高考数学专题精讲 (15).doc

第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线考情研析 1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质，特别是椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).核心知识回顾1.圆锥曲线的定义式(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a0，b>0)的渐近线方程为y± x；焦点坐标 F1x2a2y2b203ba(c,0)，F2(c,0)；0405双曲线1(a>0，b>0)的渐近线方程为y± x，焦点坐标 F1y2a2x2b206ab(0，c)，F2(0，c)0708(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线 y2±2px(p>0)的焦点坐标为，准线方程为x ；09(±p2，0)10p2抛物线 x2±2py(p>0)的焦点坐标为，准线方程为y .11(0， ±p2)12p23弦长问题(1)弦长公式设直线斜率为 k，直线与圆锥曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|x1x2|1k2或1k2 x1x224x1x2|AB|y1y2|1(1k)2.1(1k)2y1y224y1y2(2)过抛物线焦点的弦长过抛物线 y22px(p>0)焦点 F 的弦 AB，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.p2401热点考向探究考向 1 圆锥曲线的定义和标准方程例 1 (1)(2019·永州市高三第三次模拟)过双曲线 C：1(a>0，b>0)x2a2y2b2左焦点 F 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点，且3，若 OMFN，则 C 的离FNFM心率为( )A2 B. C3 D.710答案 B解析 设双曲线的右焦点为 F，取 MN 的中点 P，连接FP，FM，FN，如图所示，由3，可知|MF|MP|NP|.又 O 为FNFMFF的中点，可知 OMPF.OMFN，PFFN.PF为线段 MN 的垂直平分线|NF|MF|.设|MF|t，由双曲线定义可知|NF|3t2a，|MF|2at，则3t2a2at，解得 t2a.在 RtMFP 中，|PF|MF|2|MP|22a，|OM| |PF|a.16a24a23123在 RtMFO 中，|MF|2|OM|2|OF|2，4a23a2c2e.故选 B.7(2)如图，过抛物线 y22px(p>0)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为( )Ay2 x32By23xCy2 x92Dy29x答案 B解析 如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设准线与 x 轴的交点为 G，|BF|a，则由已知得|BC|2a，由定义得|BD|a，故BCD30°.在直角三角形 ACE 中，|AE|AF|3，|AC|33a,2|AE|AC|，33a6，从而得 a1.BDFG， ，求得 p ，因此抛物线的方程为 y23x.1p2332(3)已知 F 是椭圆 E：1(a>b>0)的左焦点，经过原点 O 的直线 l 与x2a2y2b2椭圆 E 交于 P，Q 两点，若|PF|2|QF|，且PFQ120°，则椭圆 E 的离心率为( )A. B. C. D.13123322答案 C解析 解法一：设 F1是椭圆 E 的右焦点，如图，连接 PF1，QF1.根据对称性，线段 FF1与线段 PQ 在点 O 处互相平分，所以四边形 PFQF1是平行四边形，|FQ|PF1|，FPF1180°PFQ60°，根据椭圆的定义，|PF|PF1|2a，又|PF|2|QF|，所以|PF1| a，|PF| a，而|F1F|2c，在2343F1PF 中，由余弦定理，得(2c)2222× a× a×cos60°，得 ，(23a)(43a)2343c2a213所以椭圆 E 的离心率 e .故选 C.ca33解法二：设 F1是椭圆 E 的右焦点，连接 PF1，QF1.根据对称性，线段 FF1与线段 PQ 在点 O 处互相平分，所以四边形 PFQF1是平行四边形，|FQ|PF1|，FPF1180°PFQ60°，又|FP|2|PF1|，所以FPF1是直角三角形，FF1P90°，不妨设|PF1|1，则|FP|2，|FF1|2c，根据椭圆的定义，|PF|2|PF1|2221232a|PF|PF1|123，所以椭圆 E 的离心率 e .