P Pj j, ,2s s1D Dj j, ,2s s1F Fj j, ,光谱的精细结构： 用分辨率足够高的仪器观察类氢原子的光谱线， 会发现每一条光谱线并不是简单的一条线，而是由二条或三条线组成的结构，这种结构称为光谱的精细结构。原子态能级的排序(洪特定则)：(1)从同一电子组态形成的、具有相同 L 值的能级中，那重数最高的，即 S 值最大的能级位置最低；(2)从同一电子组态形成的、具有不同L 值的能级中，那具有最大L 值的位置最低。辐射跃迁的普用选择定则：1、选择定则：原子光谱表明，原子中电子的跃迁仅发生在满足一定条件的状态之间，这些条件称为选择定则。2、原子的宇称：如果原子中各电子的 l l 量子数相加，得到偶数，则原子处于偶宇称状态；如果是奇数，则原子处于奇宇称状态。3、普遍的选择定则：跃迁只能发生在不同宇称的状态间，偶宇称到奇宇称，或奇宇称到偶宇称。电子能否有跃迁首先要考虑这一条，然后按照耦合类型再有以下定则。LS 耦合选择定则：S S 0 0，要求单一态电子只能跃迁到单一态，三重态电子只能跃迁到三重态。l l 0, , 1，当l l 0时，要考虑宇称奇偶性改变的要求。j j 0, , 1，j j 0至至 j j 0的跃迁是禁止的。jj jj 耦合选择定则：j j1j j2 0, , 1j j 0, , 1，j j 0至至 j j 0的跃迁是禁止的。全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同微观粒子。全同粒子的特性：全同粒子具有不可区分性， 只有当全同粒子的波函数完全不重叠时， 才是可以区分的。21.全同性原理: 在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。22.对称波函数：设 qi表示第 i 个粒子的坐标和自旋，(q1,qi,qj,t)表示体系的波函数。如果两粒子互换后波函数不变，则 是 q 的对称波函数。23.反对称波函数：设qi表示第 i 个粒子的坐标和自旋，(q1,qi,qj,t)表示体系的波函数。如果两粒子互换后波函数变号，则是 q 的反对称波函数。24.对称性守恒原理：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。 如果体系在某一时刻处于对称(反对称)的状态， 则它将永远处于对称(反对称)的状态上。25.费密子：自旋为或奇数倍的全同粒子。费密子的特点：组成体系的波函数是反对称22 的，服从费密狄拉克统计。26.玻色子：自旋为零、或整数倍的全同粒子。玻色子的特点：组成体系的波函数是对称的，服从玻色爱因斯坦统计。27.交换简并：由全同粒子相互交换而产生的简并。28.泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态。29.交换能的出现，是由于全同粒子的波函数必须是对称波函数或反对称波函数的缘故。30.交换能 J 与交换密度有关，其大小决定于两个电子波函数重叠的程度。重叠程度越大，交换能就越大。31.LS 耦合引起的精细结构分析。如n=3 能级中，有一个p 电子和 d 电子所引起的能级差别(原子态)。32. 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度。33. 反常塞曼效应的特点，引起的原因。(碱金属原子能级偶数分裂；光谱线偶数条；分裂能级间距与能级有关；由于电子具有自旋。)34. 什么是简单塞曼效应？写出与其相应的哈密顿量。35. 在简单塞曼效应中，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？36. 写出 Pauli 矩阵和它们的对易关系。37. 写出两个电子的对称自旋波函数和反对称自旋波函数。38. 对于全同粒子体系，由于任意交换两个粒子，体系的状态，所以体系的状态只能用或波函数表示。39. 什么是全同性原理和泡利不相容原理？二者是什么关系？40. 什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？ 41. 若S S是电子的自旋算符，求S Sx xS Sz zS Sx xS Sy yS Sx x ? ?42. 证明： x x y y z z i i 0 1 1及S S0 - -i i的本征值和所属的本征函数。43. 求S Sx xy y21 1 0 02i i0 0244.若若 x x i i y y, ,求求 ; ;20042004 年量子力学期末试题及答案年量子力学期末试题及答案一、一、 （2020 分）已知氢原子在分）已知氢原子在t 0时处于状态时处于状态120112(x,0) 2(x) 1(x) 3(x) 303130其中，其中，n(x)为该氢原子的第为该氢原子的第n个能量本征态。求能量及自旋个能量本征态。求能量及自旋z分量的取值概率分量的取值概率与平均值，写出与平均值，写出t 0时的波函数。时的波函数。