2019年湖南省益阳中考数学试卷含答案.docx

数学试卷 第 1 页（共 24 页） 数学试卷 第 2 页（共 24 页） 绝密启用前湖南省益阳市 2019 年普通初中学业水平考试 数 学本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.的倒数是（ 6）A.B.C.D.61 61 662.下列运算正确的是（ ）A.B.222 22 36C.D.2+ 352363.下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（ ）ABCD4.解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ 232112x xx）A.B.23x 23x C.D.23 21xx23 21xx5.下列函数中，y 总随 x 的增大而减小的是（ ）A.B.4yx4yx C.D.4yx2yx6.已知一组数据 5，8，8，9，10，以下说法错误的是（ ）A.平均数是 8B.众数是 8C.中位数是 8D.方差是 87.已知 M、N 是线段 AB 上的两点，以点 A 为圆心，AN 长为2AMMN1NB 半径画弧；再以点 B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC，BC，则一定是（ ABC）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形8.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图 1，在桥外一点 A 测得大桥主架与水面的交汇点 C 的俯角为，大桥主架的顶端 D 的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此时大桥主ABa架顶端离水面的高 CD 为（ ）A.B.sinsinaacoscosaa毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷 第 3 页（共 24 页） 数学试卷 第 4 页（共 24 页）C.D.atantanatantanaa 9.如图 2，PA、PB 为圆 O 的切线，切点分别为 A、B，PO 交 AB 于点 C，PO 的延长线交圆 O 于点 D，下列结论不一定成立的是（ ）A.B.PAPBBPDAPD C.D.AB 平分 PDABPD10.已知二次函数的图象如图 3 所示，下列结论：，2yaxbxc0ac，正确的是20ba240bac0abc （ ）A.B.C.D.二、填空题（本题共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分.请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）11.国家发改委发布信息，到 2019 年 12 月底，高速公路电子不停车快捷收费（ETC）用户数量将突破 1.8 亿，将 180 000 000 用科学记数法表示为 .12.若一个多边形的内角和与外角和之和是，则该多边形的边数是 .90013.不等式组的解集为 .1 03xx 14.如图 4，直线，若，则 度.ABCDOAOB1 142 2 15.在如图 5 所示的方格纸（1 格长为 1 个单位长度）中，的顶点都在格点上，ABC将绕点 O 按顺时针方向旋转得到，使各顶点仍在格点上，则其旋ABCA B C 转角的度数是 .16.小蕾有某文学名著上、中、下各 1 册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是 .17.反比例函数的图象上有一点，将点 P 向右平移 1 个单位，再向下平移kyx2,Pn1 个单位得到点 Q，若点 Q 也在该函数的图象上，则 .k 18.观察下列等式：，232 221，252 632，272 1243数学试卷 第 5 页（共 24 页） 数学试卷 第 6 页（共 24 页） 请你根据以上规律，写出第 6 个等式 .三、解答题(本题共 8 个小题，共 78 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)19.（本小题满分 8 分）计算：.1 014sin6020192 32 20.（本小题满分 8 分）化简：.224442xx xx21.（本小题满分 8 分）已知，如图 6，求证：ABAEABDE70ECB110D.ABCEAD22.（本小题满分 10 分）某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数（含驾驶员）进行了随机调查，根据每车乘坐人数分为 5 类，每车乘坐 1 人、2 人、3 人、4 人、5 人分别记为 A、B、C、D、E，由调查所得数据绘制了图 7 所示的不完整的统计图表.（1）求本次调查的小型汽车数量及 m，n 的值；（2）补全频数分布直方图；（3）若某时段通过该路段的小型汽车数量为 5 000 辆，请你估计其中每车只乘坐 1人的小型汽车数量.23.（本小题满分 10 分）如图 8，在中，M 是斜边 AB 的中点，以 CM 为直径作圆 O 交 AC 于点RtABCN，延长 MN 至 D，使，连接 AD、CD，CD 交圆 O 于点 E.NDMN（1）判断四边形 AMCD 的形状，并说明理由；（2）求证：；NDNE（3）若，求 BC 的长.2DE 3EC 类别频率AmB0.35C0.20DnE0.05毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _-在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷 第 7 页（共 24 页） 数学试卷 第 8 页（共 24 页）24.