故选 C.ca33圆锥曲线的定义、标准方程的关注点(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定(3)焦点三角形的作用：借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组，便于解决问题(4)圆锥曲线基本问题的考查的另一个重点是定义的应用，根据圆锥曲线的定义分析判断一些问题，在椭圆、双曲线中如果已知曲线上一点与一个焦点的连线，则要把另一个焦点也考虑进去1(2019·江西省八所重点中学高三联考)已知曲线 C1是以原点 O 为中心，F1，F2为焦点的椭圆，曲线 C2是以 O 为顶点、F2为焦点的抛物线，A 是曲线C1与 C2的交点，且AF2F1为钝角，若|AF1| ，|AF2| ，则AF1F2的面积7252是( )A.B2 3C.D46答案 C解析 画出图形如图所示，ADF1D，根据抛物线的定义可知|AF2|AD| ，52故 cosF1AD ，57也即 cosAF1F2 ，在AF1F2中，由余弦定理得 ，5757494|F1F2|22542 ×72× |F1F2|解得|F1F2|2 或|F1F2|3，由于AF2F1为钝角，故|AD|>|F1F2|，所以|F1F2|3舍去，故|F1F2|2.而 sinAF1F2，所以 SAF1F2 × ×2×1(57)22 671272.故选 C.2 6762(2019·宣城市高三第二次调研)已知 F1，F2分别为椭圆1(a>b>0)x2a2y2b2的左、右焦点，点 P 是椭圆上位于第二象限内的点，延长 PF1交椭圆于点 Q，若 PF2PQ，且|PF2|PQ|，则椭圆的离心率为( )A. B.1 C.D2632322答案 A解析 PF2PQ 且|PF2|PQ|，可得PQF2为等腰直角三角形，设|PF2|t，则|QF2|t，由椭圆的定义可得|PF1|2at,2tt4a，则 t222a，在直角三角形 PF1F2中，可得 t2(2at)24c2,4(64)a2(128(2 2)2)a24c2，化为 c2(96)a2，可得 e .故选 A.22ca633P 是双曲线 C：y21 右支上一点，直线 l 是双曲线 C 的一条渐近x22线，P 在 l 上的射影为 Q，F1是双曲线 C 的左焦点，则|PF1|PQ|的最小值为( )A1B2155C4D211552答案 D解析 如图所示，设双曲线右焦点为 F2，则|PF1|PQ|2a|PF2|PQ|，即当|PQ|PF2|最小时，|PF1|PQ|取最小值，由图知当 F2，P，Q 三点共线时|PQ|PF2|取得最小值，即 F2到直线 l 的距离 d1，故所求最值为2a121.故选 D.2考向 2 圆锥曲线的几何性质例 2 (1)(2019·宣城市高三第二次调研)已知双曲线C：1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原点，P 是双x2a2y2b2曲线在第一象限上的点，直线 PO 交双曲线 C 左支于点 M，直线 PF2交双曲线C 右支于点 N，若|PF1|2|PF2|，且MF2N60°，则双曲线 C 的渐近线方程为( )Ay±xBy±x222Cy±2xDy±2x2答案 A解析 由题意得，|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a，|PF1|4a，|PF2|2a，由于 P，M 关于原点对称，F1，F2关于原点对称，线段 PM，F1F2互相平分，四边形 PF1MF2为平行四边形，PF1MF2，MF2N60°，F1PF260°，由余弦定理可得4c216a24a22·4a·2a·cos60°，ca，3ba.c2a22 ，双曲线 C 的渐近线方程为 y±x.故选 A.ba22(2)已知 F1，F2为双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，以 F1F2为直x2a2y2b2径的圆与双曲线右支的一个交点为 P，PF1与双曲线相交于点 Q，且|PQ|2|QF1|，则该双曲线的离心率为( )A.B2 5C. D.352答案 A解析 设|QF1|x，则|PF1|3x，|PQ|2x，由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a，|QF2|QF1|2a，所以|PF2|3x2a，|QF2|x2a，在RtQPF2中，|QP|2|PF2|2|QF2|2，即(2x)2(3x2a)2(2ax)2，可得 x a.43在 RtPF1F2中，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即(3x)2(3x2a)2(2c)2，整理可得 c25a2，所以 e .