专题二　规律探索型问题.ppt

数学专题二规律探索型问题规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论类型有“数字规律”“数式规律”“图形规律”等题型1数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题2数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容3图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合4数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题1解数字或数式规律探索题的方法：第一步：标序号；第二步：找规律，分别比较各部分与序号数(1，2，3，4，n)之间的关系，把其蕴含的规律用含序号数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律表示出第n个数式2解图形规律探索题的方法：第一步：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，n”；第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图形的表示个数；第三步：寻找图形数量与序号数n的关系：针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化，然后按照定量变化推导出第n个图形的个数；函数法：若当图形变化规律不明显时，可把序号数n看作自变量，把第n个图形的个数看作函数，设函数解析式为yan2bnc(初中阶段设二次函数完全可以解决)，再代入三组数值进行计算出函数解析式(若算出a0就是一次函数)即可AB(45，12)3(2014东营)将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行第一列，与有序数对(2，1)对应，数5与(1，3)对应，数14与(3，4)对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为_解析：由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同；45452025，2014在第45行，向右依次减小，2014所在的位置是第45行，第12列，其坐标为(45，12)4(2014内江)如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2014个图形是_解析：由图形看出去掉开头的两个三角形，剩下的由三个正方形，一个三角形，两个圆6个图形为一组，不断循环出现，(20142) 63352所以第2014个图形是与循环的第二个图形相同是正方形故答案为：5(2014孝感)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图的方式放置点A1，A2，A3，和点C1，C2，C3，分别在直线yx1和x轴上，则点B6的坐标是_(63，32)解析：直线yx1，x0时，y1，A1B11，点B2的坐标为(3，2)，A1的纵坐标是：120，A1的横坐标是：0201，A2的纵坐标是：1121，A2的横坐标是：1211，A3的纵坐标是：22422，A3的横坐标是：123221，A4的纵坐标是：44823，A4的横坐标是：1247231，即点A4的坐标为(7，8)据此可以得到An的纵坐标是：2n1，横坐标是：2n11.即点An的坐标为(2n11，2n1)点A6的坐标为(251，25)点B6的坐标是：(261，25)即(63，32)数字猜想型问题50【例1】(2015黔东南州)将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第10行从左至右的第5个数是_【点评】本题考查数字的变化规律：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况数式规律型问题【例2】(2014扬州)设a1，a2，a2014是从1，0，1这三个数中取值的一列数，若a1a2a201469，(a11)2(a21)2(a20141)24001，则a1，a2，a2014中为0的个数是_165【点评】本题解题的关键是对给出的式子进行正确的变形对应训练2(2015咸宁)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫做三角数，它有一定的规律性若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，第n个三角数记为an，计算a1a2，a2a3，a3a4，由此推算a399a400_1.6105或160000图形规律型问题【例3】(2015深圳)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有_个太阳21【点评】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题485对应训练3(1)(2014深圳)如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有_解析：第一个图形正三角形的个数为5，第二个图形正三角形的个数为53217，第三个图形正三角形的个数为173253，第四个图形正三角形的个数为5332161，第五个图形正三角形的个数为16132485.故答案为：4852n(n1)(2)(2015内江)如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有_根火柴棒(用含n的代数式表示)数形结合猜想型问题a 17.5 【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细读题，找到图形内和图形外格点的数目对应训练4在由mn(mn1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f.(1)当m，n互质(m，n除1外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：mnmnf123213432354257347猜想：当m，n互质时，在mn的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n的关系式是(不需要证明)(2)当m，n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立解：(1)如表：mnmnf12321343235425763476fmn1 (2)当m，n不互质时，上述结论不成立，如图 试题(1)下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是_(2)如图，第个图有2个相同的小正方形，第个图有6个相同的小正方形，第个图有12个相同的小正方形，第个图有20个相同的小正方形，按此规律，那么第个图有_个相同的小正方形(3)如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由_个圆组成审题视角探索数量规律题可以检验同学们观察图形的变化规律，并从中找出其数量关系的能力，由于没有现成的公式、定理可以套用，对初中生而言，有一定的难度但只要了解一些数列的有关知识，加上一些常用的分析方法，解决这类问题也是比较容易的规范答题解析(1)根据每一个图形都是一个正方形和右边的一个矩形构成，得到左边的正方形中小正方形的个数和右边的矩形中的小正方形的个数的和即可仔细观察图形知道：每一个阴影部分由左边的正方形和右边的矩形构成，分别为：第1个图有：13个；第2个图有：44个；第3个图有：95个；故第n个图有：n2(n2)个(2)观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大1的数，根据此规律解答即可第个图有2个相同的小正方形：212；第个图有6个相同的小正方形：623；第个图有12个相同的小正方形：1234；第个图有20个相同的小正方形：2045；按此规律，第个图有n(n1)个相同的小正方形(3)首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案观察分析可得：第1个图有1个圆；第2个图由7个圆组成，716；第3个图由19个圆组成，191626；故第9个图由162636861(1238)6217(个)圆组成答题思路第一步：审题，仔细观察图形并找到相应的规律；第二步：化形为数，相当于找出数列的前若干项；第三步：考察相邻两项的差异，再根据这些项或项中某些部分(如分子、分母，整数、分数等)构成何种数列；第四步：按题中要求写出某一项的结果或某些项的和能找到前三项，就能求出任一项；另外，有些图形或数的出现是循环出现或按某种规律反复出现等，就需要具体问题具体分析了；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤试题(2014德阳)如图，直线ab，ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把ABC沿BC方向平移BC的一半得到ABC(如图)；继续以上的平移得到图，再继续以上的平移得到图，；请问在第100个图形中等边三角形的个数是_错解301依题意可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，第2个图形中大等边三角形有3个，小等边三角形有4个，第3个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有6个，依次可得第n个图形中大等边三角形有n1个，小等边三角形有2n个，总个数为3n1.故第100个图形中等边三角形的个数是：31001301.故答案为：301.剖析错解的原因在于分析问题不严密，漏掉了倒着的等边三角形AAC(如右图)，图中同样漏掉了倒着的2个大等边三角形，因此造成了寻找规律错误