高代第六章习题课ppt课件.ppt

1习题课习题课基本内容基本内容基本解题方法基本解题方法目录 下页 返回 结束 例题选讲例题选讲2一、基本内容一、基本内容1. 线性空间定义及简单性质线性空间定义及简单性质2. 子空间子空间(1) 定义定义(2) 判别判别:(3) 运算运算1111, ,VVVVVa bPabV 是是 的的子子空空间间有有交交和和直和直和1212|VVVV 且且12121122|VVVV, ,定义定义判别判别1211,0VVVVVV VV 首页 上页 下页 返回 结束 312VVV121) VVV122) VVV123) VVV12,V 表表法法唯唯一一12000 ,零零向向量量表表法法唯唯一一12( )()()VVV维维维维维维判别判别3. 基基(1) 定义定义(2) 基的意义基的意义:,V中中任任一一向向量量可可由由基基线线性性表表出出 且且表表法法唯唯一一(3) 线性空间的维数公式线性空间的维数公式121212()()()()VVVVVV 维维维维维维维维(4) 基变换基变换1212 (,(,):),nnA 公公式式1212,nnVA 其其中中和和都都是是 的的基基为为过过渡渡矩矩阵阵 可可逆逆. .首页 上页 下页 返回 结束 412121212, (,)(,) ,.nnnnVAVA 性性质质 设设为为 的的基基 则则也也为为 的的基基可可逆逆: :(5) 向量坐标向量坐标11221212: , ,(,),nninnxxxxPxxx 定定义义为为 在在基基下下的的坐坐标标1) 一一个个向向量量在在任任一一基基下下的的坐坐标标是是唯唯一一的的. .2) .n 在在取取定定基基下下, ,向向量量的的和和与与数数乘乘运运算算可可归归结结为为元元数数组组的的加加法法和和数数乘乘性质性质:首页 上页 下页 返回 结束 51122:nnklklAkl 则则有有坐坐标标变变换换公公式式121212121212,. , (,), ( ,),nnnnnnAk kkl ll 设设 为为基基到到基基的的过过渡渡矩矩阵阵在在基基下下的的坐坐标标是是在在基基 下下的的坐坐标标是是首页 上页 下页 返回 结束 坐标变换坐标变换:64. 同构同构,:, ()( )( ), ()( ),.V UPVUV kPkkVU 设设都都是是 上上的的线线性性空空间间是是双双射射，如如果果都都有有则则 是是 到到 的的同同 构构映映射射 同同构构映映射射保保持持向向量量的的线线性性关关系系. .nPnVP数数域域 上上任任一一 维维线线性性空空间间都都与与同同构构首页 上页 下页 返回 结束 7二、基本解题方法二、基本解题方法 1. 1.在有限维线性空间中在有限维线性空间中, ,证明一组个数与空间证明一组个数与空间维数相等的向量组是该空间的基维数相等的向量组是该空间的基, ,只需证明这组向只需证明这组向量线性无关即可量线性无关即可. .2.2.求一组基到另一组基的过渡矩阵求一组基到另一组基的过渡矩阵. .方法一方法一: 直接利用基变换公式直接利用基变换公式1212(,)(,)nnA 12,.jnA 求求出出在在基基下下的的坐坐标标 将将这这些些坐坐标标为为列列排排成成的的矩矩阵阵就就是是(此法一般较繁此法一般较繁,除非基较简单除非基较简单)首页 上页 下页 返回 结束 8首页 上页 下页 返回 结束 方法二方法二:1212,()nn 先先将将与与分分别别用用标标准准基基 或或形形式式较较简简的的基基 线线性性表表示示12121212(,)(,)(,)(,)nnnnAB 11212(,)(,)nnA B 于是于是11212,.nnA B 则则就就是是基基到到基基的的过过渡渡矩矩阵阵nP此此法法特特别别对对中中的的基基向向量量最最为为有有效效. .11 ( ,)(,),A BE A BA B 行行变变换换用用可可求求出出9首页 上页 下页 返回 结束 3.3.求向量求向量在某组基下的坐标在某组基下的坐标. .可用两种方法可用两种方法: : 一是将向量一是将向量由基向量线性表示由基向量线性表示, ,然后根据具然后根据具体元素的特点体元素的特点, ,求出这些系数求出这些系数, ,即为坐标即为坐标. .此为此为“待待定系数法定系数法”. .1212(,),(,),nnxxxyyy 二二是是已已知知 在在某某基基下下的的坐坐标标而而求求在在另另一一组组基基下下的的坐坐标标则则可可利利用用坐坐标标变变换换公公式式111122221 nnnnxyyxxyyxAAxyyx 或或10“”.A其其中中 为为前前一一组组基基到到后后一一组组基基的的公公过过渡渡矩矩阵阵. .式式法法此此为为4.4.求生成子空间的交与和的基及维数求生成子空间的交与和的基及维数. . 