故选 A.ca51椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求解方法解决此类问题的关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等式，再根据a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零，分解因式可得(2)用法：可得 或 的值baab利用渐近线方程设所求双曲线的方程利用渐近线的斜率 k 求离心率 e，双曲线1(a>0，b>0)渐近线的x2a2y2b2斜率 k 与离心率 e 之间满足关系式 e21k2.1设 F1，F2分别是椭圆 C：1(a>b>0)的左、右焦点，过 F1的直x2a2y2b2线 l 交椭圆于 A，B 两点，l 在 y 轴上的截距为 1，若|AF1|2|F1B|，且 AF2x轴，则此椭圆的短轴的长为( )A5B2 5C10 D.5答案 B解析 AF2x 轴，l 在 y 轴上的截距为 1，A(c,2)，又|AF1|2|F1B|，B(2c，1)，则Error!3，即 b25，b，故选 B.16b21b252(2019·毛坦厂中学高三联考)已知 F 是双曲线 C：1(a>0，b>0)x2a2y2b2的左焦点，过点 F 作垂直于 x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点 M，若|FM|2a，记该双曲线的离心率为 e，则 e2( )A. B. C. D.1 1721 1742 522 54答案 A解析 由题意得，F(c,0)，该双曲线的一条渐近线为 y x，将 xcba代入 y x 得 y，2a，即 bc2a2，4a4b2c2c2(c2a2)，babcabcae4e240，解得 e2，故选 A.1 172考向 3 直线与圆锥曲线角度 1 弦中点、弦分点问题例 3 (1)已知椭圆 E：1，直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若 AB 的中x29y24点坐标为，则 l 的方程为( )(12，1)A2x9y100B2x9y100C2x9y100D2x9y100答案 D解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式作差并化x2 19y2 14x2 29y2 24简整理得 ×，而 x1x21，y1y22，所以y2y1x2x149x1x2y1y2 × ，直线 l 的方程为 y1，即 2x9y100.y2y1x2x149x1x2y1y22929(x12)经验证可知符合题意故选 D.(2)已知双曲线 C：1(a>0，b>0)，若存在过右焦点 F 的直线与双曲x2a2y2b2线 C 相交于 A，B 两点，且3，则双曲线 C 的离心率的最小值为AFBF_答案 2解析 因为过右焦点 F 的直线与双曲线 C 交于 A，B 两点，且3，AFBF故点 A 在双曲线的左支上，B 在双曲线的右支上，如图所示设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点 F(c,0)，因为3，所以 cx13(cx2)，即AFBF3x2x12c，由图可知，x1a，x2a，所以x1a,3x23a，故3x2x14a，即 2c4a，故 e2，所以双曲线 C 的离心率的最小值为 2.(1)弦中点问题：在涉及圆锥曲线弦中点的问题中，基本的处理方法有两个：一是设出弦的端点坐标，使用“点差法” ；二是设出弦所在的直线方程，利用直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程，根据根与系数的关系建立弦的端点坐标与中点坐标间的关系后解决问题(2)弦分点问题：解决与弦分点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为弦端点及弦分点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解1已知双曲线 C：1(a>0，b>0)，过点 P(3,6)的直线 l 与 C 相交于x2a2y2b2A，B 两点，且 AB 的中点为 N(12,15)，则双曲线 C 的离心率为( )A2 B. C. D.323 5552答案 B解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 AB 的中点为 N(12,15)，则 x1x224，y1y230，由Error!两式相减得，x1x2x1x2a2y1y2y1y2b2则，由直线 AB 的斜率 k1，所以y1y2x1x2b2x1x2a2y1y24b25a21561231，则 ，双曲线的离心率 e ，所以双曲线 C 的离心4b25a2b2a254ca1b2a232率为 .