2018年高考理科数学北京卷含答案.docx
数学试卷第 1 页（共 14 页）数学试卷第 2 页（共 14 页）绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（理）本试卷满分 150 分,考试时长 120 分钟.第一部分(选择题共 40 分)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. .1.已知集合，则( ) | 2Axx 2,0,1,2B AB A.B.C.D. 0,11,0,12,0,1,21,0,1,22.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( )1 1 iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为( )A.B.C.D.1 25 67 67 124.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载癱最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为( )122fA.B.C.D.32f322 f12521272 f5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.46.设 ， 均为单位向量，则“”是“”的( )ab33abababA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离.当 ，dcos ,sinP20xmy变化时，的最大值为( )mdA.1B.2C.3D.48.设集合，则( ),|1,4,2Ax yxyaxyxayA.对任意实数 ，B.对任意实数 ，a2,1Aa2,1AC.当且仅当时，D.当且仅当时，0a 2,1A3 2a 2,1A第二部分 (非选择题共 110 分)二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中的横线上)9.设是等差数列，且，则的通项公式为 . na13a 2536aa na10.在极坐标系中，直线与圆相切，则 .cossin0a a=2cosa 11.设函数.若对任意的实数 都成立，则 cos06fxx 4fxfx毕业学校_姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷第 3 页（共 14 页）数学试卷第 4 页（共 14 页）的最小值为 . 12.若 ，满足，则的最小值是 .xy12xyx 2yx13.能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为 0f xf0,2x f x 0,2假命题的一个函数是 .14.已知椭圆：，双曲线：.若双曲线的两M222210xyababN22221xy mnN条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则MM 椭圆的离心率为 ；双曲线的离心率为 .MN三、解答题：共 80 分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。15.(本小题满分 13 分)在中，.ABCA7a 8b1cos7B （1）求；A （2）求边上的高.AC16.(本小题满分 14 分)如图，在三棱柱中，平面，111-ABC A BC1CC ABCDE，分别为，的中点，FG1AAAC11AC1BB5ABBC12ACAA（1）求证：平面；AC BEF （2）求二面角的余弦值；1-B CD C（3）证明：直线与平面相交.FGBCD17.(本小题满分 12 分)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立. （1）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电 影的概率. （2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概 率 （3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第 类电影得到人们喜欢， “”表示第 类电影没有得到人们喜欢=1kk=0kk.写出方差，的大小关系.1,2,3,4,5,6k 1D2D3D4D5D6D18.(本小题满分 13 分)设函数 24143xf xaxaxae（1）若曲线在点处的切线与 轴平行，求 ； yf x 1,1fxa（2）若在处取得极小值，求 的取值范围. f x2x a数学试卷第 5 页（共 14 页）数学试卷第 6 页（共 14 页）19.(本小题满分 14 分)已知抛物线：经过点，过点的直C22ypx1,2P0,1Q线 与抛物线有两个不同的交点，且直线交 轴于，直线交lCABPAyMPB轴于.yN（1）求直线 的斜率的取值范围；l（2）设为原点，求证：为定值.OQMQO QNQO11+20.(本小题满分 14 分)设 为正整数，集合.