研究子空间的生成的核心思想是从一组生成元研究子空间的生成的核心思想是从一组生成元去把握这个子空间去把握这个子空间. .生成子空间的生成元的极大无生成子空间的生成元的极大无关组就是这个子空间的基关组就是这个子空间的基. .因此一个有限维空间总因此一个有限维空间总可以认为是由一组基所生成的可以认为是由一组基所生成的. . 一般说来，求两个子空间的交的维数和一组一般说来，求两个子空间的交的维数和一组基相对要困难些基相对要困难些. .首页 上页 下页 返回 结束 11首页 上页 下页 返回 结束 求交的基及维数求交的基及维数，设，设1212(,)(,)rsLL 1111rrssxxyy则则 11110rrssxxyy即即 这个方程组的解空间的维数就是交的维数这个方程组的解空间的维数就是交的维数.11, ,rsxxyy由由基基础础解解系系所所得得的的或或即即可可求求出出交交的的基基. .,:nP 求求中中向向量量所所生生成成的的子子空空间间的的交交与与和和的的基基及及维维数数时时 通通常常可可采采用用下下述述方方法法12首页 上页 下页 返回 结束 1212,.rsAABBBA 将将为为列列向向量量排排成成一一个个矩矩阵阵再再对对 进进行行初初等等行行变变换换化化为为阶阶梯梯形形矩矩阵阵则则的的非非零零行行数数就就是是和和的的维维数数的的列列向向量量组组的的极极大大无无关关组组对对应应的的 的的列列向向量量就就是是和和的的基基 求和的基及维数求和的基及维数，因，因12121212 (,)(,)(,)rsrsLLL 13三、例题选讲三、例题选讲1212 1,V VVVxxVxV设设是是线线性性空空间间 的的两两个个非非平平凡凡子子空空间间 证证明明: :在在 中中存存在在 向向量量使使 例例同同时时成成立立. .11,.VVVV 证证 因因是是 的的非非平平凡凡子子空空间间 所所以以在在 中中存存在在 2,.V 若若则则命命题题已已成成立立12,VV若若22,.VVVV 则则因因是是 的的非非平平凡凡子子空空间间 故故在在 中中存存在在1,.V 若若则则命命题题已已成成立立21,VV若若则则考考虑虑, 向向量量12,.VV下下证证111,(),VVV若若则则因因有有1.V 与与矛矛盾盾首页 上页 下页 返回 结束 14222,(),VVV若若则则因因有有2.V 与与矛矛盾盾12,.VxxVxV故故在在 中中存存在在向向量量且且121212,. V VVVxxVVVVV此此例例说说明明, ,若若是是 的的两两个个非非平平凡凡子子空空间间 则则在在 中中存存在在向向 注注量量使使, ,即即: :.V因因此此不不能能表表成成两两个个非非平平凡凡子子空空间间的的并并12121212,. .VV VVVVVVVVV 我我们们已已知知 的的两两个个子子空空间间的的交交与与和和仍仍是是 的的子子空空间间 此此例例进进一一步步说说明明并并未未必必是是 的的 子子空空间间 首页 上页 下页 返回 结束 15121212 2,.V VVVVVVV 设设是是线线性性空空间间 的的两两个个子子空空间间 证证明明: :是是 的的既既包包含含又又包包含含的的最最小小 例例子子空空间间 1212,.VVVVV 证证 显显然然是是 的的既既含含又又含含的的子子空空间间12.WVVV设设是是 的的任任一一既既包包含含又又包包含含的的子子空空间间12121122,VVVV对对其其中中112212, ,.VWVWWVW而而是是 的的子子空空间间 所所以以因因12.VVW于于是是1212.VVVVV 故故是是 的的既既包包含含又又包包含含的的最最小小子子空空间间首页 上页 下页 返回 结束 16121 ,(1),:,.3n nmmnmAPAO AOmnPAAA 设设矩矩阵阵满满足足证证明明 存存在在向向量量使使得得 例例 线线性性无无关关121,0.nnmiiPA 证证 取取的的一一组组基基则则至至少少存存在在一一个个使使 得得 10,1,2, ,mjAjn 事事实实上上, ,若若令令12(,)nB 1,.mBABO 则则 可可逆逆 且且有有1.mAO 于于是是.与与题题设设矛矛盾盾1,0,0.mmiAA 令令则则首页 上页 下页 返回 结束 17011,mkkkP 若若不不然然, ,则则有有不不全全为为零零的的数数使使21, .mAAA 下下证证线线性性无无关关1011()()0,mmkkAkA 011,imkkkk 设设 是是中中第第一一个个不不为为零零的的数数 则则上上式式为为11()()0,imimk AkA 11,()0,m imiAk A 用用左左乘乘这这个个等等式式两两边边 得得 10,mikA 因因0,0,所所以以必必有有.