2016年北京市中考数学试卷含答案.docx

数学试卷第 1 页（共 22 页）数学试卷第 2 页（共 22 页）绝密启用前北京市 2016 年高级中等学校招生考试 数学本试卷满分 120 分,考试时间 120 分钟.第卷(选择题 共 30 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,用量角器度量,可以读出的度数为( )AOBAOBA.45°B.55°C.125°D.135°2.“神舟十号”飞船是我国“神舟”系列飞船之一,每小时飞行约 28000 千米.将 28000用科学记数法表示应为( )A.B.C.D.32.8 10328 1042.8 1050.28 103.实数,在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是( )abA.B.C.D.2a3aabab4.内角和为 540°的多边形是( )ABCD5.如图是某个几何体的三视图,该几何体是( )A.圆锥B.三菱锥C.圆柱D.三棱柱6.如果,那么代数式的值是( )2ab2 ()baaaabAA.2B.C.D.21 21 27.甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式.下列甲骨文中,不是轴对称的是( )ABCD8.在 17 月份,某种水果的每斤进价与每斤售价的信息如图所示,则出售该种水果每斤利润最大的月份是( )A.3 月份B.4 月份C.5 月份D.6 月份 9.如图,直线.在某平面直角坐标系中,轴,轴,点的坐标为,mnxmynA()4,2点的坐标为,则坐标原点为( )B(2,)4A.B.C.D.1O2O3O4O毕业学校_姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷第 3 页（共 22 页）数学试卷第 4 页（共 22 页）10.为了节约水资源,某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价,水价分档递增.计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的 80%,15%和 5%.为合理确定各档之间的界限,随机抽查了该市 5 万户居民家庭上一年的年用水量(单位：),绘制了统计图,如图所示.下面有四个推断：3m年用水量不超过的该市居民家庭按第一档水价交费；3180 m年用水量超过的该市居民家庭按第三档水价交费；3240 m该市居民家庭年用水量的中位数在 150180 之间；该市居民家庭年用水量的平均数不超过 180；其中合理的是( )A.B.C.D.第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.把答案填写在题中的横线上)11.如果分式有意义,那么,的取值范围是 .2 1xx12.如图的四边形均为矩形.根据图形,写出一个正确的等式： .13.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据：移植的棵数n10001500250040008000150002000030000成活的棵数m8651356222035007056131701758026430成活的频率m n0.8650.9040.8880.8750.8820.8780.8790.881估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 .14.如图,小军、小珠之间的距离为,他们在同一盏路灯下的影长分别为、2.7 m1.8m.已知小军、小珠的身高分别为,则路灯的高为 m.1.5m1.8m 1.5m15.百子回归图是由 1,2,3,100 无重复排列而成的正方形数表,它是一部数化的澳门简史,如：中央四位“19991220”标示澳门回归日期,最后一行中间两位“2350”标示澳门面积,同时它也是十阶幻方,其每行 10 个数之和、每列 10 个数之和、每条对角线 10 个数之和均相等,则这个和为 .数学试卷第 5 页（共 22 页）数学试卷第 6 页（共 22 页）16.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程.已知：直线 和 外一点.llP求作：直线的垂线,使它经过点.P作法：如图,(1)在直线 上任取两点,；lA B(2)分别以点,为圆心,长为半径作A BAPBP弧,两弧相交于点；Q(3)作直线.PQ所以直线就是所求作的垂线.PQ请回答：该作图的依据是 .三、解答题(本大题共 13 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 5 分) 计算：.0(3)4sin458|13|18.