对于集合中的n 12| =, ,0,1 ,1,2,nkAt tttkn A任意元素和，记12=,nx xx12=,ny yy. 111122221,2nnnnMxyxyxyxyxyxy （1）当时，若，求和的值.3n= 1,1,0= 0,1,1,M ,M （2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当4n BAB，相同时，是奇数；当，时，是偶数.求集合中,M ,M 元素个数的最大值. （3）给定不小于 2 的 ，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的nBAB元素，.写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由.,=0M B2018 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学答案解析一、选择题1 【答案】A【解析】，则| 22Axx 2,0,1,2 0,1AB【考点】集合的交集运算2 【答案】D【解析】，所以其共轭复数为，在复平面 211111 111122iiiiiii11 22i内对应点为，位于第四象限11 22，【考点】复数的四则运算与共轭复数的概念-在-此-卷-上-答-题-无-效- - 毕业学校_姓名_ 考生号_ _ _数学试卷第 7 页（共 14 页）数学试卷第 8 页（共 14 页）3 【答案】B【解析】，不满足，继续循环1k 1s 111111 12s 2k 3k ，满足，循环结束，输出 211512126s 3k 3k 5 6s 【考点】算法的循环结构4 【答案】D【解析】根据题意可以知单音的频率形成一个等比的数列，其首项为，公比为，f122所以第八个单音的频率为 71271222ff【考点】数学文化与等比数列5 【答案】C【解析】根据三视图可以还原该几何体为正方体中的一个四棱锥，其中1DAPCD为的中点，所以四棱锥中的侧面为直角三角形的有，PAB1DAPCD1DCDA，共三个1D ADA1D APA【考点】三视图6 【答案】C【解析】，2222223369962320ababaa bbaa bbaa bb因为，均为单位向量，所以，所以ab221ab，所以“”是“”2223200aa bba bab33ababab的充分必要条件【考点】充分必要条件的判断与平面向量的数量积运算7 【答案】C【解析】根据点可知，为坐标原点为圆心，半径为 1 的单位圆上的点，cos ,sinPP所以的最大值为圆心到直线的距离再加上一个半径 1，所以d0,0 2213 1d m 【考点】直线与圆的位置关系及圆的参数方程8 【答案】D【解析】当时，将代入满足不2a ,|1,24,22Ax yxyxyxy2,1等式组，所以排除 B；当时，1 2a 11,|1,4,222Ax yxyxyxy将代入满足不等式，所以排除 A，C2,1142xy【考点】不等式组表示的平面区域二、填空题9 【答案】63nan【解析】，因为，所以，所以251636aaaa13a 633a ，所以615306daad1136163naandnn【考点】等差数列10 【答案】1+ 2【解析】直线方程为，圆的方程为，根0xya22222011xyxxy据直线与圆相切有（因为） 1112122aaa 0a 【考点】直线与圆的位置关系以及极坐标方程与普通方程的互化11 【答案】2 3【解析】根据题意有当时，函数取得最大值 1，所以4x，因为，cos124646k 283kZkkZ0所以的最小值为2 3【考点】三角函数图象与性质数学试卷第 9 页（共 14 页）数学试卷第 10 页（共 14 页）12 【答案】3【解析】不等式组表示的区域为如图所示的阴影部分，设，则1, 2yx yx 2zyx，所以的几何意义为直线的众截距，所以当直1 22zyx2z1,1, 22,yxx yxy线过点时，取得最小值，所以1,2Amin2213z 【考点】线性规划问题13 【答案】（答案不唯一） sinf xx【解析】本题为一个开放性题目，可以构造出许多函数，只需要都成立即 0f xf可，最常见的可以用分段函数，即一部分先为增函数，后一部分为减函数，确保即可，如 0f xf sinf xx【考点】函数单调性的判断与应用14 【答案】231【解析】如图所示，双曲线的渐近线与椭圆的交点分别为，则根据题ABCD意有，所在椭圆中，有22ABCDBFOFc13BFc，所以椭圆的离心率根据双曲12312BFBFca123131cea线渐近线，即有，所以，所以双曲线的离心率nyxm tan603n m 223n m，故222 2 22214mnnemm 22e 【考点】直线与椭圆、双曲线的位置关系15 【答案】 （1）在中，因为，所以由正ABCA1cos7B 24 3sin= 1cos7BB弦定理得由题设知，所以所以sin3sin2aBAb2B 02A =3A（2）在中，因为，所以ABCA3 3sinsinsincoscossin14CABABAB边上的高AC3 33 3sin7142haC【考点】解三角形问题16 【答案】在三棱柱中，因为平面，所以四边形为111-ABC A BC1CC ABC11A ACC矩形又，分别为，的中点，所以因为，所EFAC11ACACEFABBC以所以平面ACBEAC