2016年高考文科数学天津卷含答案.docx

数学试卷第 1 页（共 21 页）数学试卷第 2 页（共 21 页）数学试卷第 3 页（共 21 页）绝密 启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学(文史类)本试卷分为第 卷（选择题）和第 （非选择题）两部分 .共 150 分，考试用时120 分钟.第卷 1 至 3 页，第卷 4 至 6 页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上 ，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 .祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 .如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.参考公式：如果事件，互斥，那么.AB()( )( )P ABP AP B如果事件，相互独立，.AB()( ) ( )P ABP A P B棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高.VShSh圆锥的体积公式.其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高.1 3VShSh一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. .1.已知集合，则=( )1,2,3A |21,By yxxAABA1,3B1,2C2,3D1,2,32.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为1 21 3( )A5 6B2 5C1 6D1 33.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为( )ABCD4.已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线22221(0,0)xyabab2 5垂直，则双曲线的方程为( )20xyA2 214xyB2 214yx C22331205xyD22331520xy5.设，则“”是“”的( )0x yRxy|xyA充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件6. 已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足( )f xR(,0)a，则的取值范围是( )|1|(2)(2)affaA1(, )2B13(, )( ,)22C1 3( , )2 2D3( ,)27. 已知是边长为 1 的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接ABCDEABBC并延长到点，使得，则的值为( )DEF2DEEFAF BC AA5 8B1 8C1 4D11 88.已知函数，.若在区间内没有零211( )sinsin(0)222xf xxxR( )f x(2 )，点，则的取值范围是( )A1(0, 8B15(0, ,1)48C5(0, 8D11 5(0, , 84 8姓名_ 准考证号_-在-此-卷-上-答-题-无-效-数学试卷第 4 页（共 21 页）数学试卷第 5 页（共 21 页）数学试卷第 6 页（共 21 页）第卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共 12 小题，共计 110 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. . 9.i 是虚数单位，复数满足，则的实部为_.z(1i)2zz10.已知函数为的导函数，则的值为_.( )(2 +1),( )xf xxefx( )f x(0)f 11.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值S为_.12.已知圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆Cx(0, 5)MC上，且圆心到直线的距离为，则圆的方20xy4 5 5C程为_. 13.如图，是圆的直径，弦与相交于点，ABCDABEBE ，则线段的长为_.22AE BDEDCE14.已知函数在上单调递减， 且关2(43)3 ,0,( )(01)log (1)1, 0axaxa xf xaaxx且，R于的 方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是x|( )| 23xf x a_.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （本小题满分 13 分）在中，内角，所对应的边分别为，已知ABCABCabc.sin23 sinaBbA（）求；B（）若，求的值.1cosA3sinC16.（本小题满分 13 分）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要，三种主要原料，生产 1 车皮甲ABC种肥料和生产 1 车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲483乙5510现有种原料 200 吨，种原料 360 吨，种原料 300 吨，在此基础上生产甲、乙ABC两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元，分别用，表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.xy（）用，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；xy（）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.17.