故选 B.322(2019·汉中市重点中学高三联考)已知抛物线 C：y26x，直线 l 过点P(2,2)，且与抛物线 C 交于 M，N 两点，若线段 MN 的中点恰好为点 P，则直线l 的斜率为( )A. B. C. D.13543214答案 C解析 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)代入 C：y26x，得Error!得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)因为线段 MN 的中点恰好为点 P，所以Error!从而 4(y1y2)6(x1x2)，即 l 的斜率为 .故选 C.y1y2x1x232角度 2 弦长问题例 4 (2019·宜宾市高三第二次诊断)已知点 M 到定点 F(4,0)的距离和它到直线 l：x的距离的比是常数 .25445(1)求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)若直线 l：ykxm 与圆 x2y29 相切，切点 N 在第四象限，直线与曲线 C 交于 A，B 两点，求证：FAB 的周长为定值解 (1)设 M(x，y)，由题意得 ，x42y2|x254|451 为点 M 的轨迹 C 的方程x225y29(2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题知 k>0，m0，x1x2，x1x2，50km25k2925m222525k29|AB| |x1x2|k21 k21(50km25k29)24 ×25m222525k29，120k k2125k29|FA|FB|5 x15 x210 (x1x2)101045454540km25k29，120k k2125k29 |FA|FB|AB|10，FAB 的周长为定值 10.有关圆锥曲线弦长问题的求解方法(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解(2)弦长计算公式：直线 AB 与圆锥曲线有两个交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|·，其中 k 为弦 AB 所在直线的斜率1k2x1x224x1x2(2019·云南省高三第一次统一检测)已知椭圆 E 的中心在原点，左焦点 F1、右焦点 F2都在 x 轴上，点 M 是椭圆 E 上的动点，F1MF2的面积的最大值为，在 x 轴上方使·2 成立的点 M 只有一个3MF1MF2(1)求椭圆 E 的方程；(2)过点(1,0)的两直线 l1，l2分别与椭圆 E 交于点 A，B 和点 C，D，且l1l2，比较 12(|AB|CD|)与 7|AB|CD|的大小解 (1)根据已知设椭圆 E 的方程为1(a>b>0)，c.x2a2y2b2a2b2在 x 轴上方使·2 成立的点 M 只有一个，MF1MF2在 x 轴上方使·2 成立的点 M 是椭圆 E 的短轴的端点MF1MF2当点 M 是短轴的端点时，由已知得Error!解得Error!椭圆 E 的方程为1.x24y23(2)12(|AB|CD|)7|AB|CD|.若直线 AB 的斜率为 0 或不存在时，|AB|2a4 且|CD|3 或2b2a|CD|2a4 且|AB|3.2b2a由 12(|AB|CD|)12×(34)84，7|AB|CD|7×3×484，得 12(|AB|CD|)7|AB|CD|.若 AB 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AB：yk(x1)(k0)，由Error!得(4k23)x28k2x4k2120，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，x1x2，8k24k234k2124k23于是|AB|x2x1|1k21k2x1x224x1x2.12k214k23同理可得|CD|.12(1k)214(1k)2312k213k24.1|AB|1|CD|3k244k2312k2171212(|AB|CD|)7|AB|CD|.综上，12(|AB|CD|)7|AB|CD|.真题押题真题模拟1(2019·天津高考)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l.若 l 与双曲线1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点 A 和点 B，且|AB|4|OF|(O 为原x2a2y2b2点)，则双曲线的离心率为( )A. B. C2 D.235答案 D解析 由已知易得，抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，准线 l：x1，所以|OF|1.