2019年四川省自贡市中考数学试卷含答案.docx
数学试卷 第 1 页（共 34 页） 数学试卷 第 2 页（共 34 页） 绝密启用前四川省自贡市 2019 年毕业生学业考试 数 学一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.的倒数是 ( )2019A.B.C.D.20191 20191 201920192.近年来,中国高铁发展迅速,高铁技术不断走出国门,成为展示我国实力的新名片.现在中国高速铁路营运里程将达到 23 000 公里,将 23 000 用科学记数法表示应为( )A.B.C.D.42.3 10323 1032.3 1050.23 103.下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )ABCD4.在 5 轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中,甲、乙两位同学的平均分都是 90 分,甲的成绩方差是 15,乙的成绩的方差是 3,下列说法正确的是 ( )A.甲的成绩比乙的成绩稳定B.乙的成绩比甲的成绩稳定C.甲、乙两人的成绩一样稳定D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定5.下图是水平放置的全封闭物体,则它的俯视图是 ( )ABCD6.已知三角形的两边分别为 1 和 4,第三边长为整数,则该三角形的周长为 ( )A.7B.8C.9D.107.实数,在数轴上对应点的位置如图所示,则下列判断正确的是 ( )mnA.B.|1m 11mC.D.0mn1 0m 8.关于的一元二次方程无实数根,则实数的取值范围是 ( )x220xxmmA.B.C.D.1m1m1m1m9.如一次函数与反比例函数的图象如图所示,则二次函数yaxbcyx的大致图象是 ( )2yaxbxcABCD10.均匀的向一个容器内注水,在注水过程中,水面高度与时间 的函数关系如图所示,ht则该容器是下列中的( )毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷 第 3 页（共 34 页） 数学试卷 第 4 页（共 34 页）ABCD11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌,将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后,就能形成一个圆形桌面(可以近似看作正方形的外接圆),正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近 ( )A.B.4 53 4C.D.2 31 212.如图,已知两点的坐标分别为,点分别是直线和轴上AB、(8,0)(0,8)CF、5x x的动点,点是线段的中点,连接交轴于点；当面积10CF DCFADyEABE取得最小值时,的值是 ( )tan BADA.B.8 177 17C.D.4 95 9二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填写在题中的横线上)13.如图,直线被直线所截,；则 .ABCD、EFABCD1 120 2 14.在一次 12 人参加的数学测试中,得 100 分、95 分、90 分、85 分、75 分的人数分别为 1、3、4、2、2,那么这组数据的众数是 .15.分解因式： .2222xy16.某活动小组购买 4 个篮球和 5 个足球,一共花费了 466 元,其中篮球的单价比足球的单价多 4 元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为元,足球的单价为元,xy依题意,可列方程组为 .17.如图,在中,的平分线RtABC90ACB10AB 6BC CDABABC交于, .BDACEDE 18.如图,由 10 个完全相同的正三角形构成的网格图中,如图所示,则、.cos()三、解答题(本大题共 8 小题,共 78 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(本小题满分 8 分)计算：.0| 3| 4sin458(3)20.(本小题满分 8 分)数学试卷 第 5 页（共 34 页） 数学试卷 第 6 页（共 34 页） 解方程：.211x xx21.(本小题满分 8 分)如图,中,弦与相交于点,连接.O:ABCDEABCDADBC、求证：(1)；:ADBC(2).AECE22.(本小题满分 8 分)某校举行了创建全国文明城市知识竞赛活动,初一年级全体同学参加了竞赛.