与与假假设设矛矛盾盾21, .mAAA 故故线线性性无无关关21, .:nnnPAAAP 在在题题设设条条件件下下, ,存存在在使使得得 为为注注的的基基首页 上页 下页 返回 结束 1811221212121212 (,),(,), (1 2 1 0), ( 1 1 1 1), (2, 1,0,1), (1, 1,3,7). 4()().VLVLVVVV 设设其其中中，求求维维与与维维 例例121212(,).VVL 解解 显显然然1121211111030117A 1212 行行初初等等变变换换1121011700130000B 1212 首页 上页 下页 返回 结束 19121121212112,.BVV 由由矩矩阵阵 知知是是的的一一个个极极大大无无关关组组, ,所所以以是是的的一一个个基基12()2,()2,VV又又易易知知维维维维12()3.VV故故 维维121222()()()()VVVVVV 而而 维维维维维维维维2231首页 上页 下页 返回 结束 2012121212 , (,)(,):(,5,).nsnsnVAnsALA 设设是是 维维线线性性空空间间 的的一一组组基基是是矩矩阵阵证证明明的的维维数数等等于于 的的 秩秩 例例( ), rArP QEOAPQOO 证证 设设秩秩则则存存在在可可逆逆矩矩阵阵使使得得1212 (,) (,)nnP 令令12,.nP 因因 可可逆逆 所所以以线线性性无无关关于于是是首页 上页 下页 返回 结束 211212(,)(,)rsnEOPQOO 12(,)rnEOQOO 1(,0,0)rQ 121,sr这这说说明明能能由由线线性性表表示示. .112,.rsQ又又 可可逆逆 所所以以能能由由线线性性表表示示121,sr从从而而与与等等价价. .121(,)(,).srLL 于于是是12(,)( ).sLrA故故的的维维数数秩秩首页 上页 下页 返回 结束 22121212216 :.VVVVVVVV 证证明明当当且且仅仅当当或或 例例证证 充充分分性性112212VVVVVV因因，所所以以1212.VVVV 12,VV 又又若若则则有有1212212;VVVVV 若若, 则, 则有有2112112.VVVVV 若若, 则, 则有有1212 VVVV 所所以以1212 VVVV 故故121122, , ,VV首页 上页 下页 返回 结束 23必必要要性性1221() .VVVV反反证证法法若若不不属属于于且且不不属属于于11122221,; ,.VVVV则则存存在在但但但但121212,VVVV 而而 121122.VV于于是是 或或 121V若若 , ,1121,VV则则由由, ,可可得得.矛矛盾盾122V若若 , ,2212,VV则则由由, ,可可得得.矛矛盾盾1221 .VVVV故故必必或或首页 上页 返回 结束 24四、练习四、练习12123 1,2,1),(2,1,0)1,1,1),(0,1,0)1 1231212312312123已已知知( (线线性性无无关关，又又可可由由( (，(1,0,0)(1,0,0)线线性性表表出出，求求出出一一个个向向量量,使使得得, , 与与,等等价价。首页 上页 下页 返回 结束 22 (112,)WL xxxx求求子子空空间间的的一一个个基基和和维维数数。2 2212221 (,)2301111WLP 求求子子空空间间的的一一个个基基和和维维数数。25 ,)4Qa bQQQ已已知知 （ 2 2） a+b 2|a+b 2|是是 上上的的线线性性空空间间，求求 （ 2 2）的的一一个个基基和和维维数数。首页 上页 下页 返回 结束 11211112120 | ,),|,)0050aabWa bR Wa cRcWWWW 2 22 2已已知知是是P P的的两两个个子子空空间间，求求,.,.41246 (1,2,1,1),(1,1,3,2)RR、在在中中，将将扩扩充充为为的的一一个个基基。2371,1 xxP x、将将扩扩充充为为的的一一个个基基。268 ,1 1123212323 3123123x x、已已知知 在在基基,下下的的坐坐标标是是 x xx x求求 在在基基2,3,42,3,4下下的的坐坐标标。首页 上页 下页 返回 结束 9 ,1 1123212323 312231223x x、已已知知 在在基基,下下的的坐坐标标是是 x xx x求求 在在基基+,+,下下的的坐坐标标。27110 2413 312323123231123212331311232123313123123、设设,是是R R 的的一一个个基基，试试求求L(,)L(,)其其中中-2+3-2+3，+3+2+3+2，3 3求求 在在基基2,3,42,3,4下下的的坐坐标标。