又双曲线的两条渐近线的方程为 y± x，不妨设点 A，Bba(1，ba)，所以|AB|4|OF|4，所以 2，即 b2a，所以 b24a2.又双(1，ba)2baba曲线方程中 c2a2b2，所以 c25a2，所以 e .故选 D.ca52(2019·全国卷)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)，F2(1，0)，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为( )A.y21 B.1x22x23y22C.1 D.1x24y23x25y24答案 B解析 设椭圆的标准方程为1(a>b>0)由椭圆的定义可得x2a2y2b2|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF2|2|F2B|，|AB|BF1| |AF2|，32|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF1|AF2|a，点 A 是椭圆的短轴端点，如图不妨设 A(0，b)，由 F2(1,0)，2，得 B.由点 B 在椭圆上，得1，得AF2F2B(32，b2)94a2b24b2a23，b2a2c22.椭圆 C 的方程为1.故选 B.x23y223(2019·全国卷)若抛物线 y22px(p>0)的焦点是椭圆1 的一个x23py2p焦点，则 p( )A2B3 C4D8答案 D解析 抛物线 y22px(p>0)的焦点坐标为，椭圆1 的焦点坐(p2，0)x23py2p标为.由题意得 ，解得 p0(舍去)或 p8.故选 D.(± 2p，0)p22p4(2019·凯里市第一中学高三下学期模拟)已知 F 是椭圆1(a>b>0)x2a2y2b2的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，若 F 为过 AF 的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.13331232答案 B解析 延长 AF 交椭圆于点 B，设椭圆左焦点为 F，连接 AF，BF.根据题意|AF|a，|AF|2|FB|，所以|FB| .b2c2a2根据椭圆定义|BF|BF|2a，所以|BF|.3a2在AFF中，由余弦定理得cosFAF.|FA|2|FA|2|FF|22|FA|·|FA|2a24c22a2在AFB 中，由余弦定理得cosFAB ，|FA|2|AB|2|BF|22|FA|·|AB|13所以 ，解得 ac，所以椭圆离心率为 e .故选 B.2a24c22a2133ca335(2019·全国卷)双曲线 C：1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条x24y22渐近线上，O 为坐标原点，若|PO|PF|，则PFO 的面积为( )A. B. 3 243 22C2D322答案 A解析 双曲线1 的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为 yx24y226x，不妨设点 P 在第一象限，由于|PO|PF|，则点 P 的横坐标为，纵坐标2262为×，即PFO 的底边长为，高为，所以它的面积为226232632××.故选 A.126323 24金版押题6已知点 F 为椭圆 C：y21 的左焦点，点 P 为椭圆 C 上任意一点，x22点 Q 的坐标为(4,3)，则|PQ|PF|取最大值时，点 P 的坐标为_答案 (0，1)解析 设椭圆的右焦点为 E，|PQ|PF|PQ|2a|PE|PQ|PE|2.当2P 为线段 QE 的延长线与椭圆的交点时，|PQ|PF|取最大值，此时，直线 PQ的方程为 yx1，QE 的延长线与椭圆交于点(0，1)，即点 P 的坐标为(0，1)7已知双曲线 C：1(a>0，b>0)的右焦点为 F，过点 F 向双曲线x2a2y2b2的一条渐近线引垂线，垂足为 M，交另一条渐近线于 N，若 2，则双曲MFFN线的离心率为_答案 2 33解析 设右焦点 F(c,0)，渐近线 OM，ON 的方程分别为 y x，y x.不baba失一般性，设过 F 的垂线为 x yc.ba由Error!得 yN.由Error!bca1b2a2得 yM.