BEF（2）由（1）知，ACEFACBE1EFCCA又平面，1CC ABC所以平面EF ABC因为平面，BE ABC所以EFBE如图建立空间直角坐标系由题意得点，-E xyz0,2,0B1,0,0C 1,0,1D，0,0,2F0,2,1G数学试卷第 11 页（共 14 页）数学试卷第 12 页（共 14 页）所以1, 2,0 ,1, 2,1BCBD 设平面的法向量为，则即BCD000,nxyz0,0,n BCn BD 0000020,20.xyxyz 令，则01y 002,4.xz 于是2, 1, 4n 又因为平面的法向量，1CC D0,2,0EB 所以21cos,21n EBn EB n EB 由题知二面角为钝角，所以其余弦值为1BCDC21 21（3）由（2）知平面的法向量为，BCD2, 1, 4n 0,2, 1FG 因为， 20124120n FG 所以直线与平面相交FGBCD【考点】空间线面位置关系的判断与证明17 【答案】 （1）由题意知，样本中电影的总部数是，140+50+300+200+800+510=2000第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50故所求概率为50=0.0252000（2）设事件为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评” ，事件为“从第五类AB电影中随机选出的电影获得好评” 故所求概率为 11P ABABP ABP ABP AP BP AP B由题意知估计为 0.25，估计为 0.2 P A P B故所求概率估计为0.25 0.8+0.75 0.2=0.35（3）由题意知服从 01 分布，其中为第类电k11,2,6kkkDPPkkPk影得到人们喜欢的概率也就是好评率，由计算得，142536DDDDDD【考点】相互独立事件概率的求解以及方差的求解18 【答案】 （1）因为， 24143xf xaxaxae所以 2212xfxaxaxe 11fa e由题设知，即，解得 1 =0f 1=0a e1a 此时 130fe所以的值为 1a（2）由（1）得 2212=12xxfxaxaxeaxxe若，则当时，；1 2a 1,2xa 0fx当时，2,x 0fx所以在处取得极小值 f x2x 若，则当时，1 2a 0,2x120,1102xaxx 所以 0fx所以 2 不是的极小值点 f x综上可知，的取值范围是a1+2，【考点】导数在研究函数问题中的应用19 【答案】 （1）因为抛物线过点，22ypx1,2数学试卷第 13 页（共 14 页）数学试卷第 14 页（共 14 页）所以，即24p 2p 故抛物线的方程为C24yx由题意知，直线 的斜率存在且不为 0l设直线 的方程为l10ykxk由得24 , 1yx ykx 222410k xkx 依题意，解得或22= 24410kk 0k 01k又，与轴相交，故直线 不过点PAPByl1, 2从而3k 所以直线 斜率的取值范围是l , 33,00,1 （2）设点 1122,A x yB xy由（1）知121222241,kxxx xkk 直线的方程为PA112211yyxx令，得点的纵坐标为0x M1111212211Mykxyxx同理得点的纵坐标为N22121Nkxyx由，得QMQO QNQO 1,1MNyy 所以221212121212 2224 211111111+=21111111MNk x xxxxxkk yykxkxkx xk k所以为定值11+【考点】直线与抛物线的位置关系20 【答案】 （1）因为，= 1,1,0= 0,1,1所以， 1,1 11 11 11 1000022M 1,10101 11 1010112M （2）设，则1234=,x x x xB1234,Mxxxx 由题意知，且为奇数， 1234,0,1x x x x ,M 所以中 1 的个数为 1 或 3所以1234,x x x x 1,0,0,0 , 0,1,0,0 , 0,0,1,0 , 0,0,0,1 , 0,1,1,1 , 1,0,1,1 , 1,1,0,1 , 1,1,1,0B 将上述集合中的元素分成如下四组：； 1,0,0,0 , 1,1,1,0 0,1,0,0 , 1,1,0,1 0,0,1,0 , 1,0,1,1 0,0,0,1 , 0,1,1,1经验证，对于每组中两个元素，均有, ,=1M 所以每组中的两个元素不可能同时是集合的元素B所以集合中元素的个数不超过为 4B又集合满足条件， 1,0,0,0 , 0,1,0,0 , 0,0,1,0 , 0,0,0,1所以集合中元素个数的最大值为 4B（3）设， 1212121,|,1,01,2,knnkkSx xxx xxA xxxxkn，11212,|0nnnSx xxxxx则121nASSS对于中的不同元素，经验证，1,2,1kSkn,1M 所以中的两个元素不可能同时是集合的元素1,2,1kSknB所以中元素的个数不超过B1n取且12,knkex xxS101,2,1knxxkn令，则集合的元素个数为，且满足条件1211,nnnBe eeSSB1n故是一个满足条件且元素个数最多的集合B【考点】新定义问题与集合中元素与集合、集合与集合的关系问题
