南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试数学试卷参考答案.pdf

高三数学参考答案第1页（共 6 页） 南京市、盐城市 2021 届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案数学参考答案 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1A 2C 3D 4C 5C 6B 7D 8B 二、多项选择题二、多项选择题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的全部选对的得多项符合题目要求的全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分) 9. ACD 10BC 11ABD 12AC 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 1336 14132 15 6 1634，2（第一问 2 分，第二问 3 分） 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分 17(本小题满分 10 分) 解：在ABC 中，B(AC)，所以 sinBsin(AC) 因为 sinBsin(AC) 3sinC，所以 sin(AC)sin(AC) 3sinC， 2 分 即 sinAcosCcosAsinC(sinAcosCcosAsinC) 3sinC， 所以 2cosAsinC 3sinC 4 分 在ABC 中，sinC0，所以 cosA32 因为 0A，所以 A6 6 分 选择选择 方方法法 1 因为 A6，所以 a2b2c22bccosAb293 3b 又因为 b 3a，所以 2b29 3b270，解得 b3 3，或 b3 32， 此时ABC 存在 8 分 当 b3 3时，ABC 的面积为 SABC12bcsinA123 33129 34 当 b3 32时，ABC 的面积为 SABC12bcsinA123 323129 38 10 分 高三数学参考答案第2页（共 6 页） 方方法法 2 因为 b 3a，由正弦定理，得 sinB 3sinA 3sin632 因为 0B，所以 B3，或 B23，此时ABC 存在 8 分 当 B3时，C2，所以 bccosA3 32， 所以ABC 的面积为 SABC12bcsinA123 323129 38 当 B23时，C6，所以 bcsinBsinC3 3， 所以ABC 的面积为 SABC12bcsinA123 33129 34 10 分 选择选择 因为 a3cosB，所以 a3a29b26a，得 a2b29， 所以 C2，此时ABC 存在 8 分 因为 A6，所以 b3cos63 32，a3sin632， 所以ABC 的面积为 SABC12ab9 38 10 分 选择选择 由asinAcsinC，得 asinCcsinA32， 8 分 这与 asinC1 矛盾，所以ABC 不存在 10 分 18(本小题满分 12 分) 解：（1）方方法法 1 因为 Sn2nr， 所以当 n1 时，S1a12r 当 n2 时，S2a1a24r，故 a22 当 n3 时，S3a1a2a38r，故 a34 因为an是等比数列，所以 a22a1a3，化简得 2r1，解得 r1， 3 分 此时 Sn2n1 当 n2 时，anSnSn12n12n112n1， 当 n1 时，a1S11，an2n1， 高三数学参考答案第3页（共 6 页） 所以 r1 满足题意 5 分 方方法法 2 因为 Sn2nr，所以当 n1 时，S1a12r 当 n2 时，anSnSn12nr2n1r2n1 3 分 因为an是等比数列，所以 2r1，解得 r1 5 分 （2）因为 an2n1，所以 bn2(1log2an)2n 7 分 因为 a11，a22b1，a34b2，a48b4，a516b8，a632b16， a764b32，a8128b64，a9256b128， 9 分 所以 c1c2c3c100 (b1b2b3b107)(a2a3a4a5a6a7a8) 11 分 107(2214)22(127)1211302 12 分 19(本小题满分 12 分) 解： （1）对项目 A 投资的统计数据进行计算，有x3，y0.6，ni=1xi255 所以bni=1xiyinxyni=1xi2nx211530.6555320.2， 4 分 aybx0.60.230， 所以回归直线方程为：y0.2x 6 分 线性相关系数 rni=1xiyinxy (ni=1xi2nx2) (ni=1yi2ny2)11530.6 ( 55532)(2.2450.62) 2 4.40.95240.95 这说明投资金额 x 与所获利润 y 之间的线性相关关系较强，用线性回归方程y0.2x 对该组数据进行拟合合理 8 分 （2）设对 B 项目投资 x(1x6)百万元，则对 A 项目投资(7x)百万元 所获总利润 y0.16x0.49x10.490.2(7x) 10 分 1.93 0.04(x1)0.49x11.9320.04(x1)0.49x11.65， 高三数学参考答案第4页（共 6 页） 当且仅当 0.04(x1)0.49x1，即 x2.5 时取等号， 所以对 