2019年湖南省长沙市中考数学试卷含答案.docx

数学试卷 第 1 页（共 38 页） 数学试卷 第 2 页（共 38 页） 绝密启用前湖南省长沙市 2019 年初中学业水平考试 数 学本试卷满分 120 分,考试时间 120 分钟.第卷(选择题 共 36 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列各数中,比小的数是 ( )3A.B.C.D.51012.根据长沙市电网供电能力提升三年行动计划,明确到 2020 年,长沙电网建设改造投资规模达到 15 000 000 000 元,确保安全供用电需求.数据 15 000 000 000 用科学记数法表示为 ( )A.B.C.D.915 1091.5 10101.5 10110.15 103.下列计算正确的是 ( )A.B.325abab326()aaC.D.632aaa222()abab4.下列事件中,是必然事件的是 ( )A.购买一张彩票,中奖B.射击运动员射击一次,命中靶心C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯D.任意画一个三角形,其内角和是1805.如图,平行线 AB,CD 被直线 AE 所截,则的度数是 ( )180 2A.B.C.D.80901001106.某个几何体的三视图如图所示,该几何体是 ( )ABCD7.在庆祝新中国成立 70 周年的校园歌唱比赛中,11 名参赛同学的成绩各不相同,按照成绩取前 5 名进入决赛.如果小明知道了自己的比赛成绩,要判断能否进入决赛,小明需要知道这 11 名同学成绩的 ( )A.平均数B.中位数C.众数D.方差8.一个扇形的半径为 6,圆心角为,则该扇形的面积是 ( )120A.B.C.D.2412249.如图,中,分别以点 A 和点 B 为圆心,大于的长RtABC90C30B1 2AB为半径作弧,两弧相交于 M,N 两点,作直线 MN,交 BC 于点 D,连接 AD,则的CAD度数是 ( )毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷 第 3 页（共 38 页） 数学试卷 第 4 页（共 38 页）A.B.C.D.2030456010.如图,一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东方向,距离灯塔 60n mile 的小岛 A 出发,60沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 C 的南偏东方向上的 B 处,这时轮船45B 与小岛 A 的距离是 ( )A.B.30 3 milen60 milenC.D.120 milen(3030 3) milen11.孙子算经是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是：“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸；屈绳量之,不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木头,则木头还剩余 1尺,问木头长多少尺？可设木头长为尺,绳子长为尺,则所列方程组正确的是 ( )xyA.B.4.5, 0.51yx yx 4.5, 21yx yx C.D.4.5, 0.51yx yx 4.5, 21yx yx 12.如图,中,于点 E,D 是线段 BE 上的一个ABC10ABACtan2ABEAC动点,则的最小值是 ( )5 5CDBDA.B.C.D.2 54 55 310第卷(非选择题 共 84 分)二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.把答案填写在题中的横线上)13.式子在实数范围内有意义,则实数的取值范围是 .5xx14.分解因式： .29ama15.不等式组的解集是 .1 0 360x x 16.在一个不透明的袋子中有若干个小球,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,然后把它重新放回袋中并摇匀,不断重复上述过程,以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球实验次数1001 0005 00010 00050 000100 000“摸出黑球”的次数363872 019400919 97040 008“摸出黑球”的频率(结果保留小数点后三位)0.3600.3870.4040.4010.3990.400根据试验所得数据,估计“摸出黑球”的概率是 .(结果保留小数点后一位)17.如图,要测量池塘两岸相对的 A,B 两点间的距离,可以在池塘外选一点 C,连接AC,BC,分别取 AC,BC 的中点 D,E,测得m,则 AB 的长是 m.50DE 数学试卷 第 5 页（共 38 页） 数学试卷 第 6 页（共 38 页） 18.如图,函数(k 为常数,)的图象与过原点的 O 的直线相交于 A,B 两点,点kyx0kM 是第一象限内双曲线上的动点(点 M 在点 A 的左侧),直线 AM 分别交轴、轴xy于 C,D 两点,连接 BM 分别交轴、轴于点 E,F.