(本小题满分 5 分)解不等式组：253(1), 74.2xx xx 19.(本小题满分 5 分) 如图,四边形是ABCD平行四边形,平分AE ,交的延长BADDC线于点.E 求证：.DADE20.(本小题满分 5 分) 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.x22(21)10 xmxm(1)求的取值范围；m (2)写出一个满足条件的的值,并求此时方程的根.m21.(本小题满分 5 分)如图,在平面直角坐标系中,过点的直线xOy( 6,0)A与直线：相交于点.1l2l2yx( ,4)B m(1)求直线的表达式；1l(2)过动点且垂直于轴的直线与,的交点( ,0)P nx1l2l分别为,当点位于点上方时,写出的取值CDCDn范围.22.(本小题满分 5 分)调查作业：了解你所住小区家庭 5 月份用气量情况.小天、小东和小芸三位同学住在同一小区,该小区共有 300 户家庭,每户家庭人数在 25 之间,这 300 户家庭的平均人数均为 3.4.小天、小东和小芸各自对该小区家庭 5 月份用气量情况进行了抽样调查,将收集的数据进行了整理,绘制的统计表分别为表 1、表 2 和表 3.表 1 抽样调查小区 4 户家庭 5 月份用气量统计表(单位：)3m 家庭人数2345 用气量14192126表 2 抽样调查小区 15 户家庭 5 月份用气量统计表(单位：)3m 家庭人数222333333333334 用气量101115131415151717181818182022表 3 抽样调查小区 15 户家庭 5 月份用气量统计表(单位：)3m 家庭人数223333333444455 用气量101213141717181920202226312831 根据以上材料回答问题： 小天、小东和小芸三人中,哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭 5 月份用气量情况,并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处.23.(本小题满分 5 分) 如图,在四边形中,ABCD90ABCACADM 分别为,的中点,连接,.NACCDBMMNBN (1)求证：；BMMN (2)若,平分,求的长.60BADACBAD2AC BN毕业学校_姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷第 7 页（共 22 页）数学试卷第 8 页（共 22 页）24.(本小题满分 5 分) 阅读下列材料： 北京市正围绕“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位,深 入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略.“十二五”期间,北京市文 化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力,已经成为首都经济增长的支 柱产业. 2011 年,北京市文化创意产业实现增加值 1938.6 亿元,占地区生产总值的 12.1%.2012 年,北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势,实现产业增加值 2189.2 亿元,占地区生产总值的 12.3%,是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三 大支柱产业.2013 年,北京市文化创意产业实现增加值 2406.7 亿元,比上年增长 9.1%.文 化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位.2014 年,北京市文化创意产业实 现增加值 2794.3 亿元,占地区生产总值的 13.1%,创历史新高.2015 年,北京市文化创 意产业发展总体平稳,实现产业增加值 3072.3 亿元,占地区生产总值的 13.5%. (以上数据来源于北京市统计局) 根据以上材料解答下列问题： (1)用折线图将 20112015 年北京市文化创意产业实现增加值表示出来,并在图中 标明相应数据； (2)根据绘制的折线图中提供的信息,预估 2016 年北京市文化创意产业实现增加值 约 亿元,你的预估理由是 .25.(本小题满分 5 分) 如图,为的直径,为弦的中点,连接并延ABA OFACOF长交于点,过点作的切线,交的延长线于点AACDDA OBA .E (1)求证：；ACDE (2)连接,若,写出求四边形面积的CDOAAEaACDE 思路.26.(本小题满分 5 分) 已知是的函数,自变量的取值范围是,下表是与的几组对应值.yxx0xyx x123579 y1.983.952.631.581.130.88 小腾根据学习函数的经验,利用上述表格所反映出 的与之间的变化规律,对该函数的图象与性质yx 进行了探究. 