高考数学专题精讲 (2).doc

第 2 讲 新定义型、创新型、应用型试题突破考情研析 本讲内容主要考查学生的阅读理解能力，信息迁移能力，数学探究能力以及创造性解决问题的能力高考中一般会以选择题的形式出现，分值 5 分，题目新而不难，备考时要高度重视核心知识回顾1.新定义型问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解对于此类题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题” ，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝2创新型问题创新型试题在命题的立意，背景的取材，情境的设置，设问的方式等方面新颖灵活，解题时要注意进行文字阅读训练，培养从冗长的或不熟悉的问题情境中获取重要信息的能力，加强数学语言符号语言图形语言相互转换的能力训练，善于把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来加以解决3实际应用型问题将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决)热点考向探究考向 1 新定义型问题例 1 (1)(2019·北京市顺义区高三第二次统练)已知集合 M(x，y)|yf(x)，若对于(x1，y1)M，(x2，y2)M，使得 x1x2y1y20 成立，则称集合 M 是“互垂点集” 给出下列四个集合：M1(x，y)|yx21；M2(x，y)|yln x；M3(x，y)|yex；M4(x，y)|ysinx1其中是“互垂点集”集合的为( )AM1 BM2 CM3 DM4答案 D解析 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲线上的两点，对于集合 M1，当 x10时，y11，x1x2y1y2y2x 10 不成立，所以集合 M1不是“互垂点集”2 2对于集合 M2，x>0，当 x11 时，y10，x1x2y1y2x20 不成立，所以集合 M2不是“互垂点集” 对于集合 M3，当 x10 时，y11，x1x2y1y2y2ex20 不成立，所以集合 M3不是“互垂点集” 排除A，B，C.故选 D.(2)若函数 yf(x)的图象上存在两个点 A，B 关于原点对称，则称点对A，B为yf(x)的“友情点对” ，点对A，B与B，A可看作同一个“友情点对” ，若函数f(x)Error!恰好由两个“友情点对” ，则实数 a 的值为( )A2 B2 C1 D0答案 B解析 首先注意到(0，a)没有对称点，当 x>0 时，f(x)x36x29xa，则f(x)x36x29xa，即x36x29xa2(x3，故选 B.(14)11003(2019·上海市嘉定(长宁)区高三二模)对于ABC，若存在A1B1C1，满足1，则称ABC 为“V 类三角形” “V 类三角形”一定cosAsinA1cosBsinB1cosCsinC1满足( )A有一个内角为 30° B有一个内角为 45°C有一个内角为 60° D有一个内角为 75°答案 B解析 由对称性，不妨设 A1和 B1为锐角，则 A1 A，B1 B，所以22A1B1(AB)C，于是 cosCsinC1sin(A1B1)sinC，即 tanC1，解得 C45°，故选 B.4(2019·北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2y21|x|y 就是其中之一(如图)给出下列三个结论：曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过；2曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3.其中，所有正确结论的序号是( )A B C D答案 C解析 由 x2y21|x|y，当 x0 时，y±1；当 y0 时，x±1；当y1 时，x0，±1.故曲线 C 恰好经过 6 个整点：A(0,1)，B(0，1)，C(1,0)，D(1,1)，E(1,0)，F(1,1)，所以正确由基本不等式，当 y>0 时，x2y21|x|y1|xy|1，所以 x2y22，所以，故x2y22x2y22正确如图，由知长方形 CDFE 面积为 2，三角形 BCE 面积为 1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于 3，故错误故选 C.5(2019·江苏高考)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M­数列” (1)已知等比数列an(nN*)满足：a2a4a5，a34a24a10，求证：数列an为“M­数列” ；(2)已知数列bn(nN*)满足：b11，其中 Sn为数列bn1Sn2bn2bn1的前 n 项和求数列bn的通项公式；设 m 为正整数若存在“M­数列”cn(nN*)，对任意正整数 k，当km 时，都有 ckbkck1成立，求 m 的最大值解 (1)证明：设等比数列an的公比为 q，所以 a10，q0.由Error!得Error!解得Error!因此数列an为“M­数列” (2)因为，所以 bn0.1Sn2bn2bn1由 b11，S1b1，得 ，则 b22.11212b2由，得 Sn.1Sn2bn2bn1bnbn12bn1bn当 n2 时，由 bnSnSn1，得bn，bnbn12bn1bnbn1bn2bnbn1整理得 bn1bn12bn.所以数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列因此，数列bn的通项公式为 bnn(nN*)由知，bkk，kN*.因为数列cn为“M­数列” ，设公比为 q，所以 c11，q>0.因为 ckbkck1，所以 qk1kqk，其中 k1,2,3，m(mN*)当 k1 时，有 q1；当 k2,3，m 时，有ln q.ln kkln kk1设 f(x)(x>1)，则 f(x).ln xx1ln xx2令 f(x)0，得 xe.列表如下：x(1，e)e(e，)f(x)0f(x)极大值因为2，则 d>2，cd>4，与 cd4 矛盾，c2.故 cd2.