收集数据：现随机抽取初一年级 30 名同学“创文知识竞赛”成绩,分数如下(单位：分)：90 856892818495938789789989859788 8195869895938986848779858982成绩 x(单位：分)频数(人数)6070x17080x8090x17-在-此-卷-上-答-题-无-效- -毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _数学试卷 第 7 页（共 34 页） 数学试卷 第 8 页（共 34 页）90100x(1)请将图表中空缺的部分补充完整；(2)学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在 90 分以上的同学,根据上表统计结果估计该校初一年级 360 人中,约有多少人将获得表彰；(3)“创文知识竞赛”中,受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章,她从中选取两枚送给弟弟,则小红送给弟弟的两枚纪念章中,恰好有恐龙图案的概率是 .23.(本小题满分 10 分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数1(0)ykxb k的图象相交于第一、三象限内的两点,与轴交于点2(0)mymx(3,5), ( , 3)AB a x.C(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在轴上找一点使最大,求的最大值及点的坐标；yPPBPCPBPCP(3)直接写出当时,的取值范围.12yyx24.(本小题满分 10 分)阅读下列材料：小明为了计算的值,采用以下方法：22 0172 01812222设22 0172 01812222S 则22 0182 01922222S 得2 019221SS22 0172 0182 0191222221S (1) ；291222(2) ；210333(3)求的和(,是正整数,请写出计算过程).21naaa0a n数学试卷 第 9 页（共 34 页） 数学试卷 第 10 页（共 34 页） 25.(本小题满分 12 分)如图 1,是正方形边上的一点,连接,将绕着点逆EABCDABBDDE、BDED时针旋转,旋转后角的两边分别与射线交于点和点.90BCFG线段和的数量关系是 ；DBDG写出线段和之间的数量关系.BEBF、DB(2)当四边形为菱形,点是菱形边所在直线上的一ABCD60ADCEABCDAB点,连接,将绕着点逆时针旋转,旋转后角的两边分别与射线BDDE、BDED120交于点和点.BCFG如图 2,点在线段上时,请探究线段和之间的数量关系,写出结论并EBEBF、BD给出证明；如图 3,点在线段的延长线上时,交射线于点；若,直EABDEBCM1,2BEAB接写出线段的长度.GM图 1图 2图 326.(本小题满分 14 分)如图,已知直线与抛物线：相交于和点两点.ABC22yaxxc( 1,0)A (2, 3)B(1)求抛物线的函数表达式；C数学试卷 第 11 页（共 34 页） 数学试卷 第 12 页（共 34 页）(2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点,以为相邻两边作平行MABMAMB、四边形,当平行四边形的面积最大时,求此时四边形的面积MANBMANBMANB及点的坐标；SM(3)在抛物线的对称轴上是否存在定点,使抛物线上任意一点到点的距CFCPF离等于到直线的距离,若存在,求出定点的坐标；若不存在,请说明理由.17 4y F四川省自贡市 2019 年毕业生学业考试数学答案解析一、选择题1.【答案】B【解析】1 除以一个不等于 0 的数的商就是这个数的倒数；实际上抓住互为倒数的两个数乘积为 1 就行了. 的倒数.故选 B.20191 2019【考点】倒数.2.【答案】A【解析】把一个数记成的形式(其中是整数为 1 位的数,恰好为原数的整数的位A10naan数减 1).就为科学记数法,.故选 A.4230002.3 10【考点】科学记数法.3.【答案】D【解析】轴对称图形、中心对称图形都是指的一个图形,只是运动方式不一样；轴对称图形是沿某直线翻折与自身重合,中心对称图形是绕着一个点旋转后与自身重合,D 选180项符合这一特点.故选 D.【考点】轴对称图形,中心对称图形.4.【答案】B【解析】在同样条件下,样本数据的方差越大,波动越大；方差越小,波动越小,B 选项符合这一性质.故选 B.【考点】方差的性质.5.【答案】C【解析】几何体的俯视图是从上面往下面看几何体得到的平面图形,要注意看得见的轮廓线画成实线,看不见的轮廓线画成虚线；C 符合这一要求.故选 C.【考点】三视图之俯视图.数学试卷 第 13 页（共 34 页） 数学试卷 第 14 页（共 34 页） 6.