2018年高考文科数学北京卷含答案.docx
数学试卷第 1 页（共 16 页）数学试卷第 2 页（共 16 页）绝密启用前北京市 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学本试卷满分 150 分.考试时长 120 分钟.第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则（ |2|xAx2,0,1,2B AB ） A.B. 0,11,0,1C.D.2,0,1,21,0,1,22.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ 1 1i）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ s）A.B.C.D.1 25 67 67 124.设，是非零实数，则“”是“，成等比数列”的abcdadbcabcd（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献。十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于。若第一个单音的频率，则第八个单音频率为（ 122f）A.B.32 f322 fC.D.1252 f1272 f6.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A.1B.2C.3D.47.在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图） ，点AABACDAEFAGH221xy在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所POxOPtancossinP在的圆弧是（ ）毕业学校_姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷第 3 页（共 16 页）数学试卷第 4 页（共 16 页）A.B.C.D.AABACDAEFAGH8.设集合，则（ ）( , )|1,4,2Ax yxyaxyxayA.对任意实数，a(2,1)AB.对任意实数，a(2,1)AC.当且仅当时，0a (2,1)AD.当且仅当时，3 2a(2,1)A第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9.设向量，若，则 .(1,0)a ( 1,)bm ()amabm 10.已知直线 过点且垂直于轴，若 被抛物线截得的线段长为 4，则抛l(1,0)xl24yax物线的焦点坐标为 .11.能说明“若，则”为假命题的一组，的值依次为 .ab11 abab12.若双曲线的离心率为，则 .2221(0)4xyaa5 2a 13.若，满足，则的最小值是 .xy12xyx 2yx14.若的面积为，且为钝角，则 ；的取ABC2223()4acbCBc a值范围是 .三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.（本小题满分 13 分） 设是等差数列，且，.na1ln2a 235ln2aa（）求的通项公式；na（）求.12eeenaaa16.（本小题满分 13 分） 已知函数.2( )sin3sin cosf xxxx（）求的最小正周期；( )f x（）若在区间上的最大值为，求的最小值.( )f x,3m3 2m数学试卷第 5 页（共 16 页）数学试卷第 6 页（共 16 页）17.（本小题满分 13 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加，哪类电影的好评率减少，使得获得好评的电影总部数与样本中的0.10.1电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）18.（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，PABCDABCDPADABCD，分别为，的中点.PAPDPAPDEFADPB（）求证：；PEBC（）求证：平面平面；PABPCD（）求证：平面.EFPCD-在-此-卷-上-答-题-无-效- -毕业学校_姓名_ 考生号_ _ _数学试卷第 7 页（共 16 页）数学试卷第 8 页（共 16 页）19.（本小题满分 13 分） 设函数.2( )(31)32exf xaxaxa（）若曲线在点处的切线斜率为 0，求；( )yf x(2,(2)fa（）若在处取得极小值，求的取值范围.( )f x1x a20.