（本小题满分 10 分）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾·稻”轮作模式.某农户有农田 20 亩，去年开始实施“虾·稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为 32 元（利润=售价-成本）.由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降 25%，售价下降 10%，出售小龙虾每千克获得利润为 30 元.（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；（2）该农户今年每亩农田收获小龙虾 100 千克，若今年的水稻种植成本为 600 元/亩，稻谷售价为 2.5 元/千克，该农户估计今年可获得“虾·稻”轮作收入不少于 8 万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？25.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，顶点为 A 的抛物线与 x 轴交于 B、C 两点，与 y 轴交于xOy点 D，已知，.1,4A3,0B（1）求抛物线对应的二次函数表达式；（2）探究：如图 9-1，连接 OA，作交 BA 的延长线于点 E，连接 OE 交 ADDEOA于点 F，M 是 BE 的中点，则 OM 是否将四边形 OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由；（3）应用：如图 9-2，是抛物线在第四象限的图象上的点，且，,P m n1mn 连接 PA、PC，在线段 PC 上确定一点 N，使 AN 平分四边形 ADCP 的面积，求点 N 的坐标.提示：若点 A、B 的坐标分别为、，则线段 AB 的中点坐标为11,x y22,xy.1212,22xxyy 26.（本小题满分 12 分）如图 10，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边，.若不改变xOy4AB 6BC 矩形 ABCD 的形状和大小，当矩形顶点 A 在 x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 D 始终在 y 轴的正半轴上随之上下移动.（1）当时，求点 C 的坐标；30OAD（2）设 AD 的中点为 M，连接 OM、MC，当四边形 OMCD 的面积为时，求 OA21 2的长；（3）当点 A 移动到某一位置时，点 C 到点 O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时的值.cosOAD数学试卷 第 9 页（共 24 页） 数学试卷 第 10 页（共 24 页） 湖南省益阳市 2019 年普通初中学业水平考试 数学答案解析一、选择题1 【答案】A【解析】的倒数是故选：A。61 6【提示】乘积是 1 的两数互为倒数。【考点】倒数的定义。2 【答案】D【解析】A：，故本选项错误；222B：，故本选项错误；22 312C：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；23D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确。故选：D。【提示】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可。【考点】二次根式的性质及二次根式的相关运算法则。3 【答案】C【解析】A.圆柱的侧面展开图可能是正方形，故 A 错误；B.三棱柱的侧面展开图是矩形，故 B 错误；C.圆锥的侧面展开图是扇形，故 C 正确；D.三棱锥的侧面展开图是三角形，故 D 错误。故选：C。【提示】根据特殊几何体的展开图，可得答案。【考点】几何体的展开图。4 【答案】C【解析】方程两边都乘以，得21x ，故选：C。23 21xx【提示】最简公分母是，方程两边都乘以，把分式方程便可转化成一元一次21x 21x 方程。【考点】解分式方程。5 【答案】B【解析】中 y 随 x 的增大而增大，故选项 A 不符题意，4yx中 y 随 x 的增大而减小，故选项 B 符合题意，4yx 中 y 随 x 的增大而增大，故选项 C 不符题意，4yx数学试卷 第 11 页（共 24 页） 数学试卷 第 12 页（共 24 页）中，当时，y 随 x 的增大而增大，当时，y 随 x 的增大而减小，故选项4yx0x0xD 不符合题意，故选：B。【提示】根据各个选项中的函数解析式，可以得到 y 随 x 的增大如何变化，从而可以解答本题。【考点】二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质。6 【答案】D【解析】由平均数的公式得平均数，58891058方差，222221588888981082.85将 5 个数按从小到大的顺序排列为：5，8，8，9，10，第 3 个数为 8，即中位数为 8，5 个数中 8 出现了两次，次数最多，即众数为 8，故选：D。【提示】分别计算平均数，众数，中位数，方差后判断。【考点】学生对平均数，众数，中位数，方差的理解。7 【答案】B【解析】如图所示，4ACAN3BCBM2215AB ，222ACBCAB是直角三角形，且，故选：B。ABC90ACB【提示】依据作图即可得到，进而得到4ACAN3BCBM2215AB ，即可得出是直角三角形。222ACBCABABC【考点】勾股定理的逆定理。8 【答案】C【解析】在和中，RtABDRtABCABatanBC ABtanBD AB，tanBCatanBDa；故选：C。tantanCDBCBDaa【提示】在和中，由三角函数得出，得出RtABDRtABCtanBCatanBDa即可。