【答案】C【解析】三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边；所以第三边,4 1 41即第三边；第三边取整数为 4,.故选 C.354419 【考点】三角形三边之间的关系.7.【答案】B【解析】0m；也可以用“赋值法”代入计算判断.故选 B.11m【考点】数轴上点的坐标的意义,实数的运算.8.【答案】D【解析】原一元二次方程无实数根,解得；故选 D.2( 2)4 10m 1m【考点】一元二次方程跟的判别式,解不等式.9.【答案】A【解析】根据本题的原图并结合一次函数和反比例函数图象的位置可知,0a0b0c所以对于二次函数的图象的抛物线开口向下,对称轴直线2yaxbxc(即抛物线的对称轴在的右侧),与轴的正半轴,A 符合这一特征；故选02bxa yyA.【考点】一次函数,二次函数以及反比例函数的图象及其性质.10.【答案】D【解析】根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度(即斜率)可以反映水面升高的速度；因为 D 几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢；故选 D.【考点】函数图象及其性质的实际应用.11.【答案】C【解析】连接正方形的对角线；根据圆周角的推论可知是正方形的外接圆的直径；设正方形的边长为,则正方形的面积为；根据正方形的性质并利用勾股定理可求正方形的a2a对角线长为,则圆的半径为,所以圆的面积为,222aaa2 2a222122aa所以它们的面积之比为,与 C 的近似值比较接近；故选 C.2220.636612aa【考点】正方形和圆的有关性质和面积计算.12.【答案】B【解析】见后面的示意图.根据题中“点分别是直线和轴上的动点,CF、5x x”可以得到线段的中点的运动“轨迹”是以点为圆心 5 半径的圆,10CF CFDM 当运动到轴上方的圆上处恰好使圆相切于时,此时的图中的最大,则DxDADD1 最小,此时面积最小.BADABE在中,由坐标等可求,.根据题意和圆的RtMD A13AM 5MD2213512AD切线的性质容易证明,即解得：AOEAD M:OEAO MDAD8 512OE,.两点的坐标分别为,且,10 3OE 1014833BE AB、(8,0)(0,8)90AOB；过点于,容易证明是等腰直角三角形22888 2AB ENABNENB1472233NENB7178 22233ANABNB在中,.故选 B.RtANE7177tan223317NEBADAE数学试卷 第 15 页（共 34 页） 数学试卷 第 16 页（共 34 页）【考点】直角三角形,等腰三角形,相似三角形,圆的有关性质,勾股定理,三角函数等.二.填空题13.【答案】60【解析】ABCD13120 23180 218012060 故应填：.60【考点】平行线的性质,邻补角的定义.14.【答案】90【解析】众数是指一组数据中出现次数最多的数据,90 分的有 4 人,次数最多,故应填：90.【考点】众数的定义.15.【答案】2()()xy xy【解析】先提取公因式,再利用平方差公式分解.即.2222222()2()()xyxyxy xy【考点】提公因式,公式法分解因式.16.【答案】45466 4xy xy 【解析】本题抓住两个等量关系列方程组：其一、4 个篮球的费用个足球的费用元；5466其二、篮球的单价足球的单价4 元.故应填：.45466 4xy xy 【考点】列方程组解应用题.17.【答案】955【解析】在中求出RtABC22221068ACABBC是的平分线BDABC12 CDAB1D 2D 6CDBCCDABABECDE:63 105CEDECD AEBEAB3383358CEAC又在中RtBCE2222633 5BEBCCE.故应填：.3393 55555DEBE955数学试卷 第 17 页（共 34 页） 数学试卷 第 18 页（共 34 页） 【考点】勾股定理,相似三角形的性质和判定,平行线的性质,等腰三角形的性质,角平分线 的定义.18.【答案】21 7【解析】根据正三角形可菱形的性质求出,1230 360 ；设正三角形的边长为,则2390ACB a,利用菱形的性质并结合三角函数可以求得：2ACa3BCa在中,RtACB2222(2 )( 3 )7ABACBCaaa即,故应填：.321cos77BCaABCABa21cos()721 7【考点】正三角形,菱形的性质,勾股定理,三角函数,整体思想.三、解答题19.【答案】原式2342 21232 22 214【解析】原式2342 21232 22 214【考点】实数的运算,特殊锐角三角函数值,次幂,绝对值,二次根式的化简.20.【答案】22(1)(1)xxx x2222xxxx2x 当时,代入2x (1)0x x 所以原方程的解为.2x 【解析】22(1)(1)xxx x2222xxxx2x 当时,代入2x (1)0x x 所以原方程的解为.2x 【考点】去分母法解分式方程,解一元一次方程.21.