（本小题满分 14 分）已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线2222:1(0)xyMabab6 32 2k与椭圆有两个不同的交点，.lMAB（）求椭圆的方程；M（）若，求的最大值；1k |AB（）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另( 2,0)P PAMCPBM一个交点为.若，和点共线，求.DCD7 1,4 2Qk北京市 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学答案解析一、选择题1.【答案】A【解析】，则.( | 22)Axx ( 2,0,1,2)B 0,1AB 【考点】集合的交集运算2.【答案】D【解析】，所以其共轭复数为，在复平面内对21(1i)1i11i1i(1i)(1i)1i2211i22应点为，位于第四象限。11,22【考点】复数的四则运算与共轭复数的概念3.【答案】B【解析】，不满足，继续循环1k 1s 1111( 1)1 12s 2k 3k数学试卷第 9 页（共 16 页）数学试卷第 10 页（共 16 页），满足，循环结束，输出.2115( 1)2126s 3k 3k5 6s 【考点】算法的循环结构4.【答案】B【解析】 “ ， ， ，成等比” ，根据等比数列的性质有，所以“”abcdadbcadbc是“ ， ， ，成等比”的必要条件；若，满足，abcd3ad3bcadbc但是数列 3，3 不是等比数列，所以“”是“ ， ， ，成33adbcabcd等比”的必要不充分条件.【考点】比数列的性质与充分必要条件的判断5.【答案】D【答案】根据题意可以知单音的频率形成一个等比数列；其首项为；公比为，f122所以第八单音的频率为.127712( 2)2ff【考点】数学文化与等比数列6.【答案】C【解析】根据三视图可以还原该几何体为正方体中的一个四棱锥，其中1DAPCD为的中点，所以四棱锥中的侧面为直角三角形的有，PAB1DAPCD1DCD，共三个.1D AD1D AP【考点】三视图7.【答案】C【解析】在四段圆弧上任意取一点，分别作出正弦线、余弦线、正切线观察即可选择.C【考点】三角函数的定义与三角函数线的应用8.【答案】D【解析】当时，将代人满足不2a )24(222Axy xyxyy，|1，(2,1)等式组，所以排除 B,当去时，1 2a 11( , )|1,4,222Ax yxyxyxy将代入不满足不等式号，所以排除 A，C.(2,1)4xy【考点】不等式组表示的平面区域二、填空题9.【答案】1【解析】，根据.(1,)mabmm()()101amaba mabmm A【考点】平面向量的坐标运算10.【答案】(1,0)【解析】根据题意将代人抛物线方程可得，根据抛物线的对1x 242yaya 称性有；所以抛物线的焦点坐标为.441aa(10)，【考点】抛物线的方程11.【答案】1，（答案不唯一）1【解析】当，时，满足，此时.1a 1b ab1161a 【考点】不等式的性质与命题真假的判断12.【答案】4【解析】根据，因为，所以.22 2 225451624ccaaaaa0a 4a 【考点】双曲线的方程与离心率的计算13.【答案】3【解析】不等式组，表示的区较为如图所示的阴影部分，设，则12yxyx 1 2zyx，所以的几何意义为直线的纵截距，所以当直1 22zyx2z1,1 2 ,2yxx yxy线过点处时，取得最小值，所以.(12)A ，min2213z 数学试卷第 11 页（共 16 页）数学试卷第 12 页（共 16 页）【考点】线性规划问题14.【答案】60(2,)【解析】根据三角形面积公式有，所以22213sin()24acBacb，所以，所以，222 sin33cos2acbBBactan3B 3B ，又因为为钝角，2sinsinC13cossin3113 sinsin2sin2 tan2AcAA aAAAAC即，所以，所以，5 236CB300tan63AA13tan A所以，所以的取值范围为.31131322 tan222Ac a(2,)【考点】三角形问题与三角函数图象与性质三、解答题15.【答案】解：（I）设等差数列的公差为， nad，235ln2aa，1235ln2ad又，.1ln2a ln2d .1(1)ln2naandn（II）由（I）知，ln2nan，ln2ln2eee=2nnann是以 2 为首项，2 为公比的等比数列.e na212ln2ln2ln2eeeeeennaaa2=222n.1=22n.12eeenaaa1=22n【考点】等差、等比数列综合问题16.【答案】 （），1cos233111( )sin2sin2cos2sin(2)2222262xf xxxxx所以的最小正周期为.( )f x22T （）由（）知.1( )sin(2)62f xx因为，所以.,3xm 52,2666xm 要使得在上的最大值为，即在上的最大值为 1.( )f x,3m3 2sin 26x,3m所以，即.262m 3m所以的最小值为.m 3【答案】三角函数的图象和性质17.