现有以下四个结论：xy与的面积相等；若于点 M,则；若ODMOCABMAM30MBAM 点的横坐标为 1,为等边三角形,则；若,则OAM23k 2 5MFMB.其中正确的结论的序号是 .(只填序号)2MDMA三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(本小题满分 6 分)计算：.11|2 |632cos60220.(本小题满分 6 分)先化简,再求值：,其中.223144 11aaa aaaa3a 21.(本小题满分 8 分)某学校开展了主题为“垃圾分类,绿色生活新时尚”的宣传活动,为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况,该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计,并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图.等级频数频率优秀2142%良好m40%合格6n%-在-此-卷-上-答-题-无-效- -毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _数学试卷 第 7 页（共 38 页） 数学试卷 第 8 页（共 38 页）待合格36%请根据以上信息,解答下列问题：(1)本次调查随机抽取了 名学生；表中 , ；m n (2)补全条形统计图；(3)若全校有 2 000 名学生,请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人.22.(本小题满分 8 分)如图,正方形 ABCD,点 E,F 分别在 AD,CD 上,且,AF 与 BE 相交于点 G.DECF(1)求证：；BEAF(2)若,求 AG 的长.4AB 1DE 23.(本小题满分 9 分)近日,长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生 2 万人次,第三批公益课受益学生 2.42 万人次.(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率；(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？数学试卷 第 9 页（共 38 页） 数学试卷 第 10 页（共 38 页） 24.(本小题满分 9 分)根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).四条边成比例的两个凸四边形相似：( 命题)三个角分别相等的两个凸四边形相似： ( 命题)两个大小不同的正方形相似.( 命题)(2)如图 1,在四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1中,111ABCABC BCD,.求证：四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1相似.111BC D111111AB BC CD AB BC C D(3)如图 2,四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,过点 O 作分ABCDEFAB别交 AD,BC 于点 E,F.记四边形 ABFE 的面积为 S1,四边形 EFCD 的面积为 S2,若四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似,求的值.21S S图 1图 225.(本小题满分 9 分)已知抛物线(b,c 为常数).2()(222 2 )0 0yxbxc (1)若抛物线的顶点坐标为,求 b,c 的值；(1,1)(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求 c 的取值范围；(3)在(1)的条件下,存在正实数 m,n,当时,恰好()mnmxn1 212m my,求 m,n 的值.21n n26.(本小题满分 10 分)如图,抛物线(a 为常数,)与轴交于 O,A 两点,点 B 为抛物线的26yaxax0ax顶点,点 D 的坐标为,连接 BD 并延长与过 O,A,B 三点的相交于()(,00)3tt P:点 C.(1)求点 A 的坐标；数学试卷 第 11 页（共 38 页） 数学试卷 第 12 页（共 38 页）(2)过点 C 作的切线 CE 交轴于点 E.P:x如图 1,求证：；CEDE如图 2,连接 AC,BE,BO,当,时,求的值.3 3a CAEOBE 11 ODOE图 1图 2湖南省长沙市 2019 年初中学业水平考试数学答案解析第卷一、选择题1.【答案】A【解析】解：,所以比小的数是,故选：A.531 0 135【考点】有理数的大小比较.2.【答案】C【解析】解：数据 15 000 000 000 用科学记数法表示为.故选：C.101.5 10【考点】利用科学记数法表示较大的数.3.【答案】B【解析】解：A、3a 与 2b 不是同类项,故不能合并,故选项 A 不合题意；B、,故326()aa选项 B 符合题意；C、,故选项 C 不符合题意；D、,633aaa222(2)abaabb故选项 D 不合题意.