【答案】(1)连接AC数学试卷 第 19 页（共 34 页） 数学试卷 第 20 页（共 34 页）ABCD:ABCD即:ABACCDAC:ADBC(2):ADBCACDBAC AECE【解析】(1)连接ACABCD:ABCD即:ABACCDAC:ADBC(2):ADBCACDBAC AECE【考点】圆的等对等关系,圆周角定理的推论,等腰三角形的判定.22.【答案】(1)图表：成绩 x(单位：分)频数(人数)6070x17080x28090x1790100x10(2)(人).1036012030答：初一年级 360 人中,约有 120 人将获得表彰.(3)树状图分析图：共有 12 种情况,其中恰好有恐龙图案的是 6 种.故(恐龙图案)故应填：.P61 1221 2【解析】(1)图表：成绩 x(单位：分)频数(人数)6070x17080x28090x17数学试卷 第 21 页（共 34 页） 数学试卷 第 22 页（共 34 页） 90100x10(2)(人).1036012030答：初一年级 360 人中,约有 120 人将获得表彰.(3)树状图分析图：共有 12 种情况,其中恰好有恐龙图案的是 6 种.故(恐龙图案)故应填：.P61 1221 2【考点】频数分布表和频数分布直方图,样本估计总体,概率.23.【答案】(1)在反比例函数上(3,5)A2(0)mymx3 515m 反比例函数的解析式为15yx把代入可求得( , 3)B a 15yx15( 3)5a .( 5, 3)B 把,代入为解得.(3,5)A( 5, 3)B ykxb35 53kb kb 1 2k b一次函数的解析式为.2yx(2)的最大值就是直线与两坐标轴交点间的距离.PBPCAB设直线与轴的交点为.2yxyP令,则,解得,0y 20x 2x ( 2,0)C 令,则,0x 022y (0, 2)P,22555 2PB 22222 2PB 的最大值为.PBPC5 22 23 2(3)根据图象的位置和图象交点的坐标可知：当时的取值范围为；或.12yyx50x 3x【解析】(1)在反比例函数上(3,5)A2(0)mymx3 515m 反比例函数的解析式为15yx把代入可求得( , 3)B a 15yx15( 3)5a .( 5, 3)B 数学试卷 第 23 页（共 34 页） 数学试卷 第 24 页（共 34 页）把,代入为解得.(3,5)A( 5, 3)B ykxb35 53kb kb 1 2k b一次函数的解析式为.2yx(2)的最大值就是直线与两坐标轴交点间的距离.PBPCAB设直线与轴的交点为.2yxyP令,则,解得,0y 20x 2x ( 2,0)C 令,则,0x 022y (0, 2)P,22555 2PB 22222 2PB 的最大值为.PBPC5 22 23 2(3)根据图象的位置和图象交点的坐标可知：当时的取值范围为；或.12yyx50x 3x【考点】待定系数法求解析式,最值,勾股定理,利用函数图象确定自变量的取值范围.24.【答案】(1).1021(2).1131 2(3)设 21nSaaa 则 231naSaaaa得1(1)1naSSaSa.1 2111n naSaaaa 【解析】(1)设 291222S 则 2102222S 得10221SS；故应填：.2910122221S 1021(2)设 210333S 则 2113333S 得 11331SSS；故应填：.11 210313332S1131 2(3)设 21nSaaa 则 231naSaaaa得1(1)1naSSaSa.1 2111n naSaaaa 【考点】规律型探究,数式变形,整体思想,实数的运算.25.【答案】(1)DBDG根据旋转的特征可知.DEBDFGBEFGBEBFGFBFBG容易证明是等腰直角三角形,利用勾股定理或三角函数可以求出,BDG2BGBD即.2BEBFBD(2).3BEBFBD数学试卷 第 25 页（共 34 页） 数学试卷 第 26 页（共 34 页） 理由如下：四边形菱形ABCD1302ABDCBDABC 由旋转可得：120120EDFBDG 即EDFBDFBDGBDF FDGBDE 在中,DBG18030GBDGDBG30DBGG BDDG(ASA)BDEGDFBEGFBEBFBFGFBG如图所示：过点作点DDHBGHBDDG2BGBH在中RtBHD30DBM2BDDH设,则DHm2 ,3BDm BHm2 3BGm2 332BGm BDm.3BFBEBD的长度为.GM19 3理由：根据旋转的特征容易证明；同时利用菱形的性质和旋转的DEBDFG1FGBE特征并结合条件中的“,将绕着点逆时针旋转”可以推出60ADCBDED120,；90CDF30GFD224CFCDAB由菱形可得出DCAEBEMCDM1 2BMBE CMCD24 33CMBC.4191433GMGFCFCM 【解析】(1)根据旋转的特征直接可以得出.