【答案】 （）由题意知，样本中电影的总部数是.140503002008005102000第四类电影中获得好评的电影部数是，200 0.2550故所求概率为.500.0252 000（）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是 1400.4500.23000.152000.258000.25100.1 5610455016051 =372. 故所求概率估计为.37210.8142 000方法二：设“随机选取 1 部电影,这部电影没有获得好评”为事件 B.没有获得好评的电影共有部.1400.6500.83000.852000.758000.85100.91628数学试卷第 13 页（共 16 页）数学试卷第 14 页（共 16 页）由古典概型概率公式得.16280.8142)00(0P B （）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.【考点】相互独立事件概率的求解以及方差的求解18.【答案】 （），且为的中点，.PAPDEADPEAD底面为矩形，ABCDBCAD.PEBC（）底面为矩形，.ABCDABAD平面平面，平面.PAD ABCDAB PAD.又，ABPDPAPD平面，平面平面.PD PABPAB PCD（）如图，取中点，连接，.PCGFGGD，分别为和的中点，且. FGPBPCFGBC1 2FGBC四边形为矩形，且为的中点，ABCDEAD，EDBC1 2DEBC，且，四边形为平行四边形，EDFGEDFGEFGD.EFGD又平面，平面，EF PCDGD PCD平面.EFPCD【考点】空间几何体线面位置关系的判断问题19.【答案】解：（）因为，2( )(31)32exf xaxaxa所以.2( )(1)1exfxaxax，2(2)(21)efa由题设知，即，解得.(2)0f 2(21)e0a 1 2a （）方法一：由（）得.2( )(1)1e(1)(1)exxfxaxaxaxx若，则当时，；1a 1,1xa( )0fx当时，.(1,)x( )0fx所以在处取得极小值.( )f x1x 若，则当时，1a(0,1)x110axx 所以.( )0fx所以 1 不是的极小值点.( )f x综上可知，a 的取值范围是.(1,)方法二：.( )(1)(1)exf xaxx（1）当时，令得.0a ( )0fx1x ，随 x 的变化情况如下表：( )fx( )f xx(,1)1(1,)( )fx+0( )f x极大值在处取得极大值，不合题意.( )f x1x （2）当 a>0 时，令得.( )0fx121,1axx当，即 a=1 时，12xx2( )(1) e0xfxx在上单调递增，( )f xR无极值，不合题意.( )f x当，即 01 时，随 x 的变化情况如下表：12xx( ),( )fxf x数学试卷第 15 页（共 16 页）数学试卷第 16 页（共 16 页）x1(,)a1 a1(,1)a1(1,)( )fx+00+( )f x极大值极小值在处取得极小值，即满足题意.( )f x1x 1a （3）当时，令得，0a ( )0fx11xa21x 随 x 的变化情况如下表：( ),( )fxf xx1,a1 a1,1a1(1,)( )fx0+0( )f x极小值极大值在处取得极大值，不合题意.( )f x1x 综上所述， 的取值范围为.a(1,)【考点】导数在研究函数问题中的应用20.【答案】 （）由题意得，所以，22 2c 2c 又，所以，所以，6e3c a3a 2221bac所以椭圆的标准方程为.M2 213xy（）设直线的方程为，AByxm由消去 可得，2 213yxmxyy2246330xmxm则，即，2223644(33)48120mmm 24m 设，则，11(,)A x y22(,)B xy123 2mxx 21233 4mx x则，2 222 12121264|1|1()42mABkxxkxxx x易得当时，故的最大值为.20m max|6AB|AB6（）设，11(,)A x y22(,)B xy33(,)C xy44(,)D xy则，22 1133xy22 2233xy又，所以可设，直线的方程为，( 2,0)P 1 1 12PAykkxPA1(2)yk x由消去可得，12 2(2)13yk xxyy2222 111(13)121230kxk xk则，即，2 1 132 1121 3kxxk 2 1 312 112 1 3kxxk 又，代入式可得，所以，1 1 12ykx1 3 1712 47xxx1 3 147yyx所以，同理可得.1111712,4747xyCxx 2222712,4747xyDxx 故，3371,44QCxy4471,44QDxy因为，三点共线，所以，QCD3443717104444xyxy将点，的坐标代入化简可得，即.CD12121yy xx1k 【考点】直线与椭圆的位置关系