解解已知氢原子的本征值为E1n e422n2，n 1,2,3,将t 0时的波函数写成矩阵形式(x,0) 1232x33x231x利用归一化条件cdx1*x 2*21223x3x x32 33*x2 33 123x112427999c29c于是，归一化后的波函数为1932x233x172x23x(x,0) 772341x71x能量的可能取值为E1,E2,E3，相应的取值几率为WE41, 07;WE2,017; W3E, 027能量平均值为E047E1217E27E3e4411121161e422717479 50421）2）3）4）5）6）（自旋z分量的可能取值为,，相应的取值几率为22Wsz,21230W ;sz ,0 27774（7）7自旋z分量的平均值为34sz0 （8）727214t 0时的波函数12iix exp E t x exp E t 223377(x,t) （9）4ix exp E t 117二二. . （2020 分）分） 质量为质量为m的粒子在如下一维势阱中运动的粒子在如下一维势阱中运动V0 0 x 0.Vx V0,0 x a0,x a若已知该粒子在此势阱中有一个能量若已知该粒子在此势阱中有一个能量E V0的状态，试确定此势阱的宽度的状态，试确定此势阱的宽度a。2解解对于V0 E 0的情况，三个区域中的波函数分别为1x 02x Asinkx （1）x Bexpx3其中，k 2m(E V0);2mE（2）利用波函数再x 0处的连接条件知， n，n 0,1,2,。在x a处，利用波函数及其一阶导数连续的条件得到Asinka n Bexpa（4）Akcoska n Bexpa2a3aaa23（3）于是有tanka 此即能量满足的超越方程。1当E V0时，由于2m V0tana m V0 1m V0k（5）（6）故最后得到势阱的宽度m V0a n4n 1,2 ,3,（7）1 a n 4m V0（8）三、三、 （2020 分）分）证明如下关系式证明如下关系式j满足满足j j ij。（1 1）任意角动量算符）任意角动量算符证明证明对x分量有 jj jj =ijjjxyzzyx同理可知，对y与z分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。n n n是一个厄米算符，是一个厄米算符，其中，其中，n是任意正交归一的完备本是任意正交归一的完备本投影算符投影算符p征函数系。征函数系。n的矩阵元为证明证明在任意的两个状态与之下，投影算符pnn npn的共軛算符p n而投影算符p的矩阵元为*nnpp pnnn* n nnn*n显然，两者的矩阵元是相同的，由与的任意性可知投影算符p是厄米算符。*xmnxmkp xkn，利用利用k其中，其中，kx为为xkxx x证明证明xpkk任意正交归一完备本征函数系。任意正交归一完备本征函数系。证明证明xmnxp*xnxdxmxxpdx*mxnxxxdxx xp*xnxdxmxxdxx xpxdxxxdxxxp*m*kkkxn kkdx*mmkx*xpxxxkxdx knxxpkn四、四、 （2020 分）分）在在L2与与Lz表象中，在轨道角动量量子数表象中，在轨道角动量量子数l 1的子空间中，的子空间中，、L的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。与与L分别计算算符分别计算算符Lxzy解解在L2与Lz表象下，当轨道角动量量子数l 1时，m 1,0,1，显然，算、L皆为三维矩阵。与L符Lxzy是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是由于在自身表象中，故Lz有10Lz0000（1）0 10相应的本征解为1 Lz ;1 00 0 0 1Lz 0 ;（2）00L;z 101对于算符Lx、Ly而言，需要用到升降算符，即L1xL L2Ly12iL L而Ll m l l1m m 1, l m 1当l 1,m 1,0,1时，显然，算符Lx、Ly的对角元皆为零，并且，1, 1Lx1, 11, Ly11,1, 1Lx1 , 11 L1 ,1100y, 1只有当量子数m相差1时矩阵元才不为零，即1, 1Lx1, 01 L,x0 1 ,1 Lx1, 0 1L, 11 , 1x21,1, 0Ly1 , 11 Ly, 11 , 0i21, 1Ly1, 01 L,1i,y021于是得到算符Lx、Ly的矩阵形式如下010 0Lx 2101i;L i 00 i010y20i0Ly满足的本征方程为3）4）5）6）7）（0（ 0i20 i0i0 c1 c1 i c2c2（8）c0 c33i2i2相应的久期方程为0i2 0i20（9）将其化为3 2 0（10）得到三个本征值分别为1 ;2 0;3 （11）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为 i 1 i11112;20 ;23222i1 i（12）满足的本征方程为Lx 01201010 c1 c11c2c2c0c33（13）相应的久期方程为220 0220（14）将其化为3 2 0（15）得到三个本征值分别为1 ;2 0;3 （16）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为 1 1 1 1 11 12;20;23222111（17）五、五、 （2020 分）分） 由两个质量皆为由两个质量皆为、 角频率皆为角频率皆为的线谐振子构成的体系，的线谐振子构成的体系， x x（x1, x2分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论加上微扰项加上微扰项W12求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。