量子力学第三章-量子力学中的力学量ppt课件.ppt

Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism1第第 三三 章章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量The Dynamical variable in Quantum Mechanism Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism2引言引言 经典力学中物质运动的状态总用坐标、动量、角经典力学中物质运动的状态总用坐标、动量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描述。而量子力学的第一个惊人之举就是引入的方式描述。而量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数了波函数 这样一个基本概念，以概率的特征全面地这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但描述了微观粒子的运动状态。但 并不能作为量子力并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概念念算符，用它表示量子力学中的力学量。算符与算符，用它表示量子力学中的力学量。算符与波函数作为量子力学的核心概念相辅相成、贯穿始终。波函数作为量子力学的核心概念相辅相成、贯穿始终。 这部分是量子力学的重要基础理论之一，也是我这部分是量子力学的重要基础理论之一，也是我们学习中的重点。们学习中的重点。Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism3p3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符 operator for dynamical variable p3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符 momentum operator and angular momentum operatorp3.3 电子在库仑场中的运动电子在库仑场中的运动 The motion of electrons in Coulomb fieldp3.4 氢原子氢原子 Hydrogen atomp3.5 厄米算符本征函数的正交性厄米算符本征函数的正交性Orthonormality for eigenfunction of Hermitean operatorsp3.6 力学量算符与力学量的关系力学量算符与力学量的关系Relationship between Operator and dynamical variablep3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系Operator commute The Heisenberg Uncertainty Principlep3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律The dynamical variable with respect to time The conservation laws讲授内容讲授内容Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism4学习内容学习内容 1 1坐标算符、动量算符的表示形式及它们间的对易关系；坐标算符、动量算符的表示形式及它们间的对易关系；2 2角动量算符的表示形式及相关的对易关系；角动量算符的表示形式及相关的对易关系；3 3动量算符本征函数的两种归一化：箱归一化和动量算符本征函数的两种归一化：箱归一化和 函数归函数归一一 化化；4 4角动量算符的共同本征函数及所对应的本征值；角动量算符的共同本征函数及所对应的本征值；5 5正点电荷库仓场中电子运动的定态薛定谔方程及其求解的正点电荷库仓场中电子运动的定态薛定谔方程及其求解的 基本步骤；定态波函数的表达形式；束缚态的能级及其简基本步骤；定态波函数的表达形式；束缚态的能级及其简 并度；氢原子的能级、光谱线的规律；电子在核外的概率并度；氢原子的能级、光谱线的规律；电子在核外的概率 分布；电离能和里德伯常数；分布；电离能和里德伯常数；6 6量子力学的力学量与厄米算符量子力学的力学量与厄米算符的关系的关系；厄米算符的本征函；厄米算符的本征函 数组成正交完备集；数组成正交完备集；7 7在什么情况下力学量具有确定值；力学量可能值、概率、在什么情况下力学量具有确定值；力学量可能值、概率、 平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件；平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件；8 8不确定关系及其应用；不确定关系及其应用；9 9守恒量的判断方法。守恒量的判断方法。Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism5重点掌握内容重点掌握内容一个基本概念：一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；厄米算符（作用及其基本性质）；两个假设：两个假设： 力学量用厄米算符表示；力学量用厄米算符表示； 状态用厄米算符本征态表示，力学量状态用厄米算符本征态表示，力学量 算符的本征值为力学量的可测值算符的本征值为力学量的可测值三个力学量计算值：三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；确定值、可能值、平均值；四个力学量算符的本征态及本征值：四个力学量算符的本征态及本征值：坐标算符，动量坐标算符，动量 算符，角动量算符及能量算符（哈密顿算算符，角动量算符及能量算符（哈密顿算 符）及它们的本征值。符）及它们的本征值。一个关系：一个关系：力学量算符间的对易关系（特别是坐标力学量算符间的对易关系（特别是坐标 算符与动量算符的对易关系，角动量算符算符与动量算符的对易关系，角动量算符 对易关系）对易关系）三个定理三个定理: : 共同本征态定理（包括逆定理）共同本征态定理（包括逆定理） 不确定关系不确定关系 力学量守恒定理力学量守恒定理Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism6 由前面的讨论，我们看到，当微观粒子处在某由前面的讨论，我们看到，当微观粒子处在某一状态时，一般而言，其力学量（如坐标、动量和一状态时，一般而言，其力学量（如坐标、动量和能量等）不一定具有确定的值，而以一定几率分布能量等）不一定具有确定的值，而以一定几率分布取一系列可能值（当然，可能在某些特殊的状态，取一系列可能值（当然，可能在某些特殊的状态，有些力学可取确定值）。有些力学可取确定值）。 若知道粒子在动量表象中的波函数若知道粒子在动量表象中的波函数 ，同理，同理可求出粒子动量可求出粒子动量PxPyPz 或或 的平均值。的平均值。),(tpCP3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符1.1.坐标与动量的平均值及坐标算符与动量算符的引入坐标与动量的平均值及坐标算符与动量算符的引入 若已知粒子在坐标表象中的状态波函数若已知粒子在坐标表象中的状态波函数 ，按照波函统计解释，利用统计平均方法，可求得粒按照波函统计解释，利用统计平均方法，可求得粒子坐标子坐标 或或 的平均值的平均值),(tr),(zyxrChap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism7（ 1 1 ） 坐 标 平 均 值） 坐 标 平 均 值33/21( , )( , )(2)iP rr tC P t ed P设粒子的状态波函数为设粒子的状态波函数为 或或),(tr),(tPC33/21( , )( , )(2)iP rC P tr t ed rrdtrrdtrw323),(),(粒子的位置处在：粒子的位置处在： 间的几率为间的几率为,xx dx yy dy zz dz3.1 表示力学量的算符（续1）rdtrrtrrdtrwrr3*3),(),(),(坐标平均值坐标平均值Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism8利用利用 计算出坐标计算出坐标 的平均值的平均值),(tPCrPdtPCrtPCr3*),(),(PxyzriiijkPPP 称为坐标算符称为坐标算符 ProveProve： rdtrrtrr3*),(),(*333/2(1( , ) (,2)iP rC P t ed Pr t rd r3.1 表示力学量的算符（续2）对此作一次分部积分对此作一次分部积分*333/21( , )(, )(2)iP rPr tC P ted P d riChap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism9*33331(, )(),)2(iirPPPriC PC Pt et ed Pd P d r()*33331(2)( , )( , )iPPPrCed rP t iC P td Pd P*33( , )(), ) (PC P t iC P td PPd PP*3( , )( , )PCP tC P t d Pi*( , )( , )xyzC P tC P t dPdPdPr3.1 表示力学量的算符（续3）*333/21( , ) (, )()(2 )iiP rP rPr tC P t eC P t ed P d riiChap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism10（2 2）动量平均值）动量平均值 粒子的动量值处于粒子的动量值处于 ,xxxyyyzzzPP dP PP dP PP dP间的几率为间的几率为: : PdtPCPdtPw323),(),(利用坐标为变量的波函数利用坐标为变量的波函数 计算动量平均值计算动量平均值 ),( tr其中其中 坐标算符坐标算符Pxyzriiijkppp rdtrPtrP3*),(),(3.1 