tantanCDBCBDaa【考点】解直角三角形仰角俯角问题。9 【答案】D【解析】PA，PB 是的切线，OA，所以 A 成立；PAPB，所以 B 成立；BPDAPD ，所以 C 成立；ABPD数学试卷 第 13 页（共 24 页） 数学试卷 第 14 页（共 24 页） PA，PB 是的切线，OA，且，ABPDACBC只有当，时，AB 平分 PD，所以 D 不一定成立。故选：D。ADPBBDA【提示】先根据切线长定理得到，；再根据等腰三角形的性质得PAPBAPDBPD ，根据菱形的性质，只有当，时，AB 平分 PD，由此可判OPABADPBBDPA断 D 不一定成立。【考点】切线的性质、切线长定理、垂径定理和等腰三角形的性质。10 【答案】A【解析】图象开口向下，与 y 轴交于正半轴，能得到：，0a0c，故正确；0ac对称轴，1x，12b a0a，2ba ，故正确。20ba 图象与 x 轴有 2 个不同的交点，依据根的判别式可知，故错误240bac当时，故错误；故选：A。1x 0y0abc 【提示】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断。【考点】二次函数图象与系数的关系。二填空题11 【答案】81.8 10【解析】将 180 000 000 科学记数法表示为。故答案为：。81.8 1081.8 10【提示】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数。确定 n 的值10na110a时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数。【考点】科学记数法的表示方法。12 【答案】5【解析】多边形的内角和与外角和的总和为，多边形的外角和是，900360多边形的内角和是，900360540多边形的边数是：。故答案为：5。5401802325【提示】本题需先根据已知条件以及多边形的外角和是，解出内角和的度数，再根据360内角和度数的计算公式即可求出边数。【考点】多边形内角与外角。13 【答案】3x【解析】，1 0 3 xx解得：，1x解得：，3x则不等式组的解集是：。故答案为：。3x3x数学试卷 第 15 页（共 24 页） 数学试卷 第 16 页（共 24 页）【提示】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集。【考点】一元一次不等式解集的求法。14 【答案】52【解析】，ABCD，2OCD ，OAOB，90O，1142OCDO ，故答案为：52。211429052O 【提示】根据平行线的性质解答即可。【考点】平行线的性质。15 【答案】90【解析】根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知是旋转角，且BOB，90BOB故答案为。90【提示】根据旋转角的概念找到是旋转角，从图形中可求出其度数。BOB【考点】旋转角的概念。16 【答案】1 6【解析】画树状图如图：共有 6 个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有 1 个，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为；1 6故答案为：。1 6【提示】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率。【考点】用列表法或树状图法求概率。17 【答案】6【解析】点 P 的坐标为，则点 Q 的坐标为，2,n3,1n依题意得：，231knn解得：，3n ，故答案为：6。2 36k【提示】根据平移的特性写出点 Q 的坐标，由点 P、Q 均在反比例函数的图象上，即kyx可得出，解得即可。231knn【考点】反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数 k 的几何意义。数学试卷 第 17 页（共 24 页） 数学试卷 第 18 页（共 24 页） 18 【答案】2132 4276【解析】写出第 6 个等式为。2132 4276故答案为。2132 4276【提示】第 n 个等式左边的第 1 个数为，根号下的数为，利用完全平方公式21n1n n得到第 n 个等式右边的式子为（的整数） 。21nn 1n【考点】二次根式的混合运算。三、解答题19 【答案】原式34122 32 3122 312 【提示】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值。【考点】实数的运算。20 【答案】原式 22224222xxxxxxxA【提示】根据分式的运算法则即可求出答案。【考点】分式的运算法则。21 【答案】证明：由得70ECB110ACB又110DACBD ，。ABDECABE 又，ABAEABCEAD【提示】由得，再由，证得，再结合已知70ECB110ACBABDECABE 条件，可利用 AAS 证得。ABAEABCEAD【考点】全等三角形证明。22 【答案】 （1）本次调查的小型汽车数量：（辆） ；321600.2，。480.3160m 10.30.350.20.050.1n （2）B 类小型汽车的辆数：，0.35 16056D 类小型汽车的辆数：。0.1 16016（3）某时段该路段每车只乘坐 1 人的小型汽车数量：（辆）0.3 5 0001 500【提示】 （1）由 C 类别数量及其对应的频率可得总数量，再由频率频数÷总数量可得m、n 的值；（2）用总数量乘以 B、D 对应的频率求得其人数，从而补全图形；（3）利用样本估计总体思想求解可得。【考点】条形统计图。数学试卷 第 19 页（共 24 页） 数学试卷 第 20 页（共 24 页）23 【答案】 （1）四边形 AMCD 是菱形，理由如下：M 是中 AB 的中点，。