因为 2M，所以2yMyN，bca1b2a2FFN即，易解得 ，2bca1b2a2bca1b2a2b2a213所以 e .1b2a21132 33配套作业一、选择题1(2019·抚顺市高三第一次模拟)已知双曲线 C：y21(a>0)的右顶x2a21点为 A，O 为坐标原点，若|OA|0)中，右顶点为 A(，0)，x2a21a21|OA|> ，c2a211a22，c，e 1a2114a22a22a21，a22a2111a21b>0)的左、右焦点为 F1，F2，若在椭圆上存在一点 P，使得x2a2y2b2PF1F2的内心 I 与重心 G 满足 IGF1F2，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.22231312答案 D解析 设 P(x0，y0)，又 F1(c,0)，F2(c,0)，则PF1F2的重心 G.因(x03，y03)为 IGF1F2，所以PF1F2的内心 I 的纵坐标为.即PF1F2的内切圆半径为y03.由PF1F2的面积 S (|PF1|PF2|F1F2|)r，S |F1F2|y0|及椭圆定义|y0|31212|PF1|PF2|2a，得 (2a2c) ×2c|y0|，解得 e .故选 D.12|y0|312125过双曲线1(b>0)的左焦点的直线交双曲线的左支于 A，B 两点，x24y2b2且|AB|6，这样的直线可以作 2 条，则 b 的取值范围是( )A(0,2B(0,2) C(0，D(0，)66答案 D解析 因为双曲线过焦点的弦中与轴垂直的弦是最短的弦，且过一个焦点只能作一条，所以过左焦点的直线与双曲线的左支交于 A，B 两点，|AB|6，且可作两条，则要求0，故 b 的取值范围为(0，)，2b2a6故选 D.6已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点，若AOB 的面积为 2，则|AB|( )6A24B8 C12D16答案 A解析 由题意可知斜率 k 存在，设直线斜率为 k，即 yk(x1)，与 y24x联立，得 k2x2(2k24)xk20，x1x2，x1x21.O 到 AB 的距离2k24k2d，|AB|x1x2p，2 ··，k2 ，|k|1k24k24k2612|k|1k24k24k215AB|24.故选 A.454157已知双曲线y21 的右焦点是抛物线 y22px(p>0)的焦点，直线x23ykxm 与抛物线相交于 A，B 两个不同的点，点 M(2,2)是 AB 的中点，则AOB(O 为坐标原点)的面积是( )A4B3 313C.D2143答案 D解析 双曲线右焦点为(2,0)，抛物线焦点为(2,0)，y28x，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Error!得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)， 2.y1y2x1x28y1y284直线 AB 斜率为 2，又过点 M(2,2)，直线 AB 方程为 y2x2.将直线 AB 方程与 y28x 联立得x24x10，x1x24，x1x21，|AB|·k21x1x224x1x25×2.又O 到 AB 的距离 d.SAOB ×2×216415252 5512152 55.故选 D.38(2019·南开中学高三第三次教学质量检测)如图，抛物线 C1：y24x，圆C2：(x1)2y21，过 C1的焦点 F 的直线从上至下依次交 C1，C2于点A，B，C，D.若|FD|AB|，O 为坐标原点，则·( )OFDAA2B1 C4D23答案 B解析 由题可设 A(a2,2a)，D(d2,2d)，其中 a>0，d0.又焦点 F(1,0)，所以|FD|1d2，|FA|1a2，所以|AB|FA|FB|a2，由题得 1d2a2，所以a2d21.所以·(1,0)·(a2d2,2a2d)a2d21，所以·1.故选OFDAOFDAB.二、填空题9(2019·长沙市长郡中学高三上学期第一次适应性考试)已知抛物线E：x22py(p>0)的焦点为 F，其准线与 y 轴交于点 D，过点 F 作直线交抛物线E 于 A，B 两点，若 ABAD 且|BF|AF|4，则 p 的值为_答案 2解析 当 k 不存在时，直线与抛物线不会交于两点当 k 存在时(如图)，设直线 AB 的方程为 ykx ，p2A(x1，y1)，B(x2，y2)，D.(0，p2)则有 x 2py1，x 2py2，2 12 2联立直线与抛物线方程得Error!整理得 x22pkxp20，所以 x1x2p2，x1x22pk，所以 y1y2，(kx1p2)(kx2p2)p24，AF(x1，p2y1)AD(x1，p2y1)又 ABAD，所以x1(x1)0，(p2y1)(p2y1)整理得 x y ，即 2py1y ，2 12 1p242 1p24解得 y1p.522因为 y1y2，所以 y2p，p24522又|AF|y1 ，|BF|y2 ，p2p2代入|BF|AF|4 得，y2 y1 4.