表示力学量的算符（续4）PdtPCPtPCPdtPCPP3*32),(),(),(动量平均值动量平均值Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism11Prove:Prove: PdtPCPtPCP3*),(),(33/2*31( , )(2( , )iP rrCP t PdtPed r*333/21( , )( , )(2)iP rr tC P td Pied r*3/3321( ( , )( , ), )(2iiPrPrr t i eir tC P ted r d P 动量算符动量算符 iP33*331( , )(2)( , )iPiPrrir tr t eed rddPr 3.1 表示力学量的算符（续5）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism12*33( , )( , )()r tir trr d rd r *3( , )( , )ir tr td r *( , )( , )r tr t dxdydPz 动量算符动量算符 Piiijkxyz 其中其中3.1 表示力学量的算符（续6）rr()*3331(, )( , )2 iP rrrtir ted P d r drChap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism13结 论结 论 由波函数计算坐标和动量的平均值时，坐标与动由波函数计算坐标和动量的平均值时，坐标与动量均要用相应的算符代入积分式。量均要用相应的算符代入积分式。 利用坐标为变量的波函数利用坐标为变量的波函数 计算坐标平均值计算坐标平均值时，坐标算符时，坐标算符 ，就是坐标本身就是坐标本身；利用动量为变；利用动量为变量的波函数量的波函数 计算坐标平均值时，坐标算符为计算坐标平均值时，坐标算符为),(trrr),(tPCPir 利用坐标为变量的波函数利用坐标为变量的波函数 计算动量平均值计算动量平均值时，动量算符时，动量算符 ； 利用动量为变量的波函数利用动量为变量的波函数 计算动量平均值时，动量算符就是动量计算动量平均值时，动量算符就是动量本身本身),(triP),(tPCPP3.1 表示力学量的算符（续7）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism14对一函数作用得到另一函数的运算符号对一函数作用得到另一函数的运算符号 vuF dxF vudxEx.Ex.dxdF vudxdxF vxu 2表示力学量的算符及其表示力学量的算符及其与力学量测量值的关系与力学量测量值的关系（1 1）算符的定义）算符的定义称为算符称为算符F(2(2）算符的本征方程）算符的本征方程算符算符 作用在函数作用在函数 上，等于一常数上，等于一常数 乘以乘以 F3.1 表示力学量的算符（续8）即即 F此称为算符此称为算符 的本征方程的本征方程 F算符的基本性质参见教材p46-49Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism15称为其本征值，称为其本征值， 为其本征函数。为其本征函数。 (3(3）力学量算符）力学量算符 表示力学量的算符必须是对波函数进行有物理意义表示力学量的算符必须是对波函数进行有物理意义运算的符号。运算的符号。哈密顿算符哈密顿算符 H),(),(2),(22trtrUtrH动量算符动量算符 P),(),(tritrP坐标算符坐标算符 r),(),(trrtrr例如当波函数为例如当波函数为 时时),(tr3.1 表示力学量的算符（续9）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism16Ex.动能算符动能算符 T22222PT角动量算符角动量算符 LriPrL 将第二章中构造将第二章中构造HarmiltonHarmilton算符算符的方法加以推广，的方法加以推广，便提出一个构造一般便提出一个构造一般力学量算符的基本假设力学量算符的基本假设。 ),(),(irFPrFF 若量子力学中的力学量若量子力学中的力学量 在经典力学中有相应的在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符力学量，则表示该力学量的算符 由经典表示由经典表示 中将动量中将动量 换成动量算符换成动量算符 而得出。而得出。 F( , )F r PPPF3.1 表示力学量的算符（续10）力学量算符规则力学量算符规则即构造力学量算符的规则：即构造力学量算符的规则：Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism17 （1 1）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对于动量表象，表示力学量言；对于动量表象，表示力学量F F 的算符是将经典的算符是将经典表示表示 中的坐标变量中的坐标变量 换成坐标算符换成坐标算符Pirr)(PrF（2 2）对于只在量子理论中才有，而在经典力学）对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。 ( , )(, )PF r PF iP( , )F r P即即 3.1 表示力学量的算符（续11）注注Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism18力学量算符力学量算符坐标坐标表象表象动量动量表象表象坐标算符坐标算符rrrpri动量算符动量算符PPi P P力学量算符力学量算符,F r P,PF r PF iP,F r PF ri 其中其中ijkxyz PxyzijkPPP 3.1 表示力学量的算符（续12）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism19(4(4）力学量算符与力学量测量值的关系）力学量算符与力学量测量值的关系 在第二章讨论哈密顿算符在第二章讨论哈密顿算符 的本征值问题时已的本征值问题时已看到，当体系处在看到，当体系处在 的本征态时，体系有确定的能的本征态时，体系有确定的能量，该能量值就是量，该能量值就是 在此本征态中的本征值。当体在此本征态中的本征值。当体系处在任一态中时，测量体系的能量无确定值，而系处在任一态中时，测量体系的能量无确定值，而有一系列可能值，这些可能值均为有一系列可能值，这些可能值均为 的本征值。这的本征值。这表明表明 的本征值是体系能量的可测值，将该结论推的本征值是体系能量的可测值，将该结论推广到一般力学量算符提出一个广到一般力学量算符提出一个基本假设基本假设. .HHHHH 如果算符如果算符 表示力学量表示力学量 ，那么当体系处于那么当体系处于 的本征态中时，力学量的本征态中时，力学量 有确定值，这个值就是有确定值，这个值就是 属于该本征态的本征值。属于该本征态的本征值。 FFFFF该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系 3.1 表示力学量的算符（续13）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism20（5 5）厄米算符及其性质）厄米算符及其性质 厄米算符的定义厄米算符的定义若对于任意两函数若对于任意两函数 和和 ，算符，算符 满足等式满足等式FdFdF*)(则称则称 为为厄米算符厄米算符 F 厄米算符的性质：厄米算符的性质： 厄米算符的本征值必为实数厄米算符的本征值必为实数设设 为厄米算符为厄米算符，其本征方程本征方程FFProve :Prove :dFdF*)(dd*（实数）3.1 表示力学量的算符（续14）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism21力学量算符为线性的厄米算符力学量算符为线性的厄米算符 (6(6）力学量算符的性质）力学量算符的性质*xpdxidxxEx. 1、 证明动量算符的一个分量证明动量算符的一个分量 是厄密算符是厄密算符xp*()xiidxpdxx Prove :Prove :设设 为宇称算符为宇称算符 的本征值，则宇称算的本征值，则宇称算符的本征方程为：符的本征方程为：IIEx. 2、证明宇称算符证明宇称算符 的本征值为的本征值为I1I Prove :Prove :3.1 表示力学量的算符（续15）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism222( )( )( )IIu xI u xu x21I ()()Iu xIu x1I 3.1 表示力学量的算符（续16） 量子力学微观粒子的力学量为何要用量子力学微观粒子的力学量为何要用线性的厄米线性的厄米算符算符表示表示 力学量力学量 是是线性厄米算符线性厄米算符, ,由此能否得出线性厄由此能否得出线性厄米算符都可以表示米算符都可以表示力学量力学量? ?思考题思考题: :FChap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism233.2 3.2 动量算符与角动量算符动量算符与角动量算符1 1 动量算符动量算符Pi zxyPiPiPixyz本征方程：本征方程： ( )( )PPPrPr)()()()(zyxrzyxPPPP按分离变量法按分离变量法, ,令令123( )( )( )xxyyzziP xPiP yPiP zPxCeyCezCe( )iPrPrAe归一化归一化常数常数( )xxPxPdiPxdx( )yzPyPdiPydy( )zzPzPdiPzdz则有则有Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism24deAdrrrPPiPP)(2*)()(32(2)()()APPPP2/3)2(A()3/23/211( )(2)(2)xyziiP rp x p y p zPree本征值本征值 取连续值。取连续值。P归一化系数的确定归一化系数的确定 1 1）若粒子处在无限空间中，则按）若粒子处在无限空间中，则按 函数的归函数的归一化方法确定归一化常数一化方法确定归一化常数 ，即即A这正是自由粒子的这正是自由粒子的 de Broglie 波的空波的空 间部分波函数。间部分波函数。