下面是小腾的探究过程,请补充完整： (1)如图,在平面直角坐标系中,描出了以上表xOy 中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函 数的图象； (2)根据画出的函数图象,写出： 对应的函数值约为 ；4x y 该函数的一条性质： .27.(本小题满分 7 分) 在平面直角坐标系中,抛物线xOy22ymxmx与轴的交点为,.1(0)mmxAB(1)求抛物线的顶点坐标； (2)横、纵坐标都是整数的点叫整点. 当时,求线段上整点的个数；1m AB 若抛物线在点,之间的部分与线段所围成ABAB 的区域内(包括边界)恰有 6 个整点,结合函数的图象,求 的取值范围.m28.(本小题满分 7 分) 在等边中,ABC (1)如图 1,是边上两点,求PQBCAPAQ20BAP的度数；AQB(2)点,是边上的两个动点(不与点,重合),点在PQBCBCP点的左侧,且,点关于直线的对称点为,QAPAQQACM连接,.AMPM 依题意将图 2 补全； 小茹通过观察、实验,提出猜想：在点,运动的过程中,PQ始终有.小茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨PAPM 论,形成了证明该猜想的几种想法： 想法 1：要证,只需证是等边三角形.PAPMAPM 想法 2：在上取一点,使得,要证,只BANBNBPPAPM 需证.ANPPCM 想法 3：将线段绕点顺时针旋转,得到线段,要证,只需证BPB60BKPAPM ,.PACKPMCK 请你参考上面的想法,帮助小茹证明.(一种方法即可)PAPM29.(本小题满分 8 分) 在平面直角坐标系中,点的坐标为,点xOyP11( ,)x y的坐标为,且,若,为某Q22(,)xy12xx12yyPQ个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂 直,则称该矩形为点,的“相关矩形”.下图为点PQ,的“相关矩形”的示意图.PQ(1)已知点的坐标为,A(1,0)若点的坐标为,求点,的“相关矩形”的面积；B(3,1)AB点在直线上.若点,的“相关矩形”为正方形,求直线的表达式；C3x ACAC(2)的半径为,点的坐标为.若在 上存在一点,使得O2M( ,3)mON数学试卷第 9 页（共 22 页）数学试卷第 10 页（共 22 页）点,的“相关矩形 ”为正方形 ,求的取值范围 .MNm 北京市 2016 年高级中等学校招生考试 数学答案解析 第卷一、选择题1.【答案】B【解析】由图形所示，AOB 的度数为 55°，故选 B.【提示】由图形可直接得出.【考点】角的概念2.【答案】C【解析】，故选 C.4280002.8 10【提示】科学记数法的表示形式为的形式其中，n 为整数，确定 n10na110a的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值的大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数.【考点】用科学记数法表示较大的数3.【答案】D【解析】A、如图所示：，故此选项错误；B、如图所示：，故32a 32a 此选项错误；C、如图所示：，则，故此选项错误；D、由选12b21b 项 C 可得，此选项正确.ab 【提示】利用数轴上 a，b 所在的位置，进而得出 a 以及的取值范围，进而比较得b出答案.【考点】实数与数轴4.【答案】C【解析】设多边形的边数是 n，则，解得，故选 C.2180540n （）5n 【提示】根据多边形的内角和公式列式进行计算即可求解.2180n（）【考点】多边形内角与外角5.【答案】D【解析】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱，故选 D.【提示】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状.【考点】由三视图判断几何体6.【答案】A【解析】，原式=，故选 A.2ab()()2ab abaabaab【提示】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值.【考点】分式的化简求值7.【答案】D【解析】A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确，故选 D.【提示】根据轴对称图形的概念求解即可.【考点】轴对称图形8.【答案】B【解析】由图象中的信息可知，3 月份的利润元，4 月份的利润7.54.53元，5 月份的利润元，6 月份的利润元，62.43.64.5 1.532.5 11.5 故出售该种水果每斤利润最大的月份是 4 月份，故选 B.