（本小题满分 13 分）如图，四边形是平行四边形，平面平面，ABCDAEDABCD，为EFAB2AB 1BCEF6AE 3DE 60BADG的中点.BC（）求证：平面；FGBED（）求证：平面平面；BEDAED（）求直线与平面所成角的正弦值.EFBED18.（本小题满分 13 分）已知是等比数列，前项和为，且，.nan()nSnN123112 aaa663S （）求的通项公式；na（）若对任意的，是和的等差中项，求数列的nNnb2logna21logna2( 1)n nb前项和.2n19.（本小题满分 14 分）设椭圆的右焦点为，右顶点为.已知，22213xy a3a （）FA113 |e OFOAFA其中为原点，为椭圆的离心率.Oe（）求椭圆的方程；（）设过点的直线 与椭圆交于点（不在轴上） ，垂直于 的直线与 交于AlBBxll点，与轴交于点.若，且，求直线的 斜率.MyHBFHFMOAMAO l20.（本小题满分 14 分）设函数，其中.3( )f xxaxbxR, a bR（）求的单调区间；( )f x（）若存在极值点，且，其中，求证：( )f x0x10()()f xf x10xx；（）设，函数，求证：在区间上的1020xx0a ( ) |( )|g xf x( )g x 1,1最大值不小于.1 4数学试卷第 7 页（共 21 页）数学试卷第 8 页（共 21 页）数学试卷第 9 页（共 21 页）2016 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）答案解析 第 I 卷一、选择题1.【答案】A【解析】根据题意，集合选 A1,3,5,1,3BAB【提示】根据题意，将集合用列举法表示出来，可得，由交集的定义计算可B1,3,5B 得答案【考点】集合运算2.【答案】A【解析】甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率115 326P 【提示】利用互斥事件的概率加法公式即可得出【考点】概率3.【答案】B【解析】由主视图和俯视图可知切去的棱锥为，棱在左侧面的投影为，1DADC1CD1BA故选 B【提示】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案【考点】三视图4.【答案】A【解析】双曲线（）的焦距为，22221xy ab00ab，2 5，双曲线的一条渐近线与直线垂直，5c 20xy，1 2b a2ab222cab21ab，双曲线的方程为2 214xy故选：A【提示】利用双曲线（）的焦距为，且双曲线的一条渐近线22221xy ab00ab，2 5与直线垂直，求出几何量即可求出双曲线的方程20xyabc，【考点】双曲线渐近线5.【答案】C【解析】设，当，时，满足但不满足，故由，0x yR0x 1y xy|xy0x ，则“”推不出“” ，yRxy|xy而“”“” ，|xyxy故“”是“”的必要不充分条件，xy|xy故选：C【提示】直接根据必要性和充分判断即可【考点】充要关系6.【答案】C【解析】是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，( )f xR(,0)在上单调递减( )f x(0,)，1|20(2)( 2)aff，1|12222a，|11|2a 解得13 22a故选：C【提示】根据函数的对称性可知在递减，故只需令即可( )f x(0)，1|22a【考点】利用函数性质解不等式7.【答案】B【解析】设，BAa BCb 11()22DEACba33()24DFDEba，1353()2444AFADDFabaab 25353144848AF BCa bb A，故选 B【提示】由题意画出图形，把、都用、表示，然后代入数量积公式得答AF BC BA BC 案【考点】向量数量积8.【答案】D【解析】函数，2111cos112( )sinsinsinsin22222224xxf xxxx由，可得，( )0f x sin04x解得， 4(,2)kx，1 15 59 91 15,8 48 48 48 48在区间内没有零点，( )f x(,2)11 50,84 8故选：D【提示】函数，由，可得，解得2( )sin24f xx( )0f x sin04x，因此，即 4(,2)kx1 15 59 91 15,8 48 48 48 48可得出【考点】解简单三角方程 第卷二、填空题9.【答案】1【解析】由，得，(1i)2z22(1i)2(1i)1i1i(1i)(1i)2z z 的实部为 1故答案为 1数学试卷第 10 页（共 21 页）数学试卷第 11 页（共 21 页）数学试卷第 12 页（共 21 页）【提示】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【考点】复数概念10.【答案】3【解析】解：，( )(21)exf xx( )2e(21)exxfxx00(0)2e(2 0 1)e2 13f 故答案为：3【提示】先求导，再带值计算【考点】导数11.【答案】4【解析】解：第一次循环：；82Sn，第二次循环：；23Sn，第三次循环：，44Sn，结束循环，输出，4S 故答案为：4【提示】根据循环结构，结合循环的条件，求出最后输出 S 的值【考点】循环结构流程图12.【答案】22(2)9.xy【解析】由题意设圆的方程为，222()0)(xayra由点在圆上，且圆心到直线的距离为，(0, 5)M20xy4 5 5得，解得225|2 |4 5 55ara 23ar，圆 C 的方程为：22(2)9xy故答案为：22(2)9xy【提示】由题意设出圆的方程，把点 M 的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解【考点】直线与圆位置关系13.