3.2 动量算符与角动量算符（续1）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism25, , ,22, ,22, , ,22PPPPPPLLy zy zLLxzxzLLx yx y 2 2）若粒子处在边长为）若粒子处在边长为 的立方体内运动，则用的立方体内运动，则用所谓箱归一化方法确定常数所谓箱归一化方法确定常数 。 LA 当粒子被限制在边长为当粒子被限制在边长为 的立方体内时，本征函数的立方体内时，本征函数 满足周期性边界条件满足周期性边界条件)(rPL,2BLry zBLr-,y,z2xyzoBB3.2 动量算符与角动量算符（续2）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism26112211221122xyzxyzxyzxyzxyzxyziiPL P y PzPL P y PziiPxPL PzPxPL PziiPx P yPLPx P yPLAeAeAeAeAeAe222111xxyyzziP Li niP Li niPLi neeeeee z222,xxyyzPnPnPnLLL本征值本征值 0, 1, 2,0, 1, 2,0, 1, 2,xyznnn 2xyzn n nPnL ()xyzninjnkn3.2 动量算符与角动量算符（续3）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism27由归一化条件由归一化条件2222322( )LLPLLrd rA dxdydz 132LA2/3 LA这表明动量只能取分立值。换言之，加上周期性边这表明动量只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。界条件后，连续谱变成了分立谱。归一化归一化本征函数本征函数 rPiPeLr2/31)(自由粒子波函数自由粒子波函数 PiE tpPr,tr e3.2 动量算符与角动量算符（续4）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism28（2 2）由）由 可以看出，相邻两本征值的间隔可以看出，相邻两本征值的间隔 与与 成成反比。当反比。当 足够大时，本征值间隔可任意小；当足够大时，本征值间隔可任意小；当 时时 ，即即离散谱离散谱连续谱连续谱2,2,2xxyyzzPnL PnL PnL2PLLLL0 xP讨 论讨 论（1 1）从这里可以看出，只有在分立谱情况下，波函数）从这里可以看出，只有在分立谱情况下，波函数才能归一化为一；连续谱情况，归一化为才能归一化为一；连续谱情况，归一化为 函数。函数。 （3 3）在自由粒子波函数）在自由粒子波函数 所描写的状态中，所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。个态中的本征值。,Pr t3.2 动量算符与角动量算符（续5）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism29LrP2 2 角动量算符角动量算符 （1 1）轨道角动量算符的定义）轨道角动量算符的定义xzyyxzzyxLyPzPiyzzyLzPxPizxxzLxPyPixyyx rxz球球 坐坐 标标r ysincossinsincosxryrzr2222cos/tan/rxyzz ry x3.2 动量算符与角动量算符（续6）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism30rxrxxxryryyyrzrzzz sin cossin sincosrxryrz1cos cos1cos sin1sinxryrzr1 sinsin1 cossin0 xryrz 利用直角坐标与球坐标之间的变换关系利用直角坐标与球坐标之间的变换关系,求得偏导数求得偏导数3.2 动量算符与角动量算符（续7）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism3111 sinsincoscos cossin11 cossin sincos sinsin1cossinxrrryrrrzrr由上面结果得由上面结果得则角动量算符则角动量算符 在球坐标中的表达式为：在球坐标中的表达式为：(sincos)xLictg(cossin)yLictgzLi 3.2 动量算符与角动量算符（续8）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism32本征方程本征方程 zzLL( )ziLAe 由于由于 为为 的单值函数，应有周期条件的单值函数，应有周期条件: : )(2222222211sinsinsinxyzLLLL zLddi 在球坐标系中在球坐标系中 )()2(即即 (2 )zziiLLAeAe22zLm（2 2）L Lz z 的本征值问题的本征值问题3.2 动量算符与角动量算符（续9）定义角动量平方算符定义角动量平方算符mLz本征值本征值: :Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism33(0, 1, 2,)m 可见，微观系统的角动量在可见，微观系统的角动量在z z方向的分量只能取分方向的分量只能取分离值（零或离值（零或 的整数倍）。