2021届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）文理-答案.pdf

文科数学参考答案第 1 页（共 8 页） 2021 届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一） 文科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A C A B D C B C D B 【解析】 1集合 | (2)0 |02Ax x xxx ， |1Bx x， |12ABxx，故选 D 22212i2i21i2i2i555z，虚部为15，故选C 3依题意可得1.1 13.2a ，解得2a ，故选A 4取18130ty，故8331log 108log 10t ，即318log 1018117.77lg3t ，故该种病毒细胞实验最多进行的天数为17，故选C 51cos213sin2322 ，133sin2cos2222，3sin 232， (0 )，233或2233，3或2，当3时，cos4 26coscoscossinsin3434344；当2时，2coscos442，故选A 6设()P xy，(1 1)OM ，( 2 1)ONOMMN ，1OMON ，1OMt OP 2()()t OMON ONOM ，即112(1 1)()( 2 1)t x t yt， ，1212211t xtt yt，1220tt， 212tt，11114121t xtt yt，111142t xtt yt，60 xy，故选 B 7因为两个曲线都是关于 x 轴对称，故 A，B 关于 x 轴对称，故6AOxBOx ，设文科数学参考答案第 2 页（共 8 页） 33mA m，代入22162xy，得3m，故( 3 1)A， ，代入22ypx，有12 3p，解得1362 3p，故选 D 8由310250 xyxy ，可以得到12xy，故(1 2)A，直线l的方程可整理为2(1)0 xb y，故直线l过定点( 21)，故22max(12)(21)3 2d，故选 C 9如图 1，12442ABCS ，111644333SABCABCVSh ，故 选 B 101331loglog 414c ，122341loglog432a ，31log 22b ，综上可得，故选C 11因为1cos5A ，所以2 6sin5A，又5AC ，ABC的面积为2 6，所以有12 652 2 65AB，解得2AB ，由余弦定理可得222125225255BC ，所以5BC ，由ACBC， 所 以1coscos5BA， 所 以222551332222254AM ， 即332AM ，故选D 12由正切函数图象特征可知正确；1sin2yx的最小正周期为2，故不正确；sin 23yx的表达式可以改写为7( )cos26f xx ，故不正确；由4AB，则tantantan()11tantanABABAB，(1tan)(1tan)1tantantantan2ABABAB ，正确，故选B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号 13 14 15 16 答案 4 5 3e9e0 xy 3 101515 图 1 文科数学参考答案第 3 页（共 8 页） 【解析】 13画出不等式组表示的可行域，如图2中阴影部分所示由2zxy，可得221zyx平移直线221zyx，结合图形可得，当直线221zyx经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最小值由题意得A点坐标为(4 0)，min404z，即2zxy的最小值是4 14用点到直线的距离公式可得双曲线22221(00)xyabab，中焦点到渐近线的距离为b 15 因为( )(e)6 ln(e)3fxfxxfx， 所以(e)(e)6e(e)3efff， 即(e)9ef ，则2139eef，且13eef ，所以所求切线方程为3e9e0 xy 16设该正三棱锥为PABC，其中ABC是正三角形，212 sin323ABCS，设D为ABC的重心，则22 32sin333AD，22 315333PD，PBCPACSS 212( 3)122PABS ， 设 内 切 球 半 径 为r， 则13ABCSPD 1()3ABCPBCPACPABSSSSr，即11513( 33 2)333r，解得533 2r 225(3 23)3 101515(3 2)( 3) 三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 解：（1）设等比数列na的公比为q，根据题意， 有211311515a qa qa qa q， （3分） 解得1144aq， （5分） 所以24nna （6分） 图 2 文科数学参考答案第 4 页（共 8 页） （2）令244loglog 42nnnban， 所以( 12)(3)22nnnn nS ， （8分） 根据12mmmSSS，可得(3)(1)(2)(2)(1)222m mmmmm， 整理得250mm，因为0m ， 所以5m （12分） 18 （本小题满分12分） 解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的频率为 15018013014013070212003， （3分） 故估计从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为23 （4分） （2）由题意得列联表如下： 不太了解 比较了解 总计 男性 250 400 650 女性 150 400 550 总计 400 800 1200 （6分） 2K的观测值21200(250400150400)16.783400800650550k， （9分） 