解得 p2.p2p210已知椭圆1 上的两点 A，B 关于直线 2x2y30 对称，则x216y24弦 AB 的中点坐标为_答案 (2，12)解析 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦 AB 的中点 M(x0，y0)，由题意得Error!两式相减得0，因为点 A，B 关于直线2x0x1x2162y0y1y242x2y30 对称，所以 kAB1，故0，即 x04y0.又点y1y2x1x2x08y02M(x0，y0)在直线 2x2y30 上，所以 x02，y0 ，即弦 AB 的中点坐标为12.(2，12)三、解答题11(2019·甘肃省高三第一次高考诊断)已知椭圆 C：1(a>b>0)的x2a2y2b2离心率为，且经过点 M.32(3，12)(1)求椭圆 C 的方程；(2)与 x 轴不垂直的直线 l 经过 N(0，)，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，若2坐标原点 O 在以 AB 为直径的圆内，求直线 l 斜率的取值范围解 (1)由题意可得Error!解得 a2，b1，椭圆 C 的方程为y21.x24(2)设直线 l 的方程为 ykx，代入椭圆方程y21 整理可得(14k2)2x24x28kx40，2(8k)216(14k2)>0，解得 k> 或 k.414k22(8 2k14k2)6262故直线 l 斜率的取值范围为.(，62) (62，)12(2019·湖州三校普通高等学校招生全国统一模拟考试)如图，已知抛物线 L：y22px(p>0)的焦点为 F，过点 M(5,0)的动直线 l 与抛物线 L 交于 A，B两点，直线 AF 交抛物线 L 于另一点 C，|AC|的最小值为 4.(1)求抛物线 L 的方程；(2)记ABC，AFM 的面积分别为 S1，S2，求 S1·S2的最小值解 (1)由已知及抛物线的几何性质可得|AC|min2p4，p2，抛物线 L 的方程为 y24x.(2)如图，设直线 AB：xty5，直线 AC：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由Error!整理得 y24ty200，y1y24t，y1y220，同理可得 y1y34，从而 C，(4y2 1，4y1)点 C 到 AB 的距离d，|4y2 14ty15|1t211t2|16y2 14|AB|y1y2|，1t21t2|y120y1|S1 ··1211t2|16y2 14|1t2|y120y1|2··(y 20)|4y2 11| |y120y1|2|y1|(4y2 11)2 1又 S2 ×4×|y1|2|y1|，12S1·S24(y 20)44×(824)9632.(4y2 11)2 1(y2 180y2 124)55当且仅当 y 4，即 A(，±2)时，S1·S2有最小值 9632.2 15545513(2019·河南省顶级名校高三联合质量测评)已知椭圆O：1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆 O 上运动，若x2a2y2b2PAB 面积的最大值为 2，椭圆 O 的离心率为 .312(1)求椭圆 O 的标准方程；(2)过 B 点作圆 E：x2(y2)2r2(00)上在第一象限内的点 H(1，t)到焦点 F 的距离为 2.(1)若 M，过点 M，H 的直线与该抛物线相交于另一点 N，求|NF|的(14，0)值；(2)设 A，B 是抛物线 E 上分别位于 x 轴两侧的两个动点，且· (其OAOB94中 O 为坐标原点)求证：直线 AB 必过定点，并求出该定点 Q 的坐标；过点 Q 作 AB 的垂线与该抛物线交于 G，D 两点，求四边形 AGBD 面积的最小值解 (1)点 H(1，t)在抛物线 E 上，1 2，解得 p2，p2故抛物线 E 的方程为 y24x，所以当 x1 时，t2 或 t2(舍去)，直线 MH 的方程为 y x ，联立 y24x 可得，8525xN，|NF|xN 1.116p21161716(2)证明：设直线 AB：xmyt，A，B，联立抛物线方程(y2 14，y1)(y2 24，y2)可得 y24my4t0，y1y24m，y1y24t，由· 得，y1y2 ，解得 y1y218 或 y1y22(舍去)，即OAOB94y1y2216944t18，可得 t ，92所以直线 AB 过定点 Q.(92，0)由得|AB|y2y1|·1m21m216m272同理得，|GD| |y4y3|·.1(1m)211m27216m2则四边形 AGBD 的面积 S |AB|·|GD|12 ···12 1m216m27211m27216m24 .2(m21m2)·8518(m21m2)令 m2(2)，则 S4是关于 在 2，)1m2182121170上的增函数，故当 2 时，Smin88.当且仅当 m±1 时取到最小值 88.