【提示】根据图象中的信息即可得到结论.【考点】象形统计图9.【答案】A【解析】解：设过 A、B 的直线解析式为ykxb点 A 的坐标为，点 B 的坐标为( 4,2)(2, 4)24kb42kb解得：，1k 2b直线 AB 为 2yx 数学试卷第 11 页（共 22 页）数学试卷第 12 页（共 22 页）直线 AB 经过第二、三、四象限如图，连接 AB，则原点在 AB 的右上方，坐标原点为 O1，故选 A.【提示】先根据点 A、B 的坐标求得直线 AB 的解析式，再判断直线 AB 在坐标平面内的位置，最后得出原点的位置.【考点】坐标与图形性质，一次函数图象与系数的关系10.【答案】B【解析】解：由条形统计图可得：年用水量不超过的该市居民家庭一共有3180m（万） ，又，故年用水量不超过的0.250.751.51.01.544100%80%53180m该市居民家庭按第一档水价交费，正确；年用水量超过 240m3的该市居民家庭有（万） ，故年用水量超过 (0.150.150.05)0.350.35100%7%5%5240m3的该市居民家庭按第三档水价交费，故此选项错误；5 万个数数据的中间是第 25000 和 25001 的平均数，该市居民家庭年用水量的中位数在 120-150 之间，故此选项错误；由得，该市居民家庭年用水量的平均数不超过 180，正确，故选 B.【提示】利用条形统计图结合中位数的定义分别分析得出答案.【考点】频数（率）分布直方图，加权平均数，中位数 第卷二、填空题11.【答案】1x 【解析】由题意，得：，解得，故答案为：.10x 1x 1x 【提示】根据分母不为零分式有意义，可得答案.【考点】分式有意义的条件12.【答案】（答案不唯一）()ambmcmm abc【解析】由题意可得：，故答案为()ambmcmm abc.()ambmcmm abc【提示】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式即可.【考点】因式分解-提公因式法13.【答案】0.882（答案不唯一）【解析】，0.8650.9040.8880.8750.8820.8780.8790.88180.882x （）这种幼树移植成活率的概率约为 0.882，故答案为：0.882【提示】对于不同批次的幼树移植成活率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法.【考点】利用频率估计概率14.【答案】3【解析】解：如图，CDABMN，ABECDEABFMNF，CDDE ABBEFNMN FBAB即，1.81.8 1.8+ABBD1.51.5 1.52.7ABBD解得：.=3ABm答：路灯的高为 3m.【提示】根据 CDABMN，得到，根据相似三ABECDEABFMNF角形的性质可知，即可得到结论.CDDE ABBEFNMN FBAB数学试卷第 13 页（共 22 页）数学试卷第 14 页（共 22 页）【考点】中心投影15.【答案】505【解析】解：1100 的总和为：，一共有 10 行，且每行 10 个数(1+100) 1500 250 0之和均相等，所以每行 10 个数之和为：，故答案为：505.5050 10505【提示】根据已知得：百子回归图是由 1，2，3，100 无重复排列而成，先计算总和；又因为一共有 10 行，且每行 10 个数之和均相等，所以每行 10 个数之和=总和÷10.【考点】规律型：数字的变化类16.【答案】解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B 都在线段 PQ 的垂直平分线上） ，理由：如图，PAPQPBPB点 A、点 B 在线段 PQ 的垂直平分线上，直线 AB 垂直平分线段 PQ，.PQAB【提示】只要证明直线 AB 是线段 PQ 的垂直平分线即可.【考点】基本作图三、解答题17.【答案】3【解析】解：.2142 231 12 22 23132 原式【提示】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可.【考点】实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值18.【答案】18x【解析】解不等式，得：，2531xx（）8x 解不等式，得：，742xx1x 不等式组的解集为：.18x【提示】根据不等式性质分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：大小小大中间找可得不等式组的解集.【考点】解一元一次不等式组19.【答案】四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，EBAE AE 平分BAD，BAEDAE ，.EDAE DADE【提示】由平行四边形的性质得出 ABCD，得出内错角相等，再由角平EBAE 分线证出，即可得出结论.EDAE 【考点】平行四边形的性质20.