【答案】2 3 3【解析】解：如图，过 D 作于 H，DHAB22BEAEBDED，则，1BHHE21AHBH，则，22DHAHBH2DH 在中，则，RtDHE22213DEDEHE由相交弦定理可得：，CE DEAE EBAA1 22 3 33AE EBCEDEA故答案为：2 3 3【提示】由，可得为等腰三角形，过 D 作于 H，由相交弦定BDEDBDEDHAB理求得，在中求出，再由相交弦定理求得DHRtDHEDECE【考点】相交弦定理14.【答案】1 2,3 3【解析】是上的单调递减函数，( )f xR在上单调递减，在上单调递减，2(43)3yxaxa(,0)(log1)1ayx(0,)且在上的最小值大于或等于( )f x(,0)(0)f，解得3402 01 31aa a 13 34a作出和的函数草图如图所示：(| )yf x23xy 恰有两个不相等的实数解，|( )23xf x ，即32a 2 3a 综上，12 33a故答案为1 2,3 3【提示】由减函数可知在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二( )f x段上的最大值，作出和的图象，根据交点个数判断与 2 的大小关|( )|f x23xy 3a系，列出不等式组解出【考点】函数综合三、解答题15.【答案】 （）解：在中，由，可得，又由ABCsinsinab ABsinsinaBbA得sin23 sinaBbA，所以，得；2 sincos3 sin3 sinaBBbAaB3cos2B 6B （）解：由得，则，1cos3A2 2sin3Asinsin()sin()CABAB数学试卷第 13 页（共 21 页）数学试卷第 14 页（共 21 页）数学试卷第 15 页（共 21 页）所以sinsin6CA312 61sincos226AA【提示】 （）利用正弦定理，将边化为角：,再根据三角2sinsincos3sinsinABBBA形内角范围化简得，3cos2B 6B （）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解【考点】同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式以及正弦m定理16.【答案】 （）解：由已知满足的数学关系式为，该二元一次不等, x y45200 85360 310300 0 0xy xy xy x y 式组所表示的区域为图 1 中的阴影部分(1)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yxO（）解：设利润为万元，则目标函数，这是斜率为，随变化的一族z23zxy2 3z平行直线.为直线在轴上的截距，当取最大值时，的值最大，又因为满3z y3z zxy，足约束条件，所以由图 2 可知，当直线经过可行域中的点时，截距的值最大，即的值最大，解方程组23zxyM3z z得点的坐标为，所以.45200 310300xy xyM(20,24)Mmax2203 24112z 答：生产甲种肥料车皮，乙种肥料车皮时利润最大，且最大利润为万元.2024112M2x+3y=z2x+3y=0(2)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yxO【提示】 （）根据生产原料不能超过 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300吨，列不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域（）目标函数为利润，根据直线平移及截距变化规律确定最大利润23zxy【考点】线性规划17.【答案】 （）证明：取的中点为，连接，在中，因为是BDO,OE OGBCDG的中点，所以且，又因为，所以BC/ /OGDC112OGDCEFABABDC，且，EFOGEFOG即四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，OGFEFGOEFG BEDOE BED所以平面.FGBED（）证明：在中，由余弦定理可，进ABD1260ADABBAD，3BD 而可得，即，又因为平面平面平面90ADBBDADAED ABCDBD ，；平面平面，所以平面.又因为平面ABCDAEDABCDADBD AEDBD ，所以平面平面.BEDBED AED（）解：因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所EFABEFBEDABBED成角.过点作于点，连接，又因为平面平面，AAHDEHBHBEDAEDED由（）知平面，所以直线与平面所成角即为.在中，AH BEDABBEDABHADE，由余弦定理可得，所以，136ADDEAE，2cos3ADE5sin3ADE因此，在中，所以直线5sin3AHADADEARtAHB5sin6AHABHAB与平面所成角的正弦值为ABBED5 6【提示】 （）利用中位线定理，和平行公理得到四边形是平行四边形，再根据线OGEF面平行的判定定理即可证明；（）根据余弦定理求出，继而得到，再根据面面垂直的判定定理即3BD BDAD可证明；（）先判断出直线与平面所成的角即为直线与平面所形成的角，再EFBEDABBED根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案【考点】直线与平面平行和垂直，平面与平面垂直，直线与平面所成角18.【答案】 （）解：设数列的公比为，由已知有，解之可得naq2 111112 aa qa q，21qq ，又由知，所以，解之得，所以.6 1(1)631naqSq1q 6 1(12 )6312a11a 12nna（）解：由题意得，即数列1 22122111(loglog)(log 2log 2 )222nn nnnbaan 是首项为，公差为 的等差数列.