因为16.7836.635， （10分） 所以有99%的把握认为居民对数字人民币的了解程度与性别有关 （12分） 文科数学参考答案第 5 页（共 8 页） 19 （本小题满分12分） （1）证明：如图3，连接1BC， 在11C CB中，P，F分别是11BC，1C C的中点， 所以PF是11C CB的中位线， 则1PFBC 在正方体1111ABCDABC D中，11DCAB，G，E 分别是11AB ，DC 的中点， 则1ECGB，1ECGB， 所以四边形1GBCE 是平行四边形，则1BCGE， 所以PFGE， 所以PF 平面 GEF （6 分） （2）解：如图 4，在正方体1111ABCDABC D中，连接 QE，QG，QF， QGE是直角三角形，2QEQG，222 2GEQEQG， 而且11CCBBQG，1CCQGE 平面， 所以1/CCQGE平面，所以点 F 到平面 QGE 的距离等于点 C 到平面 QGE 的距离， 易知CE平面 QGE，所以点 F 到平面 QGE 的距离为1CE ， 而222EFECCF， 222222221111111216GFGCC FGBBCC F， （9 分） 在FGE中，222EFGFGE，所以FGE是直角三角形， 设求 Q 到平面 EFG 的距离为 d，在三棱锥QGEF中，Q GEFF QGEVV， 即1133QGEGEFSCESd ， 即11113232QEQGCEEFGF d ， 即111122 1263232d ，解得2 33d ， 所以 Q 到平面 EFG 的距离为2 33 （12 分） 图 4 图 3 文科数学参考答案第 6 页（共 8 页） 20 （本小题满分 12 分） 解：（1）由题意可得32e ，221ba， 2a ，1b ， C：2214xy （4 分） （2）设11()A xy，22()B xy，0(0)Q x ， 设直线 l：1xmy ，将其代入22440 xy， 得22(4)+230mymy， 12224myym，12234y ym， 121228()24xxm yym， 22121212244()14mx xm y ym yym ， （8 分） QA QBt ，则210120212012012() ()()txxyxxyx xxxxxy y， 22002224483444mxxmmm， 200217844xxm， 这是一个与 m 无关的常数， 0178x ，t 为常数，此时存在定点1708Q，使QA QB 为定值 （12分） 21 （本小题满分12分） 解：（1）因为( )lnf xxx，故11( )1xfxxx ， （1分） 令( )0fx，得1x ，令( )0fx，得01x， 文科数学参考答案第 7 页（共 8 页） 故( )f x在(0 1)， 上单调递减，在(1)，上单调递增， （3分） 故函数( )f x的最小值为(1)1f （4分） （2）由题意知lnelnxxaa， 两边同时加上x，得e+lnlnxaxaxx， 即eln( e )lnxxaaxx， （7分） 设( )ln (0)h xxx x，则1( )10h xx ，故( )h x在(0)，上单调递增， eln( e )lnxxaaxx恒成立，即( e )( )xh ah x恒成立， （9分） 即exax在(0)，上恒成立，即exxa在(0)，上恒成立， 设( )(0)exxxx，则1( )exxx， 则当01x时，( )0 x，故( ) x在(0 1)， 上单调递增； 当1x 时，( )0 x，故( ) x在(1)，上单调递减， 故max1( )(1)ex， （11分） 故1ea，故所求实数a的取值范围为1e， （12分） 22 （本小题满分10分）【选修44：坐标系与参数方程】 （1）解：由2222(2cos2 3sin )(2sin2 3cos )16xy， 得曲线C为2216xy （5分） （2）证明：直线l的极坐标方程展开为cos3 sin8， 故l的直角坐标方程为38xy 显然M的坐标为(8 0)，不妨设过点M的直线方程为8cossinxtyt，(t为参数)， 代入C得216cos480tt，设P，Q对应的参数为1t，2t， 所以1 2|48t t为定值 （10分） 文科数学参考答案第 8 页（共 8 页） 23 （本小题满分10分）【选修45：不等式选讲】 （1）证明：当5m 时，2( ) |5|3|(5)(3)|8ef xxxxx， 则2ln( )ln8lne2f x成立 （5分） （2）解：关于x的不等式3( )( )2g xf xm可化为23|227|3|2xmxm， 令2222222437( )|227|3|3210 327242xmxh xxmxxmxmxmxm ， ， 则22min71( )22h xh mm ，即21322mm， 则有231022mm， 解得112m （10分） 理科数学参考答案第 1 页（共 9 页） 2021 届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一） 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A C D C D A B B C A 【解析】 1由题意得 |1Ax x， |2Bx x ，故( 2 1)AB ， ，故选 B 22212i2i21i2i2i555z，虚部为15，故选C 3依题意得1.13.2ab，1.12.2a，解得2a ，1b ，故选A 4取18130ty，故8331log 108log 10t ，即318log 1018117.77lg3t ，故该种病毒细胞实验最多进行的天数为17，故选C 5 28xy， 4p ，(0 2)F， 设11()P xy， 1|82pPFy， 16y ， ( 4 3 6)P ，设0(2)M