【答案】 （1）5 4m （2）答案不唯一【解析】解：（1）关于 x 的一元二次方程有两个不相等222110xmxm （）的实数根，22214 11450mmm （）（）解得：.5 4m （2）如当，此时原方程为.1m 230xx即，(3)0x x 解得：，.10x 23x 【提示】 （1）由方程有两个不相等的实数根即可得出，代入数据即可得出关于 m0 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）结论，令，将代入原方程，利用因式分解法解方程即可得1m 1m 出结论.数学试卷第 15 页（共 22 页）数学试卷第 16 页（共 22 页）【考点】根的判别式，解一元二次方程的因式分解法，解一元一次不等式21.【答案】 （1）3yx（2）2n【解析】解：（1）点 B 在直线上，2l，点 B.42m 2m(2,4)设直线的表达式为，1lykxb由题意:解得60, 24.kb kb1,2 3.kb 直线的表达式为.1l132yx（2）与图象可知.2n 【提示】 （1）先求出点 B 坐标，再利用待定系数法即可解决问题.（2）由图象可知直线在直线上方即可，由此即可写出 n 的范围.1l2l【考点】两条直线相交或平行问题22.【答案】解：小芸，小天调查的人数太少，小东抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为：，远远偏离了平均人数的 3.4，所以他的数据抽样有明显的2 33 114152.87 （）问题，小芸抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为：，说明小芸抽样数据质量较好，因此小芸的抽223 7445 2153.4 （）样调查的数据能较好的反应出该小区家庭 5 月份用气量情况.【提示】首先根据题意分析家庭平均人数，进而利用加权平均数求出答案，再利用已知这 300 户家庭的平均人数均为 3.4 分析即可.【考点】抽样调查的可靠性，加权平均数23.【答案】【解析】 （1）证明：在CAD 中，M、N 分别是 AC、CD 的中点.AD，.MN1 2MNAD在 RtABC 中，是 AC 中点.M.1 2BMAC，.ACADMNBM（2）解：，AC 平分BAD，60BAD.30BACDAC 由（1）可知，1 2BMACAMMC，260BMCBAMABMBAM MNAD，.30NMCDAC ，90BMNBMCNMC ，222BNBMMN由（1）可知，112MNBMAC2BN【提示】 （1）根据三角形中位线定理得，根据直角三角形斜边中线定理得1 2MNAD，由此即可证明.1 2BMAC（2）首先证明，根据即可解决问题.90BMN222BNBMMN【考点】三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理24.【答案】 （1）解：2011-2015 年北京市文化创意产业实现增加值如图所示，（2）3300 预估理由须包含折线图中提供的信息，且支撑预估的数据.【提示】 （1）画出 2011-2015 的北京市文化创意产业实现增加值折线图即可（2）设 2013 到 2015 的平均增长率为 x，列出方程求出 x，用近 3 年的平均增长率估计数学试卷第 17 页（共 22 页）数学试卷第 18 页（共 22 页）2016 年的增长率即可解决问题.【考点】解直角三角形的应用方向角问题25.【答案】 （1）证明：与O 相切于 D.ED，ODDE为弦 AC 中点，DE.FODACAC（2）解：作于 M，连接 CD，CO，AD.DMOA首先证明四边形 ACDE 是平行四边形，根据，只要求出 DM 即ACDESAE DM平行四边形可DE，.ACAEAOOFDF，.AFDOADAOADAOOD是等边三角形，同理CDO 也是等边三角形，.ADO，60CDODOA AECDADAODDaCD，又，AOAECD四边形 ACDE 是平行四边形，易知，3 2AECD平行四边形 ACDE 面积23 2a【提示】 （1）欲证明 ACDE，只要证明，即可ACODEDOD（2）作于 M，连接 CD，CO，AD，首先证明四边形 ACDE 是平行四边形，DMOA根据平行四边形 ACDE 的面积，只要求出 DM 即可.AE DM【考点】切线的性质26.【答案】解：（1）如图，（2）根据图形可知对应的函数值 y 约为 2.0；由图可知该函数有最大值故答案4x 为 2，该函数有最大值.【提示】 （1）按照自变量由小到大，利用平滑的曲线连结各点即可；（2）在所画的函数图象上找出自变量为 4 所对应的函数值即可；利用函数图象有最高点求解.【考点】函数的概念27.