首页 上页 下页 返回 结束 28五、思考题五、思考题12121212 ,),)1,1,0 0),(1,0,11)2,11,3 3),(0,1, 11) 证证明明：L(L(L(L(其其中中( (，( (，首页 上页 下页 返回 结束 1234 2 任任意意四四元元有有序序数数组组都都可可以以由由向向量量组组（1,0,0,01,0,0,0）, ,（1,1,0,01,1,0,0）, ,（1,1,1,01,1,1,0）（1,1,1,11,1,1,1）. .29123123123123 ,),)1,2 1),(1,1, 1)1,3 3)2,3, 1),(1,2 2)(1,133), 121212121212设设W =L(WL(W =L(WL(其其中中( (，- - ，( (，( (，求求WWWW，WWWW的的维维数数和和一一个个基基。首页 上页 下页 返回 结束 1234123412341234 ,),4)a a aaaaaaa a aaaaaa 4 41 144442 212121212已已知知W =(,P |-=0,W =(,P |-=0,W =(,P |+=0W =(,P |+=0是是P P 的的两两个个子子空空间间，分分别别求求出出WWWW，WWWW的的维维数数和和一一个个基基。30).( ,)(),(,ATTBABABA 或或记作记作或映射或映射的变换的变换到集合到集合合合这个对应规则称为从集这个对应规则称为从集那么那么和它对应和它对应中一个确定的元素中一个确定的元素总有总有按照一定规则按照一定规则元素元素中的任一中的任一如果对于如果对于设有两个非空集合设有两个非空集合第七章线性变换31.,.,),()(),( ,)2();()()(),( ,)1(,21212121的对应的变换的对应的变换变换就是保持线性组合变换就是保持线性组合线性线性简言之简言之的线性变换的线性变换到到就称为从就称为从那么那么有有从而从而任给任给有有从而从而任给任给满足满足如果变换如果变换的变换的变换到到是一个从是一个从间间维线性空维线性空维和维和分别是实数域上的分别是实数域上的设设UVTkTkTVkRkVTTTVVTUVTmnUVmnnnnnmnmn 32.,线性变换线性变换中的中的称为线性空间称为线性空间到其自身的线性变换到其自身的线性变换间间是一个从线性空是一个从线性空那么那么如果如果特别地特别地VVTVUnnnm 33.,3 ;)( ,2 ;)(, 001 212122112211反之不然反之不然亦线性相关亦线性相关则则线性相关线性相关若若则则若若 mmmmmmTTTTkTkTkTkkkTTT 2线性变换的性质34 .,0, 05 .),()(4 的核的核称为线性变换称为线性变换的子空间的子空间也是也是的全体的全体的的使使的象空间的象空间称为线性变换称为线性变换的子空间的子空间是一个线性空间是一个线性空间的象集的象集线性变换线性变换TSVTVSTTVVTTTnnTnn 35.,)(,),(),( ,)()(,2121222211121121为单位坐标向量为单位坐标向量其中其中表示表示都可用关系式都可用关系式中任何线性变换中任何线性变换eeeaaaaaaaaaeTeTeTARxAxxTTRnnnnnnnnnn 3线性变换的矩阵表示36 ,)(,)(,)( )(,2211222211221221111121 nnnnnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaTTVVT为为用这个基线性表示用这个基线性表示下的象下的象如果这个基在变换如果这个基在变换一个基一个基中取定中取定在在中的线性变换中的线性变换是线性空间是线性空间设设4线性变换在给定基下的矩阵37., ,),(),( ),(,),(),(),(2121222211121121212121的矩阵的矩阵下下在给定基在给定基就称为线性变换就称为线性变换那么那么其中其中式可表示为式可表示为上上记记 nnnnnnnnnnnTAaaaaaaaaaAATTTTT 38.,.,一对应的一对应的线性变换与矩阵是一线性变换与矩阵是一在给定一个基的条件下在给定一个基的条件下个线性变换个线性变换也可唯一地确定一也可唯一地确定一由一个矩阵由一个矩阵确定一个矩阵确定一个矩阵可唯一地可唯一地由线性变换由线性变换中取定一个基后中取定一个基后在在TAATVn39.,121212121APPBBATVPVnnnnnn 那么那么和和的矩阵依次为的矩阵依次为在这两个基下在这两个基下中的线性变换中的线性变换的过渡矩阵为的过渡矩阵为到基到基由基由基与与中取定两个基中取定两个基在线性空间在线性空间 同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反之，相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不反之，相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不同基下的矩阵同基下的矩阵5线性变换在不同基下的矩阵40.,)(的秩的秩换换称为线性变称为线性变的维数的维数的象空间的象空间线性变换线性变换TVTTn).