x，90PFM，( 4 3 4)FP ，0(4)MFx ，0FP MF ， 04 33x ，4 323M，或4 323M，故选 D 6设 a与 b的夹角为， a在 b的投影为1|cos2a ，120，设 ab与 ab的夹角为，|3ab，|7ab，() ()cos| |abababab 22|217| |ababab ，故选 C 72222cosACABACABABC，即222525375ABAB ，即24120ABAB，解得6AB ，221sin1cos5AA，所以1121sin56225ABCSABACA 3 21，故选D 理科数学参考答案第 2 页（共 9 页） 82223642333C C CA90A ，32136313C C C A360，1143654322C C CA90A ，共有9036090540，故选A 9 如图1，6SA ，2 5AC ，4 2SC ，3620325cos5262 5SAC ，2 5sin5SAC ， 1sin122SACSSAACSAC， 12ABCS 244，4 2SABS，8 2SBCS，表面积为1612 2，故选B 10由2( )f xx，得( )2fxx，则(1)2f ，又(1)1f，所以函数2( )f xx的图象在1x 处的切线为12(1)yx ，即21yx设21yx与函数e( )xg xa的图象相切于点00()xy，由e( )xg xa，可得00000e()2e()21xxg xag xxa， 解得032x ，321e ee22a ，23321ee24a，故选B 11依题意可得双曲线的渐近线方程为12yx ，设()P xy，11()A xy，22()B xy，因为2PAPB ， 所 以 有12122()2()xxxxyyyy ，即12122323xxxyyy，又11221212yxyx ，所 以1212122yyxx，所以121223123xxxxxy，因为点 P 在双曲线上，所以212234xx 2121213xx，解得129=2x x，故选 C 图 1 理科数学参考答案第 3 页（共 9 页） 12 对命题 P： 设( )20201xf x ， 则(3)(4)faf，(4)(5)fbf， 434(4)(3)202020201(4)20201ffaf 344520192020201920202020120202020，54455(5)(4)20202020201920201(5)2020120201ffbf，552020202020201 ，11ab ，即ab，故 P 为真命题，命题 Q 为假命题，例如120A ，30B ，可知命题 Q 为假命题，故选 A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 4 5 4 3 【解析】 13画出不等式组表示的可行域，如图 2 中阴影部分所示由2zxy，可得221zyx平移直线221zyx，结合图形可得，当直线221zyx经过可行域内的点 A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时 z 取得最小值由题意得 A 点坐标为(4 0)，min404z，即2zxy的最小值是 4 14用点到直线的距离公式可得双曲线22221(00)xyabab，中焦点到渐近线的距离为 b 15三棱锥SABC各条棱都相切的球相当于棱长为2 3 的正方体的内切球，则3R ，所以体积为344 33VR 16(2)sin(2)cos(2)2sin(2)cos(2)sincos2sin cosf xxxxxxxxx ( )f x， 是 真 命 题 ；()sin()cos()2sin()cos()sincosfxxxxxxx 2sin cosxx ， ()( )0fxf x，是假命题；333sincos222fxxx 332sincoscossin2sin cos( )22xxxxxxf x ， 是 真 命 题 ； 令图 2 理科数学参考答案第 4 页（共 9 页） sincostxx，则22(sincos )12sin costxxxx ，故2222sin cos22xxt，故函数可看做222(22)22yttt ，当22t 时，max3 24y，是真命题 三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 解：（1）由题意可得2124310439aa， 32283188313aa， （2 分） 由数列na的前三项可猜想数列na是以 5 为首项，4 为公差的等差数列， 即41nan （3 分） 证明如下：当1n 时，15a 成立； 假设nk时，41kak 成立， 那么1nk 时，12432(41)43454(1)1kkaakkkkk 也成立， 则对任意的*nN， 都有41nan 成立 （6 分） （2）由（1）可知，3(41) 3nnnan ， 2315 39313 3(43) 3(41) 3nnnSnn ， 234135 39313 3(43) 3(41) 3nnnSnn ， （8 分） 由得2312154(333 )(41) 3nnnSn 2111313154(41) 3(41)3(313nnnnn ， 即1(41)3322nnnS （12 分） 理科数学参考答案第 5 页（共 9 页） 18 （本小题满分 12 分） 解：（1）由题意得列联表如下： 不太了解 比较了解 总计 男性 250 400 650 女性 150 400 550 总计 400 800 1200 （2 分） 2K的观测值21200(250400150400)16.783400 800650550k， （4 分） 因为16.7836.635， （5 分） 所以有 99%的把握认为居民对数字人民币的了解程度与性别有关 （6 分） （2）由题意知，分层抽样抽取的 