设数列的前项和为，则 nb1 212( 1)n nbnnT222222212 212342121222 ()()()()22n nnnnn bbTbbbbbbbbbn 【提示】 （）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由解得2 111112 aa qa q，分别代入得，21qq ，6 1(1)631naqSq1q 11a （）先根据等差中项得，再利1 22122111(loglog)(log 2log 2 )222nn nnnbaan 用分组求和法求和：222222212 212342121222 ()()()()22n nnnnn bbTbbbbbbbbbn 【考点】等差数列、等比数列及其前项和n数学试卷第 16 页（共 21 页）数学试卷第 17 页（共 21 页）数学试卷第 18 页（共 21 页）19.【答案】 （）解：设，由，即，可得( ,0)F c113 |c OFOAFA113 ()c caa ac，2223acc又，所以，因此，所以椭圆的方程为.2223acb21c 24a 22 143xy（）设直线的斜率为，则直线 的方程为，(0)k k l(2)yk x设，由方程组，消去，(,)BBB xy22 143 (2)xyyk x y整理得，解得或，2222(43)1616120kxk xk2x 2286 43kxk由题意得，从而，2286 43Bkxk212 43Bkyk由（）知，设，有，(1,0)F(0,)HHy( 1,)HFHy 2229412,43 43kkBFkk 由，得，所以，BFHF0BF HF A222124904343Hkyk kk解得，因此直线的方程为，294 12HkykMH2194 12kyxkk 设，由方程组，消去，得，(,)MMM xy2194 12 (2)kyxkk yk x y22209 12(1)Mkxk在中，MAOMOAMAO | |MAMO即，化简得，即，2222(2)MMMMxyxy1Mx22209112(1)k k解得或，所以直线 的斜率为或.6 4k 6 4k l6 4k 6 4k 【提示】 （）由题意画出图形，把、代入，转化为关|OF|OA|FA113e+=|OFOAFA于的方程，解方程求得值，则椭圆方程可求；aa（）由已知设直线 的方程为，联立直线方程和椭圆方程，化为l(2)yk x(0)k 关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求得的坐标，再写出所在直线xBMH方程，求出的坐标，由，得，整理得HBFHF11(1,) (1,)0HBF HFxyyAA到的坐标与的关系，由，得到，转化为关于的等式求MkMOAMAO 01x k得的值k【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程20.【答案】 （）解：由，可得，下面分两种情况讨论：3( )f xxaxb2( )3fxxa当时，有恒成立，所以的单调增区间为.0a 2( )30fxxa( )f x(,) 当时，令，解得或.0a ( )0fx3 3ax 3 3ax 当变化时，、的变化情况如下表：x( )fx( )f xx3,3a 3 3a33,33aa3 3a3,3a( )fx00( )f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，( )f x33,33aa3,3a .3,3a（）证明：因为存在极值点，所以由（）知且.( )f x0a 00x 由题意得，即，2 00()30fxxa2 03ax 进而，3 00002()3af xxaxbxb 又，且，3 000000082( 2)822()33aafxxaxbxaxbxbf x 002xx由题意及（）知，存在唯一实数满足，且，因此，1x10()()f xf x10xx102xx 所以.10+2=0xx（）证明：设在区间上的最大值为，表示，两数的最大值，( )g x 1,1Mmax , x yxy下面分三种情况讨论：当时，由（）知在区间上单调递减，3a 331 133aa ( )f x 1,1所以在区间上的取值范围为，( )f x 1,1 (1),( 1)ff 因此，max (1),( 1)max|1|,| 1|Mffabab max|1|,|1|abab ，所以.1,0 1,0ab b ab b 1 | 2Mab 当时，334a2 3332 3113333aaaa 由（）和（）知：，2 33( 1)33aafff2 33(1)33aafff所以在区间上的取值范围为，( )f x 1,133,33aaff所以3322max,max3,33399aaaaffabab.2222331max3,33|39999444aaaababab当时，由（）和（）知，304a2 32 31133aa ，2 33( 1)33aafff2 33(1)33aafff所以在区间上的取值范围为，因此，( )f x 1,1 (1),( 1)ff max (1),( 1)max| 1|,|1|max|1|,|1|max|1|,|1|Mffabababababab 11|4ab 综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.0a ( )g x 1,11 4【提示】 （）求出的导数，讨论时，在上递增；当时，( )f x0a ( )0fx( )f xR0a 由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间；（）由条件判断出，且，由求出，分别代入解析式化简，0a 00x 0()0fx0x0()f x，化简整理后可得证；0( 2)fx（）设在区间上的最大值，根据极值点与区间的关系对分三种情况讨( )g x1,1Ma论，运用单调性和前两问的结论，求出在区间上的取值范围，利用的范( )f x( )g xa围化简整理后求出，再利用不等式的性质证明结论成立M数学试卷第 19 页（共 21 页）数学试卷第 20 页（共 21 页）数学试卷第 21 页（共 21 页）【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式