(,ARTTA的秩就是的秩就是则则的矩阵的矩阵是是若若.,rnSTrTT 的维数为的维数为的核的核则则的秩为的秩为若若411、线性变换的判定、线性变换的判定2、有关线性变换的证明、有关线性变换的证明3、线性变换在给定基下的矩阵、线性变换在给定基下的矩阵4、线性变换在不同基下的矩阵、线性变换在不同基下的矩阵典型例题典型例题42).,(,),(),(,)2(.,)(,)1(.3212332213213xxxVxxxxxxxRVVV 其中任意其中任意定义定义中中在在中一个固定的向量中一个固定的向量是是中任意向量中任意向量是是其中其中定义定义中中在线性空间在线性空间性变换性变换判断下列变换是否为线判断下列变换是否为线例6例6解解,)1(V 对任意的对任意的,)()( ,2)()( 1、线性变换的判定43,)( kk,)()( kkkk .,0;,0是线性变换是线性变换时时当当不是线性变换不是线性变换时时当当 ,),(),()2(3321321Ryyyxxx 设任意设任意),(332211yxyxyx )(,)( ()(3323322112yxyxyxyx 44),2,2(3233323322121112yyxxyxyxyyxx ),(),( )()( 323212323212yyyyxxxx 而而),(323233221212yxyxyxyx ).()()( 所以所以.不是线性变换不是线性变换故故 45);()()(,)2(;)1(.,)(:,YXYXXYVYXVXXAAXXVdcbaAR 恒有恒有证明对任意证明对任意是一个线性变换是一个线性变换证明证明中任意向量中任意向量是是其中其中中定义一个变换中定义一个变换在在取固定实数矩阵取固定实数矩阵上的线性空间上的线性空间数域数域全体二阶实矩阵构成实全体二阶实矩阵构成实例7例72、有关线性变换的证明46.,1000,0100,0010,0001)3(4321在该基下的矩阵在该基下的矩阵写出写出中取一组基中取一组基在在 EEEEV解解,)1(RkVYX 对任意对任意AYXYXAYX)()()( YAXAAYAX )()(YAAYXAAX )()(YX 47AkXkXAkX)()()( )(XAAXk ).(Xk .上的一个线性变换上的一个线性变换是是故故V AXYXYAXY)()()()2( )()()()(YAXAYXYXAYAX )()(YAAYXYXAAX ).()(YXYX dcbadcbaE00010001)()3(1 48,00 cbEcEbE321)( 即即,)( ,)()( ,)()( 32443134212EcEbEEbEadEbEEcEdaEcE 同理可得同理可得49 000000),(),(43214321bccadcbdabbcEEEEEEEE 所以所以 000000,4321bccadcbdabbcBEEEE下的矩阵为下的矩阵为在基在基即即 50.,),2 , 1 , 0()(),1 , 0 , 0()(),1, 0 , 2()( ,)5 , 2 , 1(,)2 , 1 , 0(,)2, 0 , 1( ,3213213213下的矩阵下的矩阵在基在基求求使得使得线性变换线性变换取基取基中中在线性空间在线性空间 TTTR例8例8解解.,)3 , 2 , 1)(321可引入一组新基可引入一组新基为了简化运算为了简化运算当麻烦当麻烦线性表示出的表达式相线性表示出的表达式相被被如果按定义直接写出如果按定义直接写出 ii3、线性变换在给定基下的矩阵51则则的另一组基的另一组基取取,)1 , 0 , 0(,)0 , 1 , 0(,)0 , 0 , 1(3213TTTR A),(522210101),(),(321321321 ,),(),(1321321A 于是于是,),(211100002),(),(321321321B 而而52,),(),(1321321BA 故故 21110000252221010111BA.0151210013 53.,),2 , 1 , 0()(),1 , 0 , 0()(),1, 0 , 2()(: )2 , 1 , 0( )1 , 0 , 1()0 , 1 , 1( )5 , 2 , 1( )2 , 1 , 0()2, 0 , 1(3213213213213下的矩阵下的矩阵在基在基求求定义线性变换定义线性变换中取两组基中取两组基在在 TTTTTTR例9例94、线性变换在不同基下的矩阵54解解)1 , 0 , 0(,)0 , 1 , 0(,)0 , 0 , 1( 3213TTTR 的另一组基的另一组基取取A),( 521210101),(),( 321321321 则则.),(),(1321321A 所以所以 211100002),(),( 321321 又又55,),(321B 210101011),(),(321321 ,),(321C C1321321),(),( 所以所以C),(),(321321 CA1321),( 56CAB1321),( ,),(11321CABC ,11321CABC 下的矩阵为下的矩阵为在基在基于是线性变换于是线性变换 2101010115222101012111000022101010111111CABC57.112124122 58第六、七章测试题一、一、 填空题填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共2424分分) )组基为组基为已知三维向量空间的一已知三维向量空间的一. 3 .1 , 1 , 0,1 , 0 , 1,0 , 1 , 1321TTT 则向量则向量 在这组基下的坐标为在这组基下的坐标为 0 , 0 , 24T 的的的象空间的象空间线性变换线性变换nVTT. 2称为线性称为线性.的秩的秩变换变换T称为称为定义了线性运算的集合定义了线性运算的集合 ,. 159下的矩阵为下的矩阵为在基在基线性变换线性变换21,. 4 T,22211211 aaaa下的矩阵是下的矩阵是在基在基则则12, T同构是指同构是指线性空间线性空间VU,. 5的线性变换的线性变换已知已知3. 6R cbacbcbacbaT2,2, 基为基为的维数为的维数为则则,TV60加加法法和和数数乘乘定定义义为为全全体体正正实实数数的的集集合合,. 1 R;,)1(RkRbaaakabbak ;,)2(RkRbaaakbabak ?为什么为什么上的线性空间上的线性空间是否构成是否构成问问RR 二、二、 解答题解答题( (每小题每小题8 8分，共分，共1616分分) )?. 232为为什什么么空空间间的的下下列列子子集集是是否否构构成成子子 R;,001)1(1 RdcbdcbW61在在基基的的元元素素求求分分、四四 3210)(7 22AR.0111,1011,1101,1110 4321下的坐标下的坐标 GGGG., 0000)2(2 RcbacbacbaW .32,1,)7( 23233在在这这个个基基下下的的坐坐标标并并求求多多项项式式一一个个基基的的是是证证明明分分、三三 xxxPxxxxxx62五、下列变换是否线性变换？为什么？五、下列变换是否线性变换？为什么？( (每小题每小题5 5分，共分，共1010分分) ) ;,2 ,. 13acbacbaTR 中中在在 .,. 2 nnnnRXXNMXXTRNM 中取定矩阵中取定矩阵是是设设中取两个基中取两个基在在分分六、六、4)10( R ,1 , 0 , 0 , 00 , 1 , 0 , 00 , 0 , 1 , 00 , 0 , 0 , 14321TTTTeeee TTTT3 , 1 , 6 , 61 , 2 , 3 , 50 , 1 , 3 , 01 , 1, 1 , 24321 631 1求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；2 2求向量求向量 在后一个基下的坐标；在后一个基下的坐标； 4321,xxxx3 3求在两个基下有相同坐标的向量求在两个基下有相同坐标的向量的线性变换的线性变换已知已知分分、七七4)6( R 0 , 0 ,433 ,3,dcbadcbadcbaT 求求 的值域与核的维数和基的值域与核的维数和基T64.)6( 33的的基基与与维维数数的的线线性性空空间间求求三三阶阶实实对对称称矩矩阵阵构构成成分分九九、 SR 324202423A求求 的特征值与特征向量的特征值与特征向量 矩矩阵阵为为下下的的在在基基的的线线性性变变换换已已知知分分八八、22, 1)7( xxTxPT65一个基一个基,3221xxxeaxeaexa 求微分运算求微分运算 在这个基下的矩阵在这个基下的矩阵 RaaaeaxaxaVx 01201223, 对于函数的线性运算构成对于函数的线性运算构成3 3维线性空间，在维线性空间，在 中取中取3V函数集合函数集合分分十、十、)7( D