提示：提示：线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为m x n 1n2n 1m,n12m,n1式中，式中，。解解体系的哈密顿算符为H H0W其中H 12p 2 p 21222x20121 x2W x1x2已知H0的解为E0nn1nx1,x2n1x1n2x2其中n1,n2,n 0,1,2,1,2,3, fn将前三个能量与波函数具体写出来E00 ;00 x10 x2E01 2,110 x11x2121x10 x2E03,212x10 x22220 x12x2231x11x2对于基态而言，n1 n2 n 0，f01，体系无简并。1）2）3）4）5）（利用公式mxn可知1 0E00W01nn 1m,n1m,n1（6）22E02fn0WnnW000（7）n01E0 En显然，求和号中不为零的矩阵元只有0W2323W0 22于是得到基态能量的二级修正为2E2120E004 230 E248 第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为W111 E2W12W13W21WE1222W23 0W31W32W133 E2其中W1 1 W2 2 W33W12W 0 2 1W1 3 W3 1 W23W3222将上式代入（10）式得到E120220E1222 0E122222整理之，E12满足E132214E2 0于是得到第二激发态能量的一级修正为E121 10; E12;E22232（8）（9）10）11）12）13）14）（试题编号：重庆邮电大学 2008-2009 学年第二学期量子力学试卷（期末） （B 卷） （闭卷）题号得分评卷人一二2.12.22.32.4总 分一、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1、A,B两束光，A的波长A 3109m，B的波长B 41010m，请问哪束光的能量更高？A.2、微观粒子的波函数应满足的三个标准条件是 单值性，连续性，有限性.3、一粒子的波函数(x) 3x2ex，请问该粒子是否处在动量的本征态？ 否.4、粒子穿过方势垒，请问透射系数随着势垒的加高减小还是增大？减小.5、假如两力学量算符具有共同的本征函数，则此这个算符是否对易？对易., y,LiL，LizL.6、对易关系 2,Lz 0，Lxyzx7、已知x, px,则.xp ix28、算符在其自身表象中的表示是否为对角矩阵？是.109、已知泡利算符分量z，x, y的矩阵表达式01010i分别为x，yi0.1010、写出氧原子（原子序数z 8）的电子排布:1s22s22p4.二、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）,x 0,1、(10 分)一粒子在一维势场U(x) 0,0 x a中运动，求粒子的能级和对应的,x a波函数。解：一位无限深势阱中，定态薛定谔方程d2(x)22(U E)(x)（1）（2 2 分）分）2dxd2 , 这是没有在阱外，x 0, x a,U(x) ，若波函数(x) o, 由(1)式得2dx意义的。因此, 在阱外必有(x) 0。 （2 2 分）分）2在阱内,0 x a,U(x) 0,令k 2E,由 (1)式得2d22 k 0. (2)2dx上式的通解是(x) Asin kx Bcoskx, (3)A,B是两个待定常数.由于(x)在边界处连续,有B (0) 0,且Asin ka (a) 0.由于A 0,否则只能有零解,故k naa,n 1,2,.将粒子波函数(x) Asin kx代入归一化条件(x)(x)dx 1,积分得A 02, 所以, 归一化波函数为an(x) 2nxsin. (4)（5 5 分）分）aa22粒子能量为E n. (5)（3 3 分）分）2a222x2、(10 分)粒子状态处于一维谐振子的基态(x,t) e1/2x和动量的几率分布函数。 （利用积分公式：exdx 22 2it2试求平均值）解：平均值x为x (x)x(x)dx *2xe1/22 2it22xx1/2e2 2it2dx（4 4 分）分）xexdx 02 2ipx1因为动量的本征函数为p(x) e，所以2*c(p) p(x)(x)dx121e22iixt Px2edx12e1ii2x2t Px22edxit1e22ee1ipp22(x2)22222dx1212eep2it2222e1ip2(x2)22