10 人中，男性 6 人，女性 4 人， （7 分） 随机变量的所有可能取值为 0，1，2，3， 其中0364310CC(0)CnnP，1264310CC(1)CnnP， 2164310CC(2)CnnP，36310C(3)CnnP， （9 分） 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 P 0364310CCCnn 1264310CCCnn 2164310CCCnn 36310CCnn 03122136666333310101014440CCCCCCC( )01232CCCCnnnnnnnnE ， （10 分） 1221336464610CC1CC2C32Cnnnn ， 理科数学参考答案第 6 页（共 9 页） 可得，116(6)4(6)(5)(6)(5)(4)(10)(9)(8)23nnnnnnnnn， 23(6)(1772)2(10)(9)(8)nnnnnn， 3(6)2(10)nn，解得2n， n的最小值为2 （12分） 19 （本小题满分12分） （1）证明：如图3，连接1BC， 在11C CB中，P，F分别是11BC，1C C的中点， 所以PF是11C CB的中位线， 则1PFBC 在正方体1111ABCDABC D中，11DCAB，G，E分别是11AB，DC的中点， 则1ECGB，1ECGB， 所以四边形1GBCE是平行四边形，则1BCGE， 所以PFGE， 所以PF 平面GEF （6分） （2） 解： 以1D为原点， 建立如图4所示空间直角坐标系，(0 1 2)E， (0 2 1)F， ， ，(2 1 0)G，( 2 0 2)GE ， ，(0 11)EF ， 因为(01)AQAB ，所以(2 22)Q， ( 2 120)QE ， （7分） 设平面EFG的一个法向量为111()mxyz， ， 则00m GEm EF ，即11112200 xzyz， 令11x ，则11z ，1y ， 所以(1 1 1)m ， （8 分） 设平面 QEG 的一个法向量为222()nxyz， ， 则00n GEn QE ，即22222202(12 )0 xzxy， 图 3 图 4 理科数学参考答案第 7 页（共 9 页） 令212x ，则212z ，22y ， 所以(122 12 )n， ， （9 分） 因为二面角QEGF的余弦值为33， 所以2| 44 |3|cos|3|342(12 )m nm nmn ， 解得12或52(舍去)， （11 分） 所以，当二面角QEGF的余弦值为33时，12 （12 分） 20 （本小题满分 12 分） 解：（1）由题意可得32e ，221ba， 2a ，1b ， C：2214xy （4 分） （2）设11()A xy，22()B xy，0(0)Q x ， 设直线 l：1xmy ，将其代入22440 xy， 得22(4)+230mymy， 12224myym，12234y ym， 121228()24xxm yym， 22121212244()14mx xm y ym yym ， （8 分） QA QBt ，则210120212012012() ()()txxyxxyx xxxxxy y， 22002224483444mxxmmm， （10 分） 200217844xxm， 理科数学参考答案第 8 页（共 9 页） 这是一个与 m 无关的常数， 0178x ，t 为常数，此时存在定点1708Q，使QA QB 为定值 （12分） 21 （本小题满分12分） 解：（1）因为( )lnf xxx，故11( )1xfxxx ， （1分） 令( )0fx，得1x ，令( )0fx，得01x， 故( )f x在(0 1)， 上单调递减，在(1)，上单调递增， （3分） 故函数( )f x的最小值为(1)1f （4分） （2）由题意知2lneln0 xxxaa，即2elnlnxaxax， 两边同时加上x，得2e2lnlnxaxaxx， 即22eln( e )lnxxaaxx， （7分） 设( )ln (0)h xxx x，则1( )10h xx ，故( )h x在(0)，上单调递增， 22eln( e )lnxxaaxx恒成立，即2( e )( )xh ah x恒成立， （9分） 即2exax在(0)，上恒成立，即2exxa在(0)，上恒成立， 设2( )(0)exxxx，则212( )exxx， 则当102x时，( )0 x，故( ) x在102，上单调递增； 当12x 时，( )0 x，故( ) x在12，上单调递减， 故max11( )22ex， （11分） 故12ea，故所求实数a的取值范围为12e， （12分） 理科数学参考答案第 9 页（共 9 页） 22 （本小题满分10分）【选修44：坐标系与参数方程】 （1）解：由2222(2cos2 3sin )(2sin2 3cos )16xy， 得曲线C为2216xy （5分） （2）证明：直线l的极坐标方程展开为cos3 sin8， 故l的直角坐标方程为38xy 显然M的坐标为(8 0)，不妨设过点M的直线方程为8cossinxtyt，(t为参数)， 代入C得216cos480tt，设P，Q对应的参数为1t，2t， 所以1 2|48t t为定值 （10分） 23 （本小题满分10分）【选修45：不等式选讲】 （1）证明：当5m 时，2( ) |5|3|(5)(3)|8ef xxxxx， 则2ln( )ln8lne2f x成立 （5分） （2）解：关于x的不等式3( )( )2g xf xm可化为23|227|3|2xmxm， 令2222222437( )|227|3|3210 327242xmxh xxmxxmxmxmxm ， ， 则22min71( )22h xh mm ，即21322mm， 则有231022mm， 解得112m （10 分）