故应填：；DBDGDBDG根据旋转的特征可知.DEBDFGBEFGBEBFGFBFBG容易证明是等腰直角三角形,利用勾股定理或三角函数可以求出,BDG2BGBD即.2BEBFBD(2).3BEBFBD理由如下：四边形菱形ABCD1302ABDCBDABC 由旋转可得：120120EDFBDG 即EDFBDFBDGBDF FDGBDE 在中,DBG18030GBDGDBG数学试卷 第 27 页（共 34 页） 数学试卷 第 28 页（共 34 页）30DBGG BDDG(ASA)BDEGDFBEGFBEBFBFGFBG如图所示：过点作点DDHBGHBDDG2BGBH在中RtBHD30DBM2BDDH设,则DHm2 ,3BDm BHm2 3BGm2 332BGm BDm.3BFBEBD的长度为.GM19 3理由：根据旋转的特征容易证明；同时利用菱形的性质和旋转的DEBDFG1FGBE特征并结合条件中的“,将绕着点逆时针旋转”可以推出60ADCBDED120,；90CDF30GFD224CFCDAB由菱形可得出DCAEBEMCDM1 2BMBE CMCD24 33CMBC.4191433GMGFCFCM 【考点】旋转的特征,正方形以及菱形的性质,全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,等腰三角形以及直角三角形的性质,勾股定理.26.【答案】(1)和点两点在抛物线上( 1,0)A (2, 3)B22yaxxc20 440ac ac 解得13ac 抛物线的表达式为：C223yxx (2)设直线的解析式为ABykxb和点在直线上( 1,0)A (2, 3)BAB 解得0 23kb kb 1 1k b 直线的解析式为AB1yx如图所示,过作轴交于MMNxABN数学试卷 第 29 页（共 34 页） 数学试卷 第 30 页（共 34 页） 设,则2( ,23)M aaa( ,1)( 12)N a aa ,22(23)(1)2MNMNyyaaaaa 1()2BAABMAMNBMNSSSxxMN:2 2131273 (2)2228ABMSaaa 当,的面积有最大值1 2a ABM27 8,此时.2724MANBABMSS:1 7,2 2M(3)存在.151,4F理由如下：令抛物线顶点为,则；则顶点到直线的距离为；D(1, 4)DD17 4y 1 4设,再设(1,)Fm2( ,23)P xxx设到直线的距离为,则P17 4y PG22175(23)244PGxxxx 为抛物线上任意一点都有PPGPF当与顶点重合时,也有；则,即顶点到直线的距离为.PDPGPF1 4PG D17 4y 1 4,此时1 4PFDF115444m 151,4FPGPF22PGPF,22 22222153(1)23(1)244PFxxxxxx2 22524PGxx22 22235(1)2244xxxxx整理化简可得当时,无论取任何实数,均有.0x 151,4FxPGPF【解析】(1)和点两点在抛物线上( 1,0)A (2, 3)B22yaxxc20 440ac ac 解得13ac 抛物线的表达式为：C223yxx 数学试卷 第 31 页（共 34 页） 数学试卷 第 32 页（共 34 页）(2)设直线的解析式为ABykxb和点在直线上( 1,0)A (2, 3)BAB 解得0 23kb kb 1 1k b 直线的解析式为AB1yx如图所示,过作轴交于MMNxABN设,则2( ,23)M aaa( ,1)( 12)N a aa ,22(23)(1)2MNMNyyaaaaa 1()2BAABMAMNBMNSSSxxMN:2 2131273 (2)2228ABMSaaa 当,的面积有最大值1 2a ABM27 8,此时.2724MANBABMSS:1 7,2 2M(3)存在.151,4F理由如下：令抛物线顶点为,则；则顶点到直线的距离为；D(1, 4)DD17 4y 1 4设,再设(1,)Fm2( ,23)P xxx设到直线的距离为,则P17 4y PG22175(23)244PGxxxx 为抛物线上任意一点都有PPGPF当与顶点重合时,也有；则,即顶点到直线的距离为.PDPGPF1 4PG D17 4y 1 4,此时1 4PFDF115444m 151,4FPGPF22PGPF,22 22222153(1)23(1)244PFxxxxxx2 22524PGxx22 22235(1)2244xxxxx整理化简可得当时,无论取任何实数,均有.0x 151,4FxPGPF数学试卷 第 33 页（共 34 页） 数学试卷 第 34 页（共 34 页） 【考点】二次函数的图象及其性质,待定系数法,数学的建模思想,勾股定理,距离公式.