RtABCCMAMCM 为的直径，。OA90CNMMDACANCN又，四边形 AMCD 是菱形。NDMN（2）四边形 CENM 为的圆内接四边形，OA180CENCMN 又，。180CENDEN CMNDEN 四边形 AMCD 是菱形，。CDCMCDMCMN ，。DENCDM NDNE（3），。CMNDEN MDCEDN MDCEDNMDDC DEDN设，则，由此得：，NDx2MDx25 2x x解得：或（不合题意，舍去） ，。5x 5x 5MNMN 为的中位线，。ABC2BCMN2 5BC【提示】 （1）证明四边形 AMCD 的对角线互相平分，且，可得四边形 AMCD90CNM为菱形；（2）可证得，由可证出，则CMNDEN CDCMCDMCMN ，结论得证；DENCDM （3）证出，由比例线段可求出 ND 长，再求 MN 的长，则 BC 可求出。MDCEDN【考点】圆的综合知识。24 【答案】 （1）设去年小龙虾的养殖成本与售价分别为每千克 x 元、y 元，由题意得：321 10%125%30yxyx 解得：8 40x y答：去年小龙虾的养殖成本与售价分别为每千克 8 元、40 元。（2）设今年稻谷的亩产量为 z 千克，依题意，得：，20 100 30202.520 600 80 000z解得：。640z答：稻谷的亩产量至少会达到 640 千克。【提示】 （1）设去年小龙虾的养殖成本与售价分别为每千克 x 元、y 元，由题意列出方程组，解方程组即可；（2）设今年稻谷的亩产量为 z 千克，由题意列出不等式，就不等式即可。【考点】二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用。25 【答案】 （1）抛物线的顶点为，设函数表达式为。1,4A214ya x抛物线经过点，解得。3,0B23 140a1a 所以抛物线对应的二次函数表达式为，即。214yx 223yxx （2）OM 将四边形 OBAD 分成面积相等的两部分。理由：，（同底等高的两个三角形面积相等） ，DEOAODAOEASS，。ODAAOMOEAAOMSSSSOMEOMADSS四边形数学试卷 第 21 页（共 24 页） 数学试卷 第 22 页（共 24 页） M 是 BE 的中点，。OMEOBMSS，即 OM 将四边形 OBAD 分成面积相等的两部分。OBMOMADSS四边形（3）点是抛物线的图象上的点，。,P m n223yxx 223nmm ，代入上式，得：，1mn 1nm 2123mmm 解得（不合题意，舍去） ，。1m 4m 点 P 的坐标为。4, 5如图，过点 D 作交 PC 的延长线于点 Q，DQCA由（2）知点 N 是 PQ 的中点。设经过点、的直线对应的函数表达式为，由此得1,0C 4, 5Pykxb，解得0 45kb kb 1 1k b 直线 CP 对应的函数表达式为。1yx 同理，直线 AC 对应的函数表达式为。22yx直线，故设直线 DQ 对应的函数表达式为。DQ CAA2yxb其经过点，所以直线 DQ 对应的函数表达式为。0,3D23yx解方程组，得，则点 Q 的坐标为。1 23yx yx 4 3 1 3xy 4 1,3 3因为点 N 为 PQ 的中点，所以，点 N 的横坐标为：，点 N 的纵坐标为：444233175233 所以点 N 的坐标为。47,33【提示】 （1）函数表达式为：，将点 B 坐标的坐标代入上式，即可求解；214ya x（2）利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；（3）由（2）知：点 N 是 PQ 的中点，即可求解。【考点】二次函数综合运用。26 【答案】 （1）如图 1，过点 C 作，垂足为 E。CEy轴矩形 ABCD 中，CDAD90CDEADO又，。90OADADO30CDEOAD 数学试卷 第 23 页（共 24 页） 数学试卷 第 24 页（共 24 页）在中，。RtCED122CECD222 3DECDCE在中，。RtOAD30OAD点 C 的坐标为。2,32 3（2）M 为 AD 的中点，。3DM6DCMS又，。21 2OMCDS四边形9 2ODMS9OADS设，则，由此得，即。OAxODy2236xy192xy 222xyxyxy将代入得，解得，（不合题意，舍去） 。xy2236xy218x 3 2x 3 2x OA 的长为。3 2（3）OC 的最大值为 8。如图 2，M 为 AD 的中点，所以，。3OM 225CMCDDM所以，当 O、M、C 三点在同一直线时，OC 有最大值 8。8OCOMCM连接 OC，则此时 OC 与 AD 的交点为 M，过点 O 作，垂足为 N。ONAD，。90CDMONMCMDOMN CMDOMN，即，解得，。CDDMCM ONMNOM435 3ONMN9 5MN 12 5ON ，6 5ANAMMN在中，RtOAN226 5 5OAONAN。5cos5ANOADOA【提示】 （1）作，先证得，CEy轴30CDEOAD 122CECD，再由知，从而得出点 C 坐标；222 3DECDCE30OAD132ODAD（2）先求出，结合知，设、6DCMS21 2OMCDS四边形9 2ODMS9OADSOAx，据此知，得出，即，代入ODy2236xy192xy 222xyxyxy求得 x 的值，从而得出答案；2236xy（3）由 M 为 AD 的中点，知，由知当 O、M、C 三3OM 5CM 8OCOMCM点在同一直线时，OC 有最大值 8，连接 OC，则此时 OC 与 AD 的交点为 M，证得，据此求得，ONADCMDOMNCDDMCM ONMNOM9 5MN ，再由及可得答12 5ON 6 5ANAMMN22OAONANcosANOADOA案。【考点】矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点。