故选：B.【考点】合并同类项,幂的乘方与积的乘方,同底数幂的除法,完全平方公式.4.【答案】D【解析】解：A、购买一张彩票中奖,属于随机事件,不合题意；B、射击运动员射击一次,命中靶心,属于随机事件,不合题意；C、经过有交通信号灯的路口,遇到红灯,属于随机事件,不合题意；D、任意画一个三角形,其内角和是,属于必然事件,符合题意；故选：180D.【考点】三角形内角和定理,随机事件.5.【答案】C【解析】解：,180 ,3100 ,ABCD.23100 数学试卷 第 13 页（共 38 页） 数学试卷 第 14 页（共 38 页） 故选：C.【考点】平行线的性质.6.【答案】D【解析】解：由三视图可知：该几何体为圆锥.故选：D.【考点】由三视图判断几何体.7.【答案】B【解析】解：11 个不同的成绩按从小到大排序后,中位数及中位数之后的共有 5 个数,故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了.故选：B.【考点】统计量的选择.8.【答案】C【解析】解：,故选：C.2120612360S【考点】扇形面积的计算.9.【答案】B【解析】解：在中,ABC30B90C,18060BACBC由作图可知 MN 为 AB 的中垂线,DADB,30DABB ,30CADBACDAB 故选：B.【考点】线段垂直平分线的性质,基本操作图.10.【答案】D【解析】解：过 C 作于 D 点,CDAB,.30ACD45BCD60AC 在中,RtACDcosCDACDAC.3cos6030 32CDACACD:在中,RtDCB45BCDB ,30 3CDBD.3030 3ABADBD答：此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是()n mile.3030 3故选：D.数学试卷 第 15 页（共 38 页） 数学试卷 第 16 页（共 38 页）【考点】解直角三角形的实际应用.11.【答案】A【解析】解：由题意可得,4.5 0.51yx yx 故选：A.【考点】根据实际问题列出二元一次方程组.12.【答案】B【解析】解：如图,作于 H,于 M.DHABCMAB,BEAC,90ABE,设,tan2BEAAEAEa2BEa则有：,221004aa,220a 或(舍弃),2 5a 2 5,24 5BEa,ABACBEACCMAC(等腰三角形两腰上的高相等)4 5CMBE,DBHABE BHDBEA ,5sin5DHAEDBHBDAB,5 5DHBD,5 5CDBDCDDH,CDDHCM,54 55CDBD的最小值为.5 5CDBD4 5故选：B.【考点】解直角三角形,等腰三角形的性质,垂线段最短.第卷数学试卷 第 17 页（共 38 页） 数学试卷 第 18 页（共 38 页） 二、填空题13.【答案】5x【解析】解：式子在实数范围内有意义,则,故实数的取值范围是：.5x 50x x5x故答案为：.5x【考点】二次根式有意义的条件.14.【答案】()(33)a mm【解析】解：29ama29()a m.()(3)3a mm故答案为：.()(33)a mm【考点】提公因式法与公式法分解因式的综合运用.15.【答案】12x 【解析】解：1 0 360x x 解不等式得：,1x解不等式得：,2x不等式组的解集为：,12x 故答案为：.12x 【考点】解一元一次不等式组.16.【答案】0.4【解析】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在 0.4 附近,故摸到白球的频率估计值为 0.4；故答案为：0.4.【考点】频数(率)分布表,利用频率估计概率.17.【答案】100【解析】解：点 D,E 分别是 AC,BC 的中点,DE 是的中位线,ABC米.22 50100ABDE故答案为：100.【考点】三角形的中位线定理.18.【答案】【解析】解：设点,kA mm,kM nn则直线 AC 的解析式为,kkkyxmnnm ,0(, )C mn()0,mn kDmn ,1()() 22ODMmn kmn kSmnm()1() 22OCAkmn kSmnmm与的面积相等,故正确；ODMOCA反比例函数与正比例函数关于原点对称,数学试卷 第 19 页（共 38 页） 数学试卷 第 20 页（共 38 页）O 是 AB 的中点,BMAM,OMOA,kmn,()A m n,()M n m,2()AMnm22OMmnAM 不一定等于 OM,不一定是,BAM60不一定是.故错误,MBA30M 点的横坐标为 1,可以假设,()1,Mk为等边三角形,OAM,OAOMAM,2 22 21kkmm,mk,OMAM,2 22(1)1kmkkm ,2410kk ,23k ,1m,故正确,23k 如图,作交 OA 于 K.MKOD,OFMK,2 5FMOK BMKB,2 3OK OB,OAOB,2 3OK OA,2 1OK KA,KMOD,2DMOK AMAK,故正确.2DMAM故答案为.数学试卷 第 21 页（共 38 页） 数学试卷 第 22 页（共 38 页） 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,三角形的面积,平行线分线段成比例定理.