【答案】 （1）抛物线的顶点坐标为(1, 1)（2）311 94m【解析】 （1），2221(1)1ymxmxmm x 抛物线顶点坐标.(1, 1)（2），1m 抛物线为，22yxx令，得或 2，不妨设 A，B，0y 0x (0,0)(2,0)线段 AB 上整点的个数为 3 个如图所示，抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内（包括边界）恰有 6 个整点，点 A 在与之间（包括） ，( 1,0)( 2,0)( 1,0)当抛物线经过时，.( 1,0)1 4m 当抛物线经过点时，.( 2,0)1 9m 数学试卷第 19 页（共 22 页）数学试卷第 20 页（共 22 页）m 的取值范围为.11 94m【提示】 （1）利用配方法即可解决问题.（2）代入抛物线解析式，求出 A、B 两点坐标即可解决问题. 1m 根据题意判断出点 A 的位置，利用待定系数法确定 m 的范围.【考点】抛物线与 x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征28.【答案】解：（1），APAQ，.APQAQP APBAQC 是等边三角形，.ABC60BC .20BAPCAQ .80AQBAPQBAPB （2）如图 2，APAQ，.APQAQP APBAQC 是等边三角形.ABC.60BC .BAPCAQ 点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M，.AQAMQACMAC .MACBAP .60BAPPACMACCAP .60PAM.APAQ.APAM是等边三角形.APMAPPM【提示】 （1）根据等腰三角形的性质得到，由邻补角的定义得到APQAQP ，根据三角形外角的性质即可得到结论；APBAQC （2）如图 2 根据等腰三角形的性质得到，由邻补角的定义得到APQAQP ，由点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M，得到，APBAQC AQAM，等量代换得到，推出APM 是等边三角形，根据等OACMAC MACBAP 边三角形的性质即可得到结论.【考点】三角形综合题29.【答案】 （1）2直线 AC 的表达式为或1yx1yx （2）m 的取值范围是：或-15m51m 【解析】解：（1）A，B(1,0)(3,1)由定义可知：点 A，B 的“相关矩形”的底与高分别为 2 和 1，点 A，B 的“相关矩形”的面积为；2 12 由定义可知：AC 是点 A，C 的“相关矩形”的对角线，又点 A，C 的“相关矩形”为正方形直线 AC 与 x 轴的夹角为 45°，设直线 AC 的解析为：或，yxmyxn 把代入，(1,0)yxm，1m 直线 AC 的解析为：，1yx把代入，(1,0)yxn 数学试卷第 21 页（共 22 页）数学试卷第 22 页（共 22 页），1n，1yx 综上所述，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，直线 AC 的表达式为或1yx；1yx （2）设直线 MN 的解析式为，ykxb点 M，N 的“相关矩形”为正方形，由定义可知：直线 MN 与 x 轴的夹角为 45°，1k 点 N 在O 上，当直线 MN 与O 有交点时，点 M，N 的“相关矩形”为正方形，当时，1k 作O 的切线 AD 和 BC，且与直线 MN 平行，其中 A、C 为O 的切点，直线 AD 与 y 轴交于点 D，直线 BC 与 y 轴交于点 B，连接 OA，OC，把 M代入，( ,3)myxb，3bm 直线 MN 的解析式为：3yxm，.45ADO90OAD.22ODOA（0，2）D同理可得：B（0，-2） ，令代入，0x 3yxm，3ym，232m ，15m 当时，把 M（m，3）代入，1k yxb ，3bm 直线 MN 的解析式为：，3yxm同理可得：，232m ；51m 综上所述，当点 M，N 的“相关矩形”为正方形时，m 的取值范围是：或15m.51m 【提示】 （1）由相关矩形的定义可知：要求 A 与 B 的相关矩形面积，则 AB 必为对角线，利用 A、B 两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积；由定义可知，AC 必为正方形的对角线，所以 AC 与 x 轴的夹角必为 45，设直线 AC的解析式为；，由此可知，再（1，0）代入，即可求出ykxb1k ykxbb 的值；（2）由定义可知，MN 必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线MN 与 x 轴的夹角为 45°，由因为点 N 在圆 O 上，所以该直线 MN 与圆 O 一定要有交点，由此可以求出 m 的范围.【考点】圆的综合题