故选 C.5某班级有一个学生 A 在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每 52秒跑完一圈，当学生 A 开始跑步时，在教室内有一个学生 B，往操场看了一次，以后每 50 秒他都往操场看一次，则该学生 B “感觉”到学生 A 的运动是( )A逆时针方向匀速前跑 B顺时针方向匀速前跑C顺时针方向匀速后退 D静止不动答案 C解析 令操场的周长为 C，则学生 B 每隔 50 秒看一次，学生 A 都距上一次学生 B 观察的位置(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生 B“感觉”到C26学生 A 的运动是顺时针方向匀速后退的6对函数 f(x)，如果存在 x00 使得 f(x0)f(x0)，则称(x0，f(x0)与(x0，f(x0)为函数图象的一组奇对称点若 f(x)exa(e 为自然对数的底数)存在奇对称点，则实数 a 的取值范围是( )A(，1) B(1，)C(e，) D1，)答案 B解析 由题意可知，函数存在奇对称点，即函数图象上存在两点关于原点对称，可设两点为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，即 y1ex1a，y2ex2a，因为关于原点对称，所以 ex1aex2a，即 2aex1ex2222，ex1·ex2e0因为 x1x2，所以 a>1，故选 B.7若存在正实数 a，b，使得xR 有 f(xa)f(x)b 恒成立，则称 f(x)为“限增函数” 给出以下三个函数：f(x)x2x1；f(x)；f(x)|x|sin(x2)，其中是“限增函数”的是( )A B C D答案 B解析 对于，f(xa)f(x)b 即(xa)2(xa)1x2x1b，即2axa2ab，x对一切 xR 恒成立，显然不存在这样的正实a2ab2a数 a，b.对于，f(x)，即b，|xa|x|b22b，而|x|xa|x|x|xa|x|a，|x|a|x|b22b，则，显然，当 ab2时式子恒成立，|x|x|ab22bf(x)是“限增函数” 对于，f(x)sin(x2)，1f(x)sin(x2)1，故|x|f(xa)f(x)2，当 b2 时，对于任意的正实数 a，b 都成立故选 B.8某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入若该公司 2017 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( )(lg 20.3，lg 1.30.11，lg 1.120.05)A2018 年 B2019 年 C2020 年 D2021 年答案 D解析 设从 2017 年后第 n 年该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元，由已知得 130×(112%)n>200，1.12n>，两边取常用对数得 nlg 1.12>lg 200130，n>3.8，n4，故选 D.200130lg 2lg 1.3lg 1.120.30.110.059(2019·湖南省宁乡一中、攸县一中高三联考)微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天或每月行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的 PK 或点赞加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，人们运动的积极性明显增强，下面是某人 2018 年 1 月至 2018 年 11 月期间每月跑步的平均里程(单位：十公里)的数据，绘制了下面的折线图根据折线图，下列结论正确的是( )A月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数B月跑步平均里程逐月增加C月跑步平均里程高峰期大致在 8,9 月D1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳答案 D解析 根据折线图得中位数为 5 月份对应的里程数；月跑步平均里程在 2月、7 月、8 月、11 月减少，月跑步平均里程高峰期大致在 9 月、10 月；1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳，故选 D.二、填空题10国家规定个人稿费纳税办法是：不超过 800 元的不纳税；超过 800 元而不超过 4000 元的按超过 800 元部分的 14%纳税；超过 4000 元的按全部稿酬的 11%纳税已知某人出版一本书，共纳税 420 元，则这个人应得稿费(扣税前)为_元答案 3800解析 设扣税前应得稿费为 x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得yError!如果稿费为 4000 元应纳税为 448 元，现知，某人共纳税 420 元，稿费应在 8004000 元之间，(x800)×14%420，x3800.11(2019·北京市东城区高三综合练习)设 A，B 是 R 上的两个子集，对任意 xR，定义：mError!nError!(1)若 AB，则对任意 xR，m(1n)_；(2)若对任意 xR，mn1，则 A，B 的关系为_答案 (1)0 (2)ARB解析 (1)AB.则当 xA 时，m0，m(1n)0.当 xA 时，必有 xB，mn1，m(1n)0.综上可得 m(1n)0.(2)对任意 xR，mn1，则 m，n 的值一个为 0，另一个为 1，即当xA 时，必有 xB 或 xB 时，必有 xA，A，B 的关系为 ARB.12(2019·濮阳市高二下学期升级考试)某工程由 A，B，C，D 四道工序组成，完成它们需用时间依次为 2,5，x,4 天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B，C 完成后，D 可以开工若完成该工程共需 9 天，则完成工序 C 需要的天数最大是_答案 3解析 A 完成后，C 才可以开工；B，C 完成后，D 才可以开工，完成A，C，D 需用时间依次为 2，x,4 天，且 A，B 可以同时开工，又该工程共需 9 天，2xmax49xmax3.13(2019·湖州三校普通高等学校招生全国统一模拟考试)已知函数 f(x)Error!则 ff(1)_，若实数 a0，V(x)单调递增，故 V(0)<V(x)<V(1)，即 V(x)的取值范围是，(0，13)故答案为.(0，13)