由于的整数倍）。由于z z方向是任意取定的，方向是任意取定的，所以所以角动量在空间任意方向的投影是量子化的角动量在空间任意方向的投影是量子化的。 称为磁量子数称为磁量子数m本征函数本征函数immAe)(由归一化条件由归一化条件 2222200( )21mdAdA 归一化本征函数归一化本征函数imme21)(2/ 1A3.2 动量算符与角动量算符（续10）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism34正交性：正交性： 2200102i m nmnddm ne将归一化条件与正交性合记之得正交归一化条件：将归一化条件与正交性合记之得正交归一化条件： 20mnmnd本征方程本征方程: :22L YL Y在球坐标系中在球坐标系中 （3 3）L L2 2 的本征值问题的本征值问题2222211sin( , )( , )sinsinYLY 令令 22/L（1） 3.2 动量算符与角动量算符（续11）0),(),(sin1sinsin122yyChap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism35 此为球面方程（此为球面方程（球谐函数方程）球谐函数方程）。其中其中 是是 属于本征值属于本征值 的本征函数。的本征函数。利用分离变量法及微利用分离变量法及微分方程的幂级数解法，求球面方程在分方程的幂级数解法，求球面方程在 区域内的有限单值函数解区域内的有限单值函数解（其求解方法在数学物理其求解方法在数学物理方法中已有详细的讲述）方法中已有详细的讲述），可得，可得0, 02 ,Y 2L20,1,2,(1)ll l（2） ( ,)(cos )mimlmlmlYN Pe （3） ( , )( , )( 1)mlml mYY lm,2, 1,0由（由（1 1）、（）、（2 2）式得出）式得出 的本征值的本征值2L22) 1( llL, 2 , 1 , 0l磁量子数磁量子数角角量子数量子数3.2 动量算符与角动量算符（续12）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism36 的本征值的本征值: : L ) 1( llL可见，微观系统的角动量只能取一系列离散值可见，微观系统的角动量只能取一系列离散值0,2 ,6 ,12球谐函数球谐函数 是是 属于本征值属于本征值 的本征的本征函数函数 ， 是缔合勒让德多项式，满足正交是缔合勒让德多项式，满足正交 -模方模方条件：条件： ( , )lmY 2L2) 1(ll)(cosmlP 是是 属于本征值属于本征值 的本征函数，有的本征函数，有正交正交- -模方条件模方条件imezLm2*0()2imimmmeed3.2 动量算符与角动量算符（续13）l lmlmllmlmldPP 122!sincoscos020Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism37 由由 的正交归一化条件的正交归一化条件( , )lmY 2*00( , )( , )sinl ml ml lm mYYd d 求得归一化因子求得归一化因子: :2/1412)!()!() 1(lmlmlNmlm讨 论讨 论 （1 1）球谐函数系）球谐函数系 是是 与与 有共同的本征有共同的本征函数系函数系zL2L),(lmY22( , )(1)( , )lmlmLYl lY （2 2）简并情况）简并情况 , 2 , 1 , 0llm,2, 1,0 在求解在求解 本征方程的过程中，出现角量子数本征方程的过程中，出现角量子数 和磁量子数和磁量子数 。 2Llm( , )( , )zlmlmL Ym Y 3.2 动量算符与角动量算符（续14）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism38Ex: 0, 0ml001( , )4Y 简并度为简并度为1 20(0 1)0L 1, 0, 1mliieYYeYsin83),(cos43),(sin83),(11101122) 11 ( 1L简并度为简并度为3 即即 属于本征值属于本征值 的线性独立本征函数的线性独立本征函数 共有共有 个。因此个。因此, , 的本征值的本征值 是是 度简并的度简并的。 ),(lmY2) 1(ll2L2L2) 1(ll) 12(l) 12(l 的本征值的本征值 仅由角量子数仅由角量子数 确定，而本征确定，而本征函数函数 却由却由 和和 确定。对于一个确定。对于一个 值，值， 可取可取 ，这样就有，这样就有 个个 值相同而值相同而 值不同的本征函数与同一个本征值值不同的本征函数与同一个本征值 对应。对应。