A，B 项目分别投资 4.5 百万元，2.5 百万元时，获得总利润最大 12 分 20(本小题满分 12 分) （1）证明：取 AB 中点 D，连接 CD，B1D 因为三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都为 2，所以 ABCD，CD 3，BD1 又因为 ABB1C，且 CDB1CC，CD，B1C平面 B1CD， 所以 AB平面 B1CD 又因为 B1D平面 B1CD，所以 ABB1D 2 分 在直角三角形 B1BD 中，BD1，B1B2，所以 B1D 3 在三角形 B1CD 中，CD 3，B1D 3，B1C 6， 所以 CD 2B1D 2B1C 2，所以 CDB1D 4 分 又因为 ABB1D，ABCDD，AB，CD平面 ABC，所以 B1D平面 ABC 又因为 B1D平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1平面 ABC 6 分 （2）解：以 DC，DA，DB1所在直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0，1，0)，B(0，1，0)，C( 3，0，0)，B1(0，0， 3)， 因此BB1(0，1， 3)，AC( 3，1，0)，AA1BB1(0，1， 3) 因为点 P 在棱 BB1上，则设BPBB1(0，1， 3)，其中 01 则CPCBBPCBBB1( 3，1， 3) 8 分 设平面 ACC1A1的法向量为 n(x，y，z)， 由 nAC0， nAA10，得 3xy0，y 3z0 取 x1，y 3，z1， 所以平面 ACC1A1的一个法向量为 n(1， 3，1) 10 分 因为直线 CP 与平面 ACC1A1所成角的正弦值为45， 所以 cosn，CPnCP |n|CP|2 35 3(1)232 45， A1（第 20 题图） A C1 B C B1 D P z x y 高三数学参考答案第5页（共 6 页） 化简得 16 2810，解得 14， 所以 BPBB112 12 分 21(本小题满分 12 分) 解：由yxm，y24x，得 y24y4m0 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24，y1y24m 因为直线 l 与 C 相交，所以1616m0，得 m1 2 分 （1）由AT2TB，得 y12y20， 4 分 所以 4y20，解得 y24，从而 y18， 因为 y1y24m，所以 4m32，解得 m8 6 分 （2）设 M(x3，y3)，N(x4，y4)， 因为 M，N 两点关于直线 yxm 对称， 则y4y3x4x3y4y3y424y3244y4y31，解得 y44y3 又y4y32x4x32m， 于是4y3y32x4x32m，解得 x442mx3 8 分 又点 N 在抛物线上，于是(4y3)24(42mx3) 因为 y324x3，所以 y324y3164m0， 10 分 于是MAMB(x1x3)(x2x3)(y1y3)(y2y3) (y124y324)(y224y324)(y1y3)(y2y3) (y1y3)(y2y3)16(y1y3)(y2y3)16 (y1y3)(y2y3)16y1y2y3(y1y2)y3216 (y1y3)(y2y3)16(4m4y3y3216)0， 因此 MAMB，同理 NANB， 于是点 M，N 在以 AB 为直径的圆上，即 A，B，M，N 四点共圆 12 分 高三数学参考答案第6页（共 6 页） 22(本小题满分 12 分) 解： （1）当 a12时，f (x)ex12xsinxx1， 则 f(x)ex12(xcosxsinx)1，f(x)ex12xsinxcosx 因为 x0，所以 ex1，12xsinx0，因此 f(x)1cosx0， 2 分 所以 f(x)在0，上单调递增，于是 f(x)f(0)0， 因此 f (x)在0，上单调递增，所以 f (x)f (0)0 4 分 （2）由（1）知，当 a12时，f (x)ex12xsinxx10，当且仅当 x0 时取等号， 此时函数 f (x)仅有 1 个零点 6 分 当 a12时，因为 f (x)exaxsinxx1， 所以 f(x)exa(xcosxsinx)1，f(x)exa(xsinx2cosx) 当 x2，时，f(x)0，所以 f(x)单调递增 当 x0，2时，f(x)exa(3sinxxcosx) 因为 ex0，a(3sinxxcosx)0，所以 f(x)0，所以 f(x)单调递增 又 f(0)12a0，f(2)e22a0， 因此 f(x)在0，2上存在唯一的零点 x0，且 x0(0，2) 8 分 当 x(0，x0)时，f(x)0，所以 f(x)单调递减； 当 x(x0，2)时，f(x)0，所以 f(x)单调递增 又 f(0)0，f(x0)f(0)0，f()ea10， 因此 f(x)在0，上存在唯一的零点 x1，且 x1(x0，) 10 分 当 x(0，x1)时，f(x)0，所以 f (x)单调递减； 当 x(x1，)时，f(x)0，所以 f (x)单调递增 又 f (0)0，f (x1)f (0)0，f ()e10， 所以 f(x)在(x1，)上存在唯一零点，因此 f (x)在0，上有两个零点 综上，a 的取值范围是(12，) 12 分