三、解答题19.【答案】解：原式12263222221.1【解析】解：原式12263222221.1【考点】绝对值,负整数指数幂,二次根式的混合运算,特殊角的三角函数值.20.【答案】解：原式22(1) 1(2)aa a aa:,2a a当时,原式.3a 33 325【解析】解：原式22(1) 1(2)aa a aa:,2a a当时,原式.3a 33 325【考点】分式的化简求值.21.【答案】解：(1)本次调查随机抽取了名学生,2142%505040%20m ,61001250n 故答案为：50,20,12；(2)补全条形统计图如图所示：(3)人,21202000164050答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有 1 640 人.【解析】解：(1)本次调查随机抽取了名学生,2142%505040%20m ,61001250n 故答案为：50,20,12；(2)补全条形统计图如图所示：数学试卷 第 23 页（共 38 页） 数学试卷 第 24 页（共 38 页）(3)人,21202000164050答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有 1 640 人.【考点】用样本估计总体,频数(率)分布表、,条形统计图.22.【答案】(1)证明：四边形 ABCD 是正方形,90BAEADF ABADCD,DECF,AEDF在和中,BAEADFABAD BAEADF AEDF ,()SASBAEADF；BEAF(2)解：由(1)得：,BAEADF,EBAFAD ,90GAEAEG,90AGE,4AB 1DE ,3AE ,2222435BEABAE在中,RtABE11 22ABAEBEAG.4 312 55AG【解析】(1)证明：四边形 ABCD 是正方形,90BAEADF ABADCD,DECF,AEDF在和中,BAEADFABAD BAEADF AEDF ,()SASBAEADF；BEAF(2)解：由(1)得：,BAEADF,EBAFAD ,90GAEAEG,90AGE数学试卷 第 25 页（共 38 页） 数学试卷 第 26 页（共 38 页） ,4AB 1DE ,3AE ,2222435BEABAE在中,RtABE11 22ABAEBEAG.4 312 55AG【考点】全等三角形的判定与性质,正方形的性质,勾股定理,三角形面积公式.23.【答案】解：(1)设增长率为,根据题意,得x,22(.4)12 2x解得(舍去),.12.1x 20.1 10%x 答：增长率为 10%.(2)(万人).2.42 10.12().662答：第四批公益课受益学生将达到 2.662 万人次.【解析】解：(1)设增长率为,根据题意,得x,22(.4)12 2x解得(舍去),.12.1x 20.1 10%x 答：增长率为 10%.(2)(万人).2.42 10.12().662答：第四批公益课受益学生将达到 2.662 万人次.【考点】一元二次方程的实际应用.24.【答案】(1)假假真(2)证明：如图 1 中,连接 BD,B1D1.图 1,且,111BCDBC D 1111BCCD BCC D,111BCDBC D:,111CDBC D B 111C B DCBD ,111111ABBCCD ABBCC D,1111BDAB B DAB,111ABCABC ,111ABDAB D ,111ABDAB D:数学试卷 第 27 页（共 38 页） 数学试卷 第 28 页（共 38 页）,1111ADAB ADAB1AA 111ADBAD B ,11111111ABBCCDAD ABBCC DAD111ADCADC 1AA 111ABCABC ,111BCDBC D 四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1相似.(3)如图 2 中,图 2四边形 ABCD 与四边形 EFCD 相似.,DEEF AEAB,EFOEOF,DEOEOF AEAB,EFABCD,DEOE ADABDEOCOF ADABAB,DEDEOEOF ADADABAB,2DEDE ADAE,ADDEAE,21 DEAEAE,2AEDEAE,AEDE.121S S【解析】(1)解：四条边成比例的两个凸四边形相似,是假命题,角不一定相等.三个角分别相等的两个凸四边形相似,是假命题,边不一定成比例.两个大小不同的正方形相似,是真命题.故答案为假,假,真.(2)证明：如图 1 中,连接 BD,B1D1.图 1,且,111BCDBC D 1111BCCD BCC D,111BCDBC D:数学试卷 第 29 页（共 38 页） 数学试卷 第 30 页（共 38 页） ,111CDBC D B 111C B DCBD ,111111ABBCCD ABBCC D,1111BDAB B DAB,111ABCABC ,111ABDAB D ,111ABDAB D:,1111ADAB ADAB1AA 111ADBAD B ,11111111ABBCCDAD ABBCC DAD111ADCADC 1AA 111ABCABC ,111BCDBC D 四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1相似.