2L2) 1(lll, 2, 1, 0),(lmY2) 1(lllllmm21l ml3.2 动量算符与角动量算符（续15）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism392, 1, 0, 2ml) 1cos3 (165),(cossin815),(sin3215),(22021222YeYeYiiz222212sin3215),(cossin815),(iieYeY222(2 1)L 简并度为简并度为53.2 动量算符与角动量算符（续16）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism40,.2 , 1,) 1(2lll确定了角动量的大小确定了角动量的大小 本征值：本征值：2LlmmLz,.2, 1, 0, 确定了角动量的方向确定了角动量的方向 本征值：本征值：zL3.2 动量算符与角动量算符（续17）角动量的空间取向量子化角动量的空间取向量子化Z0+1m=+2-1-26l=2Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism41( )( )U rU rHamiltonian operator 222( )( )22PHU rU r 的本征值方程的本征值方程（定态（定态SchrSchrdingerdinger方程方程）H22( )( )2U rEr 中心力场中运动粒子的势能中心力场中运动粒子的势能3.3 3.3 电子在库仑场中的运动电子在库仑场中的运动1.1.有心力场下的有心力场下的 Schrodinger Schrodinger 方程方程22222222111sin( )2sinsinrUrEr rrrr （1） 在球坐标系中在球坐标系中Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism42设设 ),()(),(YrRr（2） 式（式（2 2）代入方程（）代入方程（1 1），分离变量得），分离变量得222212( )0ddRrE U rRr drdrr （3） 径向径向方程方程0sin1sinsin1222Y（4） 球面方程球面方程immllmlmePNY)(cos),(（5）lm,2, 1,0 球面方程（球面方程（4 4）与中心力场的势函数无关，即不管中）与中心力场的势函数无关，即不管中心力场心力场 的形式如何，当的形式如何，当 ，且，且 时，该方程在时，该方程在 内的内的单值单值有限解均为有限解均为球谐函数球谐函数( )U r0, 02 ) 1( l l,2, 1 ,0l3.3 电子在库仑场中的运动（续1）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism43方程（方程（3 3）是有关径向波函数）是有关径向波函数 的微分方程，称的微分方程，称为为径向方程径向方程，由它求出，由它求出 ，便可知道，便可知道 ，但，但要求径向方程的解，必须先要知道要求径向方程的解，必须先要知道 的具体形式。的具体形式。)(rR( )U r),(r)(rR2. 2. 库仑场中径向方程的解库仑场中径向方程的解11ZZ（氢原子）氢原子）（类氢原子）（类氢原子）2( )sZeU rr电子受核的吸引，其势为电子受核的吸引，其势为库仑势库仑势0()4()seSIeeCGS中心力场的一种形式中心力场的一种形式电子在核的电场中运动，核带正电荷电子在核的电场中运动，核带正电荷 ， 为原子序数为原子序数ZZe3.3 电子在库仑场中的运动（续2）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism44将库仑势将库仑势 代入径向方程（代入径向方程（3 3）得）得 ( )U r2222212(1)0sZeddRl lrERr drdrrr（6） ( )( )u rR rr令令 （7） 代入方程（代入方程（6 6），则有），则有 0) 1(222222urllrZeEdruds（8） 当当 ，原子中的电子电离脱离原子到无穷远，原子中的电子电离脱离原子到无穷远处，即处，即 ，方程（，方程（8 8）的极限形式）的极限形式0Er02222uEdrud3.3 电子在库仑场中的运动（续3）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism45rEDrECru2sin2cos)( 满足波函数的连续、单值和有限条件，因此对满足波函数的连续、单值和有限条件，因此对E E 没没有什么限制，所以有什么限制，所以 的一切值都允许（连续谱）的一切值都允许（连续谱）0E 当当 ，方程（，方程（8 8）写成）写成0E0) 1(222222urllrZeEdruds（9）电子处在束缚态，电子处在束缚态， 应具有分离谱应具有分离谱E令令 r（10） 28E（11） EZes22（12） 3.3 电子在库仑场中的运动（续4）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism46方程（方程（9 9）变成）变成0) 1(41222ulldud（13） 将（将（1414）代入（）代入（1313），则有），则有 利用幂级数求解微分方程的方法解方程（利用幂级数求解微分方程的方法解方程（1515）)()(21feu令令 （14） 0) 1(222fllddfdfd（15） 0( )s kkkfb（16） 0(0)b 设设 将（将（1616）代入（）代入（1515）式，求其在）式，求其在 范围内的范围内的有限解，得有限解，得r03.3 电子在库仑场中的运动（续5）Chap.3 The Dynamical variab