121任意角的三角函数一、二课时.ppt

学习目标学习目标1、知识与技能、知识与技能借助单位圆理解任意角的三角函数借助单位圆理解任意角的三角函数;从任意角三角从任意角三角函数的定义认识其定义域，函数值的符号函数的定义认识其定义域，函数值的符号;已知角已知角终边上一点终边上一点,会求角会求角的各三角函数值的各三角函数值; 记住三角记住三角函数的定义域、值域，诱导公式一函数的定义域、值域，诱导公式一. 2、过程与方法、过程与方法利用终边与单位圆的交点坐标求三角函数值利用终边与单位圆的交点坐标求三角函数值 ;各各个三角函数值的象限符号；诱导公式一的熟练应个三角函数值的象限符号；诱导公式一的熟练应用。用。 3、情感、态度与价值观、情感、态度与价值观学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神科学精神. 教学的重点和难点教学的重点和难点 重点：三角函数的定义，各三角函数值在重点：三角函数的定义，各三角函数值在每个象限的符号，特殊角的三角函数值每个象限的符号，特殊角的三角函数值. 难点：对三角函数的自变量的多值性的理难点：对三角函数的自变量的多值性的理解，三角函数的求值中符号的确定解，三角函数的求值中符号的确定.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancacbba OabMPc一、复习引入一、复习引入OabMP yx在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？二、新知探究二、新知探究22:barOPbMPaOM其中 yx在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtanbaP,Mo如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMOPMMOyxP(a,b)OPMPsinOPOMcosOMMPtan，则若1 rOPbaab锐角三角函数（在单位圆中）锐角三角函数（在单位圆中）以原点以原点O为为圆心，以单位圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆长度为半径的圆，称为单位圆. yoP),(bax1M任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义: 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(yxP 那么:（1） 叫做 的正弦正弦，记作 ，即 ；ysinysin （2） 叫做 的余弦余弦，记作 ，即 ； cosxxcos（3） 叫做 的正切正切，记作 ，即 。 xytanxytan 所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都是以是以角为自变量角为自变量，以，以单位圆单位圆上点上点的的坐标或坐标的比值坐标或坐标的比值为函数值的为函数值的函数，我们将他们称为函数，我们将他们称为三角函数三角函数.0 , 1AOyxyxP ,)0(x使比值有意义的角的集合使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域即为三角函数的定义域.)0 , 1 (AxyoP),(yx的终边说说 明明（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值横坐标的比值. .的横坐标，的横坐标， 正切就是正切就是 交点的纵坐标与交点的纵坐标与. .（2） 正弦、余弦总有意义正弦、余弦总有意义.当当 的终边在的终边在 y横坐标等于横坐标等于0， xytan无意义，此时无意义，此时 )(2zkk轴上时，点轴上时，点P 的的（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数三角函数可以看成是自变量为实数的函数.任意角的三角函数的定义过程：任意角的三角函数的定义过程：直角三角形中定义锐角三角函数直角三角形中定义锐角三角函数 abrarbtan,cos,sin直角坐标系中定义锐角三角函数直角坐标系中定义锐角三角函数 abrarbtan,cos,sin单位圆中定义锐角三角函数单位圆中定义锐角三角函数 ababtan,cos,sin单位圆中定义任意角的三角函数单位圆中定义任意角的三角函数 ,sinyxcosxytan,例例1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐标系中，作解：在直角坐标系中，作 AOB，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 )23,21(所以所以 2335sin2135cos335tan思考：若把角思考：若把角 改为改为 呢呢? 3567,2167sin， ,2367cos3367tanxyoAB35三、典例分析三、典例分析例例2 已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、余的正弦、余弦和正切值弦和正切值 .)4, 3(0P5) 4() 3(220OP解解:由已知可得由已知可得设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ，),(yxP分别过点分别过点 、 作作 轴的垂线轴的垂线 、0PMPP00PMx400PM 于是，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintanxy4, 30P0MOyxMyxP , 设角设角 是一个任意角，是一个任意角， 是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正切，即的正切，即xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的在角的终边上的位置无关终边上的位置无关.P定义推广：定义推广：135122222yxr1312cosrx125tanxy135sinry于是于是，1、已知角、已知角 的终边过点的终边过点 ， 求求 的三个三角函数值的三个三角函数值.5 ,12P解：由已知可得：解：由已知可得：练习：练习：2P15 ,8aa、已知角的终边上一点aR且a0 ，sin,cos,tan求角的的值.-15 ,8 ,xa ya解：由于22158170raaa a所以 1017 ,ara若则于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 20-17 ,ara若则于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 2P15 ,8aa、已知角 的终边上一点aR且a0 ，sin,cos ,tan求角 的的值.1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）（弧度制）探探究究三角函数三角函数定义域定义域sincostanR)(2Zkk2.确定三角函数值在各象限的符号确定三角函数值在各象限的符号yxosinyxocosyxotan+（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）R+-+-+-+- 例例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，求证：当且仅当下列不等式组成立时， 角角 为第三象限角为第三象限角.0tan 0sin 证明：证明： 因为式因为式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上；0sin 又因为式又因为式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因为式都成立，所以角因为式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明.如果两个角的终边相同，那么这两个角的如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？同一三角函数值有何关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中zk 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求求 角的三角函数值角的三角函数值 .360020到或到 ？例例4 确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3）解：解：250cos)672tan(4sin（1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos（2）因为）因为 = ， 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ；)672tan(48tan)360248tan(0)672tan(48练习：确定下列三角函数值的符号。练习：确定下列三角函数值的符号。516cos)34sin()817tan( （3）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .404sin例例5 求下列三角函数值：求下列三角函数值： （1） （2）49cos)611tan( 解：（解：（1） 224cos)24cos(49cos练习：求下列三角函数值。练习：求下列三角函数值。319tan)431tan( 31113tan()tan(2 )tan6663（2）1. 内容总结：内容总结： 三角函数的概念三角函数的概念.三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.诱导公式一诱导公式一.运用了定义法、公式法、数形结合法解题运用了定义法、公式法、数形结合法解题.化归的思想，数形结合的思想化归的思想，数形结合的思想.2 .方法总结：方法总结：3 .体现的数学思想：体现的数学思想：四、归纳反思四、归纳反思1.已知已知 的终边过点的终边过点(3a-9,a+2),且且cos 0,sin 0,则则a的取值范围是的取值范围是 。五、精彩一练五、精彩一练2.函数函数y= 的值域是的值域是( ) A.-1,0,3 B.-1,3 C.-1,0,1,3 D.0,1,3cossintansincostanxxxxxxB-2a3117119cossintan3633、求值117119cossintan363解：cos4sin12tan 6363cossintan3631131322 2sin,cos ,tan.yx4、已知角 的终边在直线上，求角 的的值2sin,cos ,tan.yx4、已知角 的终边在直线上，求角 的的值 1解： 当角 的终边在第一象限时，221,2125在角 的终边上取点，则r=22 5152sin,cos,tan255155 2当角 的终边在第三象限时，221, 2125r 在角 的终边上取点，则22 5152sin,cos,tan255155 1.必做题：课本必做题：课本P15第第1、2题；题；2.选做题选做题: 课本课本P15第第5题。题。六、作业设计六、作业设计 心灵寄语：心灵寄语：扎扎实实落实每一项计划，时刻心扎扎实实落实每一项计划，时刻心中有数，辉煌的成就必定实现，同中有数，辉煌的成就必定实现，同学们，好好拼搏，青春就是财富学们，好好拼搏，青春就是财富! 马克锋马克锋 七、激励评价七、激励评价Good byeGood bye