(3)如图 2 中,图 2四边形 ABCD 与四边形 EFCD 相似.,DEEF AEAB,EFOEOF,DEOEOF AEAB,EFABCD,DEOE ADABDEOCOF ADABAB,DEDEOEOF ADADABAB,2DEDE ADAE,ADDEAE,21 DEAEAE,2AEDEAE,AEDE.121S S【考点】相似三角形的判定和性质,相似多边形的判定和性质.25.【答案】解：(1)由题可知,抛物线解析式是：.2221141()2yxxx .24 20201b c ,.6b 2019c (2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是,00(,)xy00,()xy数学试卷 第 31 页（共 38 页） 数学试卷 第 32 页（共 38 页）代入解析式可得：.2 000 2 0002(2)(2020) 2(2)(2020)yxbxc yxbxc 两式相加可得：.2 042020()20xc,2 022020cx；2020c(3)由(1)可知抛物线为.2224121(1)yxxx .1y,当时,恰好,0mnmxn1 21221mn myn.111 2nym.11ynm,即.11m1m.1mn抛物线的对称轴是,且开口向下,1x 当时,随的增大而减小.mxnyx当时,.xm2241ymm 最大值当时,.xn2241ynn 最小值又,11ynm.2212411241nnnmmm 将整理,得,322410nnn 变形,得.2()()()212110nnnn.21 21)(0()2nnn,1n.22210nn 解得(舍去),.113 2n213 2n同理,由得到：.21 21)(0()2mmm,1mn.22210mm 解得,(舍去),(舍去).11m 213 2m313 2m综上所述,.1m 13 2n【解析】解：(1)由题可知,抛物线解析式是：.2221141()2yxxx .24 20201b c ,.6b 2019c (2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是,00(,)xy00,()xy数学试卷 第 33 页（共 38 页） 数学试卷 第 34 页（共 38 页） 代入解析式可得：.2 000 2 0002(2)(2020) 2(2)(2020)yxbxc yxbxc 两式相加可得：.2 042020()20xc,2 022020cx；2020c(3)由(1)可知抛物线为.2224121(1)yxxx .1y,当时,恰好,0mnmxn1 21221mn myn.111 2nym.11ynm,即.11m1m.1mn抛物线的对称轴是,且开口向下,1x 当时,随的增大而减小.mxnyx当时,.xm2241ymm 最大值当时,.xn2241ynn 最小值又,11ynm.2212411241nnnmmm 将整理,得,322410nnn 变形,得.2()()()212110nnnn.21 21)(0()2nnn,1n.22210nn 解得(舍去),.113 2n213 2n同理,由得到：.21 21)(0()2mmm,1mn.22210mm 解得,(舍去),(舍去).11m 213 2m313 2m综上所述,.1m 13 2n【考点】二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象的对称性,二次函数图象的增减性,二次函数最值的意义,一元二次方程的解法.26.【答案】解：(1)令,260axax,60()ax x 数学试卷 第 35 页（共 38 页） 数学试卷 第 36 页（共 38 页）；0()6,A (2)证明：如图,连接 PC,连接 PB 延长交轴于点 M,x过 O、A、B 三点,B 为顶点,P:,PMOA90PBCBOM又,PCPB,PCBPBC CE 为切线,90PCBECD又,BDPCDE ,ECDCOE .CEDE解：设,即,OEm0(),E m由切割线定理得：,2CEOEAE:,2(6()mtmm:,262tmt,CAECBD ,CAEOBE CBOEBO 由角平分线定理：,BDOD BEOE即：,22(3)27 (3)27tt mm,6 6tmt 由得,26 626tt tt 整理得：,218360tt,21836tt .21111361 6t ODOEtmt 【解析】解：(1)令,260axax,60()ax x ；0()6,A (2)证明：如图,连接 PC,连接 PB 延长交轴于点 M,x数学试卷 第 37 页（共 38 页） 数学试卷 第 38 页（共 38 页） 过 O、A、B 三点,B 为顶点,P:,PMOA90PBCBOM又,PCPB,PCBPBC CE 为切线,90PCBECD又,BDPCDE ,ECDCOE .CEDE解：设,即,OEm0(),E m由切割线定理得：,2CEOEAE:,2(6()mtmm:,262tmt,CAECBD ,CAEOBE CBOEBO 由角平分线定理：,BDOD BEOE即：,22(3)27 (3)27tt mm,6 6tmt 由得,26 626tt tt 整理得：,218360tt,21836tt .21111361 6t ODOEtmt 【